预习专题08 二元二次方程组（4知识点+6考点+2易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题08 二元二次方程组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.知道二元二次方程(组)的概念,知道二元二次方程的一般形式,能识别二次项、一次项和常数项. 2.知道二元二次方程(组)的解的意义,能判断给出的“一对未知数的取值”是不是已知二元二次方程或方程组的解. 3.会用代入消元法解由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组. 4.会用因式分解法解由特殊的两个二元二次方程组成的方程组. 5.在解二元二次方程组的活动中,体验化归思想以及“消元”和“降次”策略的应用. 二元二次方程 1.二元二次方程的概念 仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程. 提示：二元二次方程，必须满足三个条件:(1)必须是整式方程;(2)仅含有两个未知数;(3)含未知数的项的最高次数是 三个条件缺一不可. 2.二元二次方程的一般形式 关于x,y的二元二次方程的一般形式是:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(a,b,c,d,e,f都是常数,且a,b,c中至少有一个不是零;当b为零时a与d以及c与e分别不全为零) 其中,ax2,bxy,cy2叫做这个方程的二次项,a,b,c分别叫做二次项系数;dx,ey叫做这个方程的一次项,d,e分别叫做一次项系数;f叫做这个方程的常数项 3.二元二次方程的解 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解 下列方程中，二元二次方程是　　 A． B． C． D． 一个关于，的方程为，那么方程左边的一次项为_______． 二元二次方程组 1.二元二次方程组的概念 仅含有两个未知数,各方程是整式方程,并且含有未知数的项的最高次数是2,像这样的方程组叫做二元二次方程组 【特别提醒】 二元二次方程组应满足的条件 (1)方程组内的每个方程都是整式方程; (2)含有两个未知数,但不要求每个方程都含有两个未知数; (3)含有未知数的项的最高次数是2,但对每个方程不作要求，三个条件缺一不可. 下列方程组中是二元二次方程组有　　个． （1） （2） （3） （4）． A．1 B．2 C．3 D．4 2.二元二次方程组的解 二元二次方程组中所含各方程的公共解,叫做二元二次方程组的解 【注意】 (1)二元二次方程组的解是一组未知数的取值;(2)这一组未知的取值应满足方程组中的每个方程 代入消元法解二元二次方程组 1.解二元二次方程组的基本思想:消元 2.可以用代人消元法求解的二元二次方程组的特征：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组3.用代人消元法解二元二次方程组的一般步骤: （1）一变：二元二次方程组通过等式的基本性质把一次方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示 （2）二消：消去一个未知数得到一元方程 （3）三解：解这个一元方程，求得一个未知数的取值 （4）四回代，求得另一个未知数的取值 （5）五合写，写出原方程组的解 【易混易错提醒】 为方便代入，一般用含未知数的代数式去表示系数是-1或1的另一个未知数. （23-24八年级下·上海金山·期末）解方程组： 因式分解法解二元二次方程组 1.可用因式分解法求解的二元二次方程组的特征方程组中的一个方程或两个方程可用因式分解法转化为两个或四个一次方程 2.用因式分解法解二元二次方程组的一般步骤 【知识补充】 因式分解的常用方法 提公因式法;(2)公式法;(3)分组分解法;(4)十字相乘法. 【易错提醒】 (1)将二元二次方程因式分解时,应先化成二元二次方程的一般形式;(2)用因式分解法求解二元二次方程组的基本思想是“降次”，要写出所有“降次”后的方程组，不要遗漏 （23-24八年级下·上海青浦·期末）解方程组． 二元二次方程组的判断 例1 （23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 审题关键：根据二元二次方程组的定义逐个判断即可． 【变式1-1】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）下列方程组是二元二次方程组的是（  　  ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程组中是二元二次方程组的是（    ） A． B． C． D． B． 【方法总结】 利用二元二次方程的概念判断一个方程是否为二元二次方程时，三个条件缺一不可. 根据二元二次方程（组）的解求字母的值（或范围） 例2 （23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 审题关键：本题考查了方程的解的定义，理解方程解的定义是解题的关键．将，代入方程，求出的值即可求解． 【变式2-1】关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 ． 【变式2-2】若关于和y的二元二次方程有一个解是，则的值为 ． 【解题技巧总结】 二元二次方程组的三个特征:(1)都是整式方程;(2)含有两个未知数:(3)含有未知数的项的最高次数是2. 将二元二次方程化为两个一元方程 例3 把方程化为两个二元一次方程，它们是 和 ． 审题关键：先把方程左边分解得到，则原方程可转化为或． 【变式3-1】二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【变式3-2】把二元二次方程x2﹣y2﹣2x+2y＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 和 ． 【变式3-3】将二元二次方程化为两个一次方程为 ． 代入法解二元二次方程组 例4 （2024·上海·三模）解方程组． 审题关键：先由①得到，再把代入②中得到关于y的一元二次方程，解方程即可． 【变式4-1】解方程组：． 【变式4-2】解方程组：． 【变式4-3】（22-23八年级下·上海宝山·期末）解方程组∶． 单个方程因式分解法解二元二次方程组 例5 （23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程组： 审题关键将二次方程组转化成一次方程组求解是解题的关键．将第二个方程化简为，得到或，再由由①③组成方程组和由①④组成方程组，求解即可． 【变式5-1】（23-24八年级下·上海长宁·期末）解方程组： 【变式5-2】（23-24八年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【变式5-3】（2024·上海长宁·二模）解方程组： 两个方程因式分解法解二元二次方程组 例6 （22-23八年级下·上海杨浦·期末）解方程组： 审题关键：首先对原方程组中的第一个方程进行化简，用含y的表达式表示出x，然后分别重新组合，成为两个方程组，最后解这两个方程组即可． 【变式6-1】解方程组：． 【变式6-2】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）． 【变式6-3】解方程组 【变式6-4】（22-23八年级下·上海徐汇·期末）解方程组： 【易混易错提醒】 将每个方程因式分解后，组成新的方程组时，不要遗漏任何一个方程组. 【例1】方程组的解只有一组，则的取值范围是 ． 【例2】方程组有两组相等的实数解，则的值为 ． 1．解方程组时，可以先把这个方程组化为方程组 和 ． 2．（2024·上海杨浦·一模）解方程组：． 3．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）解方程组： 4．（22-23八年级下·上海宝山·期中）解方程组：． 5．（22-23八年级下·上海静安·期末）解方程组： 6．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）用换元法解方程组： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二元二次方程组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.知道二元二次方程(组)的概念,知道二元二次方程的一般形式,能识别二次项、一次项和常数项. 2.知道二元二次方程(组)的解的意义,能判断给出的“一对未知数的取值”是不是已知二元二次方程或方程组的解. 3.会用代入消元法解由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组. 4.会用因式分解法解由特殊的两个二元二次方程组成的方程组. 5.在解二元二次方程组的活动中,体验化归思想以及“消元”和“降次”策略的应用. 二元二次方程 1.二元二次方程的概念 仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程. 提示：二元二次方程，必须满足三个条件:(1)必须是整式方程;(2)仅含有两个未知数;(3)含未知数的项的最高次数是 三个条件缺一不可. 2.二元二次方程的一般形式 关于x,y的二元二次方程的一般形式是:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(a,b,c,d,e,f都是常数,且a,b,c中至少有一个不是零;当b为零时a与d以及c与e分别不全为零) 其中,ax2,bxy,cy2叫做这个方程的二次项,a,b,c分别叫做二次项系数;dx,ey叫做这个方程的一次项,d,e分别叫做一次项系数;f叫做这个方程的常数项 3.二元二次方程的解 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解 下列方程中，二元二次方程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、方程中含有一个未知数；故本选项错误； 、方程中含有两个未知数，且未知数的次数是2，符合二元二次方程的定义；故本选项正确； 、由原方程，得，该方程的最高次数是3；故本选项错误； 、由原方程，得该方程的最高次数是3；故本选项错误． 故选：． 一个关于，的方程为，那么方程左边的一次项为_______． 【分析】根据多项式的项进行分析即可． 【解答】解：， ， 方程左边的一次项为：，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查高次方程，多项式，解答的关键是明确多项式中的项的含义． 二元二次方程组 1.二元二次方程组的概念 仅含有两个未知数,各方程是整式方程,并且含有未知数的项的最高次数是2,像这样的方程组叫做二元二次方程组 【特别提醒】 二元二次方程组应满足的条件 (1)方程组内的每个方程都是整式方程; (2)含有两个未知数,但不要求每个方程都含有两个未知数; (3)含有未知数的项的最高次数是2,但对每个方程不作要求，三个条件缺一不可. 下列方程组中是二元二次方程组有　　个． （1） （2） （3） （4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】组成二元二次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是二次的整式方程． 【解答】解：（1）次数是2，符合二元二次方程组，（2）次数是2，符合二元二次方程组，（3） 次数是2，不符合二元二次方程组，（4）有三个未知数，不符合二元二次方程组， 故选：． 【点评】此题考查二元二次方程组定义，一定紧扣二元二次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 2.二元二次方程组的解 二元二次方程组中所含各方程的公共解,叫做二元二次方程组的解 【注意】 (1)二元二次方程组的解是一组未知数的取值;(2)这一组未知的取值应满足方程组中的每个方程 代入消元法解二元二次方程组 1.解二元二次方程组的基本思想:消元 2.可以用代人消元法求解的二元二次方程组的特征：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组3.用代人消元法解二元二次方程组的一般步骤: （1）一变：二元二次方程组通过等式的基本性质把一次方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示 （2）二消：消去一个未知数得到一元方程 （3）三解：解这个一元方程，求得一个未知数的取值 （4）四回代，求得另一个未知数的取值 （5）五合写，写出原方程组的解 【易混易错提醒】 为方便代入，一般用含未知数的代数式去表示系数是-1或1的另一个未知数. （23-24八年级下·上海金山·期末）解方程组： 【答案】， 【分析】本题考查了二元二次方程组的解法；其基本思想是用代入法消元；由第一个方程变形得，再代入第二个方程中，求得x的值，即可求得y的值，从而求解． 【详解】解：： 由①得：； 把③代入②中， 整理得：， 解得：， 把上述值代入③中，得：， 故方程组的解为：，． 因式分解法解二元二次方程组 1.可用因式分解法求解的二元二次方程组的特征方程组中的一个方程或两个方程可用因式分解法转化为两个或四个一次方程 2.用因式分解法解二元二次方程组的一般步骤 【知识补充】 因式分解的常用方法 提公因式法;(2)公式法;(3)分组分解法;(4)十字相乘法. 【易错提醒】 (1)将二元二次方程因式分解时,应先化成二元二次方程的一般形式;(2)用因式分解法求解二元二次方程组的基本思想是“降次”，要写出所有“降次”后的方程组，不要遗漏 （23-24八年级下·上海青浦·期末）解方程组． 【答案】， 【分析】本题考查了解二元二次方程组，先将方程①变形为，得或，从而组成两个方程组或，分别求解即可得出答案． 【详解】解：， 方程①可变形为，得或， 将它们分别与方程②组成方程组得或， 解方程组得：， 解方程组得：， ∴原方程组的解是，． 二元二次方程组的判断 例1 （23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 审题关键：根据二元二次方程组的定义逐个判断即可． 【答案】B 【详解】解：A．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； B．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2，是二元二次方程组，故本选项符合题意； C．方程组中两个方程是分式方程，不是整式方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； D．方程组中第一个方程是无理方程，不是有理方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）下列方程组是二元二次方程组的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元二次方程组的定义，掌握二元二次方程组的概念是解决本题的关键．根据二元二次方程组的定义，逐个判断得结论． 【详解】解：．此方程组为二元一次方程组，不是二元二次方程组，故A错误； B．含分式方程，不是二元二次方程组，故B错误； C．是二元二次方程组，故C正确； D．含无理方程，不是二元二次方程组，故D错误． 故选：C． 【变式1-2】下列方程组中是二元二次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程组是二元二次方程组，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：不符合整式方程组的条件，故A不符合题意； 不符合整式方程组的条件，故B不符合题意； 的最高次项的次数是1，故C不符合题意； 符合二元二次方程组的条件，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查二元二次方程组的识别，掌握该定义是求解本题的关键． 【方法总结】 利用二元二次方程的概念判断一个方程是否为二元二次方程时，三个条件缺一不可. 根据二元二次方程（组）的解求字母的值（或范围） 例2 （23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 审题关键：本题考查了方程的解的定义，理解方程解的定义是解题的关键．将，代入方程，求出的值即可求解． 【答案】3 【详解】将，代入方程得， ，解得， ． 故答案为：3． 【变式2-1】关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由①得出x=m+y③，把③代入②得出y2-2（m+y）+3y+4=0，整理后得出y2+y+（4-2m）=0，根据已知方程组有实数根和根的判别式得出12-4×1×（4-2m）≥0，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 整理得：， 关于、的方程组有实数解， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，根的判别式，解一元一次不等式等知识点，能把方程组转化成一元二次方程是解此题的关键． 【变式2-2】若关于和y的二元二次方程有一个解是，则的值为 ． 【答案】3 【分析】把方程的解代入方程，求出m即可． 【详解】解：把方程的解代入二元二次方程，得4-m=1， ∴m=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二元二次方程的解，掌握方程解的意义是解决本题的关键． 【解题技巧总结】 二元二次方程组的三个特征:(1)都是整式方程;(2)含有两个未知数:(3)含有未知数的项的最高次数是2. 将二元二次方程化为两个一元方程 例3 把方程化为两个二元一次方程，它们是 和 ． 审题关键：先把方程左边分解得到，则原方程可转化为或． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，解题的关键是通常利用换元法或因式分解法把高次方程化为一元二次方程求解． 【变式3-1】二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【答案】x-6y=0或x+y=0 【分析】把y看成常量，方程就是关于x的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可． 【详解】解：x2-5xy-6y2=0， （x-6y）（x+y）=0， ∴x-6y=0或x+y=0． 故答案为：x-6y=0或x+y=0． 【点睛】本题考查了二元二次方程，把y看成常量，方程看成关于x的一元二次方程是解决本题的关键． 【变式3-2】把二元二次方程x2﹣y2﹣2x+2y＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 和 ． 【答案】 x+y-2=0 x-y=0 【分析】把二元二次方程x2﹣y2﹣2x+2y＝0的左边分解成几个因式的积，可以变为（x+y﹣2）（x﹣y）＝0，进而即可解决问题． 【详解】解：∵x2﹣y2﹣2x+2y＝0， ∴（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝0， ∴（x+y﹣2）（x﹣y）＝0， ∴x+y﹣2＝0或x﹣y＝0． 故答案为：x+y﹣2＝0或x﹣y＝0． 【点睛】本题主要考查二元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解题的关键． 【变式3-3】将二元二次方程化为两个一次方程为 ． 【答案】和 【分析】二元二次方程的中间项，根据十字相乘法，分解即可． 【详解】解：， ， ∴，． 故答案为：和． 【点睛】本题考查了高次方程解法和分解因式的能力．熟练运用十字相乘法，是解答本题的关键． 代入法解二元二次方程组 例4 （2024·上海·三模）解方程组． 审题关键：先由①得到，再把代入②中得到关于y的一元二次方程，解方程即可． 【答案】或 【详解】解： 由①得：， 把代入②得：， 整理得， 解得或， 当时，， 当时， ∴原方程组的解为或． 【变式4-1】解方程组：． 【答案】或 【分析】由①可得，，代入将③代入②得，求出，，然后代入求解即可． 【详解】 由①可得， 将③代入②得， 整理得， 或 解得， 将代入③得，； 将代入③得，． ∴方程组的解为或． 【点睛】本题考查了二元二次方程组解法，解题关键是通过因式分解将二元一次方程组转化为两个二元一次方程组解答． 【变式4-2】解方程组：． 【答案】或 【分析】方程组利用代入消元法得到，然后解一元二次方程求出，，然后代入求解即可． 【详解】解： 由①，得：， 将③代入②，得：， 整理得， 即 ∴或 解得， 将代入③得，； 将代入③得，； ∴方程组的解为或． 【点睛】本题考查解二元二次方程组，能够熟练掌握代入消元法和解一元二次方程的方法是解决本题的关键． 【变式4-3】（22-23八年级下·上海宝山·期末）解方程组∶． 【答案】， 【分析】由第一个方程得到，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出，再回代第一个方程中即可求出． 【详解】解：由题意：， 由方程①得到：，再代入方程②中： 得到：， 进一步整理为：或， 解得，， 再回代方程①中，解得对应的，， 故方程组的解为：和． 【点睛】本题考查了代入消元法解方程及二元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即可． 单个方程因式分解法解二元二次方程组 例5 （23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程组： 审题关键将二次方程组转化成一次方程组求解是解题的关键．将第二个方程化简为，得到或，再由由①③组成方程组和由①④组成方程组，求解即可． 【答案】或 【详解】解： 由②得： ∴或 由①③组成方程组为：， 解得：； 由①④组成方程组为：， 解得：， ∴原方程组解为：或． 【变式5-1】（23-24八年级下·上海长宁·期末）解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解题的关键． 由得或，从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可． 【详解】解：， 将②变形可得， 即或， 故方程组可变形得或， 解得或， 故原方程组的解为或． 【变式5-2】（23-24八年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解题的关键． 由得或，从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可． 【详解】解：， 将变形可得， 即或， 故方程组可变形得或， 解得或， 故原方程组的解为或． 【变式5-3】（2024·上海长宁·二模）解方程组： 【答案】或． 【分析】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解题的关键． 由方程②得③或④，再由①③和①④组成两个方程组，再求出方程组的解即可． 【详解】解： 由方程②得， ∴或，即③或④， ∴原方程组为或， 解得或， 答：方程组的解为或． 两个方程因式分解法解二元二次方程组 例6 （22-23八年级下·上海杨浦·期末）解方程组： 审题关键：首先对原方程组中的第一个方程进行化简，用含y的表达式表示出x，然后分别重新组合，成为两个方程组，最后解这两个方程组即可． 【答案】， 【详解】解：方程可变形为， 即为或， ∴原方程组可变形为两个方程组①，②； 解方程组①，得， 解方程组②，得， ∴原方程组的解为，． 【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，关键在于对原方程组的两个方程进行化简，重新组合． 【变式6-1】（20-21八年级下·上海杨浦·期中）解方程组：． 【答案】，，，， 【分析】将原方程通过公式法和因式分解方进行变形，从而得到新的二元一次方程组，利用消元法解方程组即可得到答案． 【详解】解：由得， ∴或， 由得， ∴或， ∴或或或， 解方程组得，，，， 故方程组的解为，，，． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是将原方程进行变形，得到新的方程组． 【变式6-2】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）． 【答案】，，， 【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可． 【详解】解： 将①因式分解得：， ∴或 将②因式分解得： ∴或 ∴原方程化为：，，， 解这些方程组得：，，， ∴原方程组的解为：，，，． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组． 【变式6-3】解方程组 【答案】，，， 【分析】本题主要考查解高次方程，关键在于对原方程组的两个方程进行化简，重新组合． 首先对原方程组进行化简，然后分别重新组合，成为4个方程组，最后解这两个方程组即可． 【详解】解： 方程①可变形为． 得或． 方程②可变形为． 得或． 因此，原方程组可组成以下四个二元一次方程组： ，，，． 分别解这四个方程组， 得原方程组的解是，，，． 【变式6-4】（22-23八年级下·上海徐汇·期末）解方程组： 【答案】原方程组的解为，，， 【分析】将因式分解或，再进行分类讨论即可． 【详解】解：， 由，得， 或． 原方程组可化为或者． 解方程组得，； 解方程组或者得，． 原方程组的解为：，，，． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 【易混易错提醒】 将每个方程因式分解后，组成新的方程组时，不要遗漏任何一个方程组. 【例1】方程组的解只有一组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件表示方程组的解，再求的范围． 【详解】解：， 由，得或， ，． 当时，代入得：， 原方程组的一组解为：， 当时，代入得：， 原方程只有一组解， 无解， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解，根据第一个方程，求得，是解题的关键． 【例2】方程组有两组相等的实数解，则的值为 ． 【答案】 【分析】将方程②变形为，代入①式中，根据一元二次方程有2个相等实根进行求解即可 【详解】 由②得③， 将③代入①得：， 整理得：， 原方程组有两组相等的实数解， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元二次方程有相等实数解，转化为一元二次方程有相等实数解是解题的关键． 1．解方程组时，可以先把这个方程组化为方程组 和 ． 【答案】 【分析】把化为：或从而原方程组可以化为两个方程组可得答案． 【详解】解：由，所以或， 所以原方程组化为：或 故答案为：（1）（2） 【点睛】本题考查解二元二次方程组时降次的方法，掌握降次的方法是解题关键． 2．（2024·上海杨浦·一模）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先把方程组化为或，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得：， ∴， ∴或， ∴或， 解得：或． 3．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先变形（1）得出，，作出两个方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：， 由（1）得出，， 故有或 解得：或 原方程组的解是或． 4．（22-23八年级下·上海宝山·期中）解方程组：． 【答案】或或 或 【分析】将第二个方程分解因式，降次后得到两个方程，将它们重新组合成两组方程组，解出组合后的方程组即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴原方程组等价于下列两个方程组：   ， 解方程组①得到两组解： ，， 解方程组②得到另两组解： ，， 故方程组的解为： 或或 或 【点睛】本题考查解二元二次方程组，将其中一个方程因式分解，达到“降次”的目的，然后重组方程组，化为两个二元二次方程组，每个二元二次方程组中有一个方程是一次方程．“降次“是解题的关键． 5．（22-23八年级下·上海静安·期末）解方程组： 【答案】，，， 【分析】由方程，得到x与y的关系，把x与y的关系代入中，求出y的值，再求出x的值得到方程组的解． 【详解】∵ ∴， ∴或， 把代入中可得，解得， 即或， 把代入中可得，解得， 即或， 所以原方程组的解为：，，，． 【点睛】本题考查了解高次方程，解高次方程的思路是降次，把它转化成二次方程或一次方程；本题通过因式分解法达到降次的目的． 6．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）用换元法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可化为，求出，从而得到，求解即可． 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 解得， 于是，得， 得， 检验：把，代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值不为零， 原方程组的解是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$