专题01 整式方程、二元二次方程重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题01 整式方程、二元二次方程重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 一元整式方程 题型二 二项方程 题型三 无理方程的概念 题型四 解无理方程 题型五 无理方程转化为整式方程 题型六 判断无理方程解的情况 题型七 二元二次方程(组)判断 题型八 二元二次方程组的解法 题型九 根据换元法解二元二次方程组 题型十 方程组的应用 题型十一 无理方程的阅读材料问题 知识点01 整式方程 1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数. 2.含字母系数的一元一次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程； 求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！ 3．含字母系数的一元二次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程； 解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式； 一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程. 5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为： . 二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根. 知识点02无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程. 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程； 代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程. 3.无理方程的解法 （1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解； （2）一般步骤： 知识点03二元二次方程组与列方程（组）解应用题 1.二元二次方程 2.二元二次方程组 3.二元二次方程组的解法 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. (3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题 【经典例题一 一元整式方程】 【例1】（23-24八年级下·上海宝山·期末）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知x2＝x+1，将所求式子变形为x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1再求解即可． 【详解】解：∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1， ∴x3﹣2x2+2x+1 ＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1 ＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1 ＝x2+x﹣1 ＝（x+1）+x﹣1 ＝2x， ∵x2﹣x﹣1＝0， ∴， ∴， 解得x＝或x＝， ∵x＞0， ∴x＝， ∴x3﹣2x2+2x+1＝1+， 故选：B． 【点睛】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方程的根是解题的关键． 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）在解分式方程+=2时，去分母后变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x-1和1-x互为相反数，可得1-x=-（x-1），所以可得最简公分母为x-1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母． 【详解】方程两边都乘以x-1， 得：3-（x+2）=2（x-1）． 故答案选A． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边都乘以最简公分母. 2．（23-24八年级下·上海徐汇·课后作业）如果方程有一个解是，则点在直线 上 【答案】y=-x+1. 【分析】由方程的解的定义，把x=-1代入方程ax4+bx2-1=0得到a+b-1=0即可作出判断． 【详解】解：∵方程ax4+bx2-1=0有根x=-1， ∴a+b-1=0， ∴b=-a+1， ∴点（a，b）在直线 y=-x+1上． 故填：y=-x+1. 【点睛】本题考查了方程的解的定义．能够使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解． 3．（24-25八年级下·上海静安·期中）计算： (1) (2) (3)解二元一次方程组： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别根据乘方，绝对值，零次幂，负整数指数幂求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （3）运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查乘方、负整数指数幂，零次幂，二次根式的混合运算，解二元一次不等式组，掌握相关的运算法则是解题的关键． 【经典例题二 二项方程】 【例2】（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，直线和直线相交于点，则关于x，y的方程组，的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和直线相交于点，即可确定方程组，直接求解即可． 【详解】解：根据题意，可得方程组， 根据函数图像与方程组解的关系可知，函数图像的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解，则根据直线和直线相交于点得， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系：函数图像的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解是解题的关键． 1．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）下列方程中，二项方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二项方程的判断，如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，不是二项方程，不符合题意； B、是二项方程，符合题意； C、是一元二次方程，不是二项方程，不符合题意； D、是一元一次方程，不是二项方程，不符合题意； 故选B． 2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）一次函数与图像之间的位置关系是 ，这说明方程组解的情况是 ． 【答案】 平行 无解 【分析】根据一次函数y=2x与y=2x+ 1的自变量系数k相等判断图像平行，由平行得两条直线没有交点判断方程组无解． 【详解】解∶∵一次函数y=2x与y=2x+ 1的自变量系数k相等， ∴一次函数与图像的位置关系是平行， ∴一次函数与的图像没有交点， ∴方程组无解， 故答案为∶平行，无解． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的综合求解，利用数形结合的思想是解题的关键． 3．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程： （1）直接利用公式法解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解： 去分母的得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【经典例题三 无理方程的概念】 【例3】（2024·上海·三模）下列方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解无理方程，分别解二次根式的意义及无理方程逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴无解；该选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴无解；该选项不符合题意； C、∵， ∴， 解得该不等式组无解， ∴无实数解；原方程不符合题意； D、∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故方程有实数根，符合题意； 故选D． 1．（23-24八年级下·上海崇明·期中）下列说法正确的是（   ） A．是无理方程 B．是二次方程 C．是二元二次方程 D．是分式方程 【答案】C 【分析】本题考查无理方程，二元二次方程，一元二次方程等知识，解题的关键是掌握无理方程，二元二次方程，一元二次方程的定义． 根据二元二次方程，无理方程，分式方程的定义一一判断即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，本选项不符合题意； B、是一元二次方程，本选项不符合题意； C、是二元二次方程，本选项正确，符合题意； D、，是无理方程，本选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）若x满足成立，则x的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了无理方程，正确进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 经检验，符合题意 ， 故答案为7． 3．（2024八年级下·上海嘉定·阶段练习）下列方程哪些是无理方程？ （1）=0；　 （2）=0；　 （3）=0； （4）（a是常数）． 【答案】（1）（2）（3）是无理方程 【分析】根据无理方程的定义判断即可． 【详解】解：（1）（2）（3）被开方数含有未知数，是无理方程；（4）是一元一次方程； 答：（1）（2）（3）是无理方程． 【点睛】本题考查了无理方程，掌握无理方程的定义是解决本题的关键． 【经典例题四 解无理方程】 【例4】（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列无理方程有解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式双重非负性逐一判断即可得． 【详解】解：A、由知，此方程无实数解； B、由题意得，解得无解知，此方程无实数根； C、由题意得，解得知，此方程有实数根； D、由题意得，解得无解知，此方程无实数根； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理方程，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 1．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查根式方程的解.先采用换元法令，则，观察可得：，再进行化简可得：，再平方可得方程，解方程可求出方程的解. 【详解】解：设， 则， 观察可得：， 化简可得：， 所以， 即， 两边同时平方可得：， 解方程可得：，， 经检验，，是原方程的解， 故答案为：， 2．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查根式方程的解.先采用换元法令，则，观察可得：，再进行化简可得：，再平方可得方程，解方程可求出方程的解. 【详解】解：设， 则， 观察可得：， 化简可得：， 所以， 即， 两边同时平方可得：， 解方程可得：，， 经检验，，是原方程的解， 故答案为：， 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，将无理方程转化为有理方程是解题的关键． 按照题干中的步骤，先等式两边同时平方，再进行解方程，最后验根即可， 【详解】解：按照上述过程可将等式两边同时平方，转化为整式方程 即 ， 解整式方程得，， 将检验，代入，不符合题意，舍去，符合题意， 即是原方程的解， 故答案为． 【经典例题五 无理方程转化为整式方程】 【例5】（23-24八年级下·上海普陀·期末）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解方程：． 【答案】方程的解为， 【分析】本题考查了换元法解无理方程，设，则原方程变形为，解得：，，分两种情况，分别计算即可得出答案，理解题意，正确使用换元法是解此题的关键． 【详解】解：设，则原方程变形为：， 解得：，， 当时，，方程无实数解， 当时，， ∴， 解得：，， 经检验，，是原方程的解， ∴方程的解为，． 1．（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，例如：我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为．通过转化求出方程的根为（   ） A．5 B． C．5或 D．3或1 【答案】A 【分析】此题考查了无理方程和一元二次方程的解法，根据题意求出，把原方程转化为，因式分解法解一元二次方程，并舍去不合题意的根即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ， 方程两边平方得到， 则， 即， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴方程的根为， 故选：A 2．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，将无理方程转化为有理方程是解题的关键． 按照题干中的步骤，先等式两边同时平方，再进行解方程，最后验根即可， 【详解】解：按照上述过程可将等式两边同时平方，转化为整式方程 即 ， 解整式方程得，， 将检验，代入，不符合题意，舍去，符合题意， 即是原方程的解， 故答案为． 3．（23-24八年级下·上海金山·期末）阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把她转化为一元一次方程来解，求解三元一次方程组，需要把它转化为二元一次方程组来解：求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程x=0和，可得原方程的解． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∵且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程： (2)解方程： 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）等号右边为0，将左边分解因式，即可得或，从而求出方程的解； （2）将两边平方，化为整式方程即可求解，再检验可得原方程的解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，，； （2）， ∴， 整理得：， 解得：，， 经检验：是原方程的解，是增根， ∴． 【点睛】本题考查解高次方程和无理方程，解题的关键是读懂阅读材料，把未知转化为已知，注意解无理方程必须检验． 【经典例题六 判断无理方程解的情况】 【例6】（23-24八年级下·上海·单元测试）下列判断错误的是（   ） A．方程没有负数根 B．方程的解的个数为2 C．方程没有正数根 D．方程的解为 【答案】D 【分析】解各个方程即可得到结论． 【详解】A. ∵， ∴ 解得， 经检验，x=-1，是增根， ∴原方程的解为：x=4. 故选项A判断正确. B. 方程两边同时平方得， ， ∴ ∴ 解得，，， 经检验，x=-1是增根. ∴，是原方程的解， 故B判断正确； C. 方程两边同时平方得， 解得，x=0，或x=7， 经检验，x=7是增根， ∴原方程的解为：x=0， 故选项C判断正确； D.根据题意得， 解得，x=-3. 故选项D判断错误， 故选D. 【点睛】本题考查了无理方程，分式方程，一元二次方程的解法，熟练掌握解各种方程的方法是解题的关键． 1．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．方程是二元二次方程； B．方程不是分式方程； C．判断一个方程是否是无理方程的关键就是看方程中是否出现了根号，如果出现了根号，那么就是无理方程； D．方程组是二元二次方程组． 【答案】D 【详解】解：选项A，方程是分式方程，错误，不符合题意， 选项B，方程是分式方程，错误，不符合题意， 选项C，判断一个方程是否是无理方程的关键就是看根号下是否出现未知数，如果出现了根号，那么就是无理方程，错误，不符合题意， 选项D，方程组是二元二次方程组，正确，故符合题意， 故选：D 2．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）若方程：有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵，即：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理方程，根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式是解答本题的关键． 3．（23-24八年级·上海宝山·单元测试）某同学作业本上做了这么一道题：“当a=时，试求a+的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为 ，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理． 【答案】不对 【分析】根据二次根式的性质=|a|，可得答案． 【详解】不正确，当时，； 当时，. 因此，该同学所求得的答案为肯定是不正确的. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质是解题关键． 【经典例题七 二元二次方程(组)判断】 【例7】（2024八年级下·上海静安·专题练习）在下列判断中，正确的是（     ） A．方程是二元一次方程 B．方程是一元二次方程 C．方程是分式方程 D．方程是无理方程 【答案】B 【分析】由二元二次方程方程定义判断A，特别是注意这样的项的次数是2， 由一元二次方程定义判断B与D，由一元一次方程定义判断C． 【详解】解：是二元二次方程，所以A错误， 即是一元二次方程所以B正确， 是整式方程中的一元一次方程，所以C错误， 方程中只是系数出现无理数，是一元二次方程所以D错误． 故选B． 【点睛】本题考查的是各种方程的定义，掌握各种方程的定义是解题关键． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）已知n是奇数，m是偶数，方程有整数解x0、y0，则（    ） A．x0、y0均为偶数 B．x0、y0均为奇数 C．x0是偶数，y0是奇数 D．x0是奇数，y0是偶数 【答案】C 【分析】运用n是奇数，m是偶数，分析方程的奇偶性，从而确定x0，y0的奇偶性． 【详解】解：方程有整数解x0，y0， ∴2018x0＋3y02＝n，13x0＋28y0＝m ∵x0，y0为整数， ∴2018x0为偶数，28y0为偶数， ∵n是奇数，m是偶数， ∴3y02是奇数，13x0为偶数， ∴y0是奇数，x0为偶数， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解以及奇数和偶数的性质，掌握方程的解的定义以及奇偶数的性质，是解题的关键. 2．（23-24八年级下·上海虹口·期中） 方程组的解（填“是”或“不是”）． 【答案】不是 【分析】把代入原方程组的两个方程即可得到答案． 【详解】解：把代入原方程组中的中， 方程左边＝右边，所以不是原方程组的解． 故答案为：不是． 【点睛】本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期中）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （3）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据新运算法则及已知条件列出关于a、b的二元一次方程组即可得到解答； （2）由题意可得关于x、y、m的三元一次方程组，利用消元法消去x、y即可得到m的值； （3）令，则由题意可得 ，从而可以求得原方程组的解 ． 【详解】解：（1）由题意可得： 解得； （2）由题意可得： ①+②并整理得：x=m+1， ②-①并整理得：y=3m-2， 把x=m+1，y=3m-2代入③并整理得：4m=4， ∴m=1； （3）解为 对 令， ∴ ∴ ∴①，即 ②，即 【点睛】本题考查二元方程组的解，把二元高阶方程组转化为二元一次方程组求解是解题关键． 【经典例题八 二元二次方程组的解法】 【例8】（2024八年级下·上海·专题练习）方程组的所有整数解的组数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据幂为1，可以判断底数为1，或指数为零，底数不为零，或底数为﹣1，指数为偶数三种情况，分三种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴y＝1或 或， ①当y＝1时， ∵x+y＝1， ∴x＝0， ∴； ②当x2+3x+2＝0 时， （x+2）（x+1）＝0， 解得x＝﹣2或x＝﹣1， 当x＝﹣2时， ﹣2+y＝1， ∴y＝3， 当x＝﹣1时， ﹣1+y＝1， ∴y＝2， 所以或； ③当y＝﹣1时，﹣1+x＝1， ∴x＝2， 此时 x2+3x+2＝4+6+2＝12， ∴符合题意， 综上所述所有整数解的组数为4， 故选：C． 【点睛】本题考查了方程组的整数解问题，关键是根据幂为1，判断出底数和指数的大小． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知关于x的一元四次方程x4+px2+qx+r=0有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（　　）个 ①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设三个相等的根为m，另一个与之不同的根为n，则（x﹣m）3（x﹣n）=0，展开得：x4﹣（3m+n）x3+（3m2+2m+mn）x2﹣（m3+3m2n）x+m3n=0，根据对应项系数相等即可得出答案． 【详解】解：设三个相等的根为m，另一个与之不同的根为n，则（x﹣m）3（x﹣n）=0， 展开得：x4﹣（3m+n）x3+（3m2+2m+mn）x2﹣（m3+3m2n）x+m3n=0， ∴根据对应项系数相等：3m+n=0，3m2+2m+mn=p，﹣（m3+3m2n）=q，m3n=r， 把n=﹣3m代入得：p=2m，q=8m3，r=﹣3m4， 故当m＜0时，p＜0，q＜0，r＜0， 当m＞0时，p＞0，q＞0，r＜0， 故p+r=q可能成立，q+r=p可能成立． 故选C． 2．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）写出一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，使它的解是；，那么该方程组可以是 ． 【答案】 【分析】解答本题时，首先观察给出的两组解的特点，发现两组解中第一组中的与第二组中的互为相反数，第一组中的与第二组中的互为相反数，所以可以肯定的是无论哪组中的与的差都是，两组中的与的积都是，所以得到符合题意的一组方程组． 【详解】解：由题可得： ∵，，，， ∴， 故填：． 【点睛】本题考查了二元一次方程和一个二元二次方程，熟练掌握其定义是解此题的关键． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：方程的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值． （2）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，它的解为a，求的值． （3）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据差解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据差解方程的定义即可得出关于、的二元二次方程组，解之得出、的值即可得出答案； （3）根据差解方程的概念列式得到关于、的两个方程，联立求解得到、的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）由题意可知，由一元一次方程可知， ， 解得； 故答案为：； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， 又方程的解为， ， 解得，， ； 故答案为：． （3）一元一次方程是“差解方程”， 由题意可知，由一元一次方程可知， ， 解得①； 一元一次方程是“差解方程”， 同理可得②， ①－②得，． ∴ ． 【点睛】本题考查新定义问题、一元一次方程的解，理解题目中“差解方程”的意义是解题的关键． 【经典例题九 根据换元法解二元二次方程组】 【例9】（23-24八年级下·全国·课后作业）用换元法解方程（x2+3x+4）（x2+3x+5）=6时，设x2+3x=y，原方程变形为（　　） A．y2﹣9y+14=0 B．y2+9y﹣14=0 C．y2+9y+14=0 D．y2+9y+16=0 【答案】C 【详解】此题用换元法使原方程变形． 解：∵x2+3x=y， 则原式可化为（y+4）（y+5）=6 整理得y2+9y+14=0 故选C． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）方程组的解是（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【详解】由于第2个方程能分解成两个方程，故再组成两个方程组后分别求得． 解：原方程组可化为： 即（1）， 或-（2）． 由（1）得，y2+y=0，方程组的解为，； 由（2）得，2y2﹣4y+3=0，△=16﹣4×2×3=﹣8＜0，无解． 故选B． 2．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）把方程化为两个二元一次方程，它们是 和 ． 【答案】 【分析】先把方程左边分解得到，则原方程可转化为或． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，解题的关键是通常利用换元法或因式分解法把高次方程化为一元二次方程求解． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1， 所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为， 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组， （2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值与xy的值； （3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解． 【答案】（1）；（2）x2+4y2=17，xy=2；（3）或 【分析】（1）把第2个方程变形为3（3x−2y）＋2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解； （2）把第2个方程变形为，再与第1个方程相加，即可求解； （3）在（2）的条件下可知x，y同号，进而即可求解． 【详解】解：（1）， 把②变形为9x−6y＋2y＝19，即3（3x−2y）＋2y＝19③． 把①代入③，得3×5＋2y＝19， ∴y＝2． 把y＝2代入①，得3x−2×2＝5， ∴x＝3． ∴方程组的解为； （2）， 把②变形为：③， 由①+③得：，解得：x2+4y2=17， 把x2+4y2=17，代入②得：2×17+xy=36，解得：xy=2， 综上所述：x2+4y2=17，xy=2； （3）在（2）的条件下：x，y同号， ∵x，y为整数， ∴或． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，掌握解方程组的方法和步骤是关键，注意整体思想的运用． 【经典例题十 方程组的应用】 【例10】（2024八年级下·上海·模拟预测）若表示不超过的最大整数，有序正整数组满足，且，则满足条件的数组共有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】本题考查了二次方程的整数解问题，不等式的应用，正确求出相关量的取值范围是解答本题的关键．设，，，，a，b，c均为正整数，得到，然后求出c的取值范围，再讨论c的值，即可求得a，b的值，从而得到，，，再列出不等式，即可逐步求得答案． 【详解】设，，，，a，b，c均为正整数， 则， ，且，，，均为正整数， ，，，， ，，， 又， ， 当时，， 解得， 这与不符，舍去； 当时，， 方程无正整数解，舍去； 当时，， 解得， 所以，，， ，，， ①，②，③， 解不等式①得，， 当时，解不等式②得，或， 当，时，解不等式③得，或， 当，时，解不等式③得，或（舍去）， 所以满足题意得有序正整数组有3组：，，． 故选B． 1．（23-24八年级下·上海静安·课后作业）方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是（  　 ） A． B． C． D．，且 【答案】C 【分析】首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解. 【详解】 由②，得③ 将③代入①，得 ∵方程组有四组不同的实数解， ∴且两根之积 ∴ 故选：C. 【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式. 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 ． 【答案】1000（1+x）2=1331 【详解】由于某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时设这三年中每年的增长率为x，那么第二年变为1000（1+x），然后依此类推即可列出方程． 解：∵企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，这三年中每年的增长率相同， ∴设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 1000（1+x）2=1331． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）小亮利用8个同样大小的长方形小木块拼成下面两个图形，经测量得知图②中的小正方形（阴影部分）的面积为，则一个长方形小木块的周长为 . 【答案】16 【分析】仔细观察图形，发现本题中2个等量关系为：小长方形的长小长方形的宽，（小长方形的长小长方形的宽小长方形的长小长方形的宽．根据这两个等量关系可列出方程组，即可求出小长方形的周长． 【详解】解：设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为． 由题意，得， 解得． 小长方形的周长为， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的对边相等及正方形的面积个小长方形的面积小正方形的面积是关键． 【经典例题十一 无理方程的阅读材料问题】 【例11】（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1) (2)． (3) 【答案】(1)，，， (2)， (3)， 【分析】本题考查换元法解方程，根据题目换元法思路解题即可； （1）设，则原方程可变为，解方程即可； （2）设，则原方程可变为，解方程即可； （3）设，则原方程可变为，解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可变为， 解得，， 当时，，所以； 当时，，所以； 所以原方程有四个根：，，，； （2）解：设，则原方程可变为， 去分母得， 解得，， 经检验，是的根， 当时，，解得，经检验是的根； 当时，，解得，经检验是的根； 所以原方程有两个根：，； （3）解：设，则原方程可变为， 解得，， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以原方程有两个根：，． 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）阅读下列材料： 解方程：． 分析：我们可以用“换元法”解方程． 解：设，则， 原方程可化为：， 请你将剩下的解题过程补充完整，并求出的值．    【答案】， 【分析】利用换元法思想设，将方程化为即可解答． 【详解】解：∵， 设，则， 原方程可化为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了利用换元法解方程，熟练运用换元思想是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期中）（1）阅读材料：方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”——化未知为已知，利用“转化思想”，我们还可以解一些新的方程．像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项，得， 两边平方，得， 解这个一元二次方程，得，． 检验所得到的两个根，发现只有________是原无理方程的根． （2）理解应用： ①方程的解是________； ②解方程． 【答案】（1）；（2）①，；② 【分析】（1）根据阅读材料，先根据解法解方程，然后通过检验可确定解得的根是不是原方程的根； （2）①仿照（1）中的解方程的方法求解即可；②仿照（1）中的解方程的方法求解即可． 【详解】（1）将，分别代入中检验得， 明显没有意义， ∴是原无理方程的根， 故答案是； （2）①由得：，或， 解得：，， 经过检验所得到的两个根都是原无理方程的根， 故答案为：，； ②∵， 移项，得， 两边平方，得， 解这个一元二次方程，得，， 检验所得到的两个根，发现只有是原无理方程的根． 【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，要注意验根． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是，　 　，　 　； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】（1）解一元二次方程，即可得答案； （2）两边同时平分，解一元二次方程并需要检验二次根式是否有解. 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴或或， ∴，，． 故答案为：；1． （2）解：方程两边平方， ∴， ∴， ∴， ∴，， 经检验，是原方程的解，是原方程的增根， ∴原方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了解方程，解题的关键是将方程进行转化，注意对方程的解进行检验． 1．（2024·上海闵行·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键． 由题意得，，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）已知关于x的方程没有实数根，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式方程无解问题，根据二项方程无解，则未知数的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， ∴； 故选C． 3．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） （1）关于的方程既是分式方程，又是无理方程； （2）关于的方程是二项方程； （3）关于的方程是二元二次方程； （4）关于的方程是无理方程． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义和无理方程的定义对（1）进行判断；根据一元二次方程定义对（2）（4）进行判断；根据二元二次方程的定义对（3）进行判断． 【详解】解：关于的方程不是分式方程，是无理方程，所以（1）错误； 关于的方程是二次方程，所以（2）错误； 关于的方程是二元二次方程，所以（3）正确； 关于的方程是一元二次方程，所以（4）错误． 所以，正确的个数共有1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．也考查了高次方程和分式方程的定义． 4．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示（q≠0).如果 ，，且q>0，则= （    ）. A．4 B．8 C． D．6 【答案】A 【详解】由题意得，a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，所以a1+a1q3=18①，a1q+a1q2=12②，联立方程①②，解得a1=2，q=2，则a2=a1q=2×2=4，故选A. 5．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）一次函数y＝kx＋b的图像与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA＋OB＝6（O为坐标原点），且＝4，则这个一次函数的解析式为    （　　） A．y＝－x＋2 B．y＝－2x＋4 C．y＝x＋2 D．y＝－x＋2或y＝－2x＋4 【答案】D 【分析】首先根据题意设A（x，0），B（0，y），再根据“OA+OB=6（O为坐标原点）．且S△ABO=4，”可得方程组，再解出x、y的值，进而得到A、B两点坐标．然后再利用待定系数法求出一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． ∴设A（x，0），B（0，y）， ∵OA+OB=6（O为坐标原点）．且S△ABO=4， ∴， 解得：或， ∴A（2，0）、B（0，4）或A（4，0）、B（0，2）， 当过点A（2，0）、B（0，4）时 ，解得：； 当过点A（4，0）、B（0，2）时， ，解得：， ∴这个一次函数的解析式为或 故选：D． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是根据题意计算出一次函数图象所经过的点的坐标． 6．（23-24八年级下·全国·期末）用配方法解一元二次方程，则方程可化为 ． 【答案】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上16变形即可得到结果． 【详解】方程移项得：， 配方得：，即． 故答案为． 【点睛】此题考查的知识点是解一元二次方程-配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 7．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）已知关于x的方程是二项方程，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二项方程的定义，根据关于x的方程是二项方程，即不含这一项，可得． 【详解】解：∵关于x的方程是二项方程， ∴． 故答案为：0． 8．（2024·上海金山·一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2018 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 故答案为：2018． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键． 9．（23-24八年级下·上海普陀·期中）已知，是某个二元二次方程组的解，那么这个方程组可以是 ．(只要写出一种情况 【答案】（答案不唯一） 【分析】写出满足条件的两个二元二次方程或一个二元一次方程与一个二元二次方程组成的方程组即可． 【详解】解：满足解是，的二元二次方程组可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解得定义，掌握能使方程组中两个方程都成立的未知数的值是方程组的解是解决本题的关键． 10．（23-24八年级下·上海青浦·期中）请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外的方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特的方法，解决下列问题： 已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法，利用题干中的方法求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 将得，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·上海虹口·期末）对于任意实数，方程总有一个根1． （1）求实数，； （2）当时，求方程的另一个根． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由方程总有一个根1，把x=1代入化简得，由对任意实数，可得，解方程组即可； （2）把，，代入原方程，得，解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）对任意实数， 方程总有一个根1， ， 对任意实数，化简得， ， 解方程组得； （2）把，，代入原方程， 得， 解方程得，． 方程的另一个根为． 【点睛】本题考查方程总有一根为1求参数问题，利用实数k的性质构建方程，会解方程组与一元二次方程是解题关键． 12．（23-24八年级下·上海·课后作业）某起重机厂四月份生产A型起重机25台,B型起重机若干台.从五月份起, A型起重机月增长率相同,B型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A型起重机是B型起重机的2倍,六月份A、 B型起重机共生产54台.求四月份生产B型起重机的台数和从五月份起A型起重机的月增长率. 【答案】四月份生产B型起重机12台,从五月份起A型起重机的月增长率为20% 【分析】设四月份生产B型起重机x台,从五月份起A型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可. 【详解】解：设四月份生产B型起重机x台,从五月份起A型起重机的月增长率为y. 根据题意 ，可列方程组 解得：x=12,y=0.2 答：四月份生产B型起重机12台,从五月份起A型起重机的月增长率为20%. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系. 13．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）阅读小明用下面的方法求出方程． 解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或 经检验，或都是原方程的解． 所以，原方程的解为或． 请仿照他的方法，求出方程的解． 【答案】或 【分析】根据题目中的方法得到，解得或，经检验即可得到方程的解．此题考查了无理方程的解法，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． 【详解】解： 移项得，， 方程两边同时平方，得， 解得，或， 经检验或都是原方程的解． 所以，原方程的解为或． 14．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）阅读下列材料： 已知实数x，y满足，试求的值， 解：设，则原方程变为，整理得、，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的． 根据阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数x，y满足求的值 (2)填空：已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是 ； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）设，则原方程变为，然后根据平方差公式及开平方法可进行求解方程； （2）由题意易得方程组可变为，然后根据同解方程组可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， ∴， 解得：， 即或； （2）解：由方程组可变形为， 即， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解为， ∴． 15．（2024八年级下·上海·专题练习）（1）求直线与轴所围成的三角形的面积； （2）求直线与直线与轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）分别求出两直线的交点坐标以及它们与y轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （2）分别求出两直线的交点坐标以及它们与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）对于，当x=0时，y=-4， ∴直线与y轴的交点坐标为（0，-4）； 对于直线，当x=0时，y=2， ∴直线与y轴的交点坐标为（0，2）； 联立方程组， 解得， 如图所示， 所以这两条直线与轴围成的三角形面积为； （2）对于，当y=0时，x=2， ∴直线与x轴的交点坐标为（2，0）； 对于直线，当y=0时，x=， ∴直线与x轴的交点坐标为（，0）； 联立方程组 ， 解得， 如图所示， 所以这两条直线与x轴围成的三角形面积为； 【点睛】本题考查了两条直线的交点、求直线的解析式以及三角形的面积；求出交点坐标是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式方程、二元二次方程重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 一元整式方程 题型二 二项方程 题型三 无理方程的概念 题型四 解无理方程 题型五 无理方程转化为整式方程 题型六 判断无理方程解的情况 题型七 二元二次方程(组)判断 题型八 二元二次方程组的解法 题型九 根据换元法解二元二次方程组 题型十 方程组的应用 题型十一 无理方程的阅读材料问题 知识点01 整式方程 1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数. 2.含字母系数的一元一次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程； 求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！ 3．含字母系数的一元二次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程； 解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式； 一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程. 5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为： . 二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根. 知识点02无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程. 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程； 代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程. 3.无理方程的解法 （1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解； （2）一般步骤： 知识点03二元二次方程组与列方程（组）解应用题 1.二元二次方程 2.二元二次方程组 3.二元二次方程组的解法 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. (3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题 【经典例题一 一元整式方程】 【例1】（23-24八年级下·上海宝山·期末）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）在解分式方程+=2时，去分母后变形正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·课后作业）如果方程有一个解是，则点在直线 上 3．（24-25八年级下·上海静安·期中）计算： (1) (2) (3)解二元一次方程组： 【经典例题二 二项方程】 【例2】（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，直线和直线相交于点，则关于x，y的方程组，的解为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）下列方程中，二项方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）一次函数与图像之间的位置关系是 ，这说明方程组解的情况是 ． 3．（24-25八年级下·上海虹口·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【经典例题三 无理方程的概念】 【例3】（2024·上海·三模）下列方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海崇明·期中）下列说法正确的是（   ） A．是无理方程 B．是二次方程 C．是二元二次方程 D．是分式方程 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）若x满足成立，则x的值是 ． 3．（2024八年级下·上海嘉定·阶段练习）下列方程哪些是无理方程？ （1）=0；　 （2）=0；　 （3）=0； （4）（a是常数）． 【经典例题四 解无理方程】 【例4】（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列无理方程有解的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）方程的解为 ． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）方程的解为 ． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 【经典例题五 无理方程转化为整式方程】 【例5】（23-24八年级下·上海普陀·期末）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解方程：． 1．（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，例如：我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为．通过转化求出方程的根为（   ） A．5 B． C．5或 D．3或1 2．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 3．（23-24八年级下·上海金山·期末）阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把她转化为一元一次方程来解，求解三元一次方程组，需要把它转化为二元一次方程组来解：求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程x=0和，可得原方程的解． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∵且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程： (2)解方程： 【经典例题六 判断无理方程解的情况】 【例6】（23-24八年级下·上海·单元测试）下列判断错误的是（   ） A．方程没有负数根 B．方程的解的个数为2 C．方程没有正数根 D．方程的解为 1．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．方程是二元二次方程； B．方程不是分式方程； C．判断一个方程是否是无理方程的关键就是看方程中是否出现了根号，如果出现了根号，那么就是无理方程； D．方程组是二元二次方程组． 2．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）若方程：有解，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级·上海宝山·单元测试）某同学作业本上做了这么一道题：“当a=时，试求a+的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为 ，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理． 【经典例题七 二元二次方程(组)判断】 【例7】（2024八年级下·上海静安·专题练习）在下列判断中，正确的是（     ） A．方程是二元一次方程 B．方程是一元二次方程 C．方程是分式方程 D．方程是无理方程 1．（2024八年级下·全国·专题练习）已知n是奇数，m是偶数，方程有整数解x0、y0，则（    ） A．x0、y0均为偶数 B．x0、y0均为奇数 C．x0是偶数，y0是奇数 D．x0是奇数，y0是偶数 2．（23-24八年级下·上海虹口·期中） 方程组的解（填“是”或“不是”）． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期中）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （3）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【经典例题八 二元二次方程组的解法】 【例8】（2024八年级下·上海·专题练习）方程组的所有整数解的组数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知关于x的一元四次方程x4+px2+qx+r=0有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（　　）个 ①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）写出一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，使它的解是；，那么该方程组可以是 ． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：方程的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值． （2）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，它的解为a，求的值． （3）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【经典例题九 根据换元法解二元二次方程组】 【例9】（23-24八年级下·全国·课后作业）用换元法解方程（x2+3x+4）（x2+3x+5）=6时，设x2+3x=y，原方程变形为（　　） A．y2﹣9y+14=0 B．y2+9y﹣14=0 C．y2+9y+14=0 D．y2+9y+16=0 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）方程组的解是（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）把方程化为两个二元一次方程，它们是 和 ． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1， 所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为， 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组， （2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值与xy的值； （3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解． 【经典例题十 方程组的应用】 【例10】（2024八年级下·上海·模拟预测）若表示不超过的最大整数，有序正整数组满足，且，则满足条件的数组共有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 1．（23-24八年级下·上海静安·课后作业）方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是（  　 ） A． B． C． D．，且 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 ． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）小亮利用8个同样大小的长方形小木块拼成下面两个图形，经测量得知图②中的小正方形（阴影部分）的面积为，则一个长方形小木块的周长为 . 【经典例题十一 无理方程的阅读材料问题】 【例11】（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1) (2)． (3) 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）阅读下列材料： 解方程：． 分析：我们可以用“换元法”解方程． 解：设，则， 原方程可化为：， 请你将剩下的解题过程补充完整，并求出的值．    2．（23-24八年级下·上海宝山·期中）（1）阅读材料：方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”——化未知为已知，利用“转化思想”，我们还可以解一些新的方程．像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项，得， 两边平方，得， 解这个一元二次方程，得，． 检验所得到的两个根，发现只有________是原无理方程的根． （2）理解应用： ①方程的解是________； ②解方程． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是，　 　，　 　； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解． 1．（2024·上海闵行·一模）若是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）已知关于x的方程没有实数根，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）下列说法中，正确的个数有（    ） （1）关于的方程既是分式方程，又是无理方程； （2）关于的方程是二项方程； （3）关于的方程是二元二次方程； （4）关于的方程是无理方程． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示（q≠0).如果 ，，且q>0，则= （    ）. A．4 B．8 C． D．6 5．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）一次函数y＝kx＋b的图像与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA＋OB＝6（O为坐标原点），且＝4，则这个一次函数的解析式为    （　　） A．y＝－x＋2 B．y＝－2x＋4 C．y＝x＋2 D．y＝－x＋2或y＝－2x＋4 6．（23-24八年级下·全国·期末）用配方法解一元二次方程，则方程可化为 ． 7．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）已知关于x的方程是二项方程，那么 ． 8．（2024·上海金山·一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 9．（23-24八年级下·上海普陀·期中）已知，是某个二元二次方程组的解，那么这个方程组可以是 ．(只要写出一种情况 10．（23-24八年级下·上海青浦·期中）请阅读：小毛在解方程时采用了课本以外的方法： 由， 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你参考小毛独特的方法，解决下列问题： 已知，则a的值为 ． 11．（23-24八年级下·上海虹口·期末）对于任意实数，方程总有一个根1． （1）求实数，； （2）当时，求方程的另一个根． 12．（23-24八年级下·上海·课后作业）某起重机厂四月份生产A型起重机25台,B型起重机若干台.从五月份起, A型起重机月增长率相同,B型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A型起重机是B型起重机的2倍,六月份A、 B型起重机共生产54台.求四月份生产B型起重机的台数和从五月份起A型起重机的月增长率. 13．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）阅读小明用下面的方法求出方程． 解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或 经检验，或都是原方程的解． 所以，原方程的解为或． 请仿照他的方法，求出方程的解． 14．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）阅读下列材料： 已知实数x，y满足，试求的值， 解：设，则原方程变为，整理得、，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的． 根据阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数x，y满足求的值 (2)填空：已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是 ； 15．（2024八年级下·上海·专题练习）（1）求直线与轴所围成的三角形的面积； （2）求直线与直线与轴所围成的三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$