第05讲 无理方程与二元二次方程组（2个知识点+3种题型+分层练习）-2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第05讲 无理方程与二元二次方程组（2个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 知识点2．二元二次方程组 二元二次方程组． 二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法． 一般解法： 二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将y作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程．因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有实数解．将（3）代入（2）中，解出x，再根据（3）解出y． 二元二次方程组最多可能有四组解．用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法． 题型强化 题型一、无理方程 1．（21-22八年级下·上海杨浦·阶段练习）下列方程有实数解的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·上海杨浦·阶段练习）方程的根为 ． 3．（21-22八年级下·上海·阶段练习）解方程 题型二、二元二次方程和方程组 4．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024八年级下·上海·专题练习）二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 6．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）用换元法解方程组： 题型三、二元二次方程组的解法 7．（21-22八年级下·上海普陀·期中）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 9．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解方程组． 分层练习 一、单选题 1．下列方程中，属于无理方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，没有实数解的是（       ） A． B． C． D． 3．下列方程中有实数解的是（　　） A．x2+3x+4＝0 B．+1＝0 C．＝ D．＝﹣x 4．下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 5．方程2x5+x4﹣20x3﹣10x2+2x+1=0有一个实数根是（　　） A． B． C． D． 6．数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，例如：我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为．通过转化求出方程的根为（   ） A．5 B． C．5或 D．3或1 二、填空题 7．方程的解是 ． 8．方程的根是 ． 9．已知关于x的方程，则 ． 10．方程组的解是 ． 11．方程的实数解是 ． 12．方程的根是 ． 13．方程的解是 ． 14．无理方程（x+4）•＝0的解是 ． 15．方程＝3的解是 ． 16．已知是二元二次方程的一个解，那么的值是 ． 17．方程的根为 ． 18．若方程组（m是已知数）有两组不相等的实数解，则m的取值范围是 ． 三、解答题 19．列方程组解应用题：某车间10月份计划加工甲、乙两种零件共200个，由于采用新技术，实际产量为216个，其中甲零件超产10%，乙零件超产5%求，该车间10月份计划加工甲、乙零件各多少个？ 20．解方程： 21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车和3辆B型汽车的进价共计万元；辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元．求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ 22． 23．解方程组： 24．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元? 25．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由； (3)已知关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值. 26．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于，的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由； (3)已知关于，的二元一次方程：和（其中为整数）是“相伴方程”，求的值． 27．△ABC中，BC＞AC，CD平分∠ACB交于AB于D，E，F分别是AC，BC边上的两点，EF交于CD于H， （1）如图1，若∠EFC=∠A，求证：CE•CD=CH•BC； （2）如图2，若BH平分∠ABC，CE=CF，BF=3，AE=2，求EF的长； （3）如图3，若CE≠CF，∠CEF=∠B，∠ACB=60°，CH=5，CE=4，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 无理方程与二元二次方程组（2个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 知识点2．二元二次方程组 二元二次方程组． 二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法． 一般解法： 二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将y作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程．因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有实数解．将（3）代入（2）中，解出x，再根据（3）解出y． 二元二次方程组最多可能有四组解．用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法． 题型强化 题型一、无理方程 1．（21-22八年级下·上海杨浦·阶段练习）下列方程有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理方程 【分析】本题考查无理方程和分式方程，根据二次根式的性质，解无理方程和分式方程的步骤，逐一进行计算并判断即可． 【详解】解：A、方程可变为， ∵， ∴无实数根；不符合题意； B、， ∵，解得：， ∴不等式组无解， ∴方程无实数根；不符合题意； C、， 两边平方，得：，解得：或， 经检验，是原方程的根，是原方程的增根，舍去； ∴方程有实数解，符合题意； D、 方程去分母，得：， 移项，得：，此方程无实数根， ∴原方程无实数根，不符合题意； 故选C． 2．（21-22八年级下·上海杨浦·阶段练习）方程的根为 ． 【答案】 【知识点】无理方程 【分析】本题考查解无理方程，根据几个式子的积为0，则必有一个因式为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴或或， ∴或或， 检验：当或时，，无意义，当时，满足题意； ∴方程的根为：． 故答案为： 3．（21-22八年级下·上海·阶段练习）解方程 【答案】 【知识点】无理方程 【分析】本题考查了无理方程，理解转换思想是解题的关键．先通过两边平方把方程转化为有理方程，再求解． 【详解】解：， 移项得：， 两边分别平方得：， 移项、合并同类项得：， 两边再平方得：， 解这个整式方程得：或， 当时，左边右边， 不是原方程的解， 当时，左边右边， 是原方程的解， 原方程份解为． 题型二、二元二次方程和方程组 4．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了高次方程和二元二次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义（由两个整式方程组成，方程组中共含有两个不同未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2，这样的方程组叫二元二次方程组）是解此题的关键． 根据二元二次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； B．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2，是二元二次方程组，故本选项符合题意； C．方程组中两个方程是分式方程，不是整式方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； D．方程组中第一个方程是无理方程，不是有理方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．（2024八年级下·上海·专题练习）二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【答案】， 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，把看成常量，把看成常量，方程就是关于的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可，方程看成关于的一元二次方程是解决本题的关键． 【详解】解：， ， ，． 故答案为：，． 6．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）用换元法解方程组： 【答案】 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可化为，求出，从而得到，求解即可． 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 解得， 于是，得， 得， 检验：把，代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值不为零， 原方程组的解是． 题型三、二元二次方程组的解法 7．（21-22八年级下·上海普陀·期中）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】将分解因式，将x−y＝1代入可得x＋y＝3，据此可求出x，y． 【详解】解：由得：（x＋y）（x−y）＝3， ∵x−y＝1①， ∴x＋y＝3②， 由①＋②得2x＝4， 解得：x＝2， 把x＝2代入x−y＝1得y＝1， ∴方程组的解为， 故选：A． 【点睛】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是将二次方程通过因式分解和整体代换转化为解二元一次方程组． 8．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 【答案】3 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了方程的解的定义，理解方程解的定义是解题的关键．将，代入方程，求出的值即可求解． 【详解】将，代入方程得， ，解得， ． 故答案为：3． 9．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解方程组． 【答案】， 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了解二元二次方程组，先将方程①变形为，得或，从而组成两个方程组或，分别求解即可得出答案． 【详解】解：， 方程①可变形为，得或， 将它们分别与方程②组成方程组得或， 解方程组得：， 解方程组得：， ∴原方程组的解是，． 分层练习 一、单选题 1．下列方程中，属于无理方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程，即可逐一判断． 【详解】解：A、中被开方数不含有未知数，故A错误； B、符合定义，故B正确； C. 中被开方数不含有未知数，故C错误； D. 中被开方数不含有未知数，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了无理方程的判断，解题的关键是熟悉无理方程的概念． 2．下列方程中，没有实数解的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程，根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，解得：，故A选项不正确，不符合题意；     B. 方程两边同时乘以，得，， 解得：或， 经检验，是原方程的增根，原方程的解为， 故B选项不正确，不符合题意；     C. ，方程有实数解，故C选项不正确，不符合题意； D. ， ∴ 又∵ ∴原方程无实数解， 故选：D． 3．下列方程中有实数解的是（　　） A．x2+3x+4＝0 B．+1＝0 C．＝ D．＝﹣x 【答案】D 【分析】求出判别式即可判断A；根据算术平方根是一个非负数即可判断B；求出方程的解，代入x﹣3进行检验，即可判断C；解方程可得x＝0，进行检验，即可判断D． 【详解】解：A、x2+3x+4＝0， △＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0， 即此方程无实数解，故本选项错误； B、可得＝﹣1， ∵算术平方根是一个非负数， ∴此方程无实数解，故本选项错误； C、＝， 方程两边都乘（x﹣3）得：x＝3， ∵x＝3代入x﹣3＝0， ∴x＝3是原方程的增根，即原方程无解，故本选项错误； D、＝﹣x，x＝x2，解得x1＝0，x2＝1（是增根，舍去），故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号． 4．下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A. ， 两边平方得， 即， 解得，， 经检验是原方程的解， 故该选项有实数解，符合题意； B. ，即， 原方程无实数解，不符合题意； C. 移项得 两边平方得 原方程无实数解，不符合题意； D. 两边平方得： 即 原方程无实数解，不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 5．方程2x5+x4﹣20x3﹣10x2+2x+1=0有一个实数根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题可用分解因式，提取公因式，实现了降次，再解方程求解．注意，，，． 解：原方程可化为（2x5﹣20x3+2x）+（x4﹣10x2+1）=0，即（2x+1）（x4﹣10x2+1）=0． ∴2x+1=0或x4﹣10x2+1=0， （1）当2x+1=0时，解得x=-； （2）当x4﹣10x2+1=0时，x2=，或x2=， ①当x2=，解得x=或x=， ②当x2=，解得x=或x=， 综上所述x可能为-、、、、． 故选C． 6．数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，例如：我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为．通过转化求出方程的根为（   ） A．5 B． C．5或 D．3或1 【答案】A 【分析】此题考查了无理方程和一元二次方程的解法，根据题意求出，把原方程转化为，因式分解法解一元二次方程，并舍去不合题意的根即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ， 方程两边平方得到， 则， 即， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴方程的根为， 故选：A 二、填空题 7．方程的解是 ． 【答案】 【分析】将未知数的系数化为1，利用平方差公式计算，再用二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将系数化为1得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式和二次根式的乘法，正确利用公式和性质进行计算是解题的关键． 8．方程的根是 ． 【答案】 【分析】先把无理方程化为或，分别求解，再检验，即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∵， ∴ ∴， 检验：为方程的根，不是方程的根， 故答案为． 【点睛】本题主要考查解无理方程，无理方程要对根进行检验． 9．已知关于x的方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程．方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边平方，得， ， ， ， 经检验：是方程的解． 故答案为：． 10．方程组的解是 ． 【答案】 【分析】将方程①因式分解得出方程③，将②代入③化为二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解： 由①得③， 将②代入③得④， ②+④得， 解得， 将代入④得， 解得， 所以方程组的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键． 11．方程的实数解是 ． 【答案】x=1 【分析】将原式移项合并同类型后得,再对一元二次方程求解即可. 【详解】因为该方程变形为，所以，检验知x=1为该方程的实数根. 【点睛】本题考查了无理方程,利用移项、合并同类项的方法把无理方程转化成一元二次方程，在解题过程中要注意检验. 12．方程的根是 ． 【答案】x＝-2 【分析】先把原方程移项，然后方程两边平方得到关于的一元二次方程，解方程即可. 【详解】， ， ， ， ， 解得，，把代入原方程， ，故x＝－2为原方程的解， ∵，若，则，故x＝1不合题意舍去， 故答案为：x＝－2． 【点睛】本题考查了无理方程，由于平方时容易产生增根，故需要验根. 13．方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解无理方程，涉及的知识点有二次根式的性质，一元二次方程的解法以及不等式组的解法，解题的关键在于掌握基本性质和运算法则． 先将原方程两边同时平方可得到关于x的一元二次方程，解得x，再结合原方程中二次根式的双重非负性得出x的取值范围，从而可得出结果． 【详解】解：原方程变形为：，即 ∴ ∴或， 又由题意可得 解得，， ∴当时不满足题意， ∴ 故答案为： 14．无理方程（x+4）•＝0的解是 ． 【答案】x＝﹣3 【分析】根据ab＝0，得a＝0或b＝0，注意被二次根式开方数大于等于0． 【详解】解：∵ ∴或， 解得，， 当时，被开方数无意义； 故方程的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了无理方程的求解，掌握无理方程的求解方法是解题的关键． 15．方程＝3的解是 ． 【答案】 【详解】分析：把方程两边平方，去根号后求解. 详解：两边同时平方，得： 解得： 经检验，是原方程的解. 故答案为 点睛：考查无理方程的解法，解无理方程通常用的方法是两边平方法或者换元法. 16．已知是二元二次方程的一个解，那么的值是 ． 【答案】9 【分析】将代入方程得到关于a的一元一次方程，然后求解方程即可. 【详解】解：将代入方程得， a﹣8=1， 解得a=9. 故答案为9. 【点睛】本题主要考查方程的解，解此题的关键在于熟记方程的解满足方程两边相等. 17．方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，根据几个式子的积为0，则必有一个因式为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴或或， ∴或或， 检验：当或时，，无意义，当时，满足题意； ∴方程的根为：． 故答案为： 18．若方程组（m是已知数）有两组不相等的实数解，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是二元二次方程的解的问题，一元二次方程根的判别式的应用，把方程组整理为，结合题意可得该方程有两个不相等的实数解，从而可得答案． 【详解】解：， 由①得：③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 整理得：， ∵方程组（m是已知数）有两组不相等的实数解， ∴有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴且； 故答案为：且 三、解答题 19．列方程组解应用题：某车间10月份计划加工甲、乙两种零件共200个，由于采用新技术，实际产量为216个，其中甲零件超产10%，乙零件超产5%求，该车间10月份计划加工甲、乙零件各多少个？ 【答案】该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个． 【分析】根据等量关系,甲加工的数量加上乙加工的数量等于总量列出方程组即可; 【详解】解:设该车间10月份计划加工甲、乙零件各x个,y个,由题意得: 解得 答: 该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据等量关系列出方程组是解题的关键． 20．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了无理方程的解法． 先把移到等号的右边，再两边进行平方，得到，解一元二次方程从而得出x的值，再进行检验即可. 【详解】解：将原方程移项得， 两边平方得， 化简得， 移项、合并同类项得， 解得或， ∵ ∴不是原方程的解， ∴原方程的解为. 21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车和3辆B型汽车的进价共计万元；辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元．求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ 【答案】、两种型号的汽车每辆进价分别为万元和万元 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是设、两种型号的汽车进价为万元和万元，列出方程，即可． 【详解】设、两种型号的汽车进价为万元和万元， ∴， 解得：． 答：、两种型号的汽车每辆进价分别为万元和万元． 22． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了解二元二次方程组，通过因式分解转化为二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 或或或， 解得或或或． 23．解方程组： 【答案】或 【分析】先将②式因式分解为，则可得或，再分别与①式联立求解即可． 【详解】解：由②得：， ∴或， 解得：或，   ∴原方程组的解为：或． 【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，解题的关键是将②式进行因式分解，把原方程组转化为两个二元一次方程组． 24．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元? 【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元 【分析】根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解． 【详解】解：设实际销售运动衣x套,实际每套运动衣的利润是y元. 根据题意 ，可列方程组         解得：(舍去)， 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 25．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由； (3)已知关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值. 【答案】(1)分式方程与无理方程是“相似方程”，理由见解析； (2)和，它们是“相似方程”，公共解为 (3)或或 【分析】（1）分别求出分式方程和无理方程的解，然后根据“相似方程”的定义进行判断即可； （2）联立两个两个方程，求出它们的公共解，如果只有唯一解，即说明两个方程是“相似方程”，如果没有唯一解则说明两个方程不是“相似方程”； （3）联立两个方程得到，再分当时， 当时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：分式方程与无理方程是“相似方程”，理由如下： 两边用时乘以得：， ∴， ∴， ∴或， 经检验和都是原方程的解； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴分式方程与无理方程有一个相同的解， ∴分式方程与无理方程是“相似方程”； （2）解：联立得：， ∴， ∴， ∴， ∴原方程组的解为， ∴方程和方程有一个公共解， ∴和，它们是“相似方程”，公共解为 （3）解：∵关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”， ∴， ∴， 当时，即不符合题意； 当时，则， ∵x、y都是整数， ∴或或 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解无理方程，解二元二次方程，解二元一次方程组等等，正确理解题意是解题的关键． 26．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于，的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由； (3)已知关于，的二元一次方程：和（其中为整数）是“相伴方程”，求的值． 【答案】(1)是相似方程，见解析 (2)不是相似方程，见解析 (3)，或． 【分析】（1）分别求出分式方程和无理方程的解，然后根据“相似方程”的定义进行判断即可； （2）联立两个方程，求出公共解，应用“相似方程”的定义进行判断即可； （3）联立两个方程得到，再分当，当时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是相似方程，理由如下： ， 给方程两边同时乘以， 得， 化简得， 解得，， ， ， ， ， ， ， 舍去，， 因为分式方程与无理方程有一个相同的解， 所以分式方程与无理方程是“相似方程”； （2）不是相似方程，理由如下： ， ， ， ， 和，它们不是“相似方程”； （3）根据题意可得：， 解得：， 当时，不符合题意， 当时，则， ，都是整数， ，或． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解无理方程，解二元一次方程组，解不等式组等，正确理解题意时解决本题的关键． 27．△ABC中，BC＞AC，CD平分∠ACB交于AB于D，E，F分别是AC，BC边上的两点，EF交于CD于H， （1）如图1，若∠EFC=∠A，求证：CE•CD=CH•BC； （2）如图2，若BH平分∠ABC，CE=CF，BF=3，AE=2，求EF的长； （3）如图3，若CE≠CF，∠CEF=∠B，∠ACB=60°，CH=5，CE=4，求的值． 【答案】（1）见解析;（2）2  ; （3）. 【分析】（1）只要证明△ECH∽△BCD，可得=，即可推出CE•CD=CH•BC； （2）如图2中，连接AH．只要证明△AEH∽△HFB，可得=，推出FH2=6，推出HE=HF=，即可解决问题． （3）只要证明△ECF∽△BCA，求出CF即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°， 又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB， ∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB， ∴△ECH∽△BCD， ∴， ∴CE•CD=CH•BC． （2）解：如图2中，连接AH． ∵BH、CH都是△ABC的角平分线， ∴AH是△ABC的角平分线， ∴∠BHC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90°+BAC=90°+∠HAE， ∵CE=CF，∠HCE=∠HCF， ∴CH⊥EF，HF=HE， ∴∠CHF=90°， ∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°， ∴∠HAE=∠BHF， ∵∠CFE=∠CEF， ∴∠AEH=∠BFH， ∴△AEH∽△HFB， ∴， ∴FH2=6， ∴HE=HF=， ∴EF=2． （3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y． ∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5， ∴HM=HN=，CM=CN=， ∵CE=4， ∴EM=，EH=， ∵S△HCF：S△HCE=FH：EH=FC：EC， ∴x： =（y+）：4①， 又∵x2=y2+（）2， 解得y=或（舍弃）， ∴CF=， ∵∠CEF=∠B，∠ECF=∠ACB， ∴△ECF∽△BCA， ∴， ∴=． 【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $$