预习专题07 无理方程（2知识点+6考点+2易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题07 无理方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解无理方程的概念,会识别无理方程,知道有理方程及代数方程的概念 2.知道解无理方程的一般步骤,会解简单的无理方程(方程中只有一个或两个关于未知数的二次根式),知道验根是解无理方程的重要步骤,掌握验根的常用方法。 代数方程的概念 1.无理方程的概念 方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程，无理方程也可叫做根式方程. 2.有理方程 整式方程和分式方程统称为有理方程 3.代数方程 有理方程和无理方程统称为初等代数方程,简称代数方程 （2024春•宝山区期末）下列方程为无理方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据无理方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； ．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意； ．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； ．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了无理方程的定义，能熟记无理方程的定义是解此题的关键，注意：根号内含有未知数的方程叫无理方程． 无理方程的解法 1.解无理方程的基本思路：无理方程（去根号）→有理方程 2.解无理方程的依据 (1)等式的性质:如果p=q,那么p²=q² (2) 3.解无理方程的常用方法 (1)两边平方 “两边平方”解无理方程的一般步骤 一去根号→无理方程方程两边同时平方得到有理方程 二解有理方程 三检验→求得的未知数的值代入原无理方程，无理方程两边是否相等 四写结果→是，未知数的值是原方程的根；否，未知数的值是增根，应舍去 提示 (1)解无理方程时,应先把方程通过移项变形,使二次根式(含未知数)单独放在等号一边,方便平方后去根号; (2)有时解无理方程时，一次平方不能完全去掉根号，需进行第二次平方(初中一般最多两次平方); (3)验根必不可少，因为原无理方程平方以后所得方程中的未知数允许的取值范围可能扩大，会产生增根. （2024春•闵行区期末）解方程：． 【答案】． 【分析】由已知可得，解得或，再检验即可． 【解答】解：， ， ， 解得或， 经检验，是原方程的解，是增根， ． 【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是掌握把无理方程化为有理方程的方法． 【方法技巧总结】 常见无理方程的类型与解法 (1)解简单的无理方程,当方程中只有一个与未知数有关的二次根式或者只含有两个与未知数有关的二次根式而没有其他“项”时，通常将方程通过两边平方化为有理方程 (2)当方程中含有两个与未知数有关的二次根式且还有其他“项”时，通常将两个二次根式分别放在等号两边，然后两边平方，整理之后再次平方.这样不仅可以顺利解题,而且过程合理,否则，可能导致解题过程复杂,不易求解. (2)观察分析 “观察分析”判断无理方程无实数根的方法: 对于只含有一个二次根式的无理方程,把不含二次根式的“项”移到方程的另一边,若它是一个负数,则可判断原无理方程无实数根,对于含有两个及两个以上的二次根式(含未知数)的无理方程,若由被开方数是非负数组成的不等式组无解,则说明此无理方程无实数根 提示 注意应用二次根式的双重非负性--被开方数非负和二次根式的值非负. （23-24八年级下·上海徐汇·期中）下列方程，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理方程，呵化为一元二次方程的分式方程，一元二次方程根的判别式；把无理方程或分式方程化为一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程根的情况以及算术平方根的非负性．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】解：由得：， ∵， ∴原方程无实数解，故A错误； 由得：， 即：， ； ∴原方程有实数解，故B正确； 由得：， ， ∴原方程无实数解，故C错误； ∵，又， ∴且（矛盾）， ∴原方程无实数解，故D错误； 故选：B． 代数方程解的情况 例1 （23-24八年级下·上海徐汇·期中）下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是二项方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 审题关键：本题考查二项方程、分式方程、无理方程和二元二次方程的定义，熟知各项方程的定义是本题的关键． 【答案】D 【详解】解：A、是一元二次方程，不是分式方程，故本选项错误； B. 是一元二次方程，不是二项方程，故本选项错误； C、是分式方程，不是无理方程，故本选项错误； D、是二元二次方程组，故此选项正确． 故选D． 【变式1-1】（23-24八年级下·上海崇明·期中）下列说法正确的是（   ） A．是无理方程 B．是二次方程 C．是二元二次方程 D．是分式方程 【答案】C 【分析】本题考查无理方程，二元二次方程，一元二次方程等知识，解题的关键是掌握无理方程，二元二次方程，一元二次方程的定义． 根据二元二次方程，无理方程，分式方程的定义一一判断即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，本选项不符合题意； B、是一元二次方程，本选项不符合题意； C、是二元二次方程，本选项正确，符合题意； D、，是无理方程，本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】下列方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解无理方程和解分式方程，能把分式方程转化成整式方程和能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 先把方程两边平方得出，整理后根据根的判别式即可判断选项A；移项后两边平方，即可判断选项B；方程两边都乘求出，再进行检验，即可判断选项C，方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验，即可判断选项D． 【详解】解：A．， 两边平方得：， 整理得：， ， 所以方程无实数根，故本选项不符合题意； B．， ， 两边平方得：， 即， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； C．， 方程两边都乘，得， 经检验是增根， 即分式方程无实数根，故本选项不符合题意； D．， 两边平方得：， 即， 解得：或， 经检验不是原方程的解，是原方程的解， 即方程有实数根，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（23-24八年级下·上海奉贤·期中）下列方程中，有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程和无理方程，分别解分式方程和无理方程逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴， ∴无解；不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴无解；不符合题意； C、∵， ∴， 当时，， ∴是原方程的增根，舍掉， ∴原方程无解；不符合题意； D、∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故方程有实数根，符合题意； 故选D． 【变式1-4】（23-24八年级下·上海松江·期中）下列方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解无理方程，解分式方程和根的判别式等知识点，先把分式方程转化成整式方程,求出方程的解，再进行检验即可判断选项A；根据根的判别式即可判断选项B；根据和算术平方根即可判断选项C；根据二次根式的性质进行判断选项D． 【详解】解：A、， ， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，即方程有实数根，不符合题意； B、， ，方程有实数根，不符合题意； C、，不论x为何值，， 即，方程无实数根，符合题意； D、当时，，即方程有实数根，不符合题意， 故选：C． 无理方程的判断 例2 （23-24八年级下·上海宝山·期末）下列方程为无理方程的是（   ） A． B． C． D． 审题关键：根据无理方程定义即方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程逐个判断即可． 【答案】B 【详解】解：A．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； B．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意； C．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； D．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是无理方程 C．是二元二次方程组 D．是二项方程 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程、无理方程、二元二次方程组、二项方程的定义，根据相关定义逐项判定即可． 【详解】解：A选项：整式方程，不是分式方程，故错误； B选项：是分式方程，不是无理方程，故错误； C选项：是二元二次方程组，符合题意，故正确； D选项：不含有非零的常数项，故不是二项方程，故错误； 故选：C 【变式2-2】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．方程是二元二次方程； B．方程不是分式方程； C．判断一个方程是否是无理方程的关键就是看方程中是否出现了根号，如果出现了根号，那么就是无理方程； D．方程组是二元二次方程组． 【答案】D 【详解】解：选项A，方程是分式方程，错误，不符合题意， 选项B，方程是分式方程，错误，不符合题意， 选项C，判断一个方程是否是无理方程的关键就是看根号下是否出现未知数，如果出现了根号，那么就是无理方程，错误，不符合题意， 选项D，方程组是二元二次方程组，正确，故符合题意， 故选：D 【变式2-3】（21-22八年级下·上海嘉定·期中）下列说法正确的是（    ） A．是二元二次方程 B．是二项方程 C．是分式方程 D．是无理方程 【答案】A 【分析】利用无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义分别进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次数是，故是二元二次方程，故正确； B、是二次方程，故错误； C、分母里不含未知数，不是分式方程，故错误； D、被开方数不含未知数，不是无理方程，故错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定义． 解含有一个根式的无理方程 例3 （23-24八年级下·上海奉贤·期中）方程的解是 ． 审题关键：将无理方程转化为整式方程（左根右整），进行左右平方求解即可，不要忘记验根． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 经检验：为原方程的解，是原方程的增根，舍去； 故答案为：． 【变式3-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 移项得出，两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：移项，得， 两边平方，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解是． 故答案为：． 【变式3-2】（23-24八年级下·上海崇明·期末）方程的解是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边平方，得， 解得：， 经检验：是原方程的解． 故答案为：10． 【变式3-3】（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，熟练掌握解无理方程的方法是解题的关键． 先变形为，再两边平方化成整式方程求解，然后检验把增根舍去，即可求解． 【详解】解： 或 ，， 经检验，是原方程的根，是增根，舍去， ∴原方程的解为：． 解含有两个根式的无理方程 例4 （23-24八年级下·上海嘉定·期中）解方程∶ ． 审题关键：先把方程移项变成左右两边都有根式，再通过二次左右平方解方程即可，不要忘记验根. 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法，两边同时平方，移项将带根号的式子与整式分在等号两边，两边再次平方，化简可得一个一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】 ， 解得：，，　 经检验是增根，舍去， ∴原方程的根为． 【变式4-1】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．先移项，再利用两边平方的办法去掉一个根号，整理后再利用同样的办法去掉另外一个根号，进一步求解可得． 【详解】解：， ， 则， 整理，得：， ， 整理，得：， 解得，（舍． 【变式4-2】（23-24八年级下·上海·阶段练习）解方程： 【答案】或 【分析】 本题主要考查解无理方程，方程移项后得，方程两边平方整理得，再平方整理得，解得，再进行检验即可得出方程的解 【详解】解：， 移项得，， 两边平方得， 整理得，， 两边平方得，， 移项得， 解得，， 检验：当时，左边右边，左边=右边； 当时，左边右边，左边=右边； 所以，或是原方程的解 【变式4-3】（22-23八年级下·上海宝山·期中）解方程：． 【答案】原方程的解是 【分析】根据二次根式的运算方法，完全平方公式的运用，因式分解等方法即可求解． 【详解】解： 移项， 两边同时平方， 移项，合并同类项， 两边同时平方， 因式分解，，解得，，， 经检验：是原方程的解，不是原方程的解，舍去， ∴原方程的解是． 【点睛】本题主要考查二次根式转化为一元二次方程的解，掌握二次根的运算方法，因式分解法和公式法解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式4-4】（22-23八年级下·上海静安·期中） 【答案】 【分析】先移项得到，再两边同时平方得到，继续两边平方得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 【点睛】本题主要考查了解无理方程，正确把无理方程化为有理方程是解题的关键． 解特殊的无理方程 例5 （2024八年级下·上海·专题练习）方程的解是 ． 审题关键：根据得出或，求出的值，再进行检验即可． 【答案】 【详解】解：， 或， 解得：或， 经检验是原方程的解，不是原方程的解， 所以原方程的解是， 故答案为：． 【变式5-1】（23-24八年级下·上海·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，先求的范围，再解此方程得或，舍去不符合题意的解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 原方程可化为：或， 解得不合题意，舍去或， 当时，原方程成立． 故方程的根是． 故答案为：． 【变式5-2】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，利用平方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式5-3】（22-23八年级下·上海普陀·期末）方程的解是 ． 【答案】 【分析】根据方程得出或，求出两方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 则或， 解得：或， 经检验：不是原方程的解，是原方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解无理方程，能根据题意得出或是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 【变式5-4】（22-23八年级下·上海杨浦·期中）方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据两个数的积为零，则至少一个为零，即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， 即或， 解得：或， 经检验，时，，故它不是原方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解无理方程，关键是通过乘方转化为有理方程，注意解无理方程要检验． 根据无理方程的解求参数的值（或范围） 例6 （23-24八年级下·上海闵行·期中）如果关于的方程有实数根，那么 ． 审题关键：根据方程解的情况把代入原方程中得到关于k的方程，解之即可． 【答案】3 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 经检验：是方程的解， 故答案为：3． 【变式6-1】（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如果关于的方程无实数解，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据无理方程和二次根式的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理方程和二次根式的非负性，熟知二次根式是解题关键． 【变式6-2】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将原方程变换为，再根据算术平方根的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根大于等于零成为解答本题的关键． 【变式6-3】（22-23八年级下·上海青浦·期中）如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程和解一元一次不等式，能根据算术平方根的非负性得出是解此题的关键．移项后得出，根据算术平方根的非负性得出，求出此时，再求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， 若方程无实数解，必须， ， 故答案为：． 【变式6-4】（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如果关于的无理方程有实数根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】把方程两边平方去根号得一元二次方程，然后将代入方程即可求出值． 【详解】解：， 两边同时平方可得： 实数根是方程的解，代入方程， 可解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了无理方程的解法，熟练掌握解无理方程的方法两边平方法及换元法，本题用了平方法，是解答本题的关键． 【例1】（2024春•奉贤区校级期中）下列说法正确的是　　 A．是分式方程 B．是二元二次方程组 C．是无理方程 D．是二项方程 【解答】解：选项，是一元二次方程，故选项不符合题意； 选项，是二元二次方程组，故选项符合题意； 选项，是分式方程，故选项不符合题意； 选项，不是二项方程，故选项不符合题意； 故选：． 【防错警示】 用无理方程的概念判断一个方程是否为无理方程时，应满足两个特征:一是含有根号;二是被开方数中含有未知数，二者缺一不可,否则容易出现错误. 【例2】（2023春•普陀区月考）解方程：． 解题关键：先通过两边平方把方程转化为有理方程，再求解． 【解答】解：移项得：， 两边分别平方得：， 移项、合并同类项得：， 两边再平方得：， 解这个整式方程得：或， 当时，左边右边， 不是原方程的解， 当时，左边右边， 是原方程的解， 原方程份解为． 【防错警示】 解无理方程时,将方程两边平方,化无理方程为有理方程的过程中,未知数的取值范围可能扩大了,有可能产生增根,因此解无理方程一定要验根,否则容易出现错误. 1.（23-24八年级下·上海黄浦·期中）下列方程中，有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程、分式方程、无理方程的解法，掌握一元二次方程、分式方程及无理方程的解法是解决本题的关键． 解各个方程，根据解的情况得结论． 【详解】解：A、得，无实数解，故本选项不符合题意； B、得，无实数解，故本选项不符合题意； C、，去分母得，解得，但是增根，无实数解，故本选项不符合题意； D、，解得，故本选项符合题意． 故选：D． 2.（23-24八年级下·上海嘉定·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了无理方程，方程两边平方，化成一元二次方程，再按照一元二次方程的解法作答即可． 【详解】 解得：，， 经检验，是原方程的增根，舍去， ∴． 3.（23-24八年级下·上海徐汇·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 由，可得，整理得，然后计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，，， 检验，当时，，当时，， ∴方程的解为． 4.（23-24八年级下·上海浦东新·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了无理方程，解题关键是把无理方程转化成有理方程，并注意根的检验．先移项，再把两边平方，把无理方程转化成有理方程，解一元二次方程，再把根代入原方程检验即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边平方，得， 整理，得， 解得，， 检验：把代入原方程，左边=右边，故是原方程的根， 把代入原方程，左边右边，故是原方程的增根，舍去， 故原方程的解为． 5.（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）解方程 【答案】 【分析】先对式子两边进行平方，然后把含有根号的式子移到方程的一边，再进行平方即可化成一元二次方程，解方程求得x的值，然后进行检验即可． 【详解】解：方程两边平方，得：， 即， 两边平方，得：，化简得：，即， 解得：或． 经检验：是方程的根，是增根． 则原方程的根是：． 【点睛】本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法． 6.（2024·上海浦东新·三模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，注意：解无理方程一定要进行检验．方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边平方，得， 整理得：， ， 或， 解得：或， 经检验：是原方程的解，不是原方程的解， 所以原方程的解是． 故答案为：． 7.方程解为 ． 【答案】或 【分析】令，将方程转化为：，利用平方法，解方程即可． 【详解】解：， ∴ ， 设：，则：， 两边平方得：， 整理，得： 解得：或， 经检验：，是原方程的解， ∴或， 解得：或 ； 经检验，，是原方程的解， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查解无理方程．熟练掌握换元法和平方法解无理方程，是解题的关键． 8.（22-23八年级下·上海虹口·期末）关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 ． 【答案】 【分析】利用平方法将原方程转化为一元二次方程，然后根据判别式的意义解不等式即可． 【详解】解：， ， ∴， ∵关于x的方程有两个不相等的实数解， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式：当0，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 无理方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解无理方程的概念,会识别无理方程,知道有理方程及代数方程的概念 2.知道解无理方程的一般步骤,会解简单的无理方程(方程中只有一个或两个关于未知数的二次根式),知道验根是解无理方程的重要步骤,掌握验根的常用方法。 代数方程的概念 1.无理方程的概念 方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程，无理方程也可叫做根式方程. 2.有理方程 整式方程和分式方程统称为有理方程 3.代数方程 有理方程和无理方程统称为初等代数方程,简称代数方程 （2024春•宝山区期末）下列方程为无理方程的是　　 A． B． C． D． 无理方程的解法 1.解无理方程的基本思路：无理方程（去根号）→有理方程 2.解无理方程的依据 (1)等式的性质:如果p=q,那么p²=q² (2) 3.解无理方程的常用方法 (1)两边平方 “两边平方”解无理方程的一般步骤 一去根号→无理方程方程两边同时平方得到有理方程 二解有理方程 三检验→求得的未知数的值代入原无理方程，无理方程两边是否相等 四写结果→是，未知数的值是原方程的根；否，未知数的值是增根，应舍去 提示 (1)解无理方程时,应先把方程通过移项变形,使二次根式(含未知数)单独放在等号一边,方便平方后去根号; (2)有时解无理方程时，一次平方不能完全去掉根号，需进行第二次平方(初中一般最多两次平方); (3)验根必不可少，因为原无理方程平方以后所得方程中的未知数允许的取值范围可能扩大，会产生增根. （2024春•闵行区期末）解方程：． 【方法技巧总结】 常见无理方程的类型与解法 (1)解简单的无理方程,当方程中只有一个与未知数有关的二次根式或者只含有两个与未知数有关的二次根式而没有其他“项”时，通常将方程通过两边平方化为有理方程 (2)当方程中含有两个与未知数有关的二次根式且还有其他“项”时，通常将两个二次根式分别放在等号两边，然后两边平方，整理之后再次平方.这样不仅可以顺利解题,而且过程合理,否则，可能导致解题过程复杂,不易求解. (2)观察分析 “观察分析”判断无理方程无实数根的方法: 对于只含有一个二次根式的无理方程,把不含二次根式的“项”移到方程的另一边,若它是一个负数,则可判断原无理方程无实数根,对于含有两个及两个以上的二次根式(含未知数)的无理方程,若由被开方数是非负数组成的不等式组无解,则说明此无理方程无实数根 提示 注意应用二次根式的双重非负性--被开方数非负和二次根式的值非负. （23-24八年级下·上海徐汇·期中）下列方程，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 代数方程解的情况 例1 （23-24八年级下·上海徐汇·期中）下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是二项方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 审题关键：本题考查二项方程、分式方程、无理方程和二元二次方程的定义，熟知各项方程的定义是本题的关键． 【变式1-1】（23-24八年级下·上海崇明·期中）下列说法正确的是（   ） A．是无理方程 B．是二次方程 C．是二元二次方程 D．是分式方程 【变式1-2】下列方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·上海奉贤·期中）下列方程中，有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24八年级下·上海松江·期中）下列方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 无理方程的判断 例2 （23-24八年级下·上海宝山·期末）下列方程为无理方程的是（   ） A． B． C． D． 审题关键：根据无理方程定义即方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程逐个判断即可． 【变式2-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．是无理方程 C．是二元二次方程组 D．是二项方程 【变式2-2】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．方程是二元二次方程； B．方程不是分式方程； C．判断一个方程是否是无理方程的关键就是看方程中是否出现了根号，如果出现了根号，那么就是无理方程； D．方程组是二元二次方程组． 【变式2-3】（21-22八年级下·上海嘉定·期中）下列说法正确的是（    ） A．是二元二次方程 B．是二项方程 C．是分式方程 D．是无理方程 解含有一个根式的无理方程 例3 （23-24八年级下·上海奉贤·期中）方程的解是 ． 审题关键：将无理方程转化为整式方程（左根右整），进行左右平方求解即可，不要忘记验根． 【变式3-1】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）方程的解是 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·上海崇明·期末）方程的解是 ． 【变式3-3】（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程：． 解含有两个根式的无理方程 例4 （23-24八年级下·上海嘉定·期中）解方程∶ ． 审题关键：先把方程移项变成左右两边都有根式，再通过二次左右平方解方程即可，不要忘记验根. 【变式4-1】解方程：． 【变式4-2】（23-24八年级下·上海·阶段练习）解方程： 【变式4-3】（22-23八年级下·上海宝山·期中）解方程：． 【变式4-4】（22-23八年级下·上海静安·期中） 解特殊的无理方程 例5 （2024八年级下·上海·专题练习）方程的解是 ． 审题关键：根据得出或，求出的值，再进行检验即可． 【变式5-1】（23-24八年级下·上海·期中）方程的解是 ． 【变式5-2】已知，则的值为 ． 【变式5-3】（22-23八年级下·上海普陀·期末）方程的解是 ． 【变式5-4】（22-23八年级下·上海杨浦·期中）方程的解为 ． 根据无理方程的解求参数的值（或范围） 例6 （23-24八年级下·上海闵行·期中）如果关于的方程有实数根，那么 ． 审题关键：根据方程解的情况把代入原方程中得到关于k的方程，解之即可． 【变式6-1】（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如果关于的方程无实数解，那么的取值范围是 ． 【变式6-2】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是 ． 【变式6-3】（22-23八年级下·上海青浦·期中）如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 【变式6-4】（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如果关于的无理方程有实数根，那么的值为 ． 【例1】（2024春•奉贤区校级期中）下列说法正确的是　　 A．是分式方程 B．是二元二次方程组 C．是无理方程 D．是二项方程 【防错警示】 用无理方程的概念判断一个方程是否为无理方程时，应满足两个特征:一是含有根号;二是被开方数中含有未知数，二者缺一不可,否则容易出现错误. 【例2】（2023春•普陀区月考）解方程：． 解题关键：先通过两边平方把方程转化为有理方程，再求解． 【防错警示】 解无理方程时,将方程两边平方,化无理方程为有理方程的过程中,未知数的取值范围可能扩大了,有可能产生增根,因此解无理方程一定要验根,否则容易出现错误. 1.（23-24八年级下·上海黄浦·期中）下列方程中，有实数解的是（   ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·上海嘉定·期末）解方程：． 3.（23-24八年级下·上海徐汇·期末）解方程：． 4.（23-24八年级下·上海浦东新·期中）解方程：． 5.（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）解方程 6.（2024·上海浦东新·三模）方程的解是 ． 7.方程解为 ． 8.（22-23八年级下·上海虹口·期末）关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$