第4讲-21.3-21.4 分式方程与无理方程【进阶优等生系列】 2024-2025学年下学期培优课 沪教版(上海)八年级数学第二学期

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第4讲 21.3-21.4 分式方程与无理方程 目录 1、 【进门测试】共6题； 2、 【知识精讲】共四个知识点； 3、 【典例解析】共10例题； 4、 【过关演练】共7题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共29题：A组15题，B组14题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则a＝　4　． 【分析】分式方程去分母后转化为整式方程，由解关于x的分式方程的过程中产生增根得到x＝4，代入整式方程即可求出a的值． 【解答】解：方程两边同乘x−4得：x＝2（x﹣4）+a， ∵关于x的分式方程有增根， ∴x﹣4＝0， 解得x＝4， 将x＝4代入方程x＝2（x﹣4）+a，得：4＝2（4﹣4）+a， 解得：a＝4． 故答案为：4． 【点评】此题考查了分式方程的增根，分式方程的增根即为最简公分母为0时x的值． 2．方程3＝的解是 　11　． 【分析】将方程两边平方，化为一元一次方程即可得答案． 【解答】解：两边平方得：x﹣2＝9， ∴x＝11， 把x＝11代入原方程：左边＝3， 右边＝＝3， ∴左边＝右边， ∴x＝11是原方程的解， 故答案为：11． 【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是将方程两边平方，化为有理方程，注意一定要检验． 3．下列方程中，有实数根的是（　　） A．x²+2x+3＝0 B．＝ C．＝﹣x D．x6+16＝0 【分析】根据每个选项的特点依次进行判断． 【解答】解：A选项为一元二次方程， ∵Δ＝22﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8＜0， ∴该方程没有实数根， ∴A选项不合题意， B选项为分式方程， 原式变形为：x（x﹣1）＝x﹣1，即（x﹣1）2＝0， 解得x＝1， 又x﹣1≠0，即x≠1， ∴该方程没有实数根， ∴B选项不合题意， 在C选项中， ∵是二次根式， ∴x≥0，， ∴﹣x≤0， ∴只有x＝0满足条件， ∴x＝0是的根， ∴C选项符合题意， 在D选项中， ∵x6＝（x3）2≥0， ∴x6+16≥16， ∴x6+16＝0没有实数根， ∴D选项不合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查解方程，关键是要牢记各种方程的求解方法及根的判别，一元二次方程有实数根的条件是Δ≥0，分式方程的分母不能为0，二次根式具有双重非负性． 4．下列方程中，有实数根的方程是（　　） A．x4+16＝0 B．x2+2x+3＝0 C． D． 【分析】先移项，再根据算术平方根的非负性即可判断A；根据根的判别式即可判断B；根据算术平方根的非负性得出x＝0且x﹣1＝0，即可判断C；方程两边都乘以x﹣3，再求出方程的解，进行检验后即可判断D． 【解答】解：A．x4+16＝0， 移项，得x4＝﹣16， ∵不论x为何值，x4≥0， ∴此方程无实数根，故本选项不符合题意； B．x2+2x+3＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴此方程无解， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； C．∵+＝0， ∴x＝0且x﹣1＝0， 此时x不存在， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； D．＝， 方程两边都乘以x﹣3，得x2﹣8＝1， 解得：x＝±3， 经检验x＝3是增根，x＝﹣3是原方程的解， 即原方程有实数根，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了解无理方程，算术平方根，四次方根，解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程和把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 5．下列方程中有实数解的方程是（　　） A．＝ B．+＝2 C．x3+1＝0 D．x2+x+1＝0 【分析】方程两边都乘以x﹣2，得2＝x，即可判断A；移项得出＝2﹣，两边平方得出3﹣x＝4﹣4+x﹣5，整理后再两边平方，再整理后得出x2﹣8x+24＝0，根据根的判别式即可判断B；根据立方根求出方程x3+1＝0的解，即可判断C；根据根的判别式即可判断D． 【解答】解：A．＝， 方程两边都乘以x﹣2，得2＝x， 即x＝2， 经检验x＝2是增根，即原方程无实数根，故本选项不符合题意； B．+＝2， 移项得：＝2﹣， 两边平方得：3﹣x＝4﹣4+x﹣5， 整理得：2＝x﹣2， 两边平方得：4（x﹣5）＝x2﹣4x+4， 即x2﹣8x+24＝0， ∵Δ＝（﹣8）2﹣4×1×24＝﹣32＜0， ∴此方程无实数解， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； C．x3+1＝0， 移项，得x3＝﹣1， 解得：x＝﹣1， 即原方程有实数解，故本选项符合题意； D．x2+x+1＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0， ∴此方程无实数解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了立方根，解分式方程，解无理方程，根的判别式等知识点，能把分式方程转化成整式方程和能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 6．下列方程中，有实数根的是（　　） A． B．+x＝0 C．x2+2＝0 D．x2+x+2＝0 【分析】方程两边都乘以x+2，求出x＝±2，再进行检验，即可判断A；移项后两边平方，求出方程的解，即可判断B；先移项，再根据偶次方的非负性即可判断C；根据根的判别式即可判断D． 【解答】解：A．＝， 方程两边都乘以x+2得：x2＝4， 解得：x＝±2， 经检验x＝2是原方程的解，x＝﹣2是增根，舍去， 即方程有实数根，故本选项符合题意； B．+x＝0， 移项，得＝﹣x， 两边平方，得x﹣2＝x2， 即x2﹣x+2＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无解， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； C．x2+2＝0， 移项，得x2＝﹣2， ∵不论x为何值，x2都是非负数， ∴此方程无解， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； D．x2+x+2＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无解， 即方程无实数根，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了解无理方程，算术平方根，根的判别式，解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程、把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 二．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 三．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 四．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．分式方程的增根 例1．如果方程有增根，则k＝　1　． 【分析】先化简原式，再将x＝2代入求解． 【解答】解：方程两边同时乘以x﹣2可得， 1＝2（x﹣2）+k， ∵方程有增根x＝2， ∴将x＝2代入1＝2（x﹣2）+k， 可得k＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查分式方程增根问题，解题关键是熟练掌握增根的含义及解分式方程的方法． 例2．解方程：． 【分析】方程两边同乘以（x+2）（x﹣1），得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最简公分母检验即可． 【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣1）， 得，3x2﹣x（x+2）＝x2+x﹣2， 整理得，x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝2， 检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x＝1不是原方程的根， 当x＝2时，（x+2）（x﹣1）≠0， ∴x＝2是原方程的根， ∴原方程的根是x＝2． 【点评】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 例3．已知关于x的分式方程+＝． （1）若方程有增根，求k的值． （2）若方程的解为负数，求k的取值范围． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出k的范围即可； 【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k， 由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1， 将x＝1代入整式方程得：k＝6， 将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8， 则k的值为6或﹣8． （2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k， 去括号合并得：7x﹣1＝k，即x＝， 根据题意得：＜0，且≠1且≠﹣1， 解得：k＜﹣1，且k≠﹣8． 【点评】此题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，弄清题意是解本题的关键． 二．无理方程 例4．已知关于x的方程x2﹣x+k＝0有实数根，求k的取值范围． 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝≥0，还有被开方式2k+4≥0，然后解不等式组即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝≥0且2k+4⩾0， 解得：﹣2⩽k⩽2． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，本题关键还应考虑被开方式非负． 例5．下面是小明同学解无理方程3﹣＝x的过程： 原方程可变形为3﹣x＝……（第一步） 两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步） 整理，得﹣3x＝6……（第三步） 解得x＝2……（第四步） 检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝3﹣＝2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步） 所以，原方程的解是x＝2．……（第六步） 请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题： （1）以上小明的解题过程中，从第 　二　步开始出错； （2）请完成正确求解方程3﹣＝x的过程． 【分析】（1）移项后两边平方即可； （2）先移项，再两边平方，求出方程的解，最后进行检验即可． 【解答】解：（1）以上小明的解题过程中，从第二步开始出错， 故答案为：二； （2）3﹣＝x， 移项，得3﹣x＝， 两边平方，得（3﹣x）2＝2x﹣3， 整理得：x2﹣8x+12＝0， 解得：x1＝2，x2＝6， 经检验：x＝2是原方程的解，x＝6不是原方程的解， 所以原方程的解是x＝2． 【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 例6．解方程：﹣＝1． 【分析】将原方程变形为＝1+，两边平方，化简后，两边继续平方，转化为整式方程，利用因式分解解方程即可，最后检验． 【解答】解：原方程变形为：＝1+， 两边平方得：2x﹣1＝1+2+x+3， 化简得：x﹣5＝2， 两边平方得：x2﹣10x+25＝4（x+3）， 化简得：x2﹣14x+13＝0， ∴（x﹣13）（x﹣1）＝0， ∴x﹣13＝0或x﹣1＝0， 解得：x＝13或1， 检验：当x＝13时，左边＝右边； 当x＝1时，左边≠右边； ∴原方程的解为x＝13． 【点评】本题考查了无理方程，无理方程最常用的解题方法就是两边分别平方，将无理方程转化为整式方程，无理方程注意要检验． 例7．如果关于x的方程＝2﹣3a无实数根，那么a的取值范围是　a＞　． 【分析】因为二次根式具有非负性，所以方程无实数根的条件是2﹣3a＜0，解不等式即可． 【解答】解：∵方程＝2﹣3a没有实数根， ∴2﹣3a＜0， ∴a＞． 故答案为：a＞． 【点评】本题考查了无理方程，根据二次根式具有非负性，得到方程无实数根的条件是2﹣3a＜0，这是解题的关键． 例8．解方程：+1＝x． 【分析】移项后两边平方得出x+5＝x2﹣2x+1，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：+1＝x， 移项，得＝x﹣1， 两边平方，得x+5＝x2﹣2x+1， ，整理，得x2﹣3x﹣4＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣1， 经检验x＝4是原方程的解，x＝﹣1不是原方程的解， 所以原方程的解是x＝4． 【点评】本题考查了解无理方程和解一元二次方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 例9．（1）解无理方程：﹣＝1； （2）已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值． 【分析】（1）将移项到方程右边，方程两边平方，求出x的值，检验即可； （2）把x＝1代入方程，方程两边平方，转化为整式方程，解整式方程，最后检验即可． 【解答】解：（1）方程变形为：， 方程两边平方得：x+5＝x+2+1， 解得：x＝4． 检验：左边＝1，右边＝1， ∴原方程的根为x＝4； （2）把x＝1代入方程化简得：＝2﹣m， 方程两边平方得：m﹣2＝4﹣4m+m2， 解得：m＝2或3， 检验：当m＝2时，左边＝右边； 当m＝3时，左边≠右边． ∴m＝2． 【点评】本题考查了无理方程，把无理方程转化为整式方程是解题的关键，解无理方程最后要检验． 例10．关于x的方程有一个增根x＝4，则a＝　5　． 【分析】先移项，再去根号，转化成整式方程求解． 【解答】解：原方程移项得：＝+1． 两边平方得：2x﹣4＝x+a+1+2． 整理得：x﹣a﹣5＝2． 两边平方得：（x﹣5）2﹣2a（x﹣5）+a2＝4（x+a）． 当x＝4时，1+2a+a2＝16+4a． 解得：a＝5或a＝﹣3． 当a＝5时，符合要求，有增根x＝4． 当a＝﹣3时，不符合要求增根x＝4． ∴a＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查无理方程的增根，去根号将无理方程转化为整式方程是求解本题的关键． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．解方程：＝﹣1． 【分析】观察可得最简公分母是（x+2）（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：去分母，得4＝（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）， 整理，得x2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2． 经检验：x1＝﹣1是原方程的根，x2＝2是增根． 故原方程的根为x＝﹣1． 【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根． 2．方程＝2﹣x的根是 　x＝0　． 【分析】两边平方得出x+4＝（2﹣x）2，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：＝2﹣x， 两边平方，得x+4＝（2﹣x）2， 整理得：x2﹣5x＝0， 解得：x＝0或5， 经检验x＝0是原方程的解，x＝5不是原方程的解， 故答案为：x＝0． 【点评】本题考查了解无理方程，能把解无理方程转化成解有理方程是解此题的关键． 3．方程•＝0的根是　x＝1　． 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算，最后检验即可． 【解答】解：方程可变形为：＝0， ∴（x+1）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣1， 检验：当x＝﹣1时，x﹣1＜0，不符合题意；当x＝1时，符合题意． ∴原方程的根是x＝1． 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查了无理方程，无理方程记得要检验． 4．下列方程中，有一个根是x＝2的方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】把x＝2代入选项中的每个方程，再逐个判断即可． 【解答】解：A．＝， 方程两边都乘以x﹣2，得x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根， 即x＝2不是原方程的解，故本选项不符合题意； B．当x＝2时，分母不等于0， 方程的左边＝+＝0，右边＝0， 即左边＝右边， 所以x＝2是原方程的解，故本选项符合题意； C．当x＝2时，中x﹣3＜0， 所以x＝2不是方程•＝0的解，故本选项不符合题意； D．当x＝2时，中x﹣6＜0， 所以x＝2不是方程＝2的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了解分式方程和解无理方程，注意：解分式方程和解无理方程都必须进检验． 5．如果关于x的方程＝x有实数根x＝1，那么m的值是（　　） A．﹣1 B． C．0 D．2 【分析】把x＝1代入方程＝x得出＝1，再求出方程的解即可． 【解答】解：把x＝1代入方程＝x得：＝1， 两边平方得：2+m＝1， 解得：m＝﹣1， 经检验m＝﹣1是方程＝1的解， 即m＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了解无理方程和方程的解，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 6．（1）解方程：﹣＝； （2）解方程：2+x＝1． 【分析】（1）先去分母，变形成整式方程，然后求解，再检验即可； （2）先将x移到等号右侧，然后两边平方去掉根号，变成整式方程，在求解即可． 【解答】（1）解：两边同时乘以x2﹣4得（x+2）2﹣（x﹣2）＝16， 整理得：x2+3x﹣10＝0， 解得x1＝﹣5，x2＝2， 经检经：x1＝﹣5是原方程的根；x2＝2是原方程的增根，舍去， ∴原方程的根为x＝﹣5； （2）解：原方程变形为， 两边平方得：4（x﹣1）＝（x﹣1）2， 整理得：（x﹣1）（x﹣5）＝0， 解得x＝1或x＝5， 经检验：x＝1是原方程的根；x＝5是增根， ∴原方程的根为x＝1． 【点评】本题主要考查解分式方程和根式方程，解分式方程的关键是找到最简公分母，两边同时乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，解含有二次根式的方程的关键是将只含有二次根式的项放在等号的一侧，然后两边平方化简成整式方程． 7．解方程：x2﹣8x﹣8﹣x＝0． 【分析】令t＝，则x2﹣8x﹣8＝4t2﹣3x2，代入原方程，得4t2﹣3x2﹣xt＝0，所以t1＝﹣x，t2＝x，然后分两种情况分别解方程即可． 【解答】解：令t＝， 则x2﹣8x﹣8＝4t2﹣3x2， 代入原方程，得4t2﹣3x2﹣xt＝0， 4t2﹣xt﹣3x2＝0， （4t+3x）（t﹣x）＝0， ∴4t+3x＝0或t﹣x＝0， ∴t1＝﹣x，t2＝x， 当t1＝﹣x时，＝﹣x， x2﹣2x﹣2＝x2， 16x2﹣32x﹣32＝9x2， 7x2﹣32x﹣32＝0， ∴x1＝16+4（舍去），x2＝16﹣4． 当t2＝x时，＝x， x2﹣2x﹣2＝x2， ﹣2x﹣2＝0， ∴x＝﹣1（舍去）． ∴原方程的解为x＝16﹣4． 【点评】本题考查了解无理方程，利用整体思想令t＝，整体换元是解题的关键． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1、解方程： 【答案】 【提示】原方程可变形为， 配方得：，然后用换元法 2、解方程： 【答案】 【提示】设 两式相除得，因此，则 即，解方程得（负值舍去） 3．＝有增根，求所有可能的t之和． 【分析】根据＝有增根，说明0或﹣1可能是方程的根，将分式方程化为整式方程可得（x+1）2+x2＝x+t，进一步求得t的所有可能值，相加即可求解． 【解答】解：＝有增根，说明0或﹣1可能是方程的根， 即（x+1）2+x2＝x+t， 代入x＝0，有t＝1； 代入x＝﹣1，有t＝2． 故所有可能的t之和为3． 【点评】考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题（共5小题） 1．若分式方程＝2﹣有增根，则a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．0 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出a的值． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣3）， 得a＝2（x﹣3）+3． ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x﹣3）＝0， 解得x＝3． 当x＝3时，a＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 2．关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣2）， 得2x+m﹣3＝3x﹣6 ∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣2＝0， 解得x＝2， 当x＝2时，4+m﹣3＝0． 解得m＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 3．下列说法正确的是（　　） A．+＝1分式方程 B．x2+3y＝1是二元二次方程 C．x2+x﹣1＝0是无理方程 D．x2+x＝0是二项方程 【分析】根据一元二次方程的定义对A、B、C进行判断；根据二元二次方程的定义对B进行判断， 【解答】解：A、+＝1为一元二次方程，所以A选项的说法错误； B、x2+3y＝1为二元二次方程，所以B选项的说法正确； C、x2+x﹣1＝0是一元二次方程，所以C选项的说法错误； D、x2+x＝0是一元二次方程，所以D选项的说法错误． 故选：B． 【点评】本题考查了无理方程，解题的关键是掌握分式方程、二元二次方程及无理方程的概念． 4．下列说法正确的是（　　） A．x2﹣x＝0是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．2x2﹣＝4是二元二次方程 【分析】利用一元二次方程的定义对A进行判断；根据一元一次方程的定义对B进行判断；根据无理方程的定义对C进行判断；根据分式方程的定义对D进行判断． 【解答】解：A、x2﹣x＝0是一元二次方程，所以A选项的说法错误； B、﹣＝4为一元一次方程，所以B选项的说法错误； C、﹣2＝是无理方程，所以C选项的说法正确； D、2x2﹣＝4是分式方程，所以D选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了有理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 5．下列方程中，有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别解四个无理方程进行判断． 【解答】解：A、两边平方得x＝x2，解得x1＝0，x2＝1，经检验，x＝0原方程的解，所以A选项正确； B、两边平方得x2+1＝0，方程没有实数解，所以B选项错误； C、＝﹣2，方程没有实数解，所以C选项错误； D、＝﹣，两边平方得x+3＝x﹣3，方程无解，所以D选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 二．填空题（共7小题） 6．如果关于x的方程＝2﹣的有增根，那么k的值为　3　． 【分析】根据分式方程的增根是使分式方程无意义的根来分析解题． 【解答】解：＝2﹣， 方程两边同时乘以x﹣3， x＝2（x﹣3）+k， x＝6﹣k， ∵分式方程的增根是x＝3， ∴6﹣k＝3， 即k＝3； 故答案为：3． 【点评】本题主要考查分式方程增根的意义，难度适中，熟练掌握解分式方程的步骤和分式方程的增根的意义是解此题的关键． 7．若关于x分式方程＝有增根，则m＝　1　． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【解答】解：去分母得：x﹣m＝1， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 代入整式方程得：2﹣m＝1， 解得：m＝1， 故答案为：1 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8．当m＝　1或0　时，方程会出现增根． 【分析】根据分式方程的求解过程，求出m＝（x+1）2，方程有增根x＝0或x＝﹣1，代入即可； 【解答】解：， 两侧同时乘以x（x+1），得 m﹣（x+1）＝x（x+1）， m＝（x+1）2， 当分式方程有增根时，x＝0或x＝﹣1， ∴m＝1或m＝0， 故答案为1或0； 【点评】本题考查分式方程的增根；熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键． 9．若关于x的方程＝1有增根，则a＝　﹣1　． 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入整式方程算出未知字母的值． 【解答】解；方程两边都乘（x﹣1），得 ax+1＝x﹣1， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程，得a＝﹣1． 【点评】增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0，确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 10．方程＝3的根是　x＝11　． 【分析】把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解． 【解答】解：两边平方得x﹣2＝9，解得x＝11， 经检验x＝11为原方程的解． 故答案为x＝11． 【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 11．方程＝0的根为　x＝4　． 【分析】利用有理数积的乘法得到x﹣4＝0或x+2＝0，然后解一元一次方程后进行检验确定原方程的解． 【解答】解：根据题意得x﹣4＝0或x+2＝0， 解得x＝4或x＝﹣2， 经检验x＝4为原方程的解． 故答案为x＝4． 【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 12．方程的根是　x＝　． 【分析】首先把方程两边同时平方，然后解一元二次方程，最后要验根． 【解答】解：∵， ∴x2﹣1＝1， ∴x2＝2， ∴x＝±， 经检验 x＝±是原方程的根， ∴x＝±． 故答案为：x＝±． 【点评】此题主要考查了无理方程的解法，主要方法是方程两边同时平方从而转化为整式方程解决问题． 三．解答题（共3小题） 13．解方程：﹣＝1 【分析】将方程化为＝+1，然后两边平方即可求出答案． 【解答】解：＝+1 x+2＝x+2+1 1＝2 ， 经检验，x＝是原方程的解． 【点评】本题考查无理方程的解法，解题的关键是将无理方程化为整式方程来解答，本题属于基础题型． 14．解方程： 【分析】先将4移到方程右边，再两边平方转化成整式方程，解之求得x的值，继而检验即可得． 【解答】解：2＝x﹣4， 4（x+4）＝（x﹣4）2， 4x+16＝x2﹣8x+16， x2﹣12x＝0， 解得x1＝0，x2＝12， 经检验：x＝12是原方程的根； x＝0是原方程的增根； ∴原方程的根是x＝12． 【点评】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 15．解方程：+＝﹣1 【分析】利用换元法解方程，设＝t，则x＝t2﹣2，原方程化为+＝﹣1，解分式方程得到t1＝﹣，t2＝，则t＝﹣时得到＝﹣，此方程无解；当t＝，则＝，解得x＝﹣，然后进行检验确定原方程的解． 【解答】解：设＝t，则x+2＝t2，x＝t2﹣2， 原方程化为+＝﹣1， 去分母得t2﹣2+t＝﹣t2， 整理得2t2+t﹣2＝0，解得t1＝﹣，t2＝， 当t＝﹣时，＝﹣，方程无解； 当t＝，＝，解得x＝﹣， 经检验，原方程的解为x＝﹣． 【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2022/2/12 21:53:37；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539 题组B 能力提升练 一．选择题（共6小题） 1．下列方程中有实数解的方程是（　　） A．x2+2x+3＝0 B．＝x C．＝ D．+1＝0 【分析】根据根的判别式即可判断A；方程两边平方，求出方程的解，即可判断B；先去分母，再进行检验，即可判断C；移项得出＝﹣1，再根据算术平方根的非负性即可判断D． 【解答】解：A．x2+2x+3＝0， Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0， 所以方程无实数解，故本选项不符合题意； B．∵＝x， ∴x＝x2， ∴x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， 解得：x＝0或1， 经检验x＝0或1都是原方程的解，即方程有实数解，所以方程有实数解，故本选项符合题意； C．＝， 去分母，得1＝x， 即x＝1， 当x＝1时，x﹣1＝0，所以x＝1是增根， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； D．∵+1＝0， ∴＝﹣1， ∴方程无解（算术平方根是非负数），即方程无实数解，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，解无理方程，解分式方程等知识点，能熟记根的判别式的内容和知道如何解分式方程和无理方程是解此题的关键． 2．下列关于x方程中，有实数根的是（　　） A．﹣＝0 B．+＝0 C．＝x﹣3 D．＝x﹣3 【分析】先解每个方程，再判断即可． 【解答】解：A、方程﹣＝0， ＝， 解得x＝2.5， ∵2.5＞2， ∴2﹣x＜0， ∴原方程无实数根，故本选项不符合题意； B．方程+＝0，此方程无实数根，故本选项不符合题意； C、方程＝x﹣3整理，得x2﹣5x+7＝0， 此方程无实数根，故本选项不符合题意； D、方程＝x﹣3整理，得x2﹣7x+11＝0， 方程的解是：x＝或x＝， 即此方程有实数根，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了解无理方程，能熟记解无理方程的步骤是解此题的关键． 3．方程＝x的根是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2 【分析】将方程两边分别平方，去掉根号，化成一元二次方程，解一元二次方程，检验，舍去增根，得出原方程的根． 【解答】解：将方程两边平方得： x+2＝x2． 解这个一元二次方程得： x1＝2，x2＝﹣1． 检验：把x1＝2，x2＝﹣1分别代入原方程， x＝2是原方程的根，x＝﹣1是原方程的增根． ∴原方程的根为：x＝2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了无理方程的解法，将方程两边平方，化无理方程为一元二次方程是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 4．当m＝　﹣3或5　，方程会产生增根． 【分析】用含m的代数式表示x的值，通过x＝0或x＝1时为增根求m的值． 【解答】解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得， 3（x﹣1）+6x＝x+m， ∵方程有增根， ∴x＝0或x＝1， 把x＝0代入3（x﹣1）+6x＝x+m， 解得m＝﹣3， 把x＝1代入3（x﹣1）+6x＝x+m， 解得m＝5， 故答案为：﹣3或5． 【点评】本题考查分式方程增根问题，解题关键是将原式化简，分别代入x为增根的值． 5．关于x的方程+＝2有增根，则m＝　　． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx＝2x﹣8， 由分式方程有增根，得到x﹣4＝0，即x＝4， 把x＝4代入整式方程得：20﹣3﹣4m＝0， 解得：m＝， 故答案为： 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 5．如果方程+1＝有增根，那么m＝　﹣1　． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x＝2代入整式方程求出m的值即可． 【解答】解：去分母得：x﹣3+x﹣2＝m， 由分式方程有增根，得到x＝2， 代入整式方程得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 6．如果关于x的方程有增根x＝2，那么k的值为　4　． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x＝2代入整式方程计算即可求出k的值． 【解答】解：分式方程去分母得：x+2＝k+x2﹣4， 把x＝2代入整式方程，得k＝4， 故答案为：4 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 7．方程﹣1＝0的解是 　x＝±　． 【分析】先移项得出＝1，两边平方得出x2﹣1＝1，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【解答】解：﹣1＝0， ＝1， 两边平方，得x2﹣1＝1， 即x2＝2， 解得：x＝， 经检验x＝是方程﹣1＝0的解， 故答案为：x＝． 【点评】本题考查了解无理方程，能把求无理方程转化成求有理方程是解此题的关键． 8．方程的解是　x＝3　． 【分析】先移项，再把方程两边平方去根号后求解，再检验得出原方程的解． 【解答】解：移项得，＝x﹣3， 方程两边平方得，3﹣x＝x2﹣6x+9， 移项得，x2﹣5x+6＝0， 则（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， x1＝2，x2＝3， 经检验，x＝3是原方程的解， 所以，原方程的解为：x＝3， 故答案为：x＝3． 【点评】本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法． 9．无理方程（x+4）•＝0的解是 　x＝﹣3　． 【分析】根据ab＝0，得a＝0或b＝0，注意被二次根式开方数大于等于0． 【解答】解：∵（x+4）• ∴x+4＝0或x+3＝0， 解得x＝﹣4，x＝﹣3， 当x＝﹣4时，被开方数无意义； 故方程的解为x＝﹣3， 故答案为：x＝﹣3． 【点评】本题考查了无理方程，应注意被二次根式开方数大于等于0． 10．方程＝1的解是　1　． 【分析】先将方程两边平方，然后再解分式方程，注意要检验． 【解答】解：方程两边平方得：， 解这个分式方程得：x＝1． 检验：当x＝1时，x≠0，， ∴原方程的解为：x＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法等．注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 三．解答题（共6小题） 11．解方程：﹣2x＝1． 【分析】移项得出，两边平方得出3x+6＝1+4x+4x2，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：移项，得， 两边平方，得3x+6＝1+4x+4x2， 即4x2+x﹣5＝0， 解得：或x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解，不是原方程的解，舍去， 所以原方程的解是x＝1． 【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 12．解方程：． 【分析】原方程化为3（x2﹣4x+7）﹣2﹣8＝0，设＝y，方程化为3y2﹣2y﹣8＝0，求出y，再求出x，最后进行检验即可． 【解答】解：原方程化为：3（x2﹣4x+7）﹣2﹣8＝0， 设＝y，则方程化为：3y2﹣2y﹣8＝0， 解得：y＝﹣或2， 当y＝﹣时，＝﹣， ∵算术平方根为非负数， ∴此方程无解； 当y＝2时，＝2， 即x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝3，x2＝1， 经检验：x1＝3和x2＝1都是原方程的解， 所以原方程的解是x1＝3，x2＝1． 【点评】本题考查了解无理方程和解一元二次方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 13．解方程． 【分析】移项后两边平方，整理后得出7﹣x＝3，再两边平方，得出一个一元二次方程，求出方程的解，最后进行检验即可． 【解答】解：移项，得＝3﹣， 两边平方，得3x﹣2＝9﹣6+x+3， 整理得：7﹣x＝3， 两边平方，得49﹣14x+x2＝9（x+3）， 即x2﹣23x+22＝0， 解得：x＝1或22， 经检验x＝1是原方程的解，x＝22不是原方程的解， 所以原方程的解是x＝1． 【点评】本题考查了解无理方程和解一元二次方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 14．解方程：． 【分析】先两边平方，整理后再两边平方，据此可得关于x的一元二次方程，解之求得x的值，再检验即可得． 【解答】解：2x﹣5＝1﹣2+x+1， 2＝7﹣x， x2﹣18x+45＝0， （x﹣3）（x﹣15）＝0， x1＝3，x2＝15， 经检验：x1＝3，x2＝15都是原方程的增根，都舍去， ∴原方程无解． 【点评】本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第4讲 21.3-21.4 分式方程与无理方程 目录 1、 【进门测试】共6题； 2、 【知识精讲】共四个知识点； 3、 【典例解析】共10例题； 4、 【过关演练】共7题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共29题：A组15题，B组14题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．在去分母解关于x的分式方程的过程中产生增根，则a＝　　． 2．方程3＝的解是 　 　． 3．下列方程中，有实数根的是（　　） A．x²+2x+3＝0 B．＝ C．＝﹣x D．x6+16＝0 4．下列方程中，有实数根的方程是（　　） A．x4+16＝0 B．x2+2x+3＝0 C． D． 5．下列方程中有实数解的方程是（　　） A．＝ B．+＝2 C．x3+1＝0 D．x2+x+1＝0 6．下列方程中，有实数根的是（　　） A． B．+x＝0 C．x2+2＝0 D．x2+x+2＝0 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 二．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 三．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 四．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．分式方程的增根 例1．如果方程有增根，则k＝　　． 例2．解方程：． 例3．已知关于x的分式方程+＝． （1）若方程有增根，求k的值． （2）若方程的解为负数，求k的取值范围． 二．无理方程 例4．已知关于x的方程x2﹣x+k＝0有实数根，求k的取值范围． 例5．下面是小明同学解无理方程3﹣＝x的过程： 原方程可变形为3﹣x＝……（第一步） 两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步） 整理，得﹣3x＝6……（第三步） 解得x＝2……（第四步） 检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝3﹣＝2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步） 所以，原方程的解是x＝2．……（第六步） 请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题： （1）以上小明的解题过程中，从第 　 　步开始出错； （2）请完成正确求解方程3﹣＝x的过程． 例6．解方程：﹣＝1． 例7．如果关于x的方程＝2﹣3a无实数根，那么a的取值范围是　 　． 例8．解方程：+1＝x． 例9．（1）解无理方程：﹣＝1； （2）已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值． 例10．关于x的方程有一个增根x＝4，则a＝　　． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．解方程：＝﹣1． 2．方程＝2﹣x的根是 　　． 3．方程•＝0的根是　　． 4．下列方程中，有一个根是x＝2的方程是（　　） A． B． C． D． 5．如果关于x的方程＝x有实数根x＝1，那么m的值是（　　） A．﹣1 B． C．0 D．2 6．（1）解方程：﹣＝； （2）解方程：2+x＝1． 7．解方程：x2﹣8x﹣8﹣x＝0． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1、解方程： 2、解方程： 3．＝有增根，求所有可能的t之和． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题（共5小题） 1．若分式方程＝2﹣有增根，则a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．0 2．关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．0 D．1 3．下列说法正确的是（　　） A．+＝1分式方程 B．x2+3y＝1是二元二次方程 C．x2+x﹣1＝0是无理方程 D．x2+x＝0是二项方程 4．下列说法正确的是（　　） A．x2﹣x＝0是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．2x2﹣＝4是二元二次方程 5．下列方程中，有实数根的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共7小题） 6．如果关于x的方程＝2﹣的有增根，那么k的值为　 　． 7．若关于x分式方程＝有增根，则m＝　 　． 8．当m＝　 　时，方程会出现增根． 9．若关于x的方程＝1有增根，则a＝　 　． 10．方程＝3的根是　 　． 11．方程＝0的根为　 　． 12．方程的根是　 　． 三．解答题（共3小题） 13．解方程：﹣＝1 14．解方程： 15．解方程：+＝﹣1 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2022/2/12 21:53:37；用户：15921142042；邮箱：1592114题组B 能力提升练 一．选择题（共6小题） 1．下列方程中有实数解的方程是（　　） A．x2+2x+3＝0 B．＝x C．＝ D．+1＝0 2．下列关于x方程中，有实数根的是（　　） A．﹣＝0 B．+＝0 C．＝x﹣3 D．＝x﹣3 3．方程＝x的根是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2 二．填空题（共8小题） 4．当m＝　 　，方程会产生增根． 5．关于x的方程+＝2有增根，则m＝　　． 5．如果方程+1＝有增根，那么m＝　　． 6．如果关于x的方程有增根x＝2，那么k的值为　　． 7．方程﹣1＝0的解是 　 　． 8．方程的解是　 　． 9．无理方程（x+4）•＝0的解是 　 　． 10．方程＝1的解是　 　． 三．解答题（共6小题） 11．解方程：﹣2x＝1． 12．解方程：． 13．解方程． 14．解方程：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$