第04讲 整式方程、无理方程与二元二次方程（3个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（沪教版）

第04讲 整式方程、无理方程与二元二次方程（3个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 一元整式方程 题型二 二项方程 题型三 无理方程的概念 题型四 解无理方程 题型五 判断无理方程解的情况 题型六 二元二次方程(组)判断 题型七 二元二次方程组的解法 题型八 方程组的应用 知识点01 整式方程 1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数. 2.含字母系数的一元一次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程； 求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！ 3．含字母系数的一元二次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程； 解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式； 一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程. 5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为： . 二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根. 知识点02无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程. 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程； 代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程. 3.无理方程的解法 （1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解； （2）一般步骤： 知识点03二元二次方程组与列方程（组）解应用题 1.二元二次方程 2.二元二次方程组 3.二元二次方程组的解法 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. (3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题 【核心考点一 一元整式方程】 【例1】（2024八年级下·上海·专题练习）下列方程是一元高次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（        ） A． B． C．或 D． 【例3】（2024·上海宝山·二模）设a为一元二次方程的一个实数根，则 ． 【例4】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）方程的根是 ． 【例5】（23-24八年级·上海·假期作业）已知． (1)求，，，； (2)当x为何值时，没有意义？ (3)当x为何值时，？ 【核心考点二 二项方程】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）下列方程中，是二项方程的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知各组的值①②③④其中，是二元二次方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（23-24八年级下·上海·阶段练习）二项方程的实数解是 ． 【例4】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 【例5】（23-24八年级下·上海·阶段练习）解方程： 【核心考点三 无理方程的概念】 【例1】（2024·上海·三模）下列方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海崇明·期中）下列说法正确的是（   ） A．是无理方程 B．是二次方程 C．是二元二次方程 D．是分式方程 【例3】（23-24八年级下·上海青浦·期中）如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）若x满足成立，则x的值是 ． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是无理方程？ （1）=0；　 （2）=0；　 （3）=0； （4）（a是常数）． 【核心考点四 解无理方程】 【例1】（2024·上海虹口·二模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列无理方程有解的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）方程的解为 ． 【例4】（23-24八年级下·上海闵行·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 【例5】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题：（1）方程的解是，______，______． （2）求方程的解． 拓展：（3）用“转化”思想求方程的解． 【核心考点五 判断无理方程解的情况】 【例1】（23-24八年级下·上海静安·期末）下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）方程的根为 ． 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）方程的根是 ． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？ ①；②；③． 【核心考点六 二元二次方程(组)判断】 【例1】（2024八年级下·上海静安·专题练习）在下列判断中，正确的是（     ） A．方程是二元一次方程 B．方程是一元二次方程 C．方程是分式方程 D．方程是无理方程 【例2】（23-24八年级下·上海闵行·期末）下列方程中，判断中错误的是（    ） A．方程是分式方程 B．方程是二元二次方程 C．方程是无理方程 D．方程是一元二次方程 【例3】（2024八年级下·上海·专题练习）二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【例4】（23-24八年级下·上海奉贤·期中）方程组 二元二次方程组（填“是”或“不是”）． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）k为何值时，方程组． （1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解． 【核心考点七 二元二次方程组的解法】 【例1】（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）方程组的解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【例2】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）方程组有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024·上海徐汇·二模）方程组的解是 ． 【例4】（2024八年级下·上海·专题练习）已知，为实数，满足，则的值为 ． 【例5】（23-24八年级下·上海宝山·期末）计算 (1)解方程组； (2)． 【核心考点八 方程组的应用】 【例1】（2024八年级下·上海·模拟预测）若表示不超过的最大整数，有序正整数组满足，且，则满足条件的数组共有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【例2】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示（q≠0).如果 ，，且q>0，则= （    ）. A．4 B．8 C． D．6 【例3】（23-24八年级下·上海闵行·期末）我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为尺，高为尺，那么可列方程组是 ． 【例4】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）小亮利用8个同样大小的长方形小木块拼成下面两个图形，经测量得知图②中的小正方形（阴影部分）的面积为，则一个长方形小木块的周长为 . 【例5】（23-24八年级下·上海嘉定·课后作业）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车和3辆B型汽车的进价共计万元；辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元．求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ 【变式训练1 一元整式方程】 1．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列方程中，是关于的一元三次方程的是（　　） A． B． C． D．（为非零常数） 2．（2024·上海·模拟预测）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3．（23-24八年级下·上海·期末）方程x3﹣x＝0在实数范围内的解是 4．（23-24八年级下·河北唐山·期末）若实数，满足，，则的值为 ． 5．（2024·辽宁抚顺·一模）解方程： （1） （2） 【变式训练2 二项方程】 1．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）下列方程中，二项方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 3．（23-24八年级下·江苏南京·自主招生）方程的整数解共有 对 4．（2024·上海·模拟预测）已知关于的方程是二项方程，那么 ． 5．（23-24八年级下·上海·期末）解关于的方程： 【变式训练3 无理方程的概念】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列方程是无理方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（    ） A．方程无实数根 B．方程变形所得有理方程为 C．方程的根是 D．关于x的方程有实数根，那么 3．（23-24九年级·浙江宁波·自主招生）已知x，y为正整数，且满足方程，则该方程的解为 ． 4．（2024·浙江温州·一模）二次根式，则的值为 ． 5．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）（1）阅读材料：方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”——化未知为已知，利用“转化思想”，我们还可以解一些新的方程．像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项，得， 两边平方，得， 解这个一元二次方程，得，． 检验所得到的两个根，发现只有________是原无理方程的根． （2）理解应用： ①方程的解是________； ②解方程． 【变式训练4 解无理方程】 1．（23-24八年级下·上海静安·期中）如果关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·模拟预测）方程组的解是 ． 4．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于的整式方程为 ． 5．（23-24八年级下·上海·阶段练习）（1）解方程： （2）解方程： 【变式训练5 判断无理方程解的情况】 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列关于x的方程中，一定有实数根的方程是（    ） A． B． C． D．（a、b均为实数） 2．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）下列方程没有实数根的个数是（    ） （1），（2），（3），（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）无理方程：在实数范围内 ．（填写“有解”或“无解”） 4．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）下列方程中：a、；b、；c、；d、属于高次方程的是 ． 5．（23-24九年级·湖北恩施·单元测试）某同学作业本上做了这么一道题：“当a=时，试求a+的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为 ，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理． 【变式训练6 二元二次方程(组)判断】 1．（2024·上海宝山·三模）在下列方程中，不是二元二次方程的有（   　） A．； B．xy＝3； C．； D．． 2．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）下列说法正确的个数是（    ） （1）方程是分式方程； （2）方程是无理方程； （3）方程是二项方程； （4）方程是二元二次方程． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024八年级下·上海·专题练习）已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 ． 4．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 写出一个符合条件的即可． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项． （1） （2） （3） （4） 【变式训练7 二元二次方程组的解法】 1．（23-24九年级·浙江杭州·期末）方程的整数解的组数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程组的解是 ． 4．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 5．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）解方程（组）： (1) (2) 【变式训练8 方程组的应用】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）某种型号的空调器经过3次降价，价格比原来下降了30%，则其平均每次下降的百分比（精确到1%）应该是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海静安·课后作业）方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是（  　 ） A． B． C． D．，且 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 ． 4．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，等边三角形的顶点，分别落在矩形的两邻边、上，若，，则边长为 ． 5．（23-24八年级下·天津·期末）一种商品有大小盒两种包装，若4大盒、3小盒共装ll6瓶，2大盒、3小盒共装76瓶，求大盒与小盒每盒各装多少瓶． 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）如果，且，则的值可能是（   ） A．-     B．1 C． D．以上都无可能 2．（23-24八年级下·上海·单元测试）下列各对未知数的值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知方程组把（2）代入（1）得到正确的方程是（　　） A．x2+2（1﹣x）=1 B．x2+2（x﹣1）=1 C．x2+（1﹣x2）=0 D．x2+（1﹣x）2=1 4．（23-24八年级下·上海静安·期中）一项工程，甲、乙合作6天可完成，若独做，甲可比乙少5天，设甲，乙独做分别需x天，y天，以下所列的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·上海宝山·期中）关于的方程无实数根，的取值范围是 . 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）解方程时，设 换元后，整理得关于y的整式方程是 ． 8．（23-24八年级下·上海·课后作业）二元二次方程2x²+3xy－6y²+x－4y=3中，二次项是 ，一次项是 ，常数项是 .  9．（23-24八年级下·全国·单元测试）当取值为 时，关于的方程与只有一个相同的实数根． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，若min{，1}=x，则x= ． 11．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）解方程组 12．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）计算： （1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程组：． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）对于有理数a、b，定义运算：“★”，当a≥b时，a★b=2a-3b，当a＜b时，a★b=． （1）计算：（x+2）★（x+1）的值； （2）若（x+1）★（2x-1）=-1，求x的值． 14．（23-24八年级下·河南许昌·期中）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题：（1）方程的解是，______，______． （2）求方程的解． 拓展：（3）用“转化”思想求方程的解． 15．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （3）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 整式方程、无理方程与二元二次方程（3个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 一元整式方程 题型二 二项方程 题型三 无理方程的概念 题型四 解无理方程 题型五 判断无理方程解的情况 题型六 二元二次方程(组)判断 题型七 二元二次方程组的解法 题型八 方程组的应用 知识点01 整式方程 1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数. 2.含字母系数的一元一次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程； 求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！ 3．含字母系数的一元二次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程； 解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式； 一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程. 5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为： . 二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根. 知识点02无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程. 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程； 代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程. 3.无理方程的解法 （1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解； （2）一般步骤： 知识点03二元二次方程组与列方程（组）解应用题 1.二元二次方程 2.二元二次方程组 3.二元二次方程组的解法 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. (3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题 【核心考点一 一元整式方程】 【例1】（2024八年级下·上海·专题练习）下列方程是一元高次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 【答案】D 【分析】根据一元高次方程的定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，即可得出答案． 【详解】解：这四个方程都只含一个未知数， ∵A，B中未知数的项的次数小于等于2， ∴A，B选项不是一元高次方程，不符合题意， ∵C中分母中含有未知数， ∴是分式方程， ∴C选项不符合题意， ∵D符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程， ∴D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元高次方程的定义，注意几元几次方程都首先是整式方程． 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（        ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【详解】原方程可变形为 把x=0代入可得到(m+2)(m−2)=0， 解得m=2或m=−2， 当m=2时，m−2=0，一元二次方程不成立，故舍去， 所以m=−2. 故选:B. 【点睛】考查一元二次方程解的概念，注意二次项系数不能为0. 【例3】（2024·上海宝山·二模）设a为一元二次方程的一个实数根，则 ． 【答案】6065 【分析】根据a为一元二次方程的一个实数根，可以得到的值，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵a为一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：6065． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，明确题意，利用整体的数学思想解答是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）方程的根是 ． 【答案】x=或x= 【分析】将左边因式分解，降次后化为两个一元二次方程即可解得答案． 【详解】解：由x4-9=0得（x2+3）（x2-3）=0， ∴x2+3=0或x2-3=0， 而x2+3=0无实数解， 解x2-3=0得x=或x=， 故答案为：x=或x=． 【点睛】本题考查解一元高次方程，解题的关键是将方程左边因式分解，把原方程降次，化为一元二次方程． 【例5】（23-24八年级·上海·假期作业）已知． (1)求，，，； (2)当x为何值时，没有意义？ (3)当x为何值时，？ 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（1）把x的值分别代入计算即可； （2）根据分式无意义的条件即可求解； （3）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：∵没有意义， ∴，即得； （3）解：∵， ∴，解得． 【点睛】本题考查抽象函数、分式无意义的条件、分式的代入求值、解分式方程，理解题意，掌握相关知识是解题的关键． 【核心考点二 二项方程】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）下列方程中，是二项方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二项方程的定义，根据二项方程的定义：如果一元n次方程（n是正整数）的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程叫做二项方程，进行判断即可． 【详解】解：是二项方程， 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知各组的值①②③④其中，是二元二次方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二元二次方程的解，将题目中的各组解分别代入中，看哪一组解使得，则哪一组解就是方程的解，本题得以解决 【详解】解：即 ①当时，，故该选项符合题意； ②．当，，故该选项符合题意； ③． ，故该选项不符合题意； ④． ，故该选项符合题意； 则符合题意得有3个． 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·上海·阶段练习）二项方程的实数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查高次方程的解法，关键在于降次，利用开平方降次是关键．先求的解，再求实数解即可． 【详解】解：， ， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，写出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了二项方程，根据题意，写出方程是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·上海·阶段练习）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解二项方程，先化为，进而根据，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 解得：或 【核心考点三 无理方程的概念】 【例1】（2024·上海·三模）下列方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解无理方程，分别解二次根式的意义及无理方程逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴无解；该选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴无解；该选项不符合题意； C、∵， ∴， 解得该不等式组无解， ∴无实数解；原方程不符合题意； D、∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故方程有实数根，符合题意； 故选D． 【例2】（23-24八年级下·上海崇明·期中）下列说法正确的是（   ） A．是无理方程 B．是二次方程 C．是二元二次方程 D．是分式方程 【答案】C 【分析】本题考查无理方程，二元二次方程，一元二次方程等知识，解题的关键是掌握无理方程，二元二次方程，一元二次方程的定义． 根据二元二次方程，无理方程，分式方程的定义一一判断即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，本选项不符合题意； B、是一元二次方程，本选项不符合题意； C、是二元二次方程，本选项正确，符合题意； D、，是无理方程，本选项不符合题意． 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·上海青浦·期中）如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程和解一元一次不等式，能根据算术平方根的非负性得出是解此题的关键．移项后得出，根据算术平方根的非负性得出，求出此时，再求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， 若方程无实数解，必须， ， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）若x满足成立，则x的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了无理方程，正确进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 经检验，符合题意 ， 故答案为7． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是无理方程？ （1）=0；　 （2）=0；　 （3）=0； （4）（a是常数）． 【答案】（1）（2）（3）是无理方程 【分析】根据无理方程的定义判断即可． 【详解】解：（1）（2）（3）被开方数含有未知数，是无理方程；（4）是一元一次方程； 答：（1）（2）（3）是无理方程． 【点睛】本题考查了无理方程，掌握无理方程的定义是解决本题的关键． 【核心考点四 解无理方程】 【例1】（2024·上海虹口·二模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式两边同时平方得到一元一次方程，解方程并检验即可解题. 【详解】解：将方程两边平方得， 解得： 经检验：是原无理方程的解； 故选C． 【点睛】本题考查了无理方程及一元一次方程的解法，解本题的关键是注意解出方程之后一定要进行检验，确保式子有意义． 【例2】（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列无理方程有解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式双重非负性逐一判断即可得． 【详解】解：A、由知，此方程无实数解； B、由题意得，解得无解知，此方程无实数根； C、由题意得，解得知，此方程有实数根； D、由题意得，解得无解知，此方程无实数根； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理方程，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【例3】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查根式方程的解.先采用换元法令，则，观察可得：，再进行化简可得：，再平方可得方程，解方程可求出方程的解. 【详解】解：设， 则， 观察可得：， 化简可得：， 所以， 即， 两边同时平方可得：， 解方程可得：，， 经检验，，是原方程的解， 故答案为：， 【例4】（23-24八年级下·上海闵行·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，将无理方程转化为有理方程是解题的关键． 按照题干中的步骤，先等式两边同时平方，再进行解方程，最后验根即可， 【详解】解：按照上述过程可将等式两边同时平方，转化为整式方程 即 ， 解整式方程得，， 将检验，代入，不符合题意，舍去，符合题意， 即是原方程的解， 故答案为． 【例5】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题：（1）方程的解是，______，______． （2）求方程的解． 拓展：（3）用“转化”思想求方程的解． 【答案】（1），3；（2），，；（3） 【分析】（1）各项都有x，提出公因式x，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为，解之即可， （2）方程，化为一般形式，各项都有x，提出公因式x，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为解之即可， （3），方程两边平方，整理得，利用十字相乘法分解为，解之求出x，要注意无理方程的条件限定，进行取舍即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：；3． （2）方程，可化为， ， ． ∴或或， ∴，，． （3），方程两边平方，得， 即，， ∴或，，． ∵得， ∴是原方程的解． 【点睛】本题考查因式分解法解高次方程与无理方程问题，掌握因式分解的方法，和使无理方程有意义的条件，会用因式分解法解方程是解题关键． 【核心考点五 判断无理方程解的情况】 【例1】（23-24八年级下·上海静安·期末）下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，乘方的意义，算术平方根的意义，分式方程有意义的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据一元二次方程根的判别式、偶次方的意义、算术平方根的意义、以及分式方程的解逐项分析即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴一元二次方程有两边不相等的实数根，故A符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴无实数根，故B不符合题意； C、∵，， ∴方程无实数根，故C不符合题意； D、， 去分母得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解，故D不符合题意． 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的非负性对A进行判断；利用根的判别式的意义对B进行判断；解无理方程对C进行判断；解分式方程对D进行判断． 【详解】解：A、移项得：，因为，所以原方程没有实数解，所以A选项不符合题意； B、因为，所以原方程没有实数解，所以B选项不符合题意； C、给方程两边同时平方得：，化为一般形式为：，解得，经检验时不满足原方程，所以，所以C选项符合题意； D、解方程得，经检验当时分母为零，所以原方程无实数解，所以D选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了解无理方程、一元二次方程、分式方程等知识点，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解． 【例3】（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，根据几个式子的积为0，则必有一个因式为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴或或， ∴或或， 检验：当或时，，无意义，当时，满足题意； ∴方程的根为：． 故答案为： 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）方程的根是 ． 【答案】 【分析】先把无理方程化为或，分别求解，再检验，即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∵， ∴ ∴， 检验：为方程的根，不是方程的根， 故答案为． 【点睛】本题主要考查解无理方程，无理方程要对根进行检验． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？ ①；②；③． 【答案】见解析 【分析】不解方程直接判断它的解的情况，主要看该方程能否成立，依据是“对于二次根式，有．” 【详解】解:（1）∵，∴，∴方程无解； （2）∵，∴，∴方程无解； （3）∵，，∴x≥5且x≤2，∴方程无解． 【点睛】本题考查二次根式的性质及其有意义条件，掌握二次根式的性质及其有意义条件是解题关键． 【核心考点六 二元二次方程(组)判断】 【例1】（2024八年级下·上海静安·专题练习）在下列判断中，正确的是（     ） A．方程是二元一次方程 B．方程是一元二次方程 C．方程是分式方程 D．方程是无理方程 【答案】B 【分析】由二元二次方程方程定义判断A，特别是注意这样的项的次数是2， 由一元二次方程定义判断B与D，由一元一次方程定义判断C． 【详解】解：是二元二次方程，所以A错误， 即是一元二次方程所以B正确， 是整式方程中的一元一次方程，所以C错误， 方程中只是系数出现无理数，是一元二次方程所以D错误． 故选B． 【点睛】本题考查的是各种方程的定义，掌握各种方程的定义是解题关键． 【例2】（23-24八年级下·上海闵行·期末）下列方程中，判断中错误的是（    ） A．方程是分式方程 B．方程是二元二次方程 C．方程是无理方程 D．方程是一元二次方程 【答案】C 【分析】逐一进行判断即可． 【详解】A. 方程是分式方程，正确，故该选项不符合题意；     B. 方程是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意； C. 方程是一元二次方程，错误，故该选项符合题意； D. 方程是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键． 【例3】（2024八年级下·上海·专题练习）二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，把看成常量，把看成常量，方程就是关于的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可，方程看成关于的一元二次方程是解决本题的关键． 【详解】解：， ， ，． 故答案为：，． 【例4】（23-24八年级下·上海奉贤·期中）方程组 二元二次方程组（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查二元二次方程的定义，根据两个整式方程，共含有2个未知数，含未知数的项的最高次数为2，组成的方程组叫做二元二次方程组，进行判断即可． 【详解】解：方程组是二元二次方程组； 故答案为：是． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）k为何值时，方程组． （1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解． 【答案】（1）k=1；（2）k<1且k≠0；（3）k>1 【分析】（1）将方程组转化为k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，用根的判别式，列出方程求解即可； （2）同（1）用根的判别式，列出不等式求解即可； （3）通过讨论k＝0和k≠0，根据方程无实根，确定k的范围即可． 【详解】解：将（2）代入（1），整理得k2x2+（2k-4）x+1=0（3）， （1）当时，方程（3）有两个相等的实数根． 即 解得：，　 ∴当k=1时，原方程组有两组相等的实数根． （2）当时，方程（3）有两个不相等的实数根． 即 解得：， ∴当k<1且k≠0时，原方程组有两组不等实根． （3）①若方程（3）是一元二次方程，无解条件是， 即 解得：，　∴k＞1． ②若方程（3）不是二次方程，则k=0，此时方程（3）为-4x+1=0，它有实数根x=． 综合①和②两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根． 【点睛】本题考查了二次方程组根的情况，解题关键是把方程组转化为方程，再分类讨论，利用根的判别式进行求解． 【核心考点七 二元二次方程组的解法】 【例1】（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）方程组的解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】本题考查解二元二次方程组，根据多项式乘多项式的积为0，则每一个多项式均为0，求出的值，结合，求出方程组的解，即可． 【详解】解：由，得： 或， ∴或， 把代入，得：， 把代入，得：，此方程无解， ∴原方程组的解为：，只有1组； 故选A． 【例2】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）方程组有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①②得出，求出，根据方程组有实数解得出，再求出k的取值范围即可． 【详解】解：， ①②，得，即， ∵方程组有实数解， ∴一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解高次方程组和一元二次方程根的判别式，方程组消元转化成一元二次方程是解此题的关键． 【例3】（2024·上海徐汇·二模）方程组的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程，代入消元法，将方程组先转化为一元二次方程，再进行求解即可． 【详解】解： 由②得：③； 把③代入①，得：，解得：， ∴， ∴方程组的解为：或； 故答案为：或 【例4】（2024八年级下·上海·专题练习）已知，为实数，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】对所给条件进行因式分解，分别求出与的值，再利用完全平方公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 解得：或， 当时， ， 当时，， ， 整理得：， ， ∴此方程无解； 综上所述，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·上海宝山·期末）计算 (1)解方程组； (2)． 【答案】(1)或或 (2) 【分析】本题考查了解二元二次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先整理方程组，再利用代入消元法求解方程即可； （2）先计算乘方，零指数幂，负整数幂，开立方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解：方程组整理得， ②代入①得：，即， 解得：或， 将代入②得：， 解得：或， 即或； 将代入②得：， 解得：， 即； 综上，方程组的解为：或或； （2）解：原式 ． 【核心考点八 方程组的应用】 【例1】（2024八年级下·上海·模拟预测）若表示不超过的最大整数，有序正整数组满足，且，则满足条件的数组共有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】本题考查了二次方程的整数解问题，不等式的应用，正确求出相关量的取值范围是解答本题的关键．设，，，，a，b，c均为正整数，得到，然后求出c的取值范围，再讨论c的值，即可求得a，b的值，从而得到，，，再列出不等式，即可逐步求得答案． 【详解】设，，，，a，b，c均为正整数， 则， ，且，，，均为正整数， ，，，， ，，， 又， ， 当时，， 解得， 这与不符，舍去； 当时，， 方程无正整数解，舍去； 当时，， 解得， 所以，，， ，，， ①，②，③， 解不等式①得，， 当时，解不等式②得，或， 当，时，解不等式③得，或， 当，时，解不等式③得，或（舍去）， 所以满足题意得有序正整数组有3组：，，． 故选B． 【例2】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示（q≠0).如果 ，，且q>0，则= （    ）. A．4 B．8 C． D．6 【答案】A 【详解】由题意得，a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，所以a1+a1q3=18①，a1q+a1q2=12②，联立方程①②，解得a1=2，q=2，则a2=a1q=2×2=4，故选A. 【例3】（23-24八年级下·上海闵行·期末）我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为尺，高为尺，那么可列方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键． 设长方形门的宽尺，则高是尺，根据勾股定理即可列方程求解． 【详解】解：设长方形门的宽尺，高是尺，根据题意得： ， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）小亮利用8个同样大小的长方形小木块拼成下面两个图形，经测量得知图②中的小正方形（阴影部分）的面积为，则一个长方形小木块的周长为 . 【答案】16 【分析】仔细观察图形，发现本题中2个等量关系为：小长方形的长小长方形的宽，（小长方形的长小长方形的宽小长方形的长小长方形的宽．根据这两个等量关系可列出方程组，即可求出小长方形的周长． 【详解】解：设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为． 由题意，得， 解得． 小长方形的周长为， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的对边相等及正方形的面积个小长方形的面积小正方形的面积是关键． 【例5】（23-24八年级下·上海嘉定·课后作业）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车和3辆B型汽车的进价共计万元；辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元．求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ 【答案】、两种型号的汽车每辆进价分别为万元和万元 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是设、两种型号的汽车进价为万元和万元，列出方程，即可． 【详解】设、两种型号的汽车进价为万元和万元， ∴， 解得：． 答：、两种型号的汽车每辆进价分别为万元和万元． 【变式训练1 一元整式方程】 1．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列方程中，是关于的一元三次方程的是（　　） A． B． C． D．（为非零常数） 【答案】D 【分析】根据一元三次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为3的整式方程，进行判断即可． 【详解】解：A．，整理，得：，当为负数时，不是一元三次方程，不符合题意； B．不是整式方程，不符合题意； C．，整理得：，没有3次项，不符合题意； D．（为非零常数）整理，得：（为非零常数），是一元三次方程，符合题意； 故选． 【点睛】本题考查一元三次方程的识别．熟练掌握一元三次方程的定义，是解题的关键． 2．（2024·上海·模拟预测）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海·期末）方程x3﹣x＝0在实数范围内的解是 【答案】x1＝0，x2＝-1，x3＝1． 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：x3﹣x＝0， x（x2﹣1）＝0， x（x+1）（x﹣1）＝0， x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝-1，x3＝1． 【点睛】本题考查了解高次方程，能把解高次方程转化成解低次方程是解此题的关键． 4．（23-24八年级下·河北唐山·期末）若实数，满足，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】当时，由实数，满足，，可把，可以看成一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系，两根之和等于，两根之积等于，即可得到，，再将化简，代入数据求解即可；当时，代入原式求解即可． 【详解】当时， 实数，满足，， ，可以看成一元二次方程的两个根， 根据根与系数的关系可知：，， 原式 ， 当时， 原式 ， 综上所述，的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，分式的化简，掌握根与系数的关系是解题的关键． 5．（2024·辽宁抚顺·一模）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用求根公式法解方程． 【详解】解：（1）， ， ， ， 所以； （2）， ， 所以． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了配方法解方程． 【变式训练2 二项方程】 1．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）下列方程中，二项方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二项方程的判断，如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，不是二项方程，不符合题意； B、是二项方程，符合题意； C、是一元二次方程，不是二项方程，不符合题意； D、是一元一次方程，不是二项方程，不符合题意； 故选B． 2．（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 【答案】D 【分析】根据二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. 不是二项方程，故该选项不正确，不符合题意；     B. 不是分式方程，故该选项不正确，不符合题意； C. 不是无理方程，故该选项不正确，不符合题意；     D. 是二元二次方程组，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，分母含有未知数的方程是分式方程，根号内含有未知数的方程是无理方程，掌握以上知识是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏南京·自主招生）方程的整数解共有 对 【答案】2 【分析】此题考查了方程的解，解题的关键是将原方程正确变形． 首先将变形为，然后根据x，y都是整数求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∵x，y都是整数 ∴当时，； 当时，； ∴方程的整数解共有2对． 故答案为：2． 4．（2024·上海·模拟预测）已知关于的方程是二项方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了高次方程．利用方程的项数得出方程不含一次项，列式计算可得答案． 【详解】解：由题意，得： ． 故答案为：1． 5．（23-24八年级下·上海·期末）解关于的方程： 【答案】见解析 【分析】此题考查解二项方程，正确掌握二项方程的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，； 当时，； 当时，方程无解． 【变式训练3 无理方程的概念】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列方程是无理方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理方程∶ 根号下含有未知数（被开方数是含有未知数）的方程，根据无理方程的定义逐项判定即可． 【详解】解∶A．，不是无理方程，故不符合题意； B．，是无理方程，故符合题意； C．，不是无理方程，故不符合题意； D．，不是无理方程，故不符合题意； 故选∶B． 2．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（    ） A．方程无实数根 B．方程变形所得有理方程为 C．方程的根是 D．关于x的方程有实数根，那么 【答案】D 【分析】根据解各个选项中的方程，并判断是否符合题意，从而得出答案． 【详解】解：A、∵，两边平方得x+4=x2， ∴x2-x-4=0，解得：x=，经检验，x=是增根，x=是原方程的根，故此选不符合题意； B、方程变形所得有理方程为，故此选不符合题意； C、∵，两边平方得2x+3=x2， ∴x2-2x-3=0，解得：x1=3，x2=-1，经检验，x1=3是原方程的根，x2=-1不是原方程的根，是增根，故此选不符合题意； D、把x=1代入，得，解得：m=-1，经检验，m=-1是方程的根，故此选符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查无理方程，解答本题的关键是明确无理方程的解法，注意无理方程要检验． 3．（23-24九年级·浙江宁波·自主招生）已知x，y为正整数，且满足方程，则该方程的解为 ． 【答案】， 【分析】根据等式的性质得到，进而得到或20，把的值代入计算即可．本题考查的是无理方程的解法，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 则或，即或20， 当时，， 解得：，不符合题意， 当时，， 解得：， 该方程的解为，． 故答案为： 4．（2024·浙江温州·一模）二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理方程，根据题意得，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 经检验：是方程的解， 故答案为： 5．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）（1）阅读材料：方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”——化未知为已知，利用“转化思想”，我们还可以解一些新的方程．像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项，得， 两边平方，得， 解这个一元二次方程，得，． 检验所得到的两个根，发现只有________是原无理方程的根． （2）理解应用： ①方程的解是________； ②解方程． 【答案】（1）；（2）①，；② 【分析】（1）根据阅读材料，先根据解法解方程，然后通过检验可确定解得的根是不是原方程的根； （2）①仿照（1）中的解方程的方法求解即可；②仿照（1）中的解方程的方法求解即可． 【详解】（1）将，分别代入中检验得， 明显没有意义， ∴是原无理方程的根， 故答案是； （2）①由得：，或， 解得：，， 经过检验所得到的两个根都是原无理方程的根， 故答案为：，； ②∵， 移项，得， 两边平方，得， 解这个一元二次方程，得，， 检验所得到的两个根，发现只有是原无理方程的根． 【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，要注意验根． 【变式训练4 解无理方程】 1．（23-24八年级下·上海静安·期中）如果关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把原方程化为，根据方程无解结合算术平方根的非负形可知，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程没有实数根， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了无理方程，正确理解题意是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查判断方程的根的情况，对于选项A，由知可判断方程没有实数根；对于选项B，由知可得，可判断方程没有实数根；对于选项C，求得是原方程的解，对于选项D，，原方程无解． 【详解】解：A、∵， ∴， 故选项A不正确； B. ∵， ∴， ∴， 故选项B不正确； C.去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， 故选项C正确； D. ，原方程没有实数根． 所以D选项错误． 故选：C． 3．（2024·上海·模拟预测）方程组的解是 ． 【答案】或 【分析】由方程组，根据平方法先求出的值，然后解方程组即可得出答案．本题考查了无理方程，难度不大，关键是先利用平方法求出的值再进行求解． 【详解】解：由方程组， ， ， 两边平方得：， ∵ ∴ ，， 解得：或， 经检验均为方程组的解， 故答案为：或． 4．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于的整式方程为 ． 【答案】 【分析】设，两边平方可得，将原方程变形，整体代入可得． 【详解】解：设， ∴，， ∴， 则原方程为：，整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理方程，换元法，解题的关键是根据换元法求出，整体代入． 5．（23-24八年级下·上海·阶段练习）（1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1）x=6；（2）x=7． 【分析】（1）移项后两边平方，即可把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可； （2）移项后两边平方，即可把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：（1）移项得：， 两边平方得：x-2=x2-8x+16， 整理得：x2-9x+18=0， 解得：x1=3，x2=6， 经检验x=3是原方程的增根，舍去；x=6是原方程的解， 所以原方程的解为x=6； （2）移项得：， 两边平方得：， 整理得：， 两边平方得：x+2=x2-8x+16， 整理得：x2-9x+14=0， 解得：x1=2，x2=7， 经检验x=2是原方程的增根，舍去；x=7是原方程的根， 所以原方程的解为x=7． 【点睛】本题考查了解无理方程和解一元二次方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 【变式训练5 判断无理方程解的情况】 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列关于x的方程中，一定有实数根的方程是（    ） A． B． C． D．（a、b均为实数） 【答案】A 【分析】本题考查了无理方程，通过立方根可判断A，通过平方的非负性可判断B，通过二次根式的非负性可判断C，令可判断D． 【详解】解：A，，移项得，解得，一定有实数根，符合题意； B，，移项得，由平方的非负性可知该方程没有实数根，不合题意； C，，移项得，由二次根式的非负性可知该方程没有实数根，不合题意； D，（a、b均为实数），当时，该方程没有实数根，不合题意； 故选A． 2．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）下列方程没有实数根的个数是（    ） （1），（2），（3），（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据算术平方根的含义可判断A，通过解方程可判断B，根据未知数的取值范围可判断C，通过解方程可判断D，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴由算术平方根的含义可得方程无解； ∵， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的解； ∵， 由，解得：， ∴不等式组无解， ∴原方程无解； ∵， ∴，经检验是增根， ∴原方程无解． ∴方程没有实数根的个数有3个， 故选C 【点睛】本题考查的是分式方程，无理方程有无解问题，选择合适的方法进行判断是解本题的关键． 3．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）无理方程：在实数范围内 ．（填写“有解”或“无解”） 【答案】无解 【分析】已知，则，两边同时平方，解方程，即可得出该方程在实数范围内无解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 不符合题意， ∴是增根，应舍去， ∴无理方程：在实数范围无解， 故答案为：无解． 【点睛】本题主要考查无理方程的解法，熟练掌握无理方程的解法是解题的关键． 4．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）下列方程中：a、；b、；c、；d、属于高次方程的是 ． 【答案】a，d 【分析】根据高次方程的定义判断即可． 【详解】解：是高次方程；是分式方程；是无理方程；是高次方程， 故答案为：a，d． 【点睛】本题考查了高次方程的定义：整式方程未知数次数高于2次的方程叫高次方程． 5．（23-24九年级·湖北恩施·单元测试）某同学作业本上做了这么一道题：“当a=时，试求a+的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为 ，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理． 【答案】不对 【分析】根据二次根式的性质=|a|，可得答案． 【详解】不正确，当时，； 当时，. 因此，该同学所求得的答案为肯定是不正确的. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质是解题关键． 【变式训练6 二元二次方程(组)判断】 1．（2024·上海宝山·三模）在下列方程中，不是二元二次方程的有（   　） A．； B．xy＝3； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据二元二次方程的定义：指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2，这样的整式方程叫做二元二次方程，逐一判断即可． 【详解】A.是二元二次方程，故本选项不符合题意； B. xy＝3是二元二次方程，故本选项不符合题意； C.是二元二次方程，故本选项不符合题意； D.是分式方程，不是二元二次方程，故本选项符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是二元二次方程的判断，掌握二元二次方程的定义是解决此题的关键． 2．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）下列说法正确的个数是（    ） （1）方程是分式方程； （2）方程是无理方程； （3）方程是二项方程； （4）方程是二元二次方程． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式方程，无理方程，二项方程，二元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：方程是分式方程；故（1）符合题意； 方程是有理方程；故（2）不符合题意； 方程不是二项方程；故（3）不符合题意； 方程是二元二次方程；故（4）符合题意； ∴正确的表述是（1）（4）， 故选B 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，无理方程的定义，二项方程的定义，二元二次方程的定义，熟记各方程的定义是解本题的关键． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】分别列两个方程代入x，y的值就可以． 【详解】解：把代入符合要求； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元二次方程组定义，方程组的解，解题关键x，y都能使两个方程左右值相等． 4．（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 写出一个符合条件的即可． 【答案】（答案不唯一） 【分析】二元二次方程指含有两个未知数，含未知数的项的次数最高是2，由此写出一个符合题意的方程即可； 【详解】解：， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了方程中元和次数概念：在方程中“元”是指未知数的个数；次数是指含有未知数的项（单项式）的最高次数；掌握相关概念是解题关键． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项． （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】依据二元二次方程的定义分析即可． 【详解】（1）是二元二次方程，二次项、一次项y，常数项-1． （2）不是二元二次方程，因为只含一个未知数． （3）不是二元二次方程，因为不是整式方程． （4）不是二元二次方程，因为不含二次项． 【点睛】本题考查了二元二次方程的概念，对于二元二次方程的定义的全面的理解是解题的关键． 【变式训练7 二元二次方程组的解法】 1．（23-24九年级·浙江杭州·期末）方程的整数解的组数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先将原方程变形为：（x+y）2+2y2=34，可得x+y必须是偶数，然后设x+y=2t，可得新方程2t2+y2=17，，求得此方程的整数解，即可求得答案． 【详解】把方程变形得：(x+y)2+2y2=34， ∵34与2y2是偶数， ∴x+y必须是偶数， 设x+y=2t，则原方程变为：(2t)2+2y2=34， ∴2t2+y2=17， 它的整数解为：， ∴当y=3，t=2时，x=1； 当y=3，t=−2时，x=−7； 当y=−3，t=2时，x=7； 当y=−3，t=−2时，x=−1． ∴原方程的整数解为：(1，3)，(−7，3)，(7，−3)，(−1，−3)，共4组． 故选B． 【点睛】本题主要考查二元二次方程的整数解，熟练掌握完全平方公式以及等式的基本性质，对原方程进行变形化简，是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了高次方程和二元二次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义（由两个整式方程组成，方程组中共含有两个不同未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2，这样的方程组叫二元二次方程组）是解此题的关键． 根据二元二次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； B．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2，是二元二次方程组，故本选项符合题意； C．方程组中两个方程是分式方程，不是整式方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； D．方程组中第一个方程是无理方程，不是有理方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程组的解是 ． 【答案】 【分析】将方程①因式分解得出方程③，将②代入③化为二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解： 由①得③， 将②代入③得④， ②+④得， 解得， 将代入④得， 解得， 所以方程组的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键． 4．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了方程的解的定义，理解方程解的定义是解题的关键．将，代入方程，求出的值即可求解． 【详解】将，代入方程得， ，解得， ． 故答案为：3． 5．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1)x=1 (2)，， 【分析】（1）移项，两边进行平方，进行去根号，再解整式方程即可； （2）利用因式分解法化简，再代入消元法，化为一元二次方程，再解方程即可． 【详解】（1）解： 两边平方，得 两边平方，得 ∴x1=-2，x2=1 又3x+6≥0，x+3≥0，x+1≥0 ∴x≥-1 ∴x=1 （2）解： 由②，得 ∴x-y=2或x=-y 则或 解得，， 【点睛】本题考查无理方程，以及二元二次方程的求解，掌握方程的解法以及正确地计算能力是解决问题的关键. 【变式训练8 方程组的应用】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）某种型号的空调器经过3次降价，价格比原来下降了30%，则其平均每次下降的百分比（精确到1%）应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】降低后的价格=降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是（1﹣x），那么第二次后的价格是（1﹣x）2，第三次降价后的价格是（1﹣x）3，即可列出方程求解． 【详解】解：设平均每次下降的百分比为x，则（1﹣x）3=1﹣30%，解得x=11.2%． 故选D． 2．（23-24八年级下·上海静安·课后作业）方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是（  　 ） A． B． C． D．，且 【答案】C 【分析】首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解. 【详解】 由②，得③ 将③代入①，得 ∵方程组有四组不同的实数解， ∴且两根之积 ∴ 故选：C. 【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式. 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 ． 【答案】1000（1+x）2=1331 【详解】由于某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时设这三年中每年的增长率为x，那么第二年变为1000（1+x），然后依此类推即可列出方程． 解：∵企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，这三年中每年的增长率相同， ∴设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 1000（1+x）2=1331． 4．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，等边三角形的顶点，分别落在矩形的两邻边、上，若，，则边长为 ． 【答案】 【分析】根据矩形及等边三角形的性质，利用勾股定理列出方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设DF=x，CF=y， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠C=∠B=90°，DC=AB=x+y，AD=BC=BE+CE=3, 又∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF=EF， ∴， 由可得，代入中得： 整理得： 解得： ∴ ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了二元二次方程组与几何的应用，解题的关键是根据矩形及等边三角形的性质列出方程组． 5．（23-24八年级下·天津·期末）一种商品有大小盒两种包装，若4大盒、3小盒共装ll6瓶，2大盒、3小盒共装76瓶，求大盒与小盒每盒各装多少瓶． 【答案】大盒每盒装20瓶，小盒每盒装12瓶． 【分析】设大盒与小盒每盒分别装x瓶和y瓶，根据等量关系：4大盒、3小盒共装116瓶；2大盒、3小盒共装76瓶，列出方程组求解即可． 【详解】解：设大盒每盒装瓶，小盒每盒装瓶． 根据题意得：， 解得：． 答：大盒每盒装20瓶，小盒每盒装12瓶． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程组求解． 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）如果，且，则的值可能是（   ） A．-     B．1 C． D．以上都无可能 【答案】B 【分析】可将方程两边同时平方，从而将无理方程转化为整式方程，运用因式分解法即可得到y与x的关系，从而解决问题. 【详解】将方程两边同时平方，并整理得， （其中3x-2y＞0） 即（9x-4y）(x-y)=0， 解得，，或y=x， 当时，3x-2y=-x， ∵x＞0， ∴ 3x-2y＜0，不符合要求， 当y=x时，3x-2y=x＞0，符合要求. ∴， 故选B. 【点睛】本题主要考查了解无理方程，运用因式分解法解方程，需要注意的是将无理方程转化为整式方程，可能会出现增根，本题需要挖掘出隐含条件3x-2y＞0. 2．（23-24八年级下·上海·单元测试）下列各对未知数的值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题根据方程组的解的定义，运用代入排除法即可作出选择． 【详解】把四个选项的答案分别代入方程组，发现只有A中的答案适合两个方程． 故选A． 【点睛】本题主要考查了方程组的解的定义． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知方程组把（2）代入（1）得到正确的方程是（　　） A．x2+2（1﹣x）=1 B．x2+2（x﹣1）=1 C．x2+（1﹣x2）=0 D．x2+（1﹣x）2=1 【答案】A 【详解】只要把（2）代入（1）即可． 解：把（2）代入（1）得x2+2（1﹣x）=1，故选A． 4．（23-24八年级下·上海静安·期中）一项工程，甲、乙合作6天可完成，若独做，甲可比乙少5天，设甲，乙独做分别需x天，y天，以下所列的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲、乙两队单独修路所需天数分别为和，根据两队合修需要6天完成可得方程，根据各队单独修路，则甲队比乙队少用天可得方程，由此即可得到答案． 【详解】解：设甲、乙两队单独修路所需天数分别为和， 由题意得，即 故选D． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知x2＝x+1，将所求式子变形为x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1再求解即可． 【详解】解：∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1， ∴x3﹣2x2+2x+1 ＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1 ＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1 ＝x2+x﹣1 ＝（x+1）+x﹣1 ＝2x， ∵x2﹣x﹣1＝0， ∴， ∴， 解得x＝或x＝， ∵x＞0， ∴x＝， ∴x3﹣2x2+2x+1＝1+， 故选：B． 【点睛】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方程的根是解题的关键． 6．（23-24八年级下·上海宝山·期中）关于的方程无实数根，的取值范围是 . 【答案】k<2 【分析】原式整理后，根据二次根式的意义即可求解. 【详解】原方程可化为， 若方程无实数根， 则k-2<0，即k<2， 故答案为k<2 【点睛】此题考查无理方程的解，掌握由此根式有意义的条件时解答此题的关键. 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）解方程时，设 换元后，整理得关于y的整式方程是 ． 【答案】y²-4y+4=0 【分析】设,则原方程可化为关于y的一元二次方程即可. 【详解】解:设, 则原方程可化为，即y²-4y+4=0,故答案为y²-4y+4=0. 【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,解题的关键是理解是的倒数. 8．（23-24八年级下·上海·课后作业）二元二次方程2x²+3xy－6y²+x－4y=3中，二次项是 ，一次项是 ，常数项是 . 【答案】 2x，3xy，－6y x，－4y －3. 【分析】根据二元二次方程的一般形式：ax+bxy+cy+dx+ey+f=0解答即可. 【详解】二元二次方程2x²+3xy－6y²+x－4y=3中，二次项是: 2x，3xy，－6y;一次项是: x，－4y;常数项是:-3,故答案为  (1). 2x，3xy，－6y    (2). x，－4y    (3). －3. 【点睛】本题考查了二元二次方程的一般形式，二元二次方程的一般形式是：ax+bxy+cy+dx+ey+f=0，在一般形式中bxy叫二次项，ax,cy,dx,ey叫一次项，f是常数项． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）当取值为 时，关于的方程与只有一个相同的实数根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否是只有一个相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a ，根据题意可得： －②，得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1 若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根，不合题意 所以k≠1． 所以a==1 即相同实根是x=1，代入方程 12+k×1﹣1=0，k=0，符合k为非负数，所以k=0． 故答案为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，此题有两个关键点，一个是要设出两个方程的相同实数根，代入运算．另外一根为验证所求得的k值是否符合题意．为易错题． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，若min{，1}=x，则x= ． 【答案】﹣或1 【分析】分类讨论与1的大小，利用题中的新定义求出x的值即可． 【详解】当≥1，即x≥时，可得x=1； 当＜1，即x＜时，可得=x，即x=-， 综上，x=-或1， 故答案为-或1 【点睛】此题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 11．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）解方程组 【答案】或或或 【分析】由②得：，得出或，解得：或，分别代入①，解一元二次方程即可求解． 【详解】解： 由②得： ∴或 解得：或， 当时，代入①得： 解得：， ∴或 当时，代入①得： 解得： ∴或， 综上所述，方程组的解为:或或或． 【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，解高次方程的根本思想是化归思想，解题的关键是：次数较高可通过因式分解再代入等方法降幂求解即可． 12．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）计算： （1）解方程：； （2）解方程：； （3）解方程组：． 【答案】（1）x=1（2）方程无解；（3）， 【分析】（1）去分母，化为整式方程，然后检验； （2）两边平方，化为有理方程求解，然后检验； （3）先因式分解组中的②为两个一次方程，与原方程组中的①组成新的方程组，求解即可． 【详解】解：（1）原方程可变形为：， 去分母，得x(x﹣3)+6＝x+3， 整理，得x2﹣4x+3＝0， ∴（x-1）（x-3）=0 ∴x1=1，x2=3 经检验，x＝1是原方程的解．x=3不是原方程的解 ∴x=1 （2）＝2﹣x， 两边平方，得2x﹣5＝4﹣4x+x2， 整理，得x2﹣6x+9＝0， ∴（x﹣3）2＝0， ∴x1＝x2＝3； 经检验，x＝3不是原方程的解， 所以原方程无解； （3）， 由②，得(x﹣2)(x+y)＝0， ∴x﹣2y＝0③或x+y＝0④． 由①③、①④组成新的方程组，得 或， 解得，． 【点睛】本题考查了分式方程、无理方程、二元二次方程组的解法，解分式方程和无理方程结果都要验根． 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）对于有理数a、b，定义运算：“★”，当a≥b时，a★b=2a-3b，当a＜b时，a★b=． （1）计算：（x+2）★（x+1）的值； （2）若（x+1）★（2x-1）=-1，求x的值． 【答案】（1）-x+1（2）1.5 【分析】（1）由于x+2＞x+1，代入a★b=2a-3b计算即可求解； （2）分x+1≥2x-1与x+1＜2x-1两种情况，利用题中的新定义化简已知等式，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】（1）（x+2）★（x+1） =2（x+2）-3（x+1） =2x+4-3x-3 =-x+1； （2）当x+1≥2x-1时， 2（x+1）-3（2x-1）=-1， 2x+2-6x+3=-1， 2x-6x=-1-2-3， -4x=-6， x=1.5， 此时x+1=1.5+1=2.5，2x-1=3-1=2， 2.5＞2，符合题意； 当x+1＜2x-1时， +=-1， 3（x+1）+2（2x-1）=-6， 3x+3+4x-2=-6， 3x+4x=-6-3+2， 7x=-7， x=-1， 此时x+1=-1+1=0，2x-1=-2-1=-3， 0＞3，不符合题意． 故x的值为1.5． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 14．（23-24八年级下·河南许昌·期中）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题：（1）方程的解是，______，______． （2）求方程的解． 拓展：（3）用“转化”思想求方程的解． 【答案】（1），3；（2），，；（3） 【分析】（1）各项都有x，提出公因式x，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为，解之即可， （2）方程，化为一般形式，各项都有x，提出公因式x，括号内用十字相乘法因式分解，方程变为解之即可， （3），方程两边平方，整理得，利用十字相乘法分解为，解之求出x，要注意无理方程的条件限定，进行取舍即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：；3． （2）方程，可化为， ， ． ∴或或， ∴，，． （3），方程两边平方，得， 即，， ∴或，，． ∵得， ∴是原方程的解． 【点睛】本题考查因式分解法解高次方程与无理方程问题，掌握因式分解的方法，和使无理方程有意义的条件，会用因式分解法解方程是解题关键． 15．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （3）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据新运算法则及已知条件列出关于a、b的二元一次方程组即可得到解答； （2）由题意可得关于x、y、m的三元一次方程组，利用消元法消去x、y即可得到m的值； （3）令，则由题意可得 ，从而可以求得原方程组的解 ． 【详解】解：（1）由题意可得： 解得； （2）由题意可得： ①+②并整理得：x=m+1， ②-①并整理得：y=3m-2， 把x=m+1，y=3m-2代入③并整理得：4m=4， ∴m=1； （3）解为 对 令， ∴ ∴ ∴①，即 ②，即 【点睛】本题考查二元方程组的解，把二元高阶方程组转化为二元一次方程组求解是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$