数学（湖南长沙卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试（长沙卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A C B D B D D C C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．6 13． 14．/60厘米 15． 16．2701 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第 22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤) 17．【详解】解： （4分） ．（6分） 18．解： ＝ ＝ ＝ ＝，（4分） ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 或当时，原式．（6分） 19．【详解】解：∵， ∴，，（2分） 在中， ∵， ∴， ∴（米），（4分） 在中，∵， ∴（米）， ∴（米）． 答：这条河的宽度米．（6分） 20．【详解】（1）如图，连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴ ∵ ∴， ∵H为中点， ∴；（4分） （2）∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴．（8分） 21．【详解】（1）解：初三（1）班参加这次调查的学生有4÷10%＝40（人）， 扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×＝144°， 故答案为：40、144；（2分） （2）B类学生人数为40﹣（4+16+2）＝18（人）， 补全条形图如下： ；（4分） （3）列表得： 男1 男2 女1 女2 男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1 男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2 女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1 女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣ 由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能． 所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为＝．（8分） 22．【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元， 依题意得，        解得．              经检验，是原分式方程的解.．      答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．（4分） （2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个， ．      ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，               解得：．            ，． ∴当时，（元），      即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．（8分） 23．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，（1分） ∵， ∴， ∴， （2分） 在和中，，（3分） ∴， ∴， ∴矩形是正方形；（4分） （2）证明：如图， 由（1）可知，， ∴，（5分） ∵正方形， ∴，，， ∴，（6分） ∵， ∴， （7分） ∵， ∴， ∴，（8分） ∵， ∴， ∴．（9分） 24．【详解】（1）由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴；（3分） （2）连接， ∵为的直径， ∴， ∵为过C点的切线，过点作的切线交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；（6分） （3）连接， 由（1）（2）可得，，， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴．（10分） 25．（10分）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点． (1)判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值． (3)若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式． 【答案】(1)点的坐标为：，或； (2) (3)或． 【分析】（1）联立与并整理得：，即可求解； （2）由题意得，解得，而，故，则，故，是整数，故； （3）①当时，即，，函数取得最小值，即，即可求解；②当，即，函数在处取得最小值，即，即可求解； ③当时，函数在处，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：（1）与存在“共享函数”，理由如下： 联立与并整理得： ， 解得：或， 故点的坐标为：，或；（2分） （2）解：一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，依据“共享函数”的定义得： ， 解得：， ， ， 解得：； ， ， 是整数， ；（6分） （3）解：由和反比例函数得：“共享函数”的解析式为， 函数的对称轴为：； ①当时，即， ，函数取得最小值，即， 解得或（舍去）； ②当，即， 函数在处取得最小值，即，无解； ③当时， 函数在处，取得最小值，即， 解得：（舍去， 综上，或4， 故“共享函数”的解析式为或．（10分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（长沙卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题6分，共18分） 11． _________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 18.（6分） 19.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （8分） 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（9分） 23.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（长沙卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列数中是无理数的是（　　） A． B．0 C． D．0.1223 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义：无限不循环小数为无理数．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项 【详解】解：A、是无理数，故选项A符合题意； B、0是有理数，故选项B不合题意． C、是有理数，故选项C不合题意． D、0.1223是有理数，故选项D不合题意． 故选：A． 2．“致中和，天地位焉，万物育焉”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 3．湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024 年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播种面积、单产、总产“三增”。该数据用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 4．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，算术平方根的含义，二次根式的加减运算，根据以上运算的运算法则逐一计算即可 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 5．为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（   ） A．乙班视力值的众数是 B．甲、乙两班视力值的平均数相等 C．甲、乙两班视力值的中位数相等 D．视力值的波动程度甲班大于乙班 【答案】D 【分析】本题考查折线图，求平均数，中位数，方差和众数，从折线图中获取信息，求出每组数据的平均数，中位数，方差和乙班的众数，再进行判断即可． 【详解】解：甲班的数据为：， ∴平均数为：； 中位数为：； 方差为： 乙班的数据为：， ∴众数为， 平均数为：； 中位数为：； 方差为：； 故：乙班视力的众数为，甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班； ∴D选项描述错误； 故选：D． 6．如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题主要考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．首先过点作，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， 是等腰直角三角形， 根据矩形的性质可得：， ， 在中，，， ． 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，分点M在第一、三和第二、四象限的角平分线上两种情况，结合角平分线上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：当点在第一、三象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 当点在第二、四象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 综上，点M在两坐标轴的角平分线上时，m的值为2或4， 故选：D． 8．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是，由第一月月销售量为辆，第三个月的销售量是第一个月的3倍，列出方程即可． 【详解】解：设第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是， 根据题意得：， 故选：D． 9．对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵函数图象经过点， ∴， 即，故D选项正确，不符合题意； ∵函数图象不经过第二象限， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项错误，符合题意； 故选：C 10．如图，菱形菱形，菱形的顶点G在菱形的边上运动，与相交于点H，，若，，则菱形的边长为（　　） A． B． C．18 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，连接，证明是等边三角形，设，则，，再证明，由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接． ∵菱形菱形， ∴，， ∴是等边三角形， 设，则，， ∴， ∵， ∵， ∴∠BGH＝∠CAG， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或2（舍弃）， ∴， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，综合提公因式和公式法即可求解． 【详解】解；原式， 故答案为： 12．已知一元二次方程的一个根是3，则 【答案】6 【分析】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键． 将代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴， 解得：； 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，双曲线同时经过点，，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．将，代入，即可求出的值． 【详解】解：根据双曲线同时经过点，，将，代入得： ，，即，， 得出， 解得：． 故答案为：． 14．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为 ． 【答案】/60厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由当点运动到时，点到的距离最小，结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，当点运动到时，点到的距离最小， ， 由题意得：，，， ∴， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 15．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由作图可知平分，进而由角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ． 【答案】2701 【分析】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵， ∴第2024个智慧数在（组），并且是第1个数，即． 故答案为：2701． 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第 22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤) 17．（6分）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的余弦函数值计算即可． 【详解】解： ． 18．（6分）先化简，再求值： ，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 或当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 19．（6分）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义．在和中，利用锐角三角函数，求出和的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴（米）， 在中，∵， ∴（米）， ∴（米）． 答：这条河的宽度米． 20．（8分）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点为中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、三角形内角和、三角形外角的知识；熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）由线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形三线合一的性质即可完成证明；（2）结合（1）的结论，根据三角形外角、等腰三角形和三角形内角和的性质计算，即可完成求解． 【详解】（1）如图，连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴ ∵ ∴， ∵H为中点， ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 21．（8分）初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息解决下列问题： (1)初三（1）班参加这次调查的学生有　 　人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为　 　°； (2)求出类别B的学生数，并补全条形统计图； (3)类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率． 【答案】(1)40、144 (2)18人，见解析 (3) 【分析】（1）由A类别人数及所占的百分比可得被调查学生总数，用360°乘以C类别人数所占比例可求C所对应扇形的圆心角度数； （2）根据各类别人数之和等于总人数可以求出B类别人数，画图即可； （3）根据列表法求出恰好选到1名男生、1名女生的概率即可． 【详解】（1）解：初三（1）班参加这次调查的学生有4÷10%＝40（人）， 扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×＝144°， 故答案为：40、144； （2）B类学生人数为40﹣（4+16+2）＝18（人）， 补全条形图如下： ； （3）列表得： 男1 男2 女1 女2 男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1 男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2 女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1 女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣ 由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能． 所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为＝． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，列表法适合两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件。用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．（9分）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个． (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元 (2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用， 对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可； 对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元， 依题意得，        解得．              经检验，是原分式方程的解.．      答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元． （2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个， ．      ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，               解得：．            ，． ∴当时，（元），      即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元． 23．（9分）已知：如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接、，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明， 可得，从而可得结论； （2）证明，，结合，可得，证明， 可得，再结合平行线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）证明：如图， 由（1）可知，， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24．（10分）在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线性质，三角函数的定义； （1）由三角形内角和角的计算问题； （2）连接，则，根据切线长定理得到，则，得到，即可求解； （3）根据，设，，则，再依据，求出，，再求出，即可计算，，最后求值即可． 【详解】（1）由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）连接， ∵为的直径， ∴， ∵为过C点的切线，过点作的切线交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）连接， 由（1）（2）可得，，， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 25．（10分）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点． (1)判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值． (3)若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式． 【答案】(1)点的坐标为：，或； (2) (3)或． 【分析】（1）联立与并整理得：，即可求解； （2）由题意得，解得，而，故，则，故，是整数，故； （3）①当时，即，，函数取得最小值，即，即可求解；②当，即，函数在处取得最小值，即，即可求解； ③当时，函数在处，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：（1）与存在“共享函数”，理由如下： 联立与并整理得： ， 解得：或， 故点的坐标为：，或； （2）解：一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，依据“共享函数”的定义得： ， 解得：， ， ， 解得：； ， ， 是整数， ； （3）解：由和反比例函数得：“共享函数”的解析式为， 函数的对称轴为：； ①当时，即， ，函数取得最小值，即， 解得或（舍去）； ②当，即， 函数在处取得最小值，即，无解； ③当时， 函数在处，取得最小值，即， 解得：（舍去， 综上，或4， 故“共享函数”的解析式为或． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（长沙卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列数中是无理数的是（　　） A． B．0 C． D．0.1223 2．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　 ） A． B． C． D． 3．湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播种面积、单产、总产“三增”。该数据用科学记数法可以表示为（ ） A． B． C． D． 4．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（   ） A．乙班视力值的众数是 B．甲、乙两班视力值的平均数相等 C．甲、乙两班视力值的中位数相等 D．视力值的波动程度甲班大于乙班 6．如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 8．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 9．对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形菱形，菱形的顶点G在菱形的边上运动，与相交于点H，，若，，则菱形的边长为（　　） A． B． C．18 D．16 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解 ． 12．已知一元二次方程的一个根是3，则 13．在平面直角坐标系中，双曲线同时经过点，，则a的值为 ． 14．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为 ． 15．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是 16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ． 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第 22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤) 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值： ，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值． 19．（6分）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数） 20．（8分）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点为中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．（8分）初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息解决下列问题： (1)初三（1）班参加这次调查的学生有　 　人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为　 　°； (2)求出类别B的学生数，并补全条形统计图； (3)类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率． 22．（9分）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个． (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 23．（9分）已知：如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接、，若，求证：． 24．（10分）在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 25．（10分）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点． (1)判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值． (3)若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第一次模拟考试（长沙卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 6分，共 18分） 11．_________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 9个小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 18.（6分） 19.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （8分） 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（9分） 23.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（长沙卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列数中是无理数的是（　　） A． B．0 C． D．0.1223 2．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　 ） A． B． C． D． 3．湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播种面积、单产、总产“三增”。该数据用科学记数法可以表示为（ ） A． B． C． D． 4．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（   ） A．乙班视力值的众数是 B．甲、乙两班视力值的平均数相等 C．甲、乙两班视力值的中位数相等 D．视力值的波动程度甲班大于乙班 6．如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 8．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 9．对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形菱形，菱形的顶点G在菱形的边上运动，与相交于点H，，若，，则菱形的边长为（　　） A． B． C．18 D．16 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解 ． 12．已知一元二次方程的一个根是3，则 13．在平面直角坐标系中，双曲线同时经过点，，则a的值为 ． 14．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为 ． 15．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是 16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ． 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第 22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤) 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值： ，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值． 19．（6分）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数） 20．（8分）如图，中，的垂直平分线交于点，交于点为中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．（8分）初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息解决下列问题： (1)初三（1）班参加这次调查的学生有　 　人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为　 　°； (2)求出类别B的学生数，并补全条形统计图； (3)类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率． 22．（9分）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个． (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 23．（9分）已知：如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接、，若，求证：． 24．（10分）在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 25．（10分）若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点． (1)判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数” ，求的值． (3)若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$