湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题

2025年上学期高三数学期末考试试题 一、单选题（共40分） 1．若复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 3．已知向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．设，，则（    ） A． B． C． D． 5．下列函数在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 6．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共20分） 9．下列关于向量的说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．若与不共线，且，则 D．若且，则 10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（   ） A．四叶草曲线有四条对称轴 B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D．四叶草曲线的面积小于 11．已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，则（    ） A．   B．   C．   D．   三、填空题（共20分） 13．已知向量，，若，则 ． 14．函数在上的最大值为 . 15．设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前项和为 . 16．在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为 . 四、解答题（共70分） 17．（本题10分）（1）已知，都是锐角，，，求的值. （2）已知，若在第三象限，求的值. 18．（本题12分）已知锐角的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若的面积为，求． 19．（本题12分）如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． (1)证明：平面． (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 20．（本题12分）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. (3)若数列的通项公式为，且对任意的，恒成立，求实数的最小值. 21．（本题12分）已知函数，其中为自然对数的底数，. (1)当时，求函数的极值； (2)证明：恒成立； (3)证明：. 22．（本题12分）已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． (1)若，且为“2数列”，求． (2)若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． (3)若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A B D A B AD ABD 题号 11 12 答案 AD ABC 13．/ 14．0 15． 16．17 17．（1）；（2） 18．(1)． (2)． 19．(1)（1）证明：由三棱柱的性质可知． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为为的中点，且是等边三角形，所以． 因为平面，且， 所以平面． (2) 20．(1)； (2) (3) 21．(1)有极小值，无极大值. （2）， 不等式恒成立，即恒成立， 设，，则， 易知是定义域上的增函数，又， 则在上有一个根，即， 当时，，当时，， 此时在单调递减，在单调递增， 的最小值为， ∵，∴， ∵，∴， ∴恒成立，故结论成立. （3）证明：由（2）知，，令， 则. 由此可知，当时，， 当时，， 当时，， ……， 当时，， 累加得：， 又， 所以. 22．(1) (2)， (3)（3）因为为“数列”，所以， 即对任意的恒成立， 因为，，所以． 再结合，，，反复利用， 可得对任意的，． 设函数，则． 由，得． 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，，即． 又，所以． 可得，，，， 累加可得， 即，即， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$