黄金卷02（北京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷02 参考答案 1、 选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B D D A C 2、 填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9． 10． 11． 12． 13．200 14．3 15．6 16．B 3、 解答题：（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．解：原式 （3分） ． （5分） 18． 解不等式①，得， 解不等式②，得， （3分） ∴不等式组的解集为． （5分） 19．原式 ∵ ∴ （3分） ∴原式 （5分） 20．（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （3分） （2）解：过B作交延长线于G，则，      ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， 在中，． （6分） 21．（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工（）小时． ，           解得．                          答：B生产线至少加工7小时． （3分） （2）        整理得，， 解得（不符合题意，舍去）                   ∴a的值为2 （6分） 22．（1）解：∵m=2， ∴将点C(2，2)代入y=kx+4k， 解得k=； ∴一次函数表达式为y=x+， 当y=0时，x+=0， 解得x=-4 ∵一次函数y=x+的图像与x轴交于点A， ∴点A的坐标为(-4，0)． （3分） （2）解：如图，y=kx+4k(k≠0)过定点， ∵当时，，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值， ∴，， 解得k≤−． ∴k≤−． （5分） 23．（1）解：将九月份的数据从小到大排列为：26、26、26、29、30、31、31、33、34 根据中位数和众数的概念， 可以知道这组数据的第五个数为30，即中位数为， 这组数据26出现的次数最多，即众数为； （2分） （2）解：根据折线图可以看出，九月份的数据大约分布于26至34，十月份的数据大约分布于32至42， 可以发现九月份的数据比十月份的数据波动较小，更加稳定， 所以九月份数据的方差小于十月份数据的方差， 故答案为：． （3分） （3）解：根据已知条件可以列式为：（天 故答案为：． （5分） 24．（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （3分） （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （6分） 25．（1）解：③如图． ④可能是二次函数图象， 故答案为：二次； ⑤设， 因为时，，所以，则． 把和代入可得， ， 解得：，， ， （3分） （2）应用模型： 当时，， 解得， 当时，； 当时，， ． 故答案为：32，． （5分） 26．（1）解：①当时，点， 把点代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； ②令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时， m的取值范围为或； （3分） （2）解：，理由如下： 把点代入得： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离大于对称轴的距离， ∴． （6分） 27．（1）解：①根据题意，补全图形如图所示； （2分） ②证明：由旋转性质得，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （4分） （2）解：． 证明：延长至H，使，连接，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即． （7分） 28．（1）解：由一次“对称旋转”定义，将先绕点T顺时针旋转得，再绕点S逆时针旋转得，如图所示：    不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 同理可得，是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 故答案为： B，C； （3分） （2）①当时，如图，   x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：2； ②当时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点，则, 如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线，    轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 点Q的坐标为， 点绕点T逆时针旋转30°得到点Q， ，， ， ， ， ， ， ， , 点P的坐标为． （2分） （3）点M在上，则M绕S顺时针旋转α度以后的的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的上，关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在关于T逆时针旋转α度以后的上，只需与x轴有交点在粉弧上，且, 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使， ″   ， ，，， ， ， 故； 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使，    ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． （7分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列标志的图形中，是轴对称图形的但不是中心对称图形的是(　　) A． B． C． D． 2．如图，，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根、则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 5．一个不透明的盒子中装有15个除颜色外无其他差别的小球，其中有2个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 6．每一个外角都是的正多边形是（    ） A．正四边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形 7．如图是30名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 8．如图，在正方形中，点是对角线上一点（点不与、重合），连接并延长交于点，过点作交于点，连接、，交于点，给出四个结论：①；②；③；④； 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 . 10．分解因式：= . 11．方程的解为 ． 12．如图，在矩形中，点O是坐标原点的图象上，点B在反比例函数， ，则 ． 13．某地区青少年、成年人和老年人的人数比约为3∶5∶2，现从中抽取一个样本容量为1000的样本，调查了解他们对新闻、体育、动画三类节目的喜爱情况．老年人应抽取 人． 14．如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，则线段的长为 ． 15．如图，在平行四边形中，，，，求线段 ． 16．高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是 ． 三、解答题：（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 18．解不等式组： 19．已知，求代数式的值． 20．如图，将菱形的边和分别延长至点E和点F，且使，，连接，，，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 21．我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值． 22．一次函数的图像与轴交于点，且经过点． (1)当时，求一次函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23．年月日北京市生态环境局召开了“年北京市空气质量”新闻发布会，通报了年北京市空气质量状况：北京年年均浓度为微克/立方米，最长连续优良天数为天，“北京蓝”已成为常态．下面对年北京市九个区月均浓度的数据进行整理，给出了部分信息： a．年月和月北京市九个区月均浓度的折线图： b． 年月和月北京市九个区月均浓度的平均数、中位数、众数： 月均浓度 平均数 中位数 众数 月 月 (1)写出表中，的值； (2)年月北京市九个区月均浓度的方差为，年月北京市九个区月均浓度的方差为，则 （填“”，“”或“”）； (3)年至年，北京市空气优良级别达标天数显著增加，年空气优良达标天数为天，年比年增幅达到约，年达标天数约为 天． 24．如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 25．“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，北京地铁（）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． (1)建立模型 ①收集数据 （秒） （米） ②建立平面直角坐标系 为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设，因为时，，所以，则． 请根据表格中的数据，求，的值． 验证：把，的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． (2)应用模型 列车从减速开始经过________秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为________米． 26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出m的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由． 27．如图，在四边形中，，，，作，使得点和点在直线异侧，连接，将射线绕点逆时针旋转90°交射线于点． (1)①依题意，补全图形； ②证明：． (2)连接，若为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28．如图，在平面直角坐标系中，点， ，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α．    (1)点R在线段ST上，则在点，，， 中，有可能是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点是_________； (2)x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q． ①当时， ________； ②当时，若轴，求点P的坐标； (3)以点O为圆心作半径为1的圆．若在上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列标志的图形中，是轴对称图形的但不是中心对称图形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行判断即可得答案． 【详解】A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意 ， 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．如图，，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识，由平行线的性质求出，，由角平分线定义得到，由平行线的性质即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 故选：D 3．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知：，则：、错误，不符合题意， ∵，则：正确，符合题意，错误，不符合题意， 故选：C． 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根、则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据，方程有两个不相等的实根；，方程有两个相等的实根；，方程无实根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故选：B ． 5．一个不透明的盒子中装有15个除颜色外无其他差别的小球，其中有2个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据概率公式求解． 【详解】解：∵盒子中装有15－2－3＝10个红球， ∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是； 故选：D． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 6．每一个外角都是的正多边形是（    ） A．正四边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正九边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的边数是， 故选：D． 7．如图是30名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大， 由图可知，B课程成绩的波动大，A课程成绩的波动小， ∴； 故选：A． 8．如图，在正方形中，点是对角线上一点（点不与、重合），连接并延长交于点，过点作交于点，连接、，交于点，给出四个结论：①；②；③；④； 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：如图1，取的中点，连接， ∵，四边形是正方形， ， ， ， 四点共圆， ， 在中，， 在中，， ∴；故①正确； 将绕点顺时针旋转得到，如图2， ， ， 共线， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； 连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，如图3， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ④当点P不与点D重合时，延长至，使，连接，取的中点，连接，，如图4， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， 是的中点， ， ，，，四点共圆， ， 由②得， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， 如图，当点P与点D重合时， 此时点重合，点重合，点重合， ， ∴，故④错误； 综上分析可知：正确结论的序号是①②③． 故选：C． 2、 填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式要有意义，分母不等于零，列出式子，求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．分解因式：= . 【答案】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 11．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是要检验根的情况．将分式方程转化为整式方程，进行计算求解并检验即可得到答案． 【详解】解：去分母得， ， 解得：， ∵当时， ∴方程的解为， 故答案为：． 12．如图，在矩形中，点O是坐标原点的图象上，点B在反比例函数， ，则 ． 【答案】 【分析】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 13．某地区青少年、成年人和老年人的人数比约为3∶5∶2，现从中抽取一个样本容量为1000的样本，调查了解他们对新闻、体育、动画三类节目的喜爱情况．老年人应抽取 人． 【答案】200 【分析】老年人抽取的人数应按照该地区的青少年、成年人和老年人的人数比来分配，故可列出式子求解. 【详解】依题意应抽取老年人人数为1000=200人. 【点睛】此题主要考查样本比例的计算，正确把握计算方法是解题的关键. 14．如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查切线的性质，平行四边形的判定和性质，圆周角定理．连接，由切线的性质推出半径，而，判定，求出，由圆周角定理得到，因此，推出，即可证明四边形是平行四边形，推出． 【详解】解：连接， 是的切线， 半径， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：3． 15．如图，在平行四边形中，，，，求线段 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，先推出四边形是平行四边形，从而得到，求出，从而求出结果． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ．即线段， 故答案为：6． 16．高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是 ． 【答案】B 【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴A收费出口通过的数量小于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量小于B收费出口通过的数量；E收费出口通过的数量大于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量大于A收费出口通过的数量；B收费出口通过的数量大于E收费出口通过的数量； ∴， ∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B． 故答案为：B． 三、解答题：（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用特殊锐角三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．解不等式组： 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 19．已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查分式化简求值，利用完全平方公式分解因式，再约分化简，最后代入求值即可． 【详解】原式 ∵ ∴ ∴原式 20．如图，将菱形的边和分别延长至点E和点F，且使，，连接，，，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，根据矩形的判定可证得结论； （2）过B作交延长线于G，证明和是等边三角形得到，，分别在、、中，分别利用直角三角形得性质和勾股定理求得，，，即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：过B作交延长线于G，则，      ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 21．我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值． 【答案】（1）B生产线至少加工7小时；（2）a的值为2 【分析】（1）设B生产线加工生产x小时，则A生产线加工生产（12-x）小时，根据生产粽子总数量不少于5500个，列出不等式解决问题； （2）利用A、B生产线一天生产的总数量的和是6400个列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工（）小时． ，           解得．                          答：B生产线至少加工7小时． （2）        整理得，， 解得（不符合题意，舍去）                   ∴a的值为2 【点睛】此题考查一元一次不等式，一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程或不等式解决问题是关键． 22．一次函数的图像与轴交于点，且经过点． (1)当时，求一次函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)y=x+，点A的坐标为(-4，0) (2) 【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可； （2）根据图像得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵m=2， ∴将点C(2，2)代入y=kx+4k， 解得k=； ∴一次函数表达式为y=x+， 当y=0时，x+=0， 解得x=-4 ∵一次函数y=x+的图像与x轴交于点A， ∴点A的坐标为(-4，0)． （2）解：如图，y=kx+4k(k≠0)过定点， ∵当时，，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值， ∴，， 解得k≤−． ∴k≤−． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键． 23．年月日北京市生态环境局召开了“年北京市空气质量”新闻发布会，通报了年北京市空气质量状况：北京年年均浓度为微克/立方米，最长连续优良天数为天，“北京蓝”已成为常态．下面对年北京市九个区月均浓度的数据进行整理，给出了部分信息： a．年月和月北京市九个区月均浓度的折线图： b． 年月和月北京市九个区月均浓度的平均数、中位数、众数： 月均浓度 平均数 中位数 众数 月 月 (1)写出表中，的值； (2)年月北京市九个区月均浓度的方差为，年月北京市九个区月均浓度的方差为，则 （填“”，“”或“”）； (3)年至年，北京市空气优良级别达标天数显著增加，年空气优良达标天数为天，年比年增幅达到约，年达标天数约为 天． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据中位数和众数的概念即可解答； （2）根据方差的概念和意义即可解答； （3）根据增幅（末期量基期量）基期量和已知条件，求解即可． 【详解】（1）解：将九月份的数据从小到大排列为：26、26、26、29、30、31、31、33、34 根据中位数和众数的概念， 可以知道这组数据的第五个数为30，即中位数为， 这组数据26出现的次数最多，即众数为； （2）解：根据折线图可以看出，九月份的数据大约分布于26至34，十月份的数据大约分布于32至42， 可以发现九月份的数据比十月份的数据波动较小，更加稳定， 所以九月份数据的方差小于十月份数据的方差， 故答案为：． （3）解：根据已知条件可以列式为：（天 故答案为：． 24．如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，北京地铁（）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． (1)建立模型 ①收集数据 （秒） （米） ②建立平面直角坐标系 为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设，因为时，，所以，则． 请根据表格中的数据，求，的值． 验证：把，的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． (2)应用模型 列车从减速开始经过________秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为________米． 【答案】(1)③见解析；④二次；⑤， (2)32， 【分析】（1）③根据题意连线即可求解； ④根据曲线判断函数图象为二次函数图象； ⑤待定系数法求解析式即可求解； （2）根据二次函数的解析式，当时，解得，进而求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：③如图． ④可能是二次函数图象， 故答案为：二次； ⑤设， 因为时，，所以，则． 把和代入可得， ， 解得：，， ， （2）应用模型： 当时，， 解得， 当时，； 当时，， ． 故答案为：32，． 【点睛】本题考查了列表、描点、连线，画二次函数图形，待定系数法求解析式，根据二次函数的性质求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出m的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)，理由见解析 【分析】（1）①把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；②求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解； （2）把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，点， 把点代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； ②令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时， m的取值范围为或； （2）解：，理由如下： 把点代入得： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离大于对称轴的距离， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 27．如图，在四边形中，，，，作，使得点和点在直线异侧，连接，将射线绕点逆时针旋转90°交射线于点． (1)①依题意，补全图形； ②证明：． (2)连接，若为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②根据旋转性质和全等三角形的判定证明即可证得结论； （2）延长至H，使，连接，，先证明，得到，，进而证得，再证明，得到，在中，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意，补全图形如图所示； ②证明：由旋转性质得，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：． 证明：延长至H，使，连接，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理，添加适当辅助线构造全等三角形求解是解答的关键． 28．如图，在平面直角坐标系中，点， ，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α．    (1)点R在线段ST上，则在点，，， 中，有可能是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点是_________； (2)x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q． ①当时， ________； ②当时，若轴，求点P的坐标； (3)以点O为圆心作半径为1的圆．若在上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围． 【答案】(1)B，C； (2)①2；②； (3)或． 【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，正确理解题目所给“对称旋转”的定义，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）根据“α对称旋转”新定义即可判断; （2）①由旋转可得和均为等边三角形，进而推出即可证得结论;②根据“α对称旋转”新定义得点Q的坐标为，，，进而得出，再利用勾股定理即可求得答案; (3) 点M在上，则M绕S顺时针旋转α度以后的的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的上，关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在关于T逆时针旋转α度以后的上，只需与x轴有交点在粉弧上，且,则与x轴相切，再证得，即可求得答案； 【详解】（1）解：由一次“对称旋转”定义，将先绕点T顺时针旋转得，再绕点S逆时针旋转得，如图所示：   不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 同理可得，是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 故答案为： B，C； （2）①当时，如图，   x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：2； ②当时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点，则, 如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线，   轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 点Q的坐标为， 点绕点T逆时针旋转30°得到点Q， ，， ， ， ， ， ， ， , 点P的坐标为． （3）点M在上，则M绕S顺时针旋转α度以后的的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的上，关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在关于T逆时针旋转α度以后的上，只需与x轴有交点在粉弧上，且, 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使， ″   ， ，，， ， ， 故； 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使，   ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$