第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 知识归纳与题型突破（十六类题型清单） -2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 知识归纳与题型突破（十六类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 二、一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 三、一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 03 题型归纳 题型一概念辨析及求参数 例题 1．以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 巩固训练 2．下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ． 5．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 题型二　列不等式式（不等式的实际意义） 例题 6．用不等式表示： (1)0大于． (2)x减去y不大于． (3)a的倍与的和是非负数． (4)a的与b的平方的和为正数． 巩固训练 7．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 8．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 9．年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 不等式的基本性质及其应用 例题 10．已知，用“＞”或“＜”填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 巩固训练 11．已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 12．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 13．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 14．将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四　作差法比较大小 例题 15．（1）如果，那么a b；如果，那么a b；如果，那么a b．（填、、） （2）试用（1）提供的方法比较与的大小． 巩固训练 16．已知． (1)计算：当时，______，______；当时，______，______；当时，______，______； (2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）； (3)请说明（2）中猜想的合理性． 题型五 不等式的解集 例题 17．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 巩固训练 18．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 题型六　解一元一次不等式（组） 例题 19．解不等式（组）： (1)； (2)． 巩固训练 20．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 21．解不等式与不等式组： (1)解不等式：． (2)解不等式组： 22．下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程． 解：由①，得第一步 第二步   由②，得第三步 第四步   不等式组的解是第五步 题型七 解集在数轴的表示及应用 例题 23．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 巩固训练 24．已知关于x的不等式x＞的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为 ． 25．实数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．函数中，随的增大而减小 题型八　一元一次不等式与一次函数 例题 26．一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 27．如图，直线经过点和，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 28．如图，函数和的图象交于点则不等式的解集为 ．    题型九　整数解及求参数问题 例题 29．不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 巩固训练 30．不等式组的所有整数解的和为 ． 31．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 32．若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是 ． 题型十 根据解集求参数 例题 33．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 巩固训练 34．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 35．若不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 36．已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是 ． 37．不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十一 二元一次方程组与一元一次不等式（组） 例题 38．已知关于x、y的方程组 ，且满足的值大于且小于2，求m的取值范围． 巩固训练 39．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 题型十二 一元一次不等式（组）的代数应用 例题 40．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 41．若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 43．已知，是一次函数图象上不同的两个点，若，则的取值范围是 ． 题型十三 一元一次不等式（组）的实际应用 例题 44．某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 巩固训练 45．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 46．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在校园内；已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 47．小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（    ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 48．天气转凉，某商店欲购进，两种型号的暖手宝，已知型暖手宝的进价是每个20元，型暖手宝的进价是每个40元．该商店决定用不超过3500元钱购进这两种暖手宝共100件，且型号暖手宝不超过30件． (1)该商店有几种进货方案？请你写出解答过程． (2)若，两种暖手宝的售价每件分别为40元、70元，哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 49．某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格． 空调 彩电 进价(元/台) 售价(元/台) 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． (1)试写出y与x的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可供选择？ (3)最大利润为多少？ 题型十四 一元一次不等式（组）的几何应用 例题 50．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 51．如图，一钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，且，对于下列结论，判断正确的是(        ) 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，那么的取值范围是    A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 题型十五 程序框图 例题 52．对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于210？”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，则x的值可能是(    )    A．64 B．71 C．82 D．128 巩固训练 53．对一个值按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“判断结果是否大于”为1次操作． (1)当输入时，要操作______次才停止． (2)如果操作只进行1次就停止，求的取值范围． (3)如果操作恰好进行3次才停止，求的取值范围． 题型十六 新定义题 例题 54．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，．若，则的取值可以是（    ） A．40 B．45 C．51 D．56 巩固训练 55．已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 知识归纳与题型突破（十六类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 二、一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 三、一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 03 题型归纳 题型一概念辨析及求参数 例题 1．以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【解析】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 巩固训练 2．下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【解析】解：①，是方程； ②，不含未知数，不是一元一次不等式； ③，是代数式，不是不等式； ④，是一元一次不等式； ⑤，是一元一次不等式． 故选：A． 3．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【解析】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 4．已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ． 【答案】-3 【解析】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式, ∴k-3≠0且|k|-2=1, 解得k=-3. 5．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【解析】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ∴． 故选D． 题型二　列不等式式（不等式的实际意义） 例题 6．用不等式表示： (1)0大于． (2)x减去y不大于． (3)a的倍与的和是非负数． (4)a的与b的平方的和为正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意列出不等式即可； （2）根据题意列出不等式即可； （3）根据题意列出不等式即可； （4）根据题意列出不等式即可． 【解析】（1）解：0大于表示为：； （2）x减去y不大于表示为：； （3）a的倍与的和是非负数表示为：； （4）a的与b的平方的和为正数：． 【点睛】此题考查了不等式，读懂题意正确列式是解题的关键． 巩固训练 7．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义．根据题意列出不等式即可求解． 【解析】解：∵山岭主峰海拔超过1500米． ∴， 故选：B． 8．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【解析】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 9．年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键． 根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案． 【解析】解：根据题意可得：这天气温的变化范围是， 故选：D． 题型三 不等式的基本性质及其应用 例题 10．已知，用“＞”或“＜”填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＜ 【分析】根据不等式的基本性质判断即可． 【解析】解：解：（1）不等式两边都加2，不等号的方向不变， 故答案为：＜； （2）不等式两边都乘，不等号的方向改变， 故答案为：＞； （3）∵，∴，∴， 故答案为：＞． （4）∵，∴，∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 巩固训练 11．已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【解析】解：∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴，故结论错误； ∵，， ∴， ∴，故结论正确； ∴正确的个数是个， 故选：． 12．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【解析】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意； B、由可得，则，则此项错误，符合题意； C、由可得，则此项正确，不符合题意； D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 13．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质和应用，根据图示，可得，据此判断出三人体重A，B，C的大小关系即可． 【解析】解：根据图示，可得， ∴． 故选：C． 14．将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质解一元一次不等式的方法是解题的关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解析】解：∵， ∴， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：B． 题型四　作差法比较大小 例题 15．（1）如果，那么a b；如果，那么a b；如果，那么a b．（填、、） （2）试用（1）提供的方法比较与的大小． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】 本题考查等式的性质，整式加减运算，不等式的性质，掌握等式、不等式的性质是正确判断的前提． （1）根据不等式的性质逐项进行判断即可； （2）将两个式子作差计算，即可得到结论． 【解析】 解：（1）如果，那么， 如果，那么， 如果，那么； （2）， ∴， 即． 巩固训练 16．已知． (1)计算：当时，______，______；当时，______，______；当时，______，______； (2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）； (3)请说明（2）中猜想的合理性． 【答案】(1)1，，，，8，4 (2)＞ (3)见解析 【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． （1）分别将，，代入A，B的代数式求解即可； （2）观察（1）中结果即可解答； （3）利用作差的方法比较A，B的大小． 【解析】（1）解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； 故答案为：1，，，，8，4 （2）解：由（1）可得，当时，；当时，；当时，； 猜想：无论a为何值，始终成立． 故答案为：＞ （3）解： ∵， ∴， ∴， ∴． 题型五 不等式的解集 例题 17．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【解析】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 巩固训练 18．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况． 【解析】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意； B、∵，故错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况． 题型六　解一元一次不等式（组） 例题 19．解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解析】（1）解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 巩固训练 20．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解析】（1）解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 21．解不等式与不等式组： (1)解不等式：． (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）．熟练掌握解一元一次不等式（组）是解题的关键． （1）先去分母，然后去括号、移项合并，最后系数化为1即可； （2）分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【解析】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：； （2）解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴， ∴， 解得：， ∴不等式组的解集为：. 22．下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程． 解：由①，得第一步 第二步   由②，得第三步 第四步   不等式组的解是第五步 【答案】第一次出错在第三步； 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．根据去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，即可求解． 【解析】解：解不等式组的过程有错误，第一次出错在第三步；       由①得， ， 由②得， ， 所以不等式组的解是． 题型七 解集在数轴的表示及应用 例题 23．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式可得解集为，再在数轴上表示解集即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 在数轴上表示为： ． 故选：D． 巩固训练 24．已知关于x的不等式x＞的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为 ． 【答案】1 【解析】略 25．实数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．函数中，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断代数式符号及大小，涉及不等式性质、绝对值意义、一次函数图象与性质等知识，先由实数在数轴上对应的点的位置得到，再逐项判断代数式符号，结合不等式性质、绝对值意义、一次函数图象与性质判断即可得到答案，熟练掌握利用数轴判断代数式符号及大小、绝对值意义、一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【解析】解：实数在数轴上对应的点，如图所示，   ， A、， 由不等式性质可知，选项正确，不符合题意； B、， 由不等式性质可知，选项正确，不符合题意； C、， ，由绝对值意义可知，选项错误，符合题意； D、， ， 由一次函数图象与性质可知，函数中，随的增大而减小，选项正确，不符合题意； 故选：C． 题型八　一元一次不等式与一次函数 例题 26．一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获取信息． 直接从一次函数的图象上即可得到答案． 【解析】解：由题图可知，当时，，即， ∴不等式的解集为． 故选：D． 巩固训练 27．如图，直线经过点和，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合运用.首先根据题意可知不等式的解集为相当于直线在直线的下方且都在轴的下方所对应的的取值范围，据此进一步分析求解即可. 【解析】解：由题意可得：直线与直线相交于点A， ∴不等式的解集为相当于直线在直线的下方且都在轴的下方所对应的的取值范围， 观察图象可知，当时，直线在直线的下方且都在轴的下方， ∴不等式的解集为：， 故选：A. 28．如图，函数和的图象交于点则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】先利用A点坐标，然后观察函数图得到当x＜2 时，y=x的图象都在直线的下方，由此得到不等式x＜ax+4的解集． 【解析】解： A（2，3）， 观察函数图得到：当x＜2 时， y=x的图象都在直线的下方， 不等式x＜ax+4的解集x＜2． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．理解好上面原理是解题的关键． 题型九　整数解及求参数问题 例题 29．不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 【解析】解： 不等式的负整数有，，，，共四个， 故选：C． 巩固训练 30．不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得． 【解析】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为：， 整数解为：3、4， 其和为：7， 故答案为：7． 31．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围． 【解析】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有四个整数解，即为， ∴， 故答案为：． 32．若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数解的个数，确定整数解，从而确定a的范围． 【解析】解， 解①得， 解②得， 则不等式组的解集是． ∴， ∴， ∵不等式组有1个整数解，则整数解是0． ∴， 解得： 综上：， 故答案是：． 题型十 根据解集求参数 例题 33．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组解集的定义进行解答即可． 本题考查不等式的解集，理解不等式组解集的定义是正确解答的关键． 【解析】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴． 故选：A． 巩固训练 34．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【解析】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 35．若不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】略 36．已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a≤-1. 【分析】根据x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答． 【解析】解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解， ∴4a-3a-1＜0， 解得：a＜1， ∵x=2不是这个不等式的解， ∴2a-3a-1≥0， 解得：a≤-1， ∴a≤-1， 故答案为a≤-1． 【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集． 37．不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【解析】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 题型十一 二元一次方程组与一元一次不等式（组） 例题 38．已知关于x、y的方程组 ，且满足的值大于且小于2，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解；先利用加减消元法得到，然后得到不等式组求解即可． 【解析】解：， 由得， ∴， ∵满足的值大于且小于2， ∴ 解得． 巩固训练 39．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次不等式组的求解以及等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握相关结论即可. （1）方程组，得：，进而得，即可求解； （2）解方程组得：，可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；分类讨论若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，两种情况，利用三角形的三边关系加以验证即可． 【解析】（1）解：方程组，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：解方程组得：， 可知x，y不可能是等腰三角形的两腰； 若x是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形； 若是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形； 综上所述： 题型十二 一元一次不等式（组）的代数应用 例题 40．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次不等式，解方程得，由解为正数知，解之即可得出答案． 【解析】解：解方程得：， ∵关于x的方程的解为正数， ∴， 解得， 故选：D． 巩固训练 41．若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解． 【解析】解：由不等式，得， 都能使不等式成立， 当，即时，则都能使恒成立； 当时，不等式的解集为，不符合题意， ，即， 不等式的解集为， 都能使不等式成立， ， 解得：， ∴此时 综上，实数m的取值范围是， 故选：C． 42．若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点在平面直角系中的对称，求不等式的解集，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称的性质是解题的关键． 根据点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，再根据不等式的性质求解即可． 【解析】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点， ∴且， 解得，， 故答案为：． 43．已知，是一次函数图象上不同的两个点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及不等式求解，根据一次函数的性质即可求出的范围． 【解析】是一次函数图像上不同的两个点 两式相减可得： 即： 故答案为：． 题型十三 一元一次不等式（组）的实际应用 例题 44．某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系，列出不等式．设答对道题，答错或不答的题目为道，根据选手要得到70分以上（含70分），列出不等式，解不等式即可． 【解析】解：设答对道题，答错或不答的题目为道，根据题意，得： ， 解得， ∴至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）． 故选：A． 巩固训练 45．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设有x间宿舍，根据“每间住4人，2人无处住”可得学生有人，再根据“每间住6人，空一间还有一间不空也不满”列出不等式组即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 【解析】解：设有x间宿舍，则学生有人，由题意得： ． 故选：C． 46．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在校园内；已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，找准不等式关系是解题关键．根据两种园艺造型使用的甲、乙两种花卉的盆数不超过两种花卉各自的总盆数建立不等式组即可得． 【解析】解：由题意可知，搭配种造型个， 则可列不等式组为， 故选：A． 47．小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（    ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，再解出不等式组的解集即可． 【解析】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为， 则有：， 解得：， ∴一颗玻璃球的体积在以上，以下， 故选：C． 48．天气转凉，某商店欲购进，两种型号的暖手宝，已知型暖手宝的进价是每个20元，型暖手宝的进价是每个40元．该商店决定用不超过3500元钱购进这两种暖手宝共100件，且型号暖手宝不超过30件． (1)该商店有几种进货方案？请你写出解答过程． (2)若，两种暖手宝的售价每件分别为40元、70元，哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)该商店有6种进货方案，解答过程见详解 (2)第一种进货方案，有最大值，即为2750元 【分析】（1）设购进型暖手宝个，则购进型暖手宝个，根据不超过3500元钱购进这两种暖手宝共100件，列出不等式解答即可； （2）设利润为元，根据利润售价进价建立解析式，运用一次函数性质就可以求出结论． 此题考查了列一次函数的实际运用，不等式的实际运用，求出利润的解析式，运用一次函数的性质求最值是本题的难点． 【解析】（1）解：设购进型暖手宝个，则购进型暖手宝个，由题意得 解得：， 又∵， 则且为整数， 即，26，27，28，29，30， 第一种进货方案：购进型暖手宝25个，则购进型暖手宝75个， 第二种进货方案：购进型暖手宝26个，则购进型暖手宝74个， 第三种进货方案：购进型暖手宝27个，则购进型暖手宝73个， 第四种进货方案：购进型暖手宝28个，则购进型暖手宝72个， 第五种进货方案：购进型暖手宝29个，则购进型暖手宝71个， 第五种进货方案：购进型暖手宝30个，则购进型暖手宝70个， 综上：该商店有6种进货方案． （2）解：设利润为元，由题意得 ， ， 随着的增大而减小， 当时，有最大值2750． 即第一种进货方案，有最大值，即为2750元 49．某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格． 空调 彩电 进价(元/台) 售价(元/台) 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． (1)试写出y与x的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可供选择？ (3)最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)商场有三种方案可供选择：方案：购空调台，购彩电台；方案：购空调台，购彩电台；方案：购空调台，购彩电台 (3)最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据利润等于售价减去进价再乘以数量，列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意列出不等式组，求得整数解，进而即可求解； （3）根据一次函数的性质求最值，即可求解． 【解析】（1）解：设商场计划购进空调台，则计划购进彩电台， 由题意，得； （2）依题意，有 解得 为整数， ，， 即商场有三种方案可供选择： 方案：购空调台，购彩电台；   方案：购空调台，购彩电台； 方案：购空调台，购彩电台 （3），， 随的增大而增大，    即当时，有最大值， 最大元． 故选择方案：购空调台，购彩电台时，商场获利最大，最大利润是元 题型十四 一元一次不等式（组）的几何应用 例题 50．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 【解析】解：设， ∵在中，，若其周长为， ∴， ∵，即， 解得：， 又∵， 解得：， ∴， 即． 故选：B． 巩固训练 51．如图，一钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，且，对于下列结论，判断正确的是(        ) 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，那么的取值范围是    A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到、与之间的关系，即可求解． 【解析】解：∵，，，， ∴，，，， ∴， 即, ∴， 故结论Ⅰ正确； ∵，，，，，， ∴，，，，，， ∴， ∵要使得这样的钢条只能焊上6根， ∴，    由题意得 解得： 故结论Ⅱ正确． 故选：A． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 题型十五 程序框图 例题 52．对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于210？”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，则x的值可能是(    )    A．64 B．71 C．82 D．128 【答案】A 【分析】根据题意，可得，解不等式组，即可求解． 【解析】依题意，得，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 巩固训练 53．对一个值按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“判断结果是否大于”为1次操作． (1)当输入时，要操作______次才停止． (2)如果操作只进行1次就停止，求的取值范围． (3)如果操作恰好进行3次才停止，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，过程见详解 (3)，过程见详解 【分析】本题考查了一元一次不等式，正确理解程序框图的意思是掌握本题的关键． （1）将代入逐次判断是否大于即可得； （2）表示出第一次输出结果，根据“操作只进行一次就停止”列不等式求解可得； （3）表示出第一次、第二次的输出结果，再由第二次输出结果可得出不等式，解出即可． 【解析】（1）解：当时，190； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 所以当输入时，要操作5次才停止． 故答案为：． （2）解：第一次的结果为， 若操作只进行一次就停止，则， 解得． 故的取值范围是． （3）解：第一次的结果为，没有停止，则，解得； 第二次的结果为，没有停止，则，解得； 第三次的结果为，停止，则，解得． 综上所述，的取值范围是． 题型十六 新定义题 例题 54．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，．若，则的取值可以是（    ） A．40 B．45 C．51 D．56 【答案】C 【解析】略 巩固训练 55．已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 【答案】(1)B (2) (3)3，5，7 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，理解不等式组的“关联解”定义以及熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键． （1）先求出每个不等式组的解集， 再根据不等式组的“关联解”定义判断即可； （2）先求出不等式组的解集是，求出，根据题意得出不等式组并求出即可． （3）先求出不等式组的解集是，根据“关联解”定义得出解出a的范围，结合是整数即可求出结论． 【解析】（1）解：A．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，不存在， B．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当，时，存在， C． 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当存在， 当时，不存在， 故选：B； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， ， 故答案为：； （3）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， 解得：， ， ， ， 是整数，， ． 故答案为：3,5,7. 8 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$