黄金卷02（重庆专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．每年三月最后一个星期六的“地球一小时”活动是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的全球性节能活动，以下与环保有关的图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．反比例函数一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 5．如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 6．估计的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 7．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第9个图中共有正方形的个数为（   ） A．19个 B．22个 C．25个 D．28个 8．如图，以为直径画半圆O，为半圆上一条弦，过点C作于点D，过点O作于点E．连接，若半径，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，平分交于点E，点是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．在多项式中，除首尾项、外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式进行．例如：“消减操作”为，与同时“消减操作”为，，下列说法： ①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以去掉的三项，，满足：，则的最大值为． 其中正确的个数是(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2、 填空题：（本大题共8题，每题4分，共32分.） 11．计算：＝ ． 12．年月日是我国第个植树节，截至年，全国完成新增种植和低产林改造亩，将数据用科学记数法表示为 ． 13．一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是 ． 14．桌面上放有四张背面完全一样的卡片，每张卡片正面分别标有数字，，，．将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ． 15．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，分别交，于点P，Q．若，，则的长为 ． 16．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ． 17．如图，是正方形的外接圆，的直径为2．与相切于点B，交的延长线于点F，则 ；连接交于点E，连接，则 ． 18．一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ． 三、解答题：（本大题共8题，第19-20每题8分，第21-26每题10分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： (1)； (2)． 20．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对初一年级共680名学生进行了航天科普知识测试（满分50分），测试完成后，发现所有学生成绩均为40分及以上且为整数．现从该年级甲、乙两班中各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析得到下列信息：（分数用x表示，为合格，为良好，为优秀）， 甲班10名学生的测试成绩为：40，46，47，47，49，49，50，50，50，50． 乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：48，47，48，48，47． 抽取的甲、乙两班学生测试成绩统计表 班级 平均数 众数 中位数 甲班 47.8 a 49 乙班 47.8 49 b 根据以上信息回答以下问题： (1)填空：____________，____________，____________； (2)你认为甲乙两个班哪个班的学生测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)请估计该校初一年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有多少名？ 21．数学发烧友小附在探究等腰三角形面积时，发现一个规律：如图，在中，，，以为边向下构造等边，就可以得到．请根据小附的探究思路完成下面的作图与填空： 如图，在中，， (1)用直尺和圆规，在下方作，在射线上截取，连接交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图中，求证．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与 的面积相等． 22．某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材． (1)该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？ (2)由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的1.25倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？ 23．如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 24．如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点在点的右侧，连接，． (1)求直线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移使得新抛物线与轴的左交点恰好是点，与轴的右交点记为点．点是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26．已知，中，，，交于点，．    (1)如图1，将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上，求的长． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，为上一点，且满足：，作于点，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，、分别为线段、上的两个动点，且满足，当最小时，为平面内一动点，将沿翻折得，请直接写出的最大值． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是是解题的关键． 根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义，的相反数是， 故选：． 2．每年三月最后一个星期六的“地球一小时”活动是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的全球性节能活动，以下与环保有关的图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行分析即可． 【详解】解：选项B、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项A的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关知识．根据整式的加减，同底数幂的乘法逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4．反比例函数一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，将选项中各点的坐标代入验证即可得到答案，熟记反比例函数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、，则反比例函数不经过该点，不符合题意； B、，则反比例函数经过该点，符合题意； C、，则反比例函数不经过该点，不符合题意； D、，则反比例函数不经过该点，不符合题意； 故选：B． 5．如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解： 与关于点位似，位似比为， ， ， ， 则． 故选：D． 6．估计的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算，正确的估算的大小是解题的关键．先根据二次根式的运算法则得出，然后利用夹逼法估算的大小，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴， ∴的值应在4和5之间， 故选：C． 7．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第9个图中共有正方形的个数为（   ） A．19个 B．22个 C．25个 D．28个 【答案】C 【分析】本题考查图形变化的规律．依次求出图形中正方形的个数，发现规律“正方形的个数依次增加3”即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中正方形的总个数为：； 第②个图形中正方形的总个数为：； 第③个图形中正方形的总个数为：； 第④个图形中正方形的总个数为：； ， 依次类推，第个图形中正方形的总个数为个， 当时， （个， 即第9个图形中正方形的总个数为25个． 故选：C． 8．如图，以为直径画半圆O，为半圆上一条弦，过点C作于点D，过点O作于点E．连接，若半径，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是求解阴影部分的面积，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，先证明，求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：D． 9．如图，在矩形中，平分交于点E，点是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．过点E作于点G，过点C作于点H，先证明，得到，，然后在中利用勾股定理求出长，计算得到长，然后利用求出，长，解题即可． 【详解】解：过点E作于点G，过点C作于点H， ∵是矩形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴ 又∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴， 故选：D． 10．在多项式中，除首尾项、外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式进行．例如：“消减操作”为，与同时“消减操作”为，，下列说法： ①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以去掉的三项，，满足：，则的最大值为． 其中正确的个数是(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算、绝对值、多项式；①根据消减操作定义，用符合条件的式子进行验证即可；②根据消减操作定义计算，再分类讨论化简绝对值，即可判断；③根据消减操作定义及绝对值性质，求出的最小值． 【详解】解：①“消减操作”后的式子，“消减操作”后的式子对这两个式子作差， 得 ， 结果不含与相关的项， ①正确； ②若每种操作只消退一项，则分三种情况： 消减操作后的结果， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 消减操作后的结果， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 消减操作后的结果， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 共有种不同的结果， ②错误； ③，在数轴上表示点与和的距离之和， 当距离取最小值时，的最小值为， 同理，在数轴上表示点与和的距离之和， 当距离取最小值时，的最小值为， ，在数轴上表示点与和的距离之和， 当距离取最小值时，的最小值为， 当，，都取最小值时， ， ③正确， 故选：C． 2、 填空题：（本大题共8题，每题4分，共32分.） 11．计算：＝ ． 【答案】3 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂的性质解答 ． 【详解】解：原式=2+1=3， 故答案为3 ． 【点睛】本题考查整数指数幂的应用，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的性质是解题关键． 12．年月日是我国第个植树节，截至年，全国完成新增种植和低产林改造亩，将数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，熟练掌握“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法”是解题的关键． 根据科学记数法正确表示即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键．根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意得： ， 解得 ， 故答案为：7． 14．桌面上放有四张背面完全一样的卡片，每张卡片正面分别标有数字，，，．将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，画树状图得出共有种等可能的结果数，其中两张卡片上的数字之和为正数的结果有种，再由概率公式求解即可，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 【详解】解：用列表法列举出所有可能出现的结果如下： 第一张 第二张 共有种可能出现的结果，其中和为奇数的有种， 所以抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，分别交，于点P，Q．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】先证明，，可得，可得，，然后利用特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，三角形的内角和定理的应用，求解是解本题的关键． 16．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组有解且至多5个整数解，确定出a的取值，即可求解， 本题考查了，分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：分式方程得：， ∵分式方程有整数解， ∴或或或，且，即， 解得：或2或或3或4或或7， 不等式组整理得：，即， 由不等式组有解且至多5个整数解，得到，解得：， ∴则符合条件的所有整数a的为和，和为， 故答案为：． 17．如图，是正方形的外接圆，的直径为2．与相切于点B，交的延长线于点F，则 ；连接交于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】连接，根据圆内接正方形的性质得，则是等腰直角三角形，进而得，继而可分别求出，，证明和相似，再利用相似三角形的性质求出BE即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正方形内接于，的直径为2， ∴， ∴ 在等腰中，由勾股定理得：， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解正多边形和圆，正方形的性质，切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理和相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 18．一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ． 【答案】 3456 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，进而得到，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出，再按照a从大到小的范围讨论求解即可． 【详解】解：∵是一个“友谊数”， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴这个数为； ∵是一个“友谊数”， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴是整数，即是整数， ∴是13的倍数， ∵都是不为0的正整数，且， ∴， ∴当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时， ∵要使M最大，则一定要满足a最大， ∴满足题意的M的最大值即为； 故答案为：3456；． 三、解答题：（本大题共8题，第19-20每题8分，第21-26每题10分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则展开，然后再算加减； （2）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的． 本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握完全平方公式的结构及通分和约分的技巧是解题关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对初一年级共680名学生进行了航天科普知识测试（满分50分），测试完成后，发现所有学生成绩均为40分及以上且为整数．现从该年级甲、乙两班中各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析得到下列信息：（分数用x表示，为合格，为良好，为优秀）， 甲班10名学生的测试成绩为：40，46，47，47，49，49，50，50，50，50． 乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：48，47，48，48，47． 抽取的甲、乙两班学生测试成绩统计表 班级 平均数 众数 中位数 甲班 47.8 a 49 乙班 47.8 49 b 根据以上信息回答以下问题： (1)填空：____________，____________，____________； (2)你认为甲乙两个班哪个班的学生测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)请估计该校初一年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有多少名？ 【答案】(1)50，48，10 (2)甲班的成绩较好，理由见解析 (3)估计该校初一年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有340名 【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数和众数的定义，并会利用这些统计量作决策是解答的关键． （1）根据题中数据和中位数、众数的定义求解即可； （2）根据甲乙两班的平均数、中位数和众数分析决策即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可． 【详解】（1）解：甲班的测试成绩出现次数最多的是50，因此众数是50， ∴， ∵乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：47，47，48，48，48，48出现3次，众数是49， ∴49出现4次， 优秀人数为（人）， ∴优秀的学生都是49， ∴从小到大排列后处在中间位置的两个数都是48， ∴中位数， ∵乙组合格的人数为， ∴， ∴． 故答案为：50，48，10； （2）解：甲班的成绩较好， 理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数49都比乙班的中位数48大，所以甲班的成绩好； （3）解：（名）， 答：估计该校初一年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有340名． 21．数学发烧友小附在探究等腰三角形面积时，发现一个规律：如图，在中，，，以为边向下构造等边，就可以得到．请根据小附的探究思路完成下面的作图与填空： 如图，在中，， (1)用直尺和圆规，在下方作，在射线上截取，连接交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图中，求证．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与 的面积相等． 【答案】(1)见解析； (2)，， ，边长等腰腰长的等边三角形． 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角三角形内角和定理、三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定及性质等，掌握判定方法及性质是解题的关键． （1）根据题干所给作图方法作图即可得解； （2）先证明，结合，得是等边三角形．进而证明（），得．即可得证． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ∴． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与边长等腰腰长的等边三角形的面积相等． 故答案为：，， ，边长等腰腰长的等边三角形． 22．某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材． (1)该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？ (2)由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的1.25倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？ 【答案】(1)学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶 (2)学校购买食醋40瓶 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用； （1）设学校购买了酱油瓶，食醋瓶，根据该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）学校购买食醋瓶，则购买酱油瓶，根据每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设学校购买了酱油瓶，食醋瓶， 由题意得：， 解得：， 答：学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶； （2）解：学校购买食醋瓶，则购买酱油瓶， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：学校购买食醋40瓶． 23．如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)作图见解析，由图可得，当，随的增大而增大 (3)． 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，二次函数的图象的性质及求一次函数， （1）分当时，点在上，点在上，和当时，点在上，点在上，两种情况，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据解析式可画出函数图象，并得到图象的性质； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴， ∴； 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴； ∴关于的函数表达式为； （2）解：函数的图象如图所示， 由图可得，当，随的增大而增大； （3）解：∵， ∴的顶点为，对称轴为，最大值为， 结合图象可得当直线在两条虚线之间（不包括最高点，包括最低点）时，与图象有两个交点， 当过时，，解得：； 当过时，，解得：； ∴结合函数图象，当函数与上述函数的图象有两个交点时的取值范围为． 24．如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)的长度为米 (2)甲选择的路线较近 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，解直角三角形求出、的长，再结合计算即可得解； （2）解直角三角形，分别求出两条路线的长度，比较即可得解． 【详解】（1）解：如图：作于，则， ， 由题意得：米，米，，， ∴在中，，，米， ∴米，米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∴的长度为米； （2）解：在中，，，米， ∴米， ∴米， 在中，，，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点在点的右侧，连接，． (1)求直线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移使得新抛物线与轴的左交点恰好是点，与轴的右交点记为点．点是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定点的坐标，设线的解析式的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴的垂线，交于，设，则，易得，结合即三角形面积公式可解得点坐标；过点作，过点作，过点作轴于点，易得四边形为平行四边形，可知，，再证明，利用三角形函数可解得，即点与点重合，进一步确定点坐标；三点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，然后求解即可； （3）根据题意可知将原抛物线相似移动3个单位长度，相右移动4个单位长度，即可得到新的抛物线，进而确定新抛物线解析式以及点坐标．当点在点右侧时，则有，故不符合题意；点在点左侧，过点作轴于点，设，则，易得，，然后证明，利用三角形函数可知，进而可得，然后求得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：对于， 令，可得，即， 令，可得， 整理可得 ，解得 ，， ∵点在点的右侧， ∴，， 设直线的解析式的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式的解析式为； （2）∵，，， ∴，，， ∴， 如下图，过点作轴的垂线，交于， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 如下图，过点作，过点作，过点作轴于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即点与点重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，如下图， 此时， ∴， 即的最小值为； （3）原抛物线， 将原抛物线沿方向平移使得新抛物线，且与轴的左交点恰好是点， 即将原抛物线相似移动3个单位长度，相右移动4个单位长度，即可得到新的抛物线， ∴新抛物线解析式为， 令，可得， 解得，， ∴， 当点在点右侧时，则有，故不符合题意， ∴点在点左侧，如下图，过点作轴于点， 设，则， ∴，， ∵在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 可有或， 解得，（舍去）或，（舍去）， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点、求一次函数解析式、解直角三角形、勾股定理、二次函数图像平移、平行四边形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 26．已知，中，，，交于点，．    (1)如图1，将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上，求的长． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，为上一点，且满足：，作于点，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，、分别为线段、上的两个动点，且满足，当最小时，为平面内一动点，将沿翻折得，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解； （2）延长至M使得，连接、、，证明，进而证明，得出则，，即可求解； （3）以为圆心的长为半径，作，作，证明，得出当三点共线时，最小，进而可得的最大值为，证明是等腰直角三角形，解直角三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴ ∵交于点， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）延长至M使得，连接、、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， 在中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴    （3）解：如图所示，以为圆心的长为半径，作，作，    ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∴ ， ∴当三点共线时，最小， ∵为平面内一动点，将沿翻折得， ∴，在上， 又∵垂直平分，则， ∴的最大值为， 过点作于点， 在中， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中，，则 设，则 解得： ∵ ∴ 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷02 参考答案 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B D C C D D C 2、 填空题：（本大题共8题，每题4分，共32分.） 11．3 12． 13．7 14． 15． 16． 17． 18． 3456 3、 解答题：（本大题共8题，第19-20每题8分，第21-26每题10分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（1）解： （2分） ； （4分） （2）解： （6分） ． （8分） 20．（1）解：甲班的测试成绩出现次数最多的是50，因此众数是50， ∴， ∵乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：47，47，48，48，48，48出现3次，众数是49， ∴49出现4次， 优秀人数为（人）， ∴优秀的学生都是49， ∴从小到大排列后处在中间位置的两个数都是48， ∴中位数， ∵乙组合格的人数为， ∴， ∴． 故答案为：50，48，10； （3分） （2）解：甲班的成绩较好， 理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数49都比乙班的中位数48大，所以甲班的成绩好； （6分） （3）解：（名）， 答：估计该校初一年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有340名． （10分） 21．（1）解：如图， （6分） （2）证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ∴． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与边长等腰腰长的等边三角形的面积相等． 故答案为：，，，边长等腰腰长的等边三角形． （10分） 22．（1）解：设学校购买了酱油瓶，食醋瓶， 由题意得：， 解得：， 答：学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶； （5分） （2）解：学校购买食醋瓶，则购买酱油瓶， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：学校购买食醋40瓶． （10分） 23．（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴， ∴； 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴； ∴关于的函数表达式为； （4分） （2）解：函数的图象如图所示， 由图可得，当，随的增大而增大； （8分） （3）解：∵， ∴的顶点为，对称轴为，最大值为， 结合图象可得当直线在两条虚线之间（不包括最高点，包括最低点）时，与图象有两个交点， 当过时，，解得：； 当过时，，解得：； ∴结合函数图象，当函数与上述函数的图象有两个交点时的取值范围为． （10分） 24．（1）解：如图：作于，则， ， 由题意得：米，米，，， ∴在中，，，米， ∴米，米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∴的长度为米； （5分） （2）解：在中，，，米， ∴米， ∴米， 在中，，，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴甲选择的路线较近． （10分） 25．（1）解：对于， 令，可得，即， 令，可得， 整理可得 ，解得 ，， ∵点在点的右侧， ∴，， 设直线的解析式的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式的解析式为； （3分） （2）∵，，， ∴，，， ∴， 如下图，过点作轴的垂线，交于， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 如下图，过点作，过点作，过点作轴于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即点与点重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，如下图， 此时， ∴， 即的最小值为； （7分） （3）原抛物线， 将原抛物线沿方向平移使得新抛物线，且与轴的左交点恰好是点， 即将原抛物线相似移动3个单位长度，相右移动4个单位长度，即可得到新的抛物线， ∴新抛物线解析式为， 令，可得， 解得，， ∴， 当点在点右侧时，则有，故不符合题意， ∴点在点左侧，如下图，过点作轴于点， 设，则， ∴，， ∵在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 可有或， 解得，（舍去）或，（舍去）， ∴点的坐标为或． （10分） 26．（1）解：∵中，，， ∴ ∵交于点， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （4分） （2）延长至M使得，连接、、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， 在中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ （8分）    （3）解：如图所示，以为圆心的长为半径，作，作，    ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∵为平面内一动点，将沿翻折得， ∴，在上， 又∵垂直平分，则， ∴的最大值为， 过点作于点， 在中， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中，，则 设，则 解得： ∵ ∴ （10分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$