黄金卷01（重庆专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．的相反数是（ ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可得到答案，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数是2024， 故选：A． 2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其从左面看到的形状图是（   ）                       A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据所给几何体的形状，先确定从左面看，看到的图形分为几层几列，然后确定每层每列的小正方形个数即可得到答案． 【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两层共两列，从左边数，上下两层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：D． 3．若点在反比例函数的图像上，则的值为（    ） A． B． C．18 D．2 【答案】C 【分析】利用待定系数法即可解决问题； 【详解】解：把代入，得到， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 5．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点A在上，若，则和的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形 ∴，， ∴ ， ∴和的面积之比为， 故选：D． 6．估计的结果应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】根据题意，先将原式进行计算，再对原式的值进行判断即可得解. 【详解】＝， ∵， ∴8.46＜8.52， ∴2＜＜3， ∴的结果应在2和3之间， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数的计算以及实数范围的确定，熟练掌握实数的混合运算是解决本题的关键. 7．勾股树又称毕达哥拉斯树，是毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的可以无限衍生的图形，如图是勾股树的前三种衍生图．图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，……，按照这一规律，图⑥中正方形的个数为（    ） A．255 B．127 C．126 D．63 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，推出第个图形有个正方形，进而求出图⑥中正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知，第①个图形有个正方形， 第②个图形有个正方形， 第③个图形有个正方形， ∴第个图形有个正方形， ∴图⑥中正方形的个数为个正方形， 故选：B． 8．如图，在中，，O是斜边的中点，以点O为圆心的半圆O与相切于点D，交于点E，F，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质得到，得到，从而，根据相似三角形的性质得到，根据三角形和扇形的面积公式即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是斜边的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、扇形面积、直角三角形的性质、相似三角形的判定及性质等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．如图，正方形的对角线交于点O，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，过A作于点F．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四点共圆的知识，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理．连接，作于点G，求得，推出四点共圆，得到，再求得，，利用直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：记交于点H，连接，作于点G， ∵将绕点B顺时针旋转，得到， ∴等边三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵等边三角形，， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 10．有如下的一列等式： ，，其中为正整数，的各项系数均不为．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“友好多项式”那么以下说法正确的有（   ） ①多项式有个不同的“友好多项式”； ②求多项式所有不同的“友好多项式”之和，其中的系数为：； ③若，那么的所有系数之和为； ④若，那么当时，． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，整式的加减计算，根据“友好多项式”的定义求出多项式的“友好多项式”即可判断①；根据①所求把所得的6个多项式的“友好多项式”中的的系数相加即可判断②；令，可得，据此可判断③；令得到，则，令得到，则，据此可判断④． 【详解】解：由“友好多项式”的定义可得，多项式的“友好多项式”有：，，，，，，共个，故①正确； 多项式所有不同的“友好多项式”之和的的系数为：，故②错误； ∵（n为偶数），（n为奇数）， ∴当时，（n为偶数）， （n为奇数）， 又∵当时，， ∴若，那么的所有系数之和为，故③正确； 当时，①， 当时，②， ∴得 ， ∴，故④正确； ∴正确的有3个， 故选：D． 2、 填空题：（本大题共8题，每题4分，共32分.） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、算术平方根的定义分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形是 边形． 【答案】六 【分析】本题考查多边形的对角线，根据多边形的对角线求得其边数即可． 【详解】解：∵一个多边形从一个顶点可引对角线3条， ∴这个多边形的边数为（条）， ∴这个多边形是六边形． 故答案为：六． 13．甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况，他们选择同一个景点有3种， 故他们选择同一个景点的概率是：， 故答案为：． 14．重庆市某鞋厂7月份的运动鞋产量为20万双，因销量较好，8月份、9月份均增大产量，使9月份的产量达到万双，则该厂8，9月份运动鞋产量的月平均增长率为 ． 【答案】 【分析】设该厂8，9月份运动鞋产量的月平均增长率为x，根据某鞋厂7月份的运动鞋产量为20万双，9月份的产量达到万双，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该厂8，9月份运动鞋产量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 即该厂8，9月份运动鞋产量的月平均增长率为， 故答案为：． 15．如图，在中，点D为中点，过点D作交于点E，延长至点F，连接，使．若，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，先由得出证明运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：5． 16．若数a使二次函数的图象与y轴的交点纵坐标为非正数，且使关于x的不等式组有解且最多只有三个整数解，则符合条件的所有整数之和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数与y轴的交点问题以及不等式组的求解．正确的计算出a的取值范围是解题的关键．根据二次函数图象与y轴的交点纵坐标为非正数可得且，再结合不等式组有且只有三个整数解，求得a的取值范围即可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为非正数， ∴且， ∴且， 解不等式组，根据不等式有解集，可得， ∵不等式组有且只有三个整数解 ∴， ∴， 结合且，可得，且， ∴符合条件的所有整数a有4、5， ∴， 故答案为：． 17．如图，已知是的半径，弦，垂足为点，且，，过点作的切线，交的延长线于点，则的长为 ，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，由与切于点，则，由垂径定理得，再由，设，，故，，由勾股定理可得，解出的值，则，根据余角性质得，则，然后代入求值即可． 【详解】解：连接， ∵与切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 18．一个四位数各数位上的数字均不为，若将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数，则称为的“翻折数”，规定．例如：的“翻折数”为，，则 ；若（，为整数，，），的“翻折数”能被整除，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程的解，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键．据代入求解即可；首先表示出和的“翻折数”，然后求出的取值范围，进而分类讨论求得，的值，然后代入求解即可． 【详解】根据题意可得， ； ∵（，为整数，）， ∴的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴的“翻折数”为 ， ∵，， ∴， ∵的“翻折数”能被整除， ∴能被整除， ∵，都是整数， ∴是整数， ∴，，，，，，， ∴当时，，无整数解， 当时，（舍去）或， 当时，，无整数解， 当时，，无整数解， 当时，（舍去）或， 当时，，无整数解， 当时，，无整数解， ∴当时，， 当时，， ∴的最大值为 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8题，第19-20每题8分，第21-26每题10分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的混合运算和分式的混合运算，正确化简分式是解题关键． （1）直接利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开，然后合并得出答案； （2）利用分式的混合运算法则先算括号，再算乘除，进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．为了提高学生的计算能力，重庆市育才中学举行了数学计算竞赛，现从七、八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用表示，共分成4组：A．，，，）． 下面给出部分信息： 七年级学生的数学成绩在组中的数据为：83，84，89． 八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 87 98 99.6 八 87.2 86 88.4 (1)填空：___________，___________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共4000人参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数是多少？ 【答案】(1)84，100 (2)八年级，见解析 (3)1600人 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数、方差判断即可得解； （3）由样本估计总体的方法计算即可得解． 【详解】（1）解：由直方图可得，七年级的数学成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数据落在组的第二个， ∵七年级的测试成绩在组的数据为：，，， ∴， ∵八年级抽取的学生数学成绩中100分的最多， ∴； （2）解：根据以上数据，我认为八年级学生计算能力较好．     理由如下：八年级的平均数、中位数86、众数100均高于七年级的平均数87、中位数84、众数98、八年级的方差比七年级的方差小，所以八年级学生计算能力较好． （3）解：样本中，七八年级90分及以上的学生斗士6个， （名）     答：估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有1600人． 21．学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点．（不写作法，只保留作图痕迹） (2)已知：在四边形中，，为中点，为中点． 猜想：，且． 证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴ ① 在和中 ， ∴ ∴ ② ，且 ∵是的中点 又是的中点 ∴为的中位线 ∴且 ③ ∴ ∵ ∴ 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于 ④ ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，梯形中位线定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法以及题意作图即可； （2）根据已给推理过程结合全等三角形的性质与判定定理和三角形中位线定理证明即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴， 在和中 ， ∴, ∴，且, ∴是的中点, 又是的中点, ∴为的中位线 ∴且, ∴, ∵， ∴， ∴连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于上底加下底的一半， 故答案为：；；；上底加下底的一半． 22．重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕． (1)购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分别为多少元？ (2)国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了元，“开心果半角”单价降低了元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求的值． 【答案】(1)“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元 (2)2 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键． （1）设“流沙羊角”的单价为x元，“开心果羊角”的单价为y元，根据购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，列出方程组，求解即可． （2）根据销量等于销售额除以销售单价，以“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设“流沙羊角”的单价为x元，“开心果羊角”的单价为y元，根据题意，得 ， 解得：， 答：“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元． （2）解：根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴的值为2． 23．如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理： （1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称性可得当点P在上时，； 综上所述，； （2）解：列表如下： … 1 2 … … … 1 6 … … … 1 2 … 12 6 … 如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大． （3）解：联立得，此时，原方程无解； 联立得，解得或 由函数图象可知，当时，． 24．某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 【答案】(1) (2)张老师所带队伍先到山顶 【分析】（1）设过点的水平线交于点，过点作于点，易证得四边形为矩形，故可设米，则米，在中，可求得米，米，进而可得米，米，米，由，可得，进而可得，由等角对等边可得，即，解方程即可求得的长，然后根据即可求出山顶离水平地面的高度； （2）由（1）可知米，进而可得米，米，米，再列式求出路线一所需时间和路线二所需时间，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，设过点的水平线交于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ； 设米， ， （米）， 在中， （米）， （米）， 米， 米， 米， 米， ，， ， ， ， 即：， 解得：（米）， （米）， 答：山顶离水平地面的高度约为米； （2）解：由（1）可知：米， 米， （米）， （米）， 路线一所需时间（分钟）， 路线二所需时间（分钟）， ， 选择线路一的队伍先到山顶， 答：张老师带领部分同学选择路线一先到山顶． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用（坡度坡比问题），解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）利用二次函数解析式可得，进而可得直线的解析式为，设点，过点作轴 ，交直线于点，可得，即得，即可得到，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，又可知四边形是平行四边形，得，即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解； （）由题意可得抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，得， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵点与点关于直线的对称点， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值； （3）解：∵直线的解析式为， ∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， 如图，当时，， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 当，与轴的交点为点时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 26．在中，，将线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段，连接，过点A作交于点E． (1)如图1，若，，且，连接，求线段的长度； (2)如图2，若，在上取点F，若，求证：； (3)如图3，若，，，点P在射线上，点Q在射线上，且，连接，，当最小时，直接写出此时点E到的距离的平方． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意知，，，，由，可得，由旋转的性质可知，，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）如图1，延长到，使，作交的延长线于，证明，则，由旋转的性质可知，，，如图1，连接，，证明是等边三角形，则，，，由，可求，则，，如图，连接，证明，则，进而结论得证； （3）如图2，作，使，连接，证明，则，，当三点共线时，最小，为，如图2，连接，交于，即为最小时的点的位置，则，如图2，作绕顺时针旋转到，延长交于，则，，，，可得，此时即为最小时的点，由，可得，，，如图2，作于，设，则，，，，由，可求，则，，如图2，连接，作，则，即，可求，根据点E到的距离的平方为，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由旋转的性质可知，， 由勾股定理得，， ∴的长度为； （2）证明：如图1，延长到，使，作交的延长线于， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， 如图1，连接，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如下图2，作，并截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，为， 如图2，连接，交于，即为最小时的点的位置， ∴， ∴， 如图3，作绕顺时针旋转到，延长交于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 此时即为最小时的点， ∵， ∴，， ∴， 如图3，作于， 设，则，，，， ∴， 解得，， ∴，， 如图2，连接，作于点， ∴，即， 解得，， ∴， ∴点E到的距离的平方为． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷01 参考答案 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D D B B A B D 2、 填空题：（本大题共8题，每题4分，共32分.） 11． 12．六 13． 14． 15．5 16．9 17． 18． 三、解答题：（本大题共8题，第19-20每题8分，第21-26每题10分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19． （1）解： （2分） ； （4分） （2）解： （6分） ． （8分） 20．（1）解：由直方图可得，七年级的数学成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数据落在组的第二个， ∵七年级的测试成绩在组的数据为：，，， ∴， ∵八年级抽取的学生数学成绩中100分的最多， ∴； （3分） （2）解：根据以上数据，我认为八年级学生计算能力较好．     理由如下：八年级的平均数、中位数86、众数100均高于七年级的平均数87、中位数84、众数98、八年级的方差比七年级的方差小，所以八年级学生计算能力较好． （6分） （3）解：样本中，七八年级90分及以上的学生斗士6个， （名）     （10分） 答：估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有1600人． 21．（1）解：作图如下： （6分） （2）解：证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴， 在和中 ， ∴, ∴，且, ∴是的中点, 又是的中点, ∴为的中位线 ∴且, ∴, ∵， ∴， ∴连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于上底加下底的一半， 故答案为：；；；上底加下底的一半． （10分） 22（1）解：设“流沙羊角”的单价为x元，“开心果羊角”的单价为y元，根据题意，得 ， 解得：， 答：“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元． （5分） （2）解：根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴的值为2． （10分） 23．（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称性可得当点P在上时，； 综上所述，； （4分） （2）解：列表如下： … 1 2 … … … 1 6 … … … 1 2 … 12 6 … 如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大． （8分） （3）解：联立得，此时，原方程无解； 联立得，解得或 由函数图象可知，当时，． （10分） 2（1）解：如图，设过点的水平线交于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ； 设米， ， （米）， 在中， （米）， （米）， 米， 米， 米， 米， ，， ， ， ， 即：， 解得：（米）， （米）， 答：山顶离水平地面的高度约为米； （5分） （2）解：由（1）可知：米， 米， （米）， （米）， 路线一所需时间（分钟）， 路线二所需时间（分钟）， ， 选择线路一的队伍先到山顶， 答：张老师带领部分同学选择路线一先到山顶． （10分） 25．（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3分） （2）解：由，得， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵点与点关于直线的对称点， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值； （7分） （3）解：∵直线的解析式为， ∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， 如图，当时，， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 当，与轴的交点为点时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，当时，点的坐标为或． （10分） 26．（1）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由旋转的性质可知，， 由勾股定理得，， ∴的长度为； （4分） （2）证明：如图1，延长到，使，作交的延长线于， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， 如图1，连接，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （8分） （3）解：如下图2，作，并截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，为， 如图2，连接，交于，即为最小时的点的位置， ∴， ∴， 如图3，作绕顺时针旋转到，延长交于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 此时即为最小时的点， ∵， ∴，， ∴， 如图3，作于， 设，则，，，， ∴， 解得，， ∴，， 如图2，连接，作于点， ∴，即， 解得，， ∴， ∴点E到的距离的平方为． （10分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．的相反数是（ ） A．2024 B． C． D． 2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其从左面看到的形状图是（   ）                       A． B． C． D． 3．若点在反比例函数的图像上，则的值为（    ） A． B． C．18 D．2 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点A在上，若，则和的面积之比为（   ） A． B． C． D． 6．估计的结果应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 7．勾股树又称毕达哥拉斯树，是毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的可以无限衍生的图形，如图是勾股树的前三种衍生图．图①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，……，按照这一规律，图⑥中正方形的个数为（    ） A．255 B．127 C．126 D．63 8．如图，在中，，O是斜边的中点，以点O为圆心的半圆O与相切于点D，交于点E，F，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的对角线交于点O，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，过A作于点F．若，则（    ） A． B． C． D． 10．有如下的一列等式： ，，其中为正整数，的各项系数均不为．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“友好多项式”那么以下说法正确的有（   ） ①多项式有个不同的“友好多项式”； ②求多项式所有不同的“友好多项式”之和，其中的系数为：； ③若，那么的所有系数之和为； ④若，那么当时，． A．个 B．个 C．个 D．个 2、 填空题：（本大题共8题，每题4分，共32分.） 11．计算： ． 12．一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形是 边形． 13．甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 ． 14．重庆市某鞋厂7月份的运动鞋产量为20万双，因销量较好，8月份、9月份均增大产量，使9月份的产量达到万双，则该厂8，9月份运动鞋产量的月平均增长率为 ． 15．如图，在中，点D为中点，过点D作交于点E，延长至点F，连接，使．若，，则 ． 16．若数a使二次函数的图象与y轴的交点纵坐标为非正数，且使关于x的不等式组有解且最多只有三个整数解，则符合条件的所有整数之和为 ． 17．如图，已知是的半径，弦，垂足为点，且，，过点作的切线，交的延长线于点，则的长为 ，则的长为 ． 18．一个四位数各数位上的数字均不为，若将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数，则称为的“翻折数”，规定．例如：的“翻折数”为，，则 ；若（，为整数，，），的“翻折数”能被整除，则的最大值为 ． 三、解答题：（本大题共8题，第19-20每题8分，第21-26每题10分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： (1)； (2)． 20．为了提高学生的计算能力，重庆市育才中学举行了数学计算竞赛，现从七、八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用表示，共分成4组：A．，，，）． 下面给出部分信息： 七年级学生的数学成绩在组中的数据为：83，84，89． 八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 87 98 99.6 八 87.2 86 88.4 (1)填空：___________，___________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共4000人参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数是多少？ 21．学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点．（不写作法，只保留作图痕迹） (2)已知：在四边形中，，为中点，为中点． 猜想：，且． 证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴ ① 在和中 ， ∴ ∴ ② ，且 ∵是的中点 又是的中点 ∴为的中位线 ∴且 ③ ∴ ∵ ∴ 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于 ④ ． 22．重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕． (1)购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分别为多少元？ (2)国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了元，“开心果半角”单价降低了元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求的值． 23．如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 24．某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26．在中，，将线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段，连接，过点A作交于点E． (1)如图1，若，，且，连接，求线段的长度； (2)如图2，若，在上取点F，若，求证：； (3)如图3，若，，，点P在射线上，点Q在射线上，且，连接，，当最小时，直接写出此时点E到的距离的平方． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$