黄金卷01（北京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷01 参考答案 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C C D D D B 二、填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．x≥-1 10． 11．/ 12． 13． 14． 15． 16． B 4 三、解答题：（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．解：原式 （3分） （5分） 18．解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， （4分） ∴非负整数解是0，1． （5分） 19．解： ， （3分） ， ， 原式． （5分） 20．（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （3分） （2） 证明：连接、，      由（1）可知 ， 在和中 ． （6分） 21．解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹， 依题意可得：，解得：． （4分） 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：1名快递员平均每天可配送包裹件． （6分） 22．（1）解：由平移可知，， 将代入中得，， ∴一次函数表达式为； （3分） （2）解：如图， 由题意知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，m的取值范围为且． （6分） 23．（1）解：，， 故答案为：，； （2分） （2）解：补全频数分布直方图如下： （3分） （3）解：随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数为第25、26个数据的平均数， 根据节数在这一组的数据可知，第25、26个数据分别为23、25， 所以，随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是， 故答案为：24； （4分） （4）解：根据图表可知，学生中观看网络直播课节数不低于30次的频率为， 所以，估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有人， 故答案为160． （5分） 24．（1）证明：∵是的中点， ， ， ， ， ； （3分） （2）解：连接， ∵是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （6分） 25．解：①（2）中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，随的增大增大，当时，随的增大而减小， 时，,时， 半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大 故答案为：大 （3分） ②根据函数图象可知，当时，或 故答案为：或 （5分） 26．（1）解：①当时，点， 把点代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； ②令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时， m的取值范围为或； （3分） （2）解：，理由如下： 把点代入得： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离大于对称轴的距离， ∴． （6分） 27．（1）补全的图形如图所示：    证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，即， ∴； （3分） （2）； 证明：如图，作于点M，与直线交于点N，    ∴， 由旋转的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴． （7分） 28．（1）解：∵ ∴弦的垂直平分线为轴， ∴关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”； 关于直线对称的点坐标为，不在上，即不是“关联点”； 关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”； 不在弦的垂直平分线上，即不是“关联点”； 故答案为：，； （2分） （2）解：由垂径定理可知，弦的垂直平分线过圆心， ∵点是弦的“关联点”， ∴为弦的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为或， 当对称点为时，直线为，如图，线段， 则，， 由勾股定理得，， ∴； 当对称点为时，直线为，如上图，线段， 则，， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述，的长为或； （4分） （3）解：如图，设交于，作直线交于点、，分别作线段、的垂直平分线，交于、、、，垂足为、，连接 当点在线段上时，且为， ∵垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直， ∴ ∴ ∴当时，取最小值，取最小值，根据垂线短最短，当与重合时，取最大值，如图， 在中，， ∴， 当点沿线段运动到接近上时，逐渐减小， ， 当点在线段上时，且为， ∵垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直， ∴ ∴ ∴当时，，取最小值， ∴， 当点沿线段运动到接近上时，逐渐增大， ∴当时，取最大值，即， ， 当在上时，为， 当点与重合时，则与互相垂直平分，如图，连接， K， 在中，， 当点运动到点时，如图，， ， 综上所述，的取值范围为或； （7分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（    ） A．  B．  C．   D．   2．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，若，则的大小为（    ）      A． B． C． D． 4．如图，将绕点C按照顺时针方向旋转得到，交于点D．若，则（　　）    A． B． C． D． 5．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4 随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是（    ） A． B． C． D． 6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（    ）    A． B． C． D． 7．若，则的结果是（　　） A．7 B．9 C．﹣9 D．11 8．如图，正方形，，连接，交于点O，并分别与边，交于点F，E，连接，下列结论中正确的结论序号是（    ）    ①；②；③； A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2、 填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 10．把多项式分解因式的结果是 ． 11．分式方程的解 ． 12．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，则 ． 13．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为 ． 14．如图，点A，B，C，D在上，，，则 ． 15．如图，在中，延长至点E，使，连接与于点F，则的值是 ．    16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：    ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e的卡片写有数字 ． 三、解答题：（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．计算：． 18．解不等式组并写出它的非负整数解． 19．已知，求的值． 20．如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．    (1)若，试说明； (2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 21．列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23．疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 节数x 频数 频率 8 10 16 b a 4 总数 50 1 其中，节数在这一组的数据是： 20  20  21  22  23  23  23  25  25  26  26  26  27  28  28  29   请根据所给信息，解答下列问题： (1)　　　　　　，　　　　　　； (2)请补全频数分布直方图； (3)随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是　　　　　　； (4)请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有__________人． 24．如图，为的直径，C是圆上一点，D是弧的中点，弦，垂足为点F． (1)求证：； (2)P是上一点，，，求的长度． 25．数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ，    ① ，    ② 由①式得，代入②式得 ．    ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出m的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由． 27．在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)根据题意补全图形，并证明：； (2)过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系中，对于的弦和点给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，且点在弦的垂直平分线上，则称点是弦的“关联点”．已知的半径为． (1)如图，点．在点中，弦的“关联点”是_________； (2)若点是弦的“关联点”，求弦的长； (3)已知点对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即互为相反数， ∴， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； ，B选项正确，不符合题意； ，C选项错误，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 3．如图，，，若，则的大小为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题平行线的性质，垂直的定义．根据平行线的性质得，再根据垂直定义得，即可由求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 4．如图，将绕点C按照顺时针方向旋转得到，交于点D．若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点C按照顺时针方向旋转得到 ∴， ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键． 5．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4 随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，先画树状图得到所有等可能的结果，再找出符合题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的有8种， ∴第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率为， 故选：D． 6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形，可以用含的式子表示出的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 立柱根部与圭表的冬至线的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 7．若，则的结果是（　　） A．7 B．9 C．﹣9 D．11 【答案】D 【分析】根据完全平方的特征对式子进行整理，即(a-)2+2，最后整体代入进行计算可得结果. 【详解】解：∵， ∴ ＝（a﹣）2+2 ＝（﹣3）2+2 ＝9+2 ＝11， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式． 8．如图，正方形，，连接，交于点O，并分别与边，交于点F，E，连接，下列结论中正确的结论序号是（    ）    ①；②；③； A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据角的和差可得，由此可判断结论①正确；先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，假设，从而可得，然后根据线段垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，根据得出，由此得出矛盾，即可判断结论②错误；先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得判断结论③正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即， 假设，则， 垂直平分， ， 又在中，， ，这与相矛盾， 则假设不成立，故②错误； ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即，故③正确； 即正确的有：①③， 故选：B． 2、 填空题：（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】x≥-1 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 10．把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 直接提取公因，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】 故答案为：． 11．分式方程的解 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， 经检验，是原方程的解； 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据直线与双曲线交于两点，得出，，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵直线与双曲线交于两点 ∴ 则， ∴ 整理得 ∴ 当时，则，此时； 当时，则，此时； 故答案为： 13．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】证明，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故． 【详解】解：都是正方形， ， ， ， ， 与的面积比为， ， 设，则， ， 在中， ， 由“青朱出入图”可知：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理． 14．如图，点A，B，C，D在上，，，则 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待求角度集中在同一个三角形内． 利用同弧上的圆周角相等得到，然后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，延长至点E，使，连接与于点F，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，证得成为解题的关键． 由平行四边形的性质结合已知条件可得，再证明，最后根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：    ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e的卡片写有数字 ． 【答案】 B 4 【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案． 【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片， 白卡片数字1摆在了标注字母B的位置， 黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，； 第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾， 第一行中C为白2； 第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾， 第二行中c为白3， 第二行中a为黑2，b为黑3； 第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾， 第二行中e为白4． 故答案为：①B，②4． 三、解答题：（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．计算：． 【答案】 【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为１，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°=，求出各项的值即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查实数的混合运算；特殊角三角函数值． 18．解不等式组并写出它的非负整数解． 【答案】；非负整数解是0，1 【分析】首先解两个一元一次不等式，然后求两个不等式解集的公共部分，最后写出不等式组的整数解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， ∴非负整数解是0，1． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练解答一元一次不等式和确定一元一次不等式组的解集，在一元一次不等式组解集里确定非负整数解． 19．已知，求的值． 【答案】，1 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 利用分式的混合运算法则将化简将，再根据题意得到，将代入化简后的式子求解． 【详解】解： ， ， ， 原式． 20．如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．    (1)若，试说明； (2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）根据，得到，，由证明全等即可． （2）由全等的性质得到，由证明，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 证明：连接、，      由（1）可知 ， 在和中 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 21．列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 【答案】件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键． 设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可． 【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹， 依题意可得：，解得：． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：1名快递员平均每天可配送包裹件． 22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．熟练掌握一次函数图象的平移，数形结合求解是解题的关键． （1）由平移可知，，将代入，求得，然后作答即可； （2）数形结合求解作答即可． 【详解】（1）解：由平移可知，， 将代入中得，， ∴一次函数表达式为； （2）解：如图， 由题意知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，m的取值范围为且． 23．疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 节数x 频数 频率 8 10 16 b a 4 总数 50 1 其中，节数在这一组的数据是： 20  20  21  22  23  23  23  25  25  26  26  26  27  28  28  29   请根据所给信息，解答下列问题： (1)　　　　　　，　　　　　　； (2)请补全频数分布直方图； (3)随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是　　　　　　； (4)请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有__________人． 【答案】(1)，； (2)补图见解析； (3)24； (4)160． 【分析】（1）根据频率频数总数进行求解，即可得到答案； （2）根据（1）所求结果即可补全频数分布直方图； （3）根据中位数的概念找到第25、26个数据，取其平均数即可得到答案； （4）用总人数乘以节数不低于30次的频数即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数为第25、26个数据的平均数， 根据节数在这一组的数据可知，第25、26个数据分别为23、25， 所以，随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是， 故答案为：24； （4）解：根据图表可知，学生中观看网络直播课节数不低于30次的频率为， 所以，估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有人， 故答案为160． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，中位数，解题关键是熟练掌握相关概念，从图表中准确获取信息． 24．如图，为的直径，C是圆上一点，D是弧的中点，弦，垂足为点F． (1)求证：； (2)P是上一点，，，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，关键是由垂径定理推出，得到；由勾股定理求出的长． （1）由垂径定理推出，得到，推出； （2）由锐角的正切求出，由勾股定理求出，由垂径定理得到由勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ， ， ， ， ； （2）解：连接， ∵是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25．数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ，    ① ，    ② 由①式得，代入②式得 ．    ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 【答案】①大；②或 【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当时，，当时，，进而可比较当与时，的值的大小， ②根据函数图象求解即可 【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，随的增大增大，当时，随的增大而减小， 时，,时， 半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大 故答案为：大 ②根据函数图象可知，当时，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键． 26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出m的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较p，q的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)，理由见解析 【分析】（1）①把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；②求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解； （2）把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，点， 把点代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； ②令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时， m的取值范围为或； （2）解：，理由如下： 把点代入得： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离大于对称轴的距离， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 27．在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)根据题意补全图形，并证明：； (2)过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形见解析，证明见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论； （2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可． 【详解】（1）补全的图形如图所示：    证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，即， ∴； （2）； 证明：如图，作于点M，与直线交于点N，    ∴， 由旋转的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 28．在平面直角坐标系中，对于的弦和点给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，且点在弦的垂直平分线上，则称点是弦的“关联点”．已知的半径为． (1)如图，点．在点中，弦的“关联点”是_________； (2)若点是弦的“关联点”，求弦的长； (3)已知点对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)的长为或； (3)或； 【分析】（1）由点坐标可知弦的垂直平分线为轴，根据新定义求出各点关于弦对称的点坐标，然后根据是否在上，进行判断作答即可； （2）由垂径定理可知，弦的垂直平分线过圆心，则为弦的垂直平分线，点关于直线的对称点为或，然后作图，构造直角三角形，利用勾股定理，垂径定理求解即可； （3）根据点，，结合“关联点”的定义和垂径定理，分别求得的极值即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵ ∴弦的垂直平分线为轴， ∴关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”； 关于直线对称的点坐标为，不在上，即不是“关联点”； 关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”； 不在弦的垂直平分线上，即不是“关联点”； 故答案为：，； （2）解：由垂径定理可知，弦的垂直平分线过圆心， ∵点是弦的“关联点”， ∴为弦的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为或， 当对称点为时，直线为，如图，线段， 则，， 由勾股定理得，， ∴； 当对称点为时，直线为，如上图，线段， 则，， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：如图，设交于，作直线交于点、，分别作线段、的垂直平分线，交于、、、，垂足为、，连接 当点在线段上时，且为， ∵垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直， ∴ ∴ ∴当时，取最小值，取最小值，根据垂线短最短，当与重合时，取最大值，如图， 在中，， ∴， 当点沿线段运动到接近上时，逐渐减小， ， 当点在线段上时，且为， ∵垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直， ∴ ∴ ∴当时，，取最小值， ∴， 当点沿线段运动到接近上时，逐渐增大， ∴当时，取最大值，即， ， 当在上时，为， 当点与重合时，则与互相垂直平分，如图，连接， K， 在中，， 当点运动到点时，如图，， ， 综上所述，的取值范围为或； 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$