第二章 方程（组）与不等式（组）-【一战成名新中考】2025广西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

教师备课尊享·广西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第二章　 方程(组)与不等式(组) 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 一 广西近 4 年中考考情分析 1.近 4 年题型、题位、分值分析与总结 　 　 　 年份 题型　 　 　 2024 广西 2023 广西 2022 北部湾 2021 北部湾 选择题 11 题 3 分 5 题 3 分 11 题 3 分 5 题 3 分 10 题 3 分 10 题 3 分 12 题 3 分 填空题 16 题 2 分 — — — 解答题 20 题 6 分 23(1)题 3 分 20 题 6 分 25(1)(2)(3)题 6 分 — 20 题 6 分 22(3)题 2 分 题量总计 4 道 4 道 2 道 4 道 分值总计 14 分 18 分 6 分 14 分 【考情总结】 (1)近 4 年选择题每年 1~ 2 道,3~ 6 分; (2)近 4 年填空题每年 0~ 1 道,0~ 2 分; (3)近 4 年解答题每年 0~ 2 道,0~ 12 分. 2.章内各版块考查频次、特点分析与总结 　 　 　 年份 版块　 　 　 2024 广西 2023 广西 2022 北部湾 2021 北部湾 一次方程(组) 11 题 3 分 20 题 6 分 25(1)(2)(3)题 6 分 — 10 题 3 分 一元二次方程 — 11 题 3 分 — — 分式方程 23(1)题 3 分 20 题 6 分 10 题 3 分 20 题 6 分 一元一次不等式(组) 16 题 2 分 5 题 3 分 5 题 3 分 12 题 3 分 【考情总结】 (1)一次方程(组)仅 2022 年未考,其余年份每年考查 1~ 2 道; (2)一元二次方程仅 2023 年单独考查 1 道; (3)分式方程每年考查 1 道; (4)一元一次不等式(组)每年考查 1 道,在选择题或填空题考查. 7 教师备课尊享·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 二 广西近 4 年中考真题分类+好题类推 版块 1　 一次方程(组) 1. [2024 广西 11 题 3 分]《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思为: 现有田出租,第一年 3 亩 1 钱,第二年 4 亩 1 钱,第三年 5 亩 1 钱. 三年共得 100 钱. 问:出租的田有 多少亩? 设出租的田有 x 亩,可列方程为 ( B ) A. x 3 + x 4 + x 5 = 1　 　 　 　 B. x 3 + x 4 + x 5 = 100　 　 　 　 C. 3x+4x+5x= 1　 　 　 D. 3x+4x+5x= 100 2. [2021 北部湾经济区 10 题 3 分]《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”,书中记载:今有 三人共车,二车空;二人共车,九人步. 问:人与车各几何? 译文:若 3 人坐一辆车,则两辆车是空 的;若 2 人坐一辆车,则 9 人需要步行. 问:人与车各多少? 设有 x 辆车,人数为 y,根据题意可列方 程组为 ( B ) A. y= 3x-2 y= 2x+9{ B. y= 3(x-2) y= 2x+9{ C. y= 3x-2 y= 2x-9{ D. y= 3(x-2) y= 2x-9{ 3. [2024 广西 20 题 6 分]解方程组: x+2y= 3, x-2y= 1.{ 解: x+2y=3①, x-2y=1②,{ ①+②得,2x=4,解得 x=2,将 x=2 代入①得 y= 1 2 ,∴方程组的解是 x=2, y= 1 2 . ì î í ïï ïï 4. 2023 广西 25 题见本册 P19 第三章版块 2 第 7 题 版块 2　 一元二次方程 5. [2023 广西 11 题 3 分]据国家统计局发布的《2022 年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020 年 和 2022 年全国居民人均可支配收入分别为 3. 2 万元和 3. 7 万元. 设 2020 年至 2022 年全国居民人 均可支配收入的年平均增长率为 x,依题意可列方程为 ( B ) A. 3. 2(1-x) 2 = 3. 7 B. 3. 2(1+x) 2 = 3. 7 C. 3. 7(1-x) 2 = 3. 2 D. 3. 7(1+x) 2 = 3. 2 版块 3　 分式方程 6. [2022 北部湾经济区 10 题 3 分]《千里江山图》是宋代王希孟的作品,如图,它的局部画面装裱前是一个 长为 2. 4 米,宽为 1. 4 米的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是 8 ∶13,且四周边衬的宽度相等,则边 衬的宽度应是多少米? 设边衬的宽度为 x 米,根据题意可列方程 ( D ) 第 6 题图 A. 1. 4 -x 2. 4-x = 8 13 B. 1. 4 +x 2. 4+x = 8 13 C. 1. 4 -2x 2. 4-2x = 8 13 D. 1. 4 +2x 2. 4+2x = 8 13 8 教师备课尊享·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋好 题 类 推 6-1. 点 C 是线段 AB 上一点(AC>BC),若满足BC AC = AC AB ,则称点 C 是 AB 的黄金分割点. 黄金分割的 学习提升了我们的审美观,在小提琴的设计中,也引入黄金比的概念. 如图,在这架小提琴中,点 D 是线段 EF 的黄金分割点(ED<FD),若 EF= 60 cm,设 FD 为 x cm,则 x 满足的方程是 ( B ) A. (60-x) 2 = 60x　 　 　 B. x2 = 60(60-x)　 　 　 C. x(60-x)= 602 　 　 　 D. 以上都不对 第 6-1 题图 　 第 6-2 题图 　 图① 图② 第 6-3 题图 　 第 6-4 题图 6-2. 如图,一块长 16 m、宽 8 m 的矩形菜地,现要在中间铺设同样宽度的石子路,余下的部分用于 种植,且种植面积为 105 m2 . 设石子路的宽度为 x m,则可列方程为 ( B ) A. (16-x)(8-x) +x2 = 105 B. (16-x)(8-x)= 105 C. (16-2x)(8-x) +x2 = 105 D. (16-2x)(8-x)= 105 6-3. 秦始皇统一度量衡意义重大,这一举措极大地方便了生产与生活. 如图①和图②,欣欣通过两 把不同刻度的直尺说明了其中的原因,并进行如下探究:将两把尺子有刻度的一侧紧贴,则由两幅 图可得方程 ( A ) A. 24 32 = 9 x-10 B. 24 32 = x-10 9 C. 24 32 = 9 x+10 D. 24 32 = x+10 9 6-4. 如图,8 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,设每块小长方形地砖的长为 x cm,宽为 y cm,下列方程组正确的是 ( C ) A. 2x= 80, x= 2y{ B. 2x= 80, 2x= x+3y{ C. x+y= 80, 2x= x+3y{ D. x+y= 80, x= 2y{ 7. [2024 广西 23 题 10 分]综合与实践 　 　 在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略. 【洗衣过程】 步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分漫泡揉搓后拧干; 步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干,重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液 浓度达到洗衣目标. 　 　 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 0. 2%,每次拧干后校服上都残留 0. 5 kg 水. 浓度关系式:d后 = 0. 5 d前 0. 5+ w . 其中 d前、d后 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度:w 为单次漂 洗所加清水量(单位:kg) . 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗农液浓度不高于 0. 01%. 【动手操作】请按要求完成下列任务: (1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为 0. 01%,需要多少清水? (2)如果把 4 kg 清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标? (3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法. 9 教师备课尊享·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 解:(1)∵ d后 = 0. 5 d前 0. 5+w ,∴0. 01% =0. 5 ×0. 2% 0. 5+w ,解得 w=9. 5,经检验,w=9. 5 是分式方程的解,且符合题意, 所以,如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为 0. 01%,需要 9. 5 kg 清水. (2)把 4 kg 清水均分,每次使用清水 4+2-2(kg) . 第 1 次漂洗后的洗衣液浓度:0. 5 ×0. 2% 0. 5+2 = 0. 1% 2. 5 =0. 04%, 第 2 次漂洗后的洗衣液浓度:0. 5 ×0. 04% 0. 5+2 = 0. 02% 2. 5 =0. 008%<0. 01%.所以,可以达到洗衣目标. (3)对于(1)需要 9. 5 kg 清水,才能达标;对于(2)只需要 4 kg 清水,就能达标. 在水资源有限的情况下,为达到更好的洗衣效果,我会分次进行漂洗. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋好 题 类 推 7-1. [2024 北京二模]通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干,但由于不可能拧净衣服上的全部 污水,所以还需要用清水进行多次漂洗,不断降低衣服中污水的含量. 如:把一件存留 1 斤污水的 衣服用 10 斤清水漂洗后,拧干到仍然存留 1 斤污水,则漂洗后衣服中存有的污物是原来的 1 11 . 某小组决定使用 20 斤清水,对某件存留 1 斤污水衣服分别进行漂洗,且每次拧干后的衣服上都存 留约 1 斤的污水. (1)该小组设计了如下两个方案,请你完善方案内容: 方案一:采用一次漂洗的方式. 将 20 斤清水一次用掉,漂洗后该衣服中存有的污物是原来的　 1 21 　 ; 方案二:采用两次漂洗的方式. 若第一次用 14 斤清水,第二次用 6 斤清水,漂洗后该衣服中存有的污物是原来的　 1 105 　 ;若 第一次用 x(0<x<20)斤清水,第二次用(20-x)斤清水,漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 　 - 1 x2-20x-21 　 (用含有 x 的代数式表示); 通过计算分析,方案　 二　 (“一”或“二”)的漂洗效果更好. (2)若采用方案二,第一次用　 10　 斤清水,漂洗效果最好,二次漂洗后该衣服中存有的污物是原 来的　 1 121 　 . 7-2. 【实验目的】 通过糖水实验,从生活经验中抽象出数学式子,探索并理解分式的相关性质,感受模型思想. 【实验内容】 在一杯水中加入糖后,水会变甜,再加入一些水,甜味变淡. 请用数学语言描述这种现象: (1)表示糖水甜度:把 a g 糖放进杯中,加白开水,使糖充分溶化并搅匀,得到一杯质量为 b g 的糖 水,请用式子表示糖水浓度　 a b 　 ;(糖水浓度= 糖的质量 糖水的质量 ) (2)分别添加糖、水,感受变化:若在这杯糖水中再添加 a g 的糖,则糖水的浓度为　 2a a+b 　 ;若在这 杯糖水中再添加 b g 的白开水,则糖水的浓度为　 a 2b 　 ; (3)甲、乙两杯中均盛有 a g 的糖水,甲杯中糖的质量为 b g,乙杯中糖的质量为 c g,且 b>c,将糖水 搅拌均匀,第一次调剂过程是将甲杯中的一半糖水倒入乙杯中,第二次调剂过程是将乙杯中 新得到的糖水的一半倒入甲杯中. 01 教师备课尊享·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 【实验数据】 把实验(3)调剂前后的甲、乙两杯中糖水的浓度填写在下面的表格中: 调剂前 第一次调剂后 第二次调剂后 甲杯中糖水的浓度 b a b a 　 3b +2c 5a 　 乙杯中糖水的浓度 c a 　 b +2c 3a 　 　 b +2c 3a 　 【思考与探究】 在实验(3)中,每次调剂后甲、乙两杯糖水的浓度有什么变化? 并猜想第十次调剂后,哪个杯中的 糖水浓度更高. 【交流与小结】 通过糖水实验,理解分式的相关性质,学会利用分式的加减解决浓度问题,并尝试找出生活中可以 应用分式进行解释的生活现象,并与同学们进行探索交流. 解:(1) a b . (2) 2a a+b ; a 2b . 【解法提示】若在这杯糖水中再添加 a g 的糖,则糖水的浓度为a +a b+a = 2a a+b . 若在这杯糖水中再添加 b g 的白开水,则糖水的浓度为 a b+b = a 2b . (3)【实验数据】3b +2c 5a ,b +2c 3a ,b +2c 3a . 【思考与探究】 第一次调剂后,甲杯中糖水的浓度没有变化,乙杯中糖水的浓度变高;第二次调剂后,甲杯中糖水的浓度变低, 乙杯中糖水的浓度没有变化.第十次调剂后,甲杯中的糖水浓度更高. 8. [2023 广西 20 题 6 分]解分式方程: 2 x-1 = 1 x . 解:方程两边同乘 x(x-1),得 2x=x-1,移项,解得 x=-1. 检验:当 x=-1 时,x(x-1)≠0,∴ x=-1 是原分式方程的解. 9. [2021 北部湾经济区 20 题 6 分]解分式方程: x x+1 = x 3x+3 +1. 解:左右两边同乘 3(x+1),得 3x=x+3(x+1),去括号,得 3x=x+3x+3,解得 x=-3, 经检验,当 x=-3 时,3(x+1)≠0,∴原分式方程的解为 x=-3. 版块 4　 一元一次不等式(组) 10. [2023 广西 5 题 3 分]x≤2 在数轴上表示正确的是 ( C ) 11. [2022 北部湾经济区 5 题 3 分]不等式 2x-4<10 的解集是 ( B ) A. x<3 B. x<7 C. x>3 D. x>7 11 教师备课尊享·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 12. [2021 北部湾经济区 12 题 3 分]定义一种运算:a∗b= a,a≥b, b,a<b,{ 则不等式(2x+1) ∗(2-x) >3 的解集 是 ( C ) A. x>1 或 x< 1 3 B. -1<x< 1 3 C. x>1 或 x<-1 D. x> 1 3 或 x<-1 13. [2024 广西 16 题 2 分]不等式 7x+5<5x+1 的解集为　 x<-2　 . 三 大单元结构化整合练 ★大单元整合练一　 实际应用题 类型 1　 购买问题 常用关系式 费用=单价×数量⇒ 单价= 费用 数量 数量= 费用 单价 ì î í ï ïï ï ïï 总费用=甲的单价×甲的数量+乙的单价×乙的数量 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①若每捆菜苗的价格为 x 元,则购买 10 捆菜苗需要　 10x　 元. ②若学校准备用 200 元购买单价为 x 元的菜苗,则可购进菜苗　 200 x 　 捆. ③若每捆 A 种菜苗的价格比每捆 B 种菜苗的价格贵 10 元,设每捆A 种菜苗的价格为 x 元,则 购买 5 捆 A 种菜苗和 10 捆 B 种菜苗共需　 (15x-100) 　 元. 1. 某超市纪念品 A 的单价比纪念品 B 的单价多 20 元,小王购买 8 个纪念品 A 的金额比购买 5 个纪 念品 B 的金额多 310 元. 求纪念品 A,B 的单价. 解:设纪念品 B 的单价为 x 元,则纪念品 A 的单价为(x+20)元. 根据题意得 8(x+20)-5x=310,解得 x=50,∴ x+20=50+20=70. 答:纪念品 A 的单价为 70 元,纪念品 B 的单价为 50 元. 2. 端午节前夕,小明和小华相约一起去超市购买粽子. 小明购买 A 品牌和B 品牌的粽子各 1 袋,共花 费 55 元;小华购买 A 品牌粽子 3 袋和 B 品牌粽子 2 袋,共花费 135 元. 求 A,B 两种品牌粽子每袋 各是多少元? 解:设 A 品牌粽子每袋是 m 元,B 品牌粽子每袋是 n 元, 根据题意得 m+n=55, 3m+2n=135,{ 解得 m=25, n=30.{ 答:A 品牌粽子每袋是 25 元,B 品牌粽子每袋是 30 元. 3. 某文具店王老板用 240 元购进一批笔记本,之后又用 600 元购进第二批笔记本,所购本数是第一 批的 2 倍,但进价比第一批每本多了 2 元. 求第一批笔记本每本进价为多少元? 解:设第一批笔记本每本进价为 x 元,则第二批笔记本每本进价为(x+2)元, 由题意得 240 x ×2= 600 x+2 ,解得 x=8,经检验,x=8 是原分式方程的解,且符合题意. 答:第一批笔记本每本进价为 8 元. 21 教师备课尊享·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 4. 公仔“山侠”和“水仙”,以“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作. 某商店计划用不超过 10 200 元的 资金购进“山侠”和“水仙”两种公仔共 300 个,其中“山侠”公仔的单价是 36 元,“水仙”公仔的单 价是 30 元. 求“山侠”公仔最多能购进多少个? 解:设购进 x 个“山侠”公仔,则购进(300-x)个“水仙”公仔, 根据题意得 36x+30(300-x)≤10 200,解得 x≤200, ∴ x 的最大值为 200. 答:“山侠”公仔最多能购进 200 个. 5. 为响应国家“全民阅读,建设学习型社会”的倡议,营造读书好、好读书、读好书的氛围,某校图书 馆计划选购甲、乙两种图书. 已知甲图书的单价是 23 元,乙图书的单价是 20 元. 若学校计划购买 两种图书共 600 本,且要求甲图书的数量不少于乙图书数量的 3 倍,请问学校如何购买这两种图 书花费最少? 最少费用是多少? 解:设购买甲图书 x 本,则购买乙图书(600-x)本. 根据题意,得 x≥3(600-x),解得 x≥450. 设购买这两种图书的花费为 y 元,则 y=23x+20(600-x)= 3x+12 000, ∵3>0,∴ y 随 x 的增大而增大, ∵ x≥450, ∴当 x=450 时,y 的值最小,y最小 =3×450+12 000=13 350,600-450=150(本) . 答:购买甲图书 450 本、乙图书 150 本花费最少,最少费用是 13 350 元. 类型 2　 销售问题 常用关系式 利润=销量×(售价-成本) 售价=标价×折扣销售额=售价×销量 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①若某商店销售了 50 件单价为 x 元的商品,则销售额为　 50x　 元. ②若某商店销售售价为 x 元 /件的衬衫所得的销售额为 2 100 元,则该商店销售衬衫的数量 为　 2 100 x 　 件. ③某商店准备将一款玩具降价销售. 调查发现售价每降低 1 元,平均每周可多卖出 20 件. 降 价前每周可卖出 200 件,若降价 x 元,则现在每周可卖出　 (200+20x) 　 件. ④某短款传统服饰的进价为 80 元 /件,售价为 100 元 /件,销售 x 件该服饰可获得的利润 为　 20x　 元. 1. 商场销售某种商品,若按原价销售,则每天可卖出 50 件,若每件商品降价 20 元,则每天的销售量 为 60 件,且每天的销售额跟原来相同,求该商品原价为多少元? 解:设该商品原价为 x 元, 由题意得 50x=60(x-20), 解得 x=120. 答:该商品原价为 120 元. 31 教师备课尊享·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 2. 已知书店中文学类书的售价为 20 元 /本,科技类书的售价为 30 元 /本. 若书店销售两类书籍共 90 本,销售额为 2 100 元,求这两类书籍各销售多少本? 解:设文学类书籍销售 x 本,科技类书籍销售 y 本, 根据题意得 x+y=90, 20x+30y=2 100,{ 解得 x=60, y=30.{ 答:文学类书籍销售 60 本,科技类书籍销售 30 本. 3. 近年来,电商平台直播带货成了火热的一个新兴职业. 春节期间,某直播销售员销售一种童装. 若 按原标价销售,则每周销售额为 10 000 元;若按原标价的八五折销售,则每周多卖出 20 套,且销 售额还增加 1 900 元. 求每套童装的原标价为多少元? 解:设每套童装的原标价为 x 元, 根据题意,得10 000+1 900 85%x - 10 000 x =20. 解得 x=200, 经检验,x=200 是原分式方程的解,且符合题意. 答:每套童装的原标价为 200 元. 4. 某服装店每天销售“某品牌衬衫”20 件,每件衬衫盈利 40 元. 该服装店决定降价销售该品牌衬衫, 经过市场调查发现:如果衬衫每降价 1 元,则每天多售出 2 件. 如果该服装店销售该品牌衬衫每天 盈利1 250 元,那么衬衫每件降价了多少元? 解:设该品牌衬衫每件降价 x 元, 根据题意得(40-x)(2x+20)= 1 250, 整理得 x2-30x+225=0, 解得 x1 =x2 =15. 答:衬衫每件降价了 15 元. 5. 航空航天技术是一个国家综合国力的反映. 我国航天事业的飞速发展引发了航空航天模型的热 销,某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型共 100 套. 已知这两种模型的进价与售价如表 所示: “神舟”模型 “天宫”模型 进价(元 / 套) 16 25 售价(元 / 套) 20 30 若购进“神舟”模型的套数不少于“天宫”模型套数的 4 倍,求销售完这两种模型该航模店所获得 的最大利润. 解:设购进“神舟”模型 x 套,销售完这两种模型所获得的利润为 y 元, 根据题意,购进“天宫”模型(100-x)套, 则 y=(20-16)x+(30-25)(100-x)= -x+500. 根据题意,得 x≥4(100-x),解得 x≥80. ∵ y=-x+500,-1<0, ∴ y 随 x 的增大而减小, ∵ x≥80,∴当 x=80 时,y 的值最大,y最大 =-80+500=420. 答:销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润是 420 元. 41 教师备课尊享·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 6. [2024 广东省卷]广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023 年农产品进出口总额居全 国首位,其中荔枝鲜果远销欧美. 某果商以每吨 2 万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨 5 万元出售,平均每天可售出 100 吨. 市场调查反映:如果每吨降价 1 万元,每天销售量相应增加 50 吨. 该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大? 并求出其最大值. (题中“元”为 人民币) 解:设该果商定价 x 万元 /吨时每天的“利润”为 w 万元, 根据题意得 w=(x-2)[100+50(5-x)] =-50(x-4. 5) 2+312. 5, ∵-50<0,∴当 x=4. 5 时,w 有最大值,最大值为 312. 5 万元. 答:该果商定价为 4. 5 万元 /吨时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大,其最大值为 312. 5 万元. 类型 3　 工程问题 常用关系式 工作量=工作效率×工作时间⇒ 工作 效率 = 工作量 工作时间 工作 时间 = 工作量 工作效率 ì î í ï ï ï ï ïï 总工作量=甲的工作效率×甲的工作时间+乙的工作效率×乙的工作时间 工作总量不明确时,也可设工作总量为单位 1,则工作效率= 1 工作时间 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①甲工程队每天可完成 x 平方米的小区绿化,10 天可以完成　 10x　 平方米的绿化. ②某工程队计划以每天 x 米的速度完成 1 800 米的隧道掘进任务,按计划完成任务需要 　 1 800 x 　 天. ③某工程队计划每天铺设排污管道 x 米,实际施工时每天的工效比原计划增加 25%,则实际 每天的工效为　 1. 25x　 米. 1. 甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程,已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的 1. 5 倍,若甲、乙两工程队一起挖掘 200 米长度的隧道时,共用时间 4 天.求甲、乙两个工程队每天分别可挖 掘隧道多少米? 解:设乙工程队每天可挖掘隧道 x 米,则甲工程队每天可挖掘隧道 1. 5x 米, 由题意得 4(x+1. 5x)= 200,解得 x=20,∴1. 5x=1. 5×20=30. 答:甲工程队每天可挖掘隧道 30 米,乙工程队每天可挖掘隧道 20 米. 2. 近年来,城市更新行动速度在加快,保障和改善民生的步伐也在加快,人民群众获得感、幸福感、安 全感不断提升. 某社区在改造中,恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等, 新设计了系列文化景观,构建起一个“文化生态”空间. 第一期的改造工程面积为 88 平方米,由 甲、乙两人先后接力完成,若甲每天可完成 10 平方米,乙每天可完成 8 平方米,共用 10 天完成,求 甲、乙两人分别工作了多少天? 解:设甲工作了 x 天,乙工作了 y 天, 由题意得 x+y=10, 10x+8y=88,{ 解得 x=4, y=6.{ 答:甲工作了 4 天,乙工作了 6 天. 51 教师备课尊享·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 3. 长春轨道交通 5 号线预计 2025 年全线通车. 2024 年 1 月硅谷广场站至硅谷大街站左线区间贯通, 线路全长约 1 300 米. 为民生计,此段工程实际每天完成比原计划多 30%,结果比原计划提前 3 天 完成任务,求原计划每天完成多少米? 解:设原计划每天完成 x 米,则实际每天完成(1+30%)x 米, 由题意得 1 300 x - 1 300 (1+30%)x =3,解得 x=100, 经检验,x=100 是原分式方程的解,且符合题意. 答:原计划每天完成 100 米. 类型 4　 行程问题 常用关系式 路程=速度×时间⇒ 速度= 路程 时间 时间= 路程 速度{ 相遇:总路程=甲的路程+乙的路程 追及:①同地不同时:甲的路程=乙的路程 ②同时不同地:甲乙之间的距离= | 甲的路程-乙的路程 | 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 用含 x 的代数式填空: ①若甲开车以 x 千米 /小时的速度行驶了 3 小时,则路程为　 3x　 千米. ②若甲开车从 A 地以 x 千米 /小时的速度前往 300 千米外的 B 地,则所需的时间为　 300 x 　 小时. ③若小船在静水中航行的速度为 x 千米 /小时,水流的速度为 6 千米 /小时,则小船顺流航行 的速度为　 (x+6) 　 千米 /小时,逆流航行的速度为　 (x-6) 　 千米 /小时. 1. 小华从 A 地步行到 B 地,然后从 B 地骑自行车返回 A 地,共用了 2 小时. 已知小华骑自行车的速 度为 15 km / h,步行的速度为 5 km / h,则 A,B 两地之间的距离为　 15 2 　 km. 2. 甲、乙两人沿 400 米的环形跑道同时同地出发跑步. 如果同向而行,那么经过 200 秒两人相遇;如 果背向而行,那么经过 50 秒两人相遇. 求甲、乙两人的跑步速度(甲的速度快) . 解:设甲的跑步速度是 x 米 /秒,乙的跑步速度是 y 米 /秒, 依题意得 200x-200y=400, 50x+50y=400,{ 解得 x=5, y=3.{ 答:甲的跑步速度是 5 米 /秒,乙的跑步速度是 3 米 /秒. 3. 甲、乙两船从相距 300 km 的 A,B 两地同时出发相向而行,甲船从 A 地顺流航行 180 km 时与从 B 地逆流航行的乙船相遇,水流速度为 6 km / h,若甲、乙两船在静水中的速度相同,求两船在静水中 的速度. 解:设两船在静水中的速度为 x km / h,根据题意得180 x+6 =300-180 x-6 ,解得 x=30, 经检验,x=30 是原分式方程的解,且符合题意. 答:两船在静水中的速度为 30 km / h. 61 教师备课尊享·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 4. 甲、乙两车从相距 210 千米的 A,B 两地相向而行,且均保持匀速行驶,甲的行驶速度为 60 千米 /小 时,乙的行驶速度为 30 千米 /小时. 若甲、乙两车同时出发,甲车行驶了 1 小时后发生故障,甲车原 地检修用了 30 分钟后继续按原速度行驶,此时,乙车提高速度,为了保证乙车不超过 1 小时与甲 车相遇,那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米 /小时? 解:设乙车比原来的行驶速度提高 m 千米 /小时, 根据题意得 60×2+30×1. 5+(30+m)×1≥210,解得 m≥15,∴m 的最小值为 15. 答:乙车要比原来的行驶速度至少提高 15 千米 /小时. 四 2022 年版课标内容梳理 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 1. 掌握等式的基本性质;能解一元一次方程. 2. 掌握消元法􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,能解二元一次方程组. (“掌握代入消元法和加减消元法”调整为“掌握消元法”) 3. ∗能解简单的三元一次方程组. 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 1. 能根据现实情境理解方程的意义(新增),能针对具体问题列出方程. 2. 理解方程解的意义(新增) . 3. 能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 命题点 3　 一元二次方程及其解法 1. 经历估计方程解的过程. 2. 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 3. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 4. 了解一元二次方程的根与系数的关系(删除∗) . 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. 能根据现实情境理解方程的意义(新增),能针对具体问题列出方程. 2. 理解方程解的意义(新增) . 3. 能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 命题点 5　 分式方程及其解法 1. 能解可化为一元一次方程的分式方程. 2. 能根据现实情境理解方程的意义(新增),能针对具体问题列出方程. 3. 理解方程解的意义(新增) . 命题点 6　 分式方程的实际应用 1. 能根据现实情境理解方程的意义(新增),能针对具体问题列出方程. 2. 理解方程解的意义(新增) . 3. 能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 命题点 7　 一元一次不等式(组) 1. 结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质. 2. 能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集; 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式 组的解集. 3. 能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题. 71