第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第4章 一元一次不等式和一元一次不等式组 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列数学表达式中，不等式有（ ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：不等式有，共4个， 故选：C． 2．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质和应用，根据图示，可得，据此判断出三人体重A，B，C的大小关系即可． 【详解】解：根据图示，可得， ∴． 故选：C． 3．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 4．若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不等式两边都减去1，不等号方向不变，故此选项错误，不符合题意； B、不等式两边都乘以，不等号方向应改变，故此选项错误，不符合题意； C、不等式两边都乘以后再加上2，不等号方向应改变，故此选项错误，不符合题意； D、不等式两边都加上3，不等号方向不变，即，又因为，所以，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 5．解不等式时，下列去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式的解法进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：； 故选C． 6．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过3600元，可列， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列， 即可列不等式组为． 故选C． 7．不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，代数式求值，先解不等式组，进而根据不等式组的解集求出的值，最后代入代数式计算即可求解，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 8．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组和一元一次方程，熟练掌握不等式组和方程的解法是解题关键．先求出不等式组的解集，从而可得的取值范围，再解一元一次方程可得方程的解，根据方程的解是非负整数可得出满足条件的所有整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵这个不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， ， ， ， ∵这个方程的解是非负整数， ∴满足条件的所有整数的值为3和5， ∴满足条件的所有整数的和为， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．“与1的差大于b的2倍”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”，“至少”，“最多”等等，正确选择不等号． 根据“a与1的差大于b的2倍”，即可列出关于a的一元一次不等式． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 10．比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由不等式的性质可得，于是得解． 【详解】解：，且， ， ， 故答案为：． 11．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式的一般步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 故答案为：． 12．如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围． 解：∵一元一次不等式组的解集为， ， 解得． 故答案为：． 13．对于负整数，，，，现规定符号，已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，正确理解新定义的运算规则是解题的关键．根据新定义的规则，得到，解不等式得，再根据，是负整数，即可求得，的值，进而得到答案． 【详解】， ， 解得， ，是负整数， 是整数， ， ，或，， ． 故答案为：． 14．已知，且．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意得出，结合求出；；再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理：， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，即， 故答案为：． 15．为迎接六一儿童节，百货商场进行促销活动，某种商品进价800元，出售标价1200元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打 折． 【答案】七/7 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设该商品打折销售，利用利润售价进价，结合利润不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小值即可得出该商品最多可打七折． 【详解】解：设该商品打折销售， 依题意得：， 解得：， 该商品最多可打七折． 故答案为：七． 16．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 【答案】164 【分析】本题主要考查了不等式的应用，关键是根据题意正确列出不等式，难度大，需要超强的解题能力． 设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个，根据在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，列出方程并整理得，再根据6件B的总价与9件C的总价相同，得，进而得，再根据在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．列出方程，把代入并整理得，根据在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，得，，要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量，结合，便可求得结果． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个， ∵在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多， ∴， 整理得， ∵6件B的总价与9件C的总价相同， ∴，即， ∴， ∵在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多． ∴， 把代入上式并整理得， ∴， ∵在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150， ∴， 又∵，即， ∴要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量， ∵， ∴， 解得， ∴x的最大值为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴y的最大值为， 则， ∴， ∴商家在丙处购买三种商品的数量和最少为：， 故答案为：164． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．用字母a表示下列运算或数量关系： (1)某个数的2倍与5的差； (2)一个数的相反数与2的平方的和大于3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式和不等式，解题的关键是理解题意． （1）这个数为a，用a表示出个数的2倍与5的差即可； （2）这个数为a，则这个数的相反数为，再用不等式表示出个数的相反数与2的平方的和大于3即可． 【详解】（1）解：这个数为a，则这个数的2倍与5的差为； （2）解：这个数为a，则这个数的相反数为，这个数的相反数与2的平方的和大于3可表示为：． 18．解不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤，要根据各不等式的特点灵活应用． （1）利用不等式的基本性质，先移项，然后合并同类项，系数化为一，即可得到不等式的解集． （2）利用不等式的基本性质，先去分母，去括号，然后移项，合并同类项，系数化为一，即可得到不等式的解集． 【详解】（1）解：， ， ， （2）解：       19．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．    【答案】，数轴见解析 【分析】先求出每个不等式的解集，再把解集表示在数轴上，写出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 将该不等式组的解集在数轴上表示为：    ∴该不等式组的解集是． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 20．已知有理数，1． (1)在如图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用表示(点A在点B的左边)． (2)若，在数轴上表示数的点介于点之间；表示数的点在点右侧且到点距离为6． ①计算：______，______ ②解关于的不等式，并把解集表示在所给数轴上． 【答案】(1)见解析 (2)①；7；②；数轴表示见解析 【分析】本题考查一元一次不等式及数轴，解题的关键是一元一次不等式得根据题意画出数轴． （1）直接在数轴上标出A、B即可； （2）①根据“，在数轴上表示数的点介于点之间”，得出m的值；根据“表示数的点在点右侧且到点距离为6”，得出n的值； ②将m、n代入不等式中，求出解，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：如图，点A与点B即为所求作的点： ． （2）∵， ∴， ∵在数轴上表示数m的点，介于点A，B之间， ∴， ∵在A的右侧且到点B距离为6的点表示为n， ∴，或(舍去) 故答案为：；7 ②由， 解得， 表示在数轴上如图所示： ． 21．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 22．下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 【答案】(1)一；；不等式的性质2 (2)过程见解析，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可； （2）求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，故小明的解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的结果为，此步骤的依据是不等式的性质2， 故答案为：一；；不等式的性质2； （2） ， ， ， ， ， 在数轴上表示为： ． 23．阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法， 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x的方程的解为负数． (1)求a的取值范围． (2)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了已知一元一次方程解的情况求参数取值范围、解特殊不等式组等．正确理解题意是解题关键． （1）先求解关于x的一元一次方程，根据解的情况建立关于参数的不等式，即可求解； （2）由，，可得的取值范围，同理可得的取值范围，故可求的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵关于x的方程的解为负数， ∴， ∴， 解得． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 24．如图，这是一个数值运算程序． (1)若输入的数为，则输出的结果是多少？ (2)设输入的数为x（x为正整数），请探究一下，当输入的x最小为多少时，可一次性输出结果？此时输出的结果是多少？ 【答案】(1)558； (2)当输入的x最小为4时，可一次性输出结果，此时输出的结果是． 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，绝对值的意义，一元一次不等式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据程序流程图进行计算判断即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：输入的数是时，则， ∵， ∴输入54，则， ∵， 此时输出，即输出的结果为； （2）解：根据题意，可知， 解得：或， ∵为正整数， ∴当最小为4时，则， ∵， ∴可以直接输出了， ∴当输入的x最小为4时，可一次性输出结果，此时输出的结果是． 25．如图是象棋盘的一部分，给每个棋盘格规定不同的数．一个棋子“象”从点A出发向点B行进（规定：象只能走“田”字格），会有两种不同的路线． (1)求“路线1”上第一步和第二步上数字的和； (2)若“路线2”上第一步两个数字的积大于第二步两个式子的和，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减的应用、一元一次不等式的应用，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据图形列出算式，结合有理数的加减法则计算即可得解； （2）根据图形结合题意列出一元一次不等式，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：， 解得：． 26．为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（为正整数且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人； (2)是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件： ①研发人员的年人均投入不超过； ②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由． 【答案】(1)即调整后的技术人员最多有人； (2)． 【分析】（1）根据题意，求得这名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列不等式求解即可； （2）由①可得，由②，根据题意，求解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，（） 解得：， 又∵， ∴ 即调整后的技术人员最多有人； （2）解：由①可得，由② 即，解得 又∵为正整数且， ∴当时，最大，为； 当时，最小，为， 综上，存在，满足题意． 学科网（北京）股份有限公司1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次不等式和一元一次不等式组 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列数学表达式中，不等式有（ ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 4．若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．解不等式时，下列去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 6．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 7．不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．“与1的差大于b的2倍”用不等式表示为： ． 10．比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 11．不等式的解集为 ． 12．如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 13．对于负整数，，，，现规定符号，已知，则的值为 ． 14．已知，且．若，则的取值范围是 ． 15．为迎接六一儿童节，百货商场进行促销活动，某种商品进价800元，出售标价1200元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打 折． 16．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．用字母a表示下列运算或数量关系： (1)某个数的2倍与5的差； (2)一个数的相反数与2的平方的和大于3． 18．解不等式： (1) (2) 19．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．    20．已知有理数，1． (1)在如图所示的数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用表示(点A在点B的左边)． (2)若，在数轴上表示数的点介于点之间；表示数的点在点右侧且到点距离为6． ①计算：______，______ ②解关于的不等式，并把解集表示在所给数轴上． 21．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 22．下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 23．阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法， 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x的方程的解为负数． (1)求a的取值范围． (2)已知，且，求的取值范围． 24．如图，这是一个数值运算程序． (1)若输入的数为，则输出的结果是多少？ (2)设输入的数为x（x为正整数），请探究一下，当输入的x最小为多少时，可一次性输出结果？此时输出的结果是多少？ 25．如图是象棋盘的一部分，给每个棋盘格规定不同的数．一个棋子“象”从点A出发向点B行进（规定：象只能走“田”字格），会有两种不同的路线． (1)求“路线1”上第一步和第二步上数字的和； (2)若“路线2”上第一步两个数字的积大于第二步两个式子的和，求x的取值范围． 26．为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（为正整数且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人； (2)是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件： ①研发人员的年人均投入不超过； ②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$