第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组（3易错+5压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第4章 一元一次不等式和一元一次不等式组 易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　一元一次不等式含参问题 1 易错题型二　一元一次不等式组含参问题 1 易错题型三　不等式与一元一次方程综合含参问题 2 压轴题型一　程序框图 2 压轴题型二　定义新运算 3 压轴题型三　含绝对值的不等式 4 压轴题型四　数轴与不等式综合 6 压轴题型五　应用题方案问题 7 02 易错题型 易错题型一　一元一次不等式含参问题 例题：已知关于x的方程＝3+k的解为非负整数且满足|x|＜3，则符合条件的所有k值的乘积为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知关于x的方程有负数解，则k的取值范围为（      ） A．k B．k C．k D．k 2．若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元一次方程的解是负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错题型二　一元一次不等式组含参问题 例题：若不等式组无解，则m的值可能（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 巩固训练 1．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式组的最小整数解是3，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 易错题型三　不等式与一元一次方程综合含参问题 例题：若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 巩固训练 1．若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数a的个数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．若整数a使得关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足．则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A． B．24 C． D．27 3．若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（    ） A．4 B．3 C．0 D．8 03 压轴题型 压轴题型一　程序框图 例题：运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    巩固训练 1．如图是一个运算程序，规定从“输入”到“是否”为执行一次运算．如果按运算程序执行了两次才停止，那么输入正整数x的最大值是 ． 2．对于一个实数x，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于89？”为一次操作，如果只进行一次就停止，则x的取值范围是 ． 3．运行程序如图所示，规定：从“输入x”到判断结果是否“”为一次程序操作． 如果程序运行了两次才停止，那么x的取值范围是 压轴题型二　定义新运算 例题：对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 巩固训练 1．对于有理数a、b， 定义一种新运算“”： 当时， 当时，． 例如： ) (1)计算： ， ； (2)若， 求x的值； (3)若， 则x的取值范围是 ． 2．定义新运算：对于任意数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求的值； (2)若的值小于16而大于10，求x的取值范围． 3．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：______，______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)已知，求x的取值范围． 压轴题型三　含绝对值的不等式 例题：数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 巩固训练 1．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 2．认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 3．阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 压轴题型四　数轴与不等式综合 例题：数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，求点N表示的数； (2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值． 巩固训练 1．如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 2．已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 3．如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 压轴题型五　应用题方案问题 例题：根据以下素材，探索完成任务． 如何合理设计生产计划？ 素材1 某手机制造公司计划生产、两种型号的手机投放到市场销售．已知型号手机每部成本元，售价元；型号手机每部成本元，售价元． 素材2 生产成本不超过万元． 任务一 若生产了部型号手机，则最多生产多少部型号手机？ 任务二 若一共生产部手机，总利润不低于万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高多少万元？ 巩固训练 1．研学活动，是一次知识与实践的完美融合，更是一次成长的历练．某校学生和带队老师在5月下旬去某研学基地参加研学实践活动，已知学生的人数比带队老师人数的20倍多12人，学生和老师的总人数共600人． (1)请求出去研学的学生和老师各多少人？ (2)如果学校准备租赁A型大巴车和B型大巴车共16辆（其中B型大巴车最多有7辆），已知A型大巴车每车最多可以载35人，日租金为2000元，其中B型大巴车每车最多可以载45人，日租金为3000元，请求出最经济的租赁车辆方案． 2．小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签、特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人．已知每个特色文化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并且，当卖出特色文化书签个和特色中性笔支时，获得总利润元． (1)求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元？ (2)校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为，并且投入的总成本不超过元，获得的总利润不少于元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案？ (3)义卖刚开始的半个小时，学生会的同学们发现他们已经获得了元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a个满足，则a的值可能为多少？说明理由． 3．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次不等式和一元一次不等式组 易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　一元一次不等式含参问题 1 易错题型二　一元一次不等式组含参问题 3 易错题型三　不等式与一元一次方程综合含参问题 5 压轴题型一　程序框图 8 压轴题型二　定义新运算 10 压轴题型三　含绝对值的不等式 15 压轴题型四　数轴与不等式综合 20 压轴题型五　应用题方案问题 24 02 易错题型 易错题型一　一元一次不等式含参问题 例题：已知关于x的方程＝3+k的解为非负整数且满足|x|＜3，则符合条件的所有k值的乘积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出方程的解，再根据方程的解满足−3＜x＜3，可得k的取值范围，求出k的值，进而得结论． 【详解】解：由＝3＋k，得3−kx＝6＋2k， 所以kx＝−3−2k． 当k＝0时，该等式不成立； 当k≠0时，x＝． ∵关于x的方程＝3＋k的解为非负整数且满足|x|＜3， ∴x的值是0，1，2， 当x＝0时，−−2＝0，此时k＝−． 当x＝1时，−−2＝1，此时k＝−1． 当x＝2时，−−2＝2，此时k＝−． ∴（−）×（−1）×（−）＝． 故选：B． 巩固训练 1．已知关于x的方程有负数解，则k的取值范围为（      ） A．k B．k C．k D．k 【答案】A 【分析】解方程得出x＝，根据方程的解为负数得出关于k的不等式，解之可得． 【详解】解：x＋2k＝4x＋4k＋1， x−4x＝4k＋1−2k， −3x＝2k＋1， x＝， ∵方程x＋2k＝4(x＋k)＋1有负数解， ∴＜0． 解得：k ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查解方程和一元一次不等式的能力，根据题意得出关于k的不等式是解题的关键． 2．若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解关于的不等式求得，根据不等式的最小整数解是即可作答． 【详解】解：， 移项，得：， 不等式的最小整数解是， ， 故选：B． 3．关于x的一元一次方程的解是负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，一元一次方程解的定义，解一元一次不等式，是解题的关键． 首先解这个关于x的方程，求出方程的解，根据解是负数，得到一个关于m的不等式，即可以求出m的取值范围． 【详解】解关于x的一元一次方程， 得：， ∵方程的解是负数， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 故选：B． 易错题型二　一元一次不等式组含参问题 例题：若不等式组无解，则m的值可能（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，由不等式组无解得出是解题的关键．解不等式组可得，，由不等式组无解可得，求出m的范围即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ， ， 故选：． 巩固训练 1．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，列出关于的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：由得，， ， 故原不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解有4个， 其整数解应为：3、4、5、6， 的取值范围是． 故选：D 2．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解，根据不等式的性质先求出，，再求出原不等式组的整数解为，，，，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组有四个整数解， 原不等式组的整数解为，，，， ， ． 故答案为：A． 3．已知关于x的不等式组的最小整数解是3，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的特殊解．分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的最小整数解得出关于m的不等式组，即可求解． 【详解】解∶， 解不等式①，得， 解不等式②， ∵不等式组的最小整数解是3， ∴， ∴， 故选：B． 易错题型三　不等式与一元一次方程综合含参问题 例题：若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键． 分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果． 【详解】解：由，可得：， ∵关于x的不等式组最多有3个整数解， ∴或无解， ∵不等式组的整数解最多时为：1，2，3， ∴，解得：； 解，得：， ∵方程的解为非正数， ∴，解得：， 综上：， 符合条件的k的整数值为：9，10，和为； 故选B． 巩固训练 1．若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数a的个数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次方程，根据整数解的个数和方程的解为整数确定a的取值范围是解题关键．分别将不等式组的解集，方程的解表示出来，确定a的取值范围即可． 【详解】解：解不等式组，得， ∵至少有4个整数解， ∴， ∴， 解关于y的一元一次方程得， ∵该方程解为非负数， ∴ ∴， ∴， ∴整数， ∴满足条件的a的个数为7个． 故选：A． 2．若整数a使得关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足．则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A． B．24 C． D．27 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组和不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式组的解集，根据已知条件求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， ∵为整数，不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ， ∵为整数， ， ， 故选：C． 3．若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（    ） A．4 B．3 C．0 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，求出方程和不等式组的解集，然后求出a的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x一元一次方程有正整数解， ∴， 解得：，且是2的倍数； 又∵是正整数， ∴，且是2的倍数； ∵， 解得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； ∴满足题意的a的值有：、 所有满足条件的正整数a的值之和为： 故选：A． 03 压轴题型 压轴题型一　程序框图 例题：运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．由程序操作恰好进行了次后停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 满足条件的的最大整数值为， 故答案为：． 巩固训练 1．如图是一个运算程序，规定从“输入”到“是否”为执行一次运算．如果按运算程序执行了两次才停止，那么输入正整数x的最大值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查流程图与不等式，根据题意，列出不等式组，求出不等式组的正整数解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴输入正整数x的最大值是4； 故答案为：4． 2．对于一个实数x，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于89？”为一次操作，如果只进行一次就停止，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意得，，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 3．运行程序如图所示，规定：从“输入x”到判断结果是否“”为一次程序操作． 如果程序运行了两次才停止，那么x的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及求代数式的值，熟练掌握程序图的计算规则和步骤，利用不等式组的解集求出x的取值范围是解题的关键． 根据题意，先计算第一次，得到的结果为，然后再计算第二次的结果为，列出不等式组，从而求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意， 第一次计算得：； 第二次计算得：； ∵如果程序操作进行了二次才停止，则有 解得：， ∴的取值范围是； 故答案为：． 压轴题型二　定义新运算 例题：对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，解二元一次方程组： （1）①利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； ②把a与b的值代入确定出，表示不等式组，变形后表示出解集，根据解集恰有2024个整数解确定出p的范围即可； （2）利用新定义，变形后得出，由不论m，n取何值时，的值都是一个定值，即可得出，解得，代入，即可求得． 【详解】（1）解：①，，    解得： ，．    ②由①得：，    解得：    ∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解， ，    ． （2）解： ， ∵且不论m，n取何值，的值都是一个定值，     解得：     ， ∴该定值为． 巩固训练 1．对于有理数a、b， 定义一种新运算“”： 当时， 当时，． 例如： ) (1)计算： ， ； (2)若， 求x的值； (3)若， 则x的取值范围是 ． 【答案】(1)2； (2)4 (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解一元一次方程，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算，即可解答； （3）分两种情况：当时；当时；然后按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； ； 故答案为：2；； （2）解：当，即时， ∵， ∴， 解得：； 当，即时， ∵， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述：x的值为4； （3）解：分两种情况： 当时， 由题意得：， 解得：； 当时， 由题意得：， 解得， ∴此不等式组无解； 综上所述：x的取值范围：； 故答案为：． 2．定义新运算：对于任意数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求的值； (2)若的值小于16而大于10，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下的有理数四则运算，解一元一次不等式组； （1）根据新定义运算法则直接计算即可； （2）根据新定义可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 熟练新定义的运算法则列出相应的式子是解题的关键． 【详解】（1）解： （2）由题意得， 解不等式①得； 解不等式②得； ， 的取值范围为． 3．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：______，______； (2)若，则x的取值范围为______； (3)已知，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给新运算的运算法则进行计算即可； （2）根据题意可得，求解即可； （3）分为两种情况，当，即时；当，即时；然后再按照定义的运算分别进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴． 故答案为：， （2）解：∵ ∴ 解得： 故答案为：． （3）解：分两种情况， 当，即时， 由可得： 解得（舍去）； 当，即时， 由可得： 解得 综上所述，x的取值范围． 压轴题型三　含绝对值的不等式 例题：数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定 和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 巩固训练 1．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 2．认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①；② 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； （2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且为； （3）①的解集为或， 故答案为：或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或．    【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键． 3．阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， ∴方程的解为：或， 故答案为：或． （2）解：在数轴上找出的解，如图：    ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：在数轴上找出的解， 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 压轴题型四　数轴与不等式综合 例题：数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，求点N表示的数； (2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查数轴上点表示数、代数式求值、一元一次不等式等知识点，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系列出一元一次不等式解法是解题关键． （1）直接将代入即可解答； （2）根据点N在点M的左侧以及数轴上左侧的数小于右侧的数列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，求点N表示的数为． （2）解：∵若点N在点M的左侧， ∴， 解得：， ∴m的最大整数值为2． 巩固训练 1．如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 【答案】(1)点A、B间的距离是； (2)； (3)表示数的点落在线段上． 【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． （1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可； （2）求出的范围，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴代表的数为， ∴点A、B间的距离是； （2）解：由题意，得：， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴表示数的点落在线段上． 2．已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 【答案】(1)； (2)点表示的数为； (3)的正整数值为，，． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键． （1）根据，得到点表示的数和点表示的数，在利用两点间距离公式，即可解题； （2）根据点与点关于原点对称，表示的数为相反数，列式即可解得． （3）根据点在点的左侧，根据左侧的数小于右侧的数，列出不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，点表示的数为， 点表示的数为， ； （2）解：点与点关于原点对称， ，解得， ， 点表示的数为； （3）解：若点在点的左侧， ， 解得， 的正整数值为，，． 3．如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或，时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或，时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 压轴题型五　应用题方案问题 例题：根据以下素材，探索完成任务． 如何合理设计生产计划？ 素材1 某手机制造公司计划生产、两种型号的手机投放到市场销售．已知型号手机每部成本元，售价元；型号手机每部成本元，售价元． 素材2 生产成本不超过万元． 任务一 若生产了部型号手机，则最多生产多少部型号手机？ 任务二 若一共生产部手机，总利润不低于万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高多少万元？ 【答案】任务一：最多还能生产部型号手机；任务二：有三种方案：方案1，生产部型号手机，则生产部型号手机；方案2，生产部型号手机，则生产部型号手机；方案3，生产部型号手机，则生产部型号手机；方案1利润最大，最大为： 【分析】本题主要考查了一元一次不等式（组）的应用，解题关键是弄清题意找到数量关系，正确列出不等式（组）． 任务一：设最多生产部型号手机，根据：“生产成本不超过万元”，列不等式即可求解； 任务二：设生产了部型号手机，则型号手机生产了部，根据利润和生产成本列出不等式组即可求解． 【详解】解：任务一：设最多生产部型号手机，根据题意得： ． 解得： 答：最多还能生产部型号手机； 任务二：设生产了部型号手机，则型号手机生产了部， 根据题意得：， 解得：， 所以有三种方案： 方案1，生产部型号手机，则生产部型号手机； 方案2，生产部型号手机，则生产部型号手机； 方案3，生产部型号手机，则生产部型号手机； 因为一部A型号手机的利润是万元， 一部B型号手机的利润是万元 所以方案1利润最大，最大为：（万元）． 巩固训练 1．研学活动，是一次知识与实践的完美融合，更是一次成长的历练．某校学生和带队老师在5月下旬去某研学基地参加研学实践活动，已知学生的人数比带队老师人数的20倍多12人，学生和老师的总人数共600人． (1)请求出去研学的学生和老师各多少人？ (2)如果学校准备租赁A型大巴车和B型大巴车共16辆（其中B型大巴车最多有7辆），已知A型大巴车每车最多可以载35人，日租金为2000元，其中B型大巴车每车最多可以载45人，日租金为3000元，请求出最经济的租赁车辆方案． 【答案】(1)出去研学的学生有572人，老师有28人 (2)租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆，租金是36000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设去研学的老师有人，则学生有人，根据学生和老师的总人数共600人，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出去研学的老师人数，再将其代入中可求出去研学的学生人数； （2）设租赁型大巴车辆，则租赁型大巴车辆，根据型大巴车最多租赁7辆且16辆大巴车至少可乘载600人，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各租车方案，利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出各租车方案所需总租金，比较后可得出最经济的租赁车辆方案． 【详解】（1）解：设去研学的老师有人，则学生有人， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：出去研学的学生有572人，老师有28人． （2）解：设租赁型大巴车辆，则租赁型大巴车辆， 依题意得：， 解得：． 为正整数， 可以取4，5，6，7， 该学校共有4种租车方案， 方案1：租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆； 方案2：租赁型大巴车11辆，型大巴车5辆； 方案3：租赁型大巴车10辆，型大巴车6辆． 方案4：租赁型大巴车9辆，型大巴车7辆． 租车方案1所需总租金为（元）； 租车方案2所需总租金为（元）； 租车方案3所需总租金为（元） 租车方案4所需总租金为（元）． ， 租车方案1最经济的是租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆，租金是36000元． 2．小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签、特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人．已知每个特色文化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并且，当卖出特色文化书签个和特色中性笔支时，获得总利润元． (1)求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元？ (2)校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为，并且投入的总成本不超过元，获得的总利润不少于元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案？ (3)义卖刚开始的半个小时，学生会的同学们发现他们已经获得了元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a个满足，则a的值可能为多少？说明理由． 【答案】(1)每个特色文化书签的售价是元，每支特色中性笔的售价是元； (2)见详解； (3)或或； 【分析】（1）本题考查一元一次方程的应用，设特色中性笔售价为x元，则特色文化书签的售价为元，根据利润列方程求解即可得到答案； （2）本题考查不等式组择优方案的运用，设特色中性笔的数量为b，则特色书签的数量为，根据总金额及利润列不等式组求解即可得到答案； （3）本题考查不等式整数解问题，根据利润求出特色笔的数量是正整数即可得到答案； 【详解】（1）解：设特色中性笔售价为x元，则特色文化书签的售价为元，由题意可得， ， 解得：，， 答：每个特色文化书签的售价是元，每支特色中性笔的售价是元； （2）解：设特色中性笔的数量为b支，则特色书签的数量为个，由题意可得， ， 解得：， ∴方案为： ①    购买特色中性笔支，特色书签个； ②    购买特色中性笔支，特色书签个； ③    购买特色中性笔支，特色书签个； ④    购买特色中性笔支，特色书签个； ⑤    购买特色中性笔支，特色书签个； （3）解：或或，理由如下， 由题意可得， 特色书签的数量为：， ∵，且是整数， ∴是3的倍数， ∴或或． 3．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 (2)有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进甲型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程或不等式是解答的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为元，根据“买5套甲型号和10套乙型号共用1100元”列方程求解即可； （2）设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝”套，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为元， 根据题意，得， 解得， ， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元； （2）解：设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝”套， 根据题意，得， 解得，又x为正整数， ∴x可取31或32， ∴有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进甲型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套． / 学科网（北京）股份有限公司 $$