第06讲 相交线（三类知识点+十一大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第06讲 相交线（十一大题型） 学习目标 1． 初步了解几何中公理、定义、定理、证明等概念； 2． 了解两点确定一条直线及其实际应用； 3． 掌握相交线的有关概念，对顶角的概念及其计算； 4． 学会垂线有关几何知识（垂直、垂线段、点到直线的距离等）. 知识点1 两点确定一条直线 1.公理：在几何里，挑选其中一些基本事实，承认其正确性，将其作为用逻辑推理证实其他事实的原始依据.这些基本事实称为公理 2.两点确定一条直线：经过一点有无数条直线，如图16-1-2(1)所示.经过两点有一条直线，并且只有一条直线，如图16-1-2(2)所示. 公理 经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简单地说：两点确定一条直线. 知识点2 对顶角 1.相交线：当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线，这个公共点叫作它们的交点. 在图16 - 1 - 4中，直线AB、CD相交，O是它们的交点 . 两条直线相交，只有一个交点 . 原因如下：假设两条直线相交，有两个交点，那么经过这两个交点就有了两条直线，这与“两点确定一条直线”的公理相矛盾.所以两条直线不可能有 两个或两个以上的交点. 注：如无特殊说明，本套资料中两条直线指的是两条不重合的直线. 2.对顶角： 如图16- 1- 5,直线AB 、CD 相交于点O, 构成以O为顶点的四个角：∠1、∠2、∠3和∠4,它们是直线AB 、CD相交所成的角，其中∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边OA 、OD分别与∠3的两边OB、 OC 互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫作对顶角. 有时也称它们互为对顶角.例如，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4也是对顶角. 这样就明确界定了对顶角这个概念 . 像这样界定一个概念的语句叫作定义，一般写成下面的形式 . 定义 有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角. 通过观察，猜想对顶角总是相等的.由于观察及测量总会有误差，怎么才能说明这个猜想一定是正确的呢?数学上要求从已知条件出发，依据已被确认的事实(包括定义、公理等),通过逻辑推理说明猜想的正确性，这个过程叫作证明.被证明的猜想可以作为定理. 定理 对顶角相等. 知识点3 垂线 1.两条直线的夹角：两条直线相交，形成四个小于平角的角，其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 2.垂直（两条直线相互垂直）：在图16-1-11中，转动木条a到 a'，使a '与b 的夹角是90°,这时称a '与b互相垂直. 定义 如果两条相交直线的夹角为直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 垂直用符号“⊥”表示，两条直线AB 、CD互相垂直，记作AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”. 通常在两条直线的交点处标上符号“ ”, 来表示这两条直线互相垂直.如图16-1-12中,在点O处标标上符号“ ”,表示这直线AB和直线CD互相垂直；∠AOD=90°；易得∠AOC=90°，∠BOC=90°，∠BOD=90° 要点： 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 3.垂线段 公理 在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 . 如图16-1-16,PO⊥l，垂足为O， 线段PO叫作点P到直线l的垂线段. 垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 定义 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为0. 要点：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 注：在几何计算或证明中，常引进符号“∵”“∴”(分别读作“因为”“所以”,并与其同义),将推理的条件与结论分行显示，并将一些重要的推理依据用括号注在结论的后面，这样做是为了便于书写. 【即学即练1】值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．以上说法都不对 【即学即练2】如图，和不是对顶角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练3】如图，直线与相交，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【即学即练4】如图是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【即学即练5】如图，，垂足分别是点C，D． (1)点C到直线的距离是线段___________的长度； (2)点B到直线的距离是线段___________的长度． 题型1:两点确定一条直线 【典例1】．在一次植树活动中，小郡说“只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线”，其数学依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．直线最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有无数条直线 【变式1-1】．《荀子·劝学》有云，木受绳则直，金就砺则利．大意是说，木材经墨线比量后加工便可取直，刀剑等金属制品被磨刀石磨过就会锋利．如图，木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为 ． 【变式1-2】．在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】．在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．    题型2:两条直线相交 【典例2】．当两条不同的直线有 时，我们称这两条直线 ，这个点叫做它们的 ． 【变式1-1】．如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 【变式2-1】．根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是（  ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．① 题型3:对顶角的判断 【典例3】．下列四个图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C．D． 【变式3-1】．下列图形中与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 题型4:对顶角相等的有关计算 【典例4】．如图，直线a，b相交于点O，已知，则 ． 【变式4-1】．如图，AB与CD相交于点O，，，则 ． 【变式4-2】．如图，直线相交于O，若，平分，则度数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】．如图，取两根木条，，将它们钉在一起，转到木条，当增大时，下列说法正确的是（   ） A．增大 B．减少 C．减少 D．减少 题型5:垂线的有关概念综合辨析 【典例5】．下列命题不正确的是（    ） A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B．两点之间直线最短 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交 【变式5-1】．下列说法中，正确的是（　　） A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B．平面内，互相垂直的两条直线不一定相交 C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【变式5-2】．下列说法正确的是（    ）． A．垂线段就是与已知直线相交的线段 B．垂线段就是垂直于已知直线的线段 C．垂线段就是一条竖起来的线段 D．过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段 【变式5-3】．下列判断正确的是（    ） A．从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到已知直线的距离 B．过直线外一点作已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离 C．作出已知直线外一点到已知直线的距离 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 题型6:垂线段最短的应用 【典例6】．小峰同学家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段去公路边，这一选择用到的数学知识是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【变式6-1】．如图，用三角板经过直线外一点画这条直线的垂线，这样的垂线只能画出一条．这里面蕴含的数学道理是 ． 【变式6-2】．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 题型7:点到直线的距离 【典例7】．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】．P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（　　） A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于 【变式7-2】．（1）在同一平面内，过一点有且只有 直线与已知直线垂直 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， （3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 【变式7-3】．如图，已知于，于，，，，，．则： （1）点A到直线的距离为 ； （2）点A到直线的距离为 ； （3）点到直线的距离为 ； （4）点到直线的距离为 ； （5）点到直线的距离为 ． 题型8:画垂线 【典例8】．()在图中，过外一点作的垂线； ()在图中，分别过作的垂线. 【变式8-1】．按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【变式8-2】．如图． ①过点画的垂线． ②过点分别画、的垂线． ③过点画的垂线． 题型9:填空型几何计算或证明（几何中“因为”、”所以”证明过程练） 【典例9】．如图，已知直线和相交于点平分，求，，的度数． 解：， ______（邻补角的定义）， 平分 ______（角平分线的定义）， ____________， ______（______）． 【变式9-1】．如图，直线相交于点O，．其中与是一对对顶角，小亮同学发现，并写出如下证明过程： 与互补，与互补（依据1）， （依据2） (1)上述小亮同学的证明过程中，依据1，依据2分别指的是： ①依据1：________； ②依据2：________． (2)通过小亮上述证明过程可以得到对顶角的性质：________． (3)如图，若，，求的度数． 【变式9-2】．如图，直线相交于点O，平分，． (1)图中的余角是 （把符合条件的角都填上）； (2)如果， 求和的度数． 解： ∵平分， （ ）， =（ ）． 又∵， ∴， ∴ = °． 题型10:垂直、对顶角相等的综合计算 【典例10】．如图，已知，CO与DO互相垂直，那么 ． 【变式10-1】．如图，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝ °． 【变式10-2】．如图，已知，，那么 ． 【变式10-3】．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠COE=55°，则∠BOD为 ． 【变式10-4】．如图，直线、相交于点，，比大，那么 ． 【变式10-5】．如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-6】．如图，直线交于点，垂足为，则 度． 【变式10-7】．如图，直线与相交于点，，平分且，则 ． 题型11:直线的交点、相交直线把平面分成几个部分 【典例11】．在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（    ）个． A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3 【变式11-1】．平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，最多为个，则等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式11-2】．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【变式11-3】．观察如图图形，并阅读相关文字：那么10条直线相交，最多交点的个数是(   ) A．10 B．20 C．36 D．45 【变式11-4】．在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）． 一、单选题 1．如图所示，与是对顶角的是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，直线a、b交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．在下列语句中，正确的是（    ）． A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线 B．在同一平面内，过一点平行于已知直线的直线只有一条 C．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 D．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离 4．如图，生活中有下列两个现象：现象1，建筑工人砌墙时，会在两个墙脚的位置分别固定一根木杆，然后拉一条直的参照线；现象2，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短．对于这两个现象的解释，正确的是（   ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用两点确定一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用两点确定一条直线来解释 D．现象1用两点确定一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 5．若直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线α距离等于2cm的点的个数是（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，三角形ABC中，，于点D，若，则点C到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 7．为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（   ） A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线 C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直 8．如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线，相交于点O，射线平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，直线AB，CD，EF，GH，MN相交于点O，则图中对顶角共有（    ）    A．3对 B．6对 C．12对 D．20对 二、填空题 11．将一根木条钉在墙上，至少需要两个钉子，其数学原理是 ． 12．如图所示，直线交于点，则 ，根据是 ． 13．如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 14．如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是 米． 15．已知，在上有两点A，B，在上有两点C、D，且，则与的距离为 6cm．（填“≤”或“≥”） 16．如图，直线a、b相交，，则 度． 17．如图，直线与直线相交于点，于点，且，则的度数为 ． 18．如图，直线相交于点O，，垂足为O，且平分．    （1）若，则的度数为 ； （2）与的数量关系为 ． 三、解答题 19．如图，将甲､乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺是直的吗？为什么？ 20．按下列要求画图并填空：如图，    (1)过点A画出直线a的垂线，与直线a交于点C；过点B画出直线a的垂线，与直线b交于点D； (2)如果直线，那么线段、长度的大小关系是：______（用“＞”、“＝”、“＜”连接），它们的长度都可以表示直线a、b之间的______． 21．如图．两条直线a，b相交． （1）如果∠1=60°，求∠2，∠3，∠4的度数； （2）如果2∠3=3∠1，求∠2，∠3，∠4的度数． 22．如图，已知于，于． (1)点到直线的距离是线段_______的长； (2)点到直线的距离是线段_______的长； (3)线段的长表示点到直线_______距离； (4)线段的长表示点到直线_______距离； (5)线段的长表示点_______到直线______距离； (6)线段的长表示点_______到直线______距离； 23．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O，若∠AOC＝60°，求∠BOF的度数． 解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（　　） ∴∠　　＝　　° ∵OE平分∠BOD（  已知  ） ∴∠BOE＝∠　　＝　　°（　 　） ∵OF⊥OE（ 已知 ） ∴∠EOF＝　　°（　 　 ） ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF ∴∠BOF＝　 　°． 24．如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．    25．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分． (1)的对顶角为________； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 26．如图，直线与相交于点．    (1)若，求，的度数； (2)若，求，的度数（用含的式子表示）． 27．观察下面各图，寻找对顶角（不含平角） （1）如图（1），图中共有________对不同的对顶角. （2）如图（2），图中共有________对不同的对顶角. （3）如图（3），图中共有________对不同的对顶角. （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有条直线相交于一点，则可形成________对不同的对顶角. （5）计算2013条直线相交于一点，则可形成________对不同的对顶角. 28．直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 相交线（十一大题型） 学习目标 1． 初步了解几何中公理、定义、定理、证明等概念； 2． 了解两点确定一条直线及其实际应用； 3． 掌握相交线的有关概念，对顶角的概念及其计算； 4． 学会垂线有关几何知识（垂直、垂线段、点到直线的距离等）. 知识点1 两点确定一条直线 1.公理：在几何里，挑选其中一些基本事实，承认其正确性，将其作为用逻辑推理证实其他事实的原始依据.这些基本事实称为公理 2.两点确定一条直线：经过一点有无数条直线，如图16-1-2(1)所示.经过两点有一条直线，并且只有一条直线，如图16-1-2(2)所示. 公理 经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简单地说：两点确定一条直线. 知识点2 对顶角 1.相交线：当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线，这个公共点叫作它们的交点. 在图16 - 1 - 4中，直线AB、CD相交，O是它们的交点 . 两条直线相交，只有一个交点 . 原因如下：假设两条直线相交，有两个交点，那么经过这两个交点就有了两条直线，这与“两点确定一条直线”的公理相矛盾.所以两条直线不可能有 两个或两个以上的交点. 注：如无特殊说明，本套资料中两条直线指的是两条不重合的直线. 2.对顶角： 如图16- 1- 5,直线AB 、CD 相交于点O, 构成以O为顶点的四个角：∠1、∠2、∠3和∠4,它们是直线AB 、CD相交所成的角，其中∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边OA 、OD分别与∠3的两边OB、 OC 互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫作对顶角. 有时也称它们互为对顶角.例如，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4也是对顶角. 这样就明确界定了对顶角这个概念 . 像这样界定一个概念的语句叫作定义，一般写成下面的形式 . 定义 有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角. 通过观察，猜想对顶角总是相等的.由于观察及测量总会有误差，怎么才能说明这个猜想一定是正确的呢?数学上要求从已知条件出发，依据已被确认的事实(包括定义、公理等),通过逻辑推理说明猜想的正确性，这个过程叫作证明.被证明的猜想可以作为定理. 定理 对顶角相等. 知识点3 垂线 1.两条直线的夹角：两条直线相交，形成四个小于平角的角，其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 2.垂直（两条直线相互垂直）：在图16-1-11中，转动木条a到 a'，使a '与b 的夹角是90°,这时称a '与b互相垂直. 定义 如果两条相交直线的夹角为直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 垂直用符号“⊥”表示，两条直线AB 、CD互相垂直，记作AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”. 通常在两条直线的交点处标上符号“ ”, 来表示这两条直线互相垂直.如图16-1-12中,在点O处标标上符号“ ”,表示这直线AB和直线CD互相垂直；∠AOD=90°；易得∠AOC=90°，∠BOC=90°，∠BOD=90° 要点： 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 3.垂线段 公理 在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 . 如图16-1-16,PO⊥l，垂足为O， 线段PO叫作点P到直线l的垂线段. 垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 定义 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为0. 要点：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 注：在几何计算或证明中，常引进符号“∵”“∴”(分别读作“因为”“所以”,并与其同义),将推理的条件与结论分行显示，并将一些重要的推理依据用括号注在结论的后面，这样做是为了便于书写. 【即学即练1】值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】本题考查了直线的性质．根据直线的性质“两点可以确定一条直线”进行解答． 【解析】解：总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：B． 【即学即练2】如图，和不是对顶角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．根据对顶角定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，逐一判断即可． 【解析】解：根据对顶角定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线， ①和两边不是互为反向延长线，不是对顶角； ②和两边不是互为反向延长线，没有公共顶点，不是对顶角； ③和两边互为反向延长线，有一个公共顶点，是对顶角； ④和两边不是互为反向延长线，不是对顶角； 所以不是对顶角是①②④，共3个． 故选：C． 【即学即练3】如图，直线与相交，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据“对顶角相等”可得，结合即可求解，理解对顶角相等是解题关键． 【解析】∵，， ∴， 故选：． 【即学即练4】如图是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则． 由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断． 【解析】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短， 故选：A． 【即学即练5】如图，，垂足分别是点C，D． (1)点C到直线的距离是线段___________的长度； (2)点B到直线的距离是线段___________的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点到直线的距离； （1）由点到直线的距离定义，即可求解； （2）由点到直线的距离定义，即可求解； 理解点到直线的距离为“点到直线垂线段的长度”是解题的关键． 【解析】（1）解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度； 故答案：； （2）因为， 所以点B到直线的距离是线段的长度； 故答案：． 题型1:两点确定一条直线 【典例1】．在一次植树活动中，小郡说“只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线”，其数学依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．直线最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题考查了数学在实际生活中应用，两棵树的位置相当于两个点，要确定同一行树所在的直线，即两点确定一条直线． 【解析】解：“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是两点确定一条直线． 故选：C． 【变式1-1】．《荀子·劝学》有云，木受绳则直，金就砺则利．大意是说，木材经墨线比量后加工便可取直，刀剑等金属制品被磨刀石磨过就会锋利．如图，木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，依据两点之间可以确定一条直线，据此解答即可． 【解析】解：木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【变式1-2】．在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短、两点确定一条直线等知识点，熟记相关结论即可． 【解析】解：木匠弹墨线 、打靶瞄准、拉绳插秧均是利用两点确定一条直线； 弯曲公路改直是利用两点之间线段最短； 故选： A． 【变式1-3】．在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质解答即可． 【解析】解：这样做的依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键． 题型2:两条直线相交 【典例2】．当两条不同的直线有 时，我们称这两条直线 ，这个点叫做它们的 ． 【答案】 一个 公共点 相交 交点 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，熟知相交线的定义是解题的关键． 【解析】解：当两条不同的直线有一个公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做它们的交点， 故答案为：一个公共点，相交，交点． 【变式2-1】．如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题考查了同一平面内两条直线的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 将直线m，n分别延长之后，会交于一点，即可判断． 【解析】解：由图可得：同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是相交， 故选：A． 【变式2-2】．根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线以，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C″进行判断，即可得出结论． 【解析】解：根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是： 故选：C． 【变式2-3】．下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论． 【解析】解：A．直线与直线相交，点M在直线，不在直线上，故本选项不符合题意； B．直线与直线相交，点M不在直线，在直线上，故本选项不符合题意； C．直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上，故本选项符合题意； D．直线与直线相交，点M既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意； 故选：C． 【变式2-4】．以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是（  ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．① 【答案】B 【分析】根据直线可以沿着两个方向延伸，射线可以沿着一个方向延伸，线段不能延伸依次判断即可． 【解析】解：①射线和直线延伸后可以相交，符合题意； ②线段不能向两端延伸，不能相交，不符合题意； ③两条直线延伸后可以相交，符合题意； ④射线和直线延伸后不能相交，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查直线、线段及射线的知识，掌握直线可以沿着两个方向延伸，射线可以沿着一个方向延伸，线段不能延伸是解题关键． 题型3:对顶角的判断 【典例3】．下列四个图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角，根据对顶角的定义，“对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角”，据此即可判断． 【解析】解：A、和不是对顶角，故本选项不符合题意； B、和不是对顶角，故本选项不符合题意； C、和是对顶角，故本选项符合题意； D、和不是对顶角，故本选项不符合题意； 故选：C 【变式3-1】．下列图形中与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的定义．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断． 【解析】解：A、D两个角的两边不互为反向延长线，故A、D不符合题意； B、两角没有公共顶点，故B不符合题意； C、两角是对顶角，故C符合题意； 故选：C． 题型4:对顶角相等的有关计算 【典例4】．如图，直线a，b相交于点O，已知，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了对顶角．直接根据“对顶角相等”即可求解． 【解析】解：直线a，b相交于点O，已知， 则， 故答案为：． 【变式4-1】．如图，AB与CD相交于点O，，，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查对顶角，角的和差计算，解题的关键是根据对顶角相等得到，再根据，代入计算计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】．如图，直线相交于O，若，平分，则度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意可求得，根据角平分线的定义可得，即可求得结果． 【解析】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 【变式4-3】．如图，取两根木条，，将它们钉在一起，转到木条，当增大时，下列说法正确的是（   ） A．增大 B．减少 C．减少 D．减少 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角、邻补角，根据对顶角的性质，邻补角的定义可得答案． 【解析】解：与是对顶角， ， 当增大时，增大； 与是邻补角，与是邻补角， ，， 当增大时，减小，减小． 当增大时，正确的是减小． 故选：C． 题型5:垂线的有关概念综合辨析 【典例5】．下列命题不正确的是（    ） A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B．两点之间直线最短 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交 【答案】B 【分析】本题考查垂线段的定义、两点之间的距离、平行线和相交线、直线的性质，掌握相关定理，是解题关键． 根据垂线段的定义、两点之间的距离、平行线和相交线、直线的性质进行分析即可． 【解析】解：A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确； B． 两点之间线段最短，故选项说法错误； C．两点确定一条直线，正确． D．在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交，正确； 故选：B． 【变式5-1】．下列说法中，正确的是（　　） A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B．平面内，互相垂直的两条直线不一定相交 C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】C 【分析】根据点到直线距离的定义分析，可判断选项A和C；根据相交线的定义分析，可判断选项B，根据垂线的定义分析，可判断选项D，从而完成求解． 【解析】从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，即选项A错误； 在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，即选项B错误； 直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm，即选项C正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，即选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了点和直线的知识；解题的关键是熟练掌握点到直线距离、相交线、垂线的性质，从而完成求解． 【变式5-2】．下列说法正确的是（    ）． A．垂线段就是与已知直线相交的线段 B．垂线段就是垂直于已知直线的线段 C．垂线段就是一条竖起来的线段 D．过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段 【答案】D 【解析】略 【变式5-3】．下列判断正确的是（    ） A．从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到已知直线的距离 B．过直线外一点作已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离 C．作出已知直线外一点到已知直线的距离 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【解析】略 题型6:垂线段最短的应用 【典例6】．小峰同学家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段去公路边，这一选择用到的数学知识是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短．根据垂线段的性质解答即可． 【解析】解：小峰同学的家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快地到达公路边，他选择沿线段去公路边，是因为垂线段最短； 故选：B． 【变式6-1】．如图，用三角板经过直线外一点画这条直线的垂线，这样的垂线只能画出一条．这里面蕴含的数学道理是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行作答即可． 【解析】解：由题意，蕴含的数学道理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【变式6-2】．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质．根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可． 【解析】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：A． 题型7:点到直线的距离 【典例7】．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案． 【解析】解：由题意得PQ⊥MN， P到MN的距离是PQ垂线段的长度， 故选：A． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题关键． 【变式7-1】．P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（　　） A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于 【答案】D 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键，根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可． 【解析】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于， 故选D． 【变式7-2】．（1）在同一平面内，过一点有且只有 直线与已知直线垂直 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， （3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 【答案】 一条 垂线段最短 点到直线的距离 【分析】（1）本题考查垂线相关知识，掌握概念即可解题． （2）本题考查垂线段相关知识，掌握概念即可解题． （3）本题考查点到直线的距离相关知识，掌握概念即可解题． 【解析】解：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故答案为：一条． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． （3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 故答案为：点到直线的距离． 【变式7-3】．如图，已知于，于，，，，，．则： （1）点A到直线的距离为 ； （2）点A到直线的距离为 ； （3）点到直线的距离为 ； （4）点到直线的距离为 ； （5）点到直线的距离为 ． 【答案】 3.6 6 6.4 8 4.8 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，正确理解点到直线的距离的定义是解答本题的关键． （1）根据点到直线的距离，可得点A到直线的距离为线段的长； （2）根据点到直线的距离，可得点A到直线的距离为线段的长； （3）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长； （4）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长； （5）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长． 【解析】（1）解：， 点A到直线的距离为线段的长，； 故答案为：． （2）解：， 点A到直线的距离为线段的长，； 故答案为：． （3）解：， 点到直线的距离为线段的长，； 故答案为：． （4）解：， 点到直线的距离为线段的长，； 故答案为：． （5）解：， 点到直线的距离为线段的长，． 故答案为：． 题型8:画垂线 【典例8】．()在图中，过外一点作的垂线； ()在图中，分别过作的垂线. 【答案】（）作图见解析；（）作图见解析. 【分析】（）利用直角三角板，一条直角边与重合，沿平移，使另一直角边过，再沿直角边过画直线即可； （）利用直角三角板，一条直角边与重合，沿平移，使另一直角边过，再沿直角边过画直线即可，同法过作的垂线； 本题考查了基本作图，掌握用直角三角板画垂线的方法是解题的关键． 【解析】解：（）如图，直线即为所求； （）如图，直线即为所求． 【变式8-1】．按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【解析】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点O到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）解：点P到直线的距离为0， 故答案为：0． 【变式8-2】．如图． ①过点画的垂线． ②过点分别画、的垂线． ③过点画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画垂线，根据垂线的定义，画出图形，即可求解． 【解析】解：如图所示， 题型9:填空型几何计算或证明（几何中“因为”、”所以”证明过程练） 【典例9】．如图，已知直线和相交于点平分，求，，的度数． 解：， ______（邻补角的定义）， 平分 ______（角平分线的定义）， ____________， ______（______）． 【答案】140；70；；110；110；对顶角相等 【分析】本题考查了邻补角的定义、角平分线的定义、对顶角相等；根据邻补角的定义、角平分线的定义、对顶角相等，进行推理，即可完成． 【解析】解：， （邻补角的定义）， 平分 （角平分线的定义）， ， （对顶角相等）． 故答案为：140；70；；110；110；对顶角相等 【变式9-1】．如图，直线相交于点O，．其中与是一对对顶角，小亮同学发现，并写出如下证明过程： 与互补，与互补（依据1）， （依据2） (1)上述小亮同学的证明过程中，依据1，依据2分别指的是： ①依据1：________； ②依据2：________． (2)通过小亮上述证明过程可以得到对顶角的性质：________． (3)如图，若，，求的度数． 【答案】(1)①依据1：邻补角的定义②同角的补角相等 (2)对顶角相等 (3) 【分析】本题主要考查邻补角、补角、对顶角和垂直的定义： （1）根据小亮的证明过程并结合图形可以得出结论； （2）根据对顶角的性质进行判断即可； （3）根据对顶角性质得，求出，最后根据可得出结论 【解析】（1）解：与互补，与互补（邻补角的定义）， （同角的补角相等） 所以，依据1是邻补角的定义；依据2是同角的补角相等 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等 （2）解：通过小亮上述证明过程可以得到对顶角的性质：对顶角相等； 故答案为：对顶角相等； （3）解：∵，且， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 【变式9-2】．如图，直线相交于点O，平分，． (1)图中的余角是 （把符合条件的角都填上）； (2)如果， 求和的度数． 解： ∵平分， （ ）， =（ ）． 又∵， ∴， ∴ = °． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）由垂线的定义得，从而，结合对顶角的性质得，可得结论； （2）由角平分线的定义得，由补角的性质得，然后结合可求出． 【解析】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是，． 故答案为：，； （2）解： ∵平分， （角平分线的定义）， （同角的补角相等）． 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，余角的定义，补角的性质，数形结合是解答本题的关键． 题型10:垂直、对顶角相等的综合计算 【典例10】．如图，已知，CO与DO互相垂直，那么 ． 【答案】 【分析】根据CO与DO互相垂直，可得，从而得到，即可求解． 【解析】解：∵CO与DO互相垂直， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，熟练掌握当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直是解题的关键． 【变式10-1】．如图，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝ °． 【答案】54 【分析】根据∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，可求出∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，再根据OD⊥OC，得出∠COD＝90°，最后根据互余求出答案． 【解析】解：∵∠AOB＝72°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°， 又∵OD⊥OC， ∴∠COD＝90°， ∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣36°＝54°， 故答案为：54． 【点睛】本题考查角平分线，垂直，理解角平分线和垂直的意义是正确计算的前提． 【变式10-2】．如图，已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义和对顶角的性质，解题的关键是由，得，因为，所以，根据对顶角相等得． 【解析】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式10-3】．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠COE=55°，则∠BOD为 ． 【答案】35° 【分析】根据垂直的定理得出的度数，然后根据已知条件得出的度数，最后根据对顶角相等求出即可． 【解析】解：∵OE⊥AB， ∴∠AOE=90°， ∵ ， ∴∠AOC=90°- ， ∴∠BOD=∠AOC= ， 故答案为：35°． 【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角的定义，根据题意得出的度数是解本题的关键． 【变式10-4】．如图，直线、相交于点，，比大，那么 ． 【答案】35 【分析】根据垂直的定义得到，由比大，得到，即可求出，则． 【解析】解：∵， ∴， 又∵比大， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，对顶角相等，熟知相关知识是解题的关键． 【变式10-5】．如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角相等、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，进而可得，然后根据对顶角相等即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式10-6】．如图，直线交于点，垂足为，则 度． 【答案】50 【分析】本题考查垂直的定义，对顶角相等的性质，掌握垂直的定义是解决问题的关键． 根据垂直的定义和对顶角相等得出答案． 【解析】解：∵， ， 又， ， 故答案为：50． 【变式10-7】．如图，直线与相交于点，，平分且，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，根据邻补角、对顶角的定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【解析】解：，， ，， ， ， 平分， ． 故答案为：． 题型11:直线的交点、相交直线把平面分成几个部分 【变式11-1】．在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（    ）个． A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3 【答案】D 【分析】根据平面内相交线和平行线的特点分类讨论即可得出答案． 【解析】因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论： ①三条直线互相平行，有0个交点； ②一条直线与两平行线相交，有2个交点；     ③三条直线都不平行，有1个或3个交点； 所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个． 故选：D． 【点睛】本题考查平面内直线的位置关系．掌握相交线和平行线的特点是解题的关键． 【变式11-2】．平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，最多为个，则等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】先求出m、n的值，再代入求解． 【解析】解：平面内两两相交的3条直线，它们最多有3个交点，最少有1个交点， ∴m=3，n=1 ∴m+n=4， 故选A. 【点睛】当三条直线都交于一点时，只有1个交点，两两相交不在同一点，有3个交点，注意掌握数学基础知识． 【变式11-3】．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【解析】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 【变式11-4】．观察如图图形，并阅读相关文字：那么10条直线相交，最多交点的个数是(   ) A．10 B．20 C．36 D．45 【答案】D 【分析】根据直线的条数与交点的个数写出关系式，然后把10代入关系式进行计算即可得解． 【解析】2条直线相交，只有1个交点，3条直线相交，最多有3个交点，4条直线相交，最多有6个交点，…，n条直线相交，最多有个交点，n=10时，45． 故选D． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，写出直线条数与交点个数的表达式是解题的关键． 【变式1-1】．在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线和相交线．从平行线的角度考虑，先考虑二条直线都平行，再考虑三条、四条、五条平行， 【解析】解∶这9条直线的位置关系为∶两两相交或平行， 有两种情况，分别如下∶ 一、单选题 1．如图所示，与是对顶角的是（    ）． A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义逐个判断即可． 【解析】解：A、∠1与∠2的两边一边互为反向延长线，另一边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故本选项不符合题意； B、∠1与∠2符合对顶角的定义，是对顶角，故本选项符合题意； C、∠1与∠2的两边一边互为反向延长线，另一边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故本选项不符合题意； D、∠1与∠2没有公共顶点，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了对顶角的定义．解题的关键是掌握对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 2．如图，直线a、b交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对角线的性质，正确理解对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等，即得答案． 【解析】因为与是对顶角，所以． 故选C． 3．在下列语句中，正确的是（    ）． A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线 B．在同一平面内，过一点平行于已知直线的直线只有一条 C．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 D．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离 【答案】C 【分析】由垂线的定义、平行公理、点到直线的距离，对每个选项进行判断，即可得到答案． 【解析】解：在同一平面内，一条直线有无数条垂线，故A错误； 在同一平面内，过直线外一点平行于已知直线的直线只有一条，故B错误； 在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条，故C正确； 在同一平面内，垂线段的长度就是点到直线的距离，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线的定义、平行公理、点到直线的距离，解题的关键是熟记所学的概念进行判断． 4．如图，生活中有下列两个现象：现象1，建筑工人砌墙时，会在两个墙脚的位置分别固定一根木杆，然后拉一条直的参照线；现象2，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短．对于这两个现象的解释，正确的是（   ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用两点确定一条直线来解释 C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用两点确定一条直线来解释 D．现象1用两点确定一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【分析】本题考查几何原理在日常生活中的应用，熟练掌握“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的原理是解题的关键． 分别分析每个现象，并根据几何原理选择最合适的解释，即可得出答案． 【解析】解：现象1：建筑工人在砌墙时，使用木杆和绳子作为参照，确保墙体的直线性．这实际上是在应用两点确定一条直线的几何原理，通过固定两个点（木杆的位置），工人可以拉出一条直线作为砌墙的参考，确保墙的直线度． 现象2：将弯曲的河道改直，缩短了A、B两地间的距离．这一现象的解释是两点之间线段最短的应用，通过直接连接两点，即河道的起点和终点，可以达到最短距离的效果，从而缩短了实际航程． 因此，结合对两个现象的分析，现象1用两点确定一条直线来解释，而现象2用两点之间线段最短来解释． 故选：D． 5．若直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线α距离等于2cm的点的个数是（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离的定义解答即可 【解析】解：直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线α距离等于2cm的点的个数是2个 故选：C 【点睛】本题考查了点到直线的距离，读懂题目信息，掌握定义是解题的关键 6．如图，三角形ABC中，，于点D，若，则点C到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离:直线外一点到直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离， 根据定义可知点C到直线的距离即垂线段的长即可解答． 【解析】解：∵，， ∴点C到直线的距离是， 故选A． 7．为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（   ） A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线 C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键． 直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案． 【解析】解：A、为直线上的一点，Q为外一点，过P可画直线垂直于，正确，不合题意； B、为直线上的一点，Q为外一点，过Q可画直线的垂线，正确，不合题意； C、连接不能保证，故错误，符合题意； D、为外一点，可以过Q可画直线与垂直，正确，不合题意； 故选∶C． 8．如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【解析】解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意； B、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意； D、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意； 故选：A． 9．如图，直线，相交于点O，射线平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂直定义是解题的关键．先利用垂线定义得出，再求出，然后根据角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得然后利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【解析】解：， ， ∵， ∴， 射线平分， ， ， 故选：A． 10．如图所示，直线AB，CD，EF，GH，MN相交于点O，则图中对顶角共有（    ）    A．3对 B．6对 C．12对 D．20对 【答案】D 【分析】根据对顶角的特点，找n条直线可形成几对对顶角的规律，即可选出答案. 【解析】2条直线交于一点，对顶角有2对，； 3条直线交于一点，对顶角有6对，； 4条直线交于点，对顶角有12对，； 由规律可得n条不同直线相交于一点， 可以得到对对顶角， 所以直线AB，CD，EF，OH，MN相交于点O， 对顶角共有（对）. 故选D. 【点睛】本题考查的是对顶角的特点和学生归纳总结规律的能力，能够找出n条直线可形成几对对顶角的规律是解题的关键. 二、填空题 11．将一根木条钉在墙上，至少需要两个钉子，其数学原理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】此题考查了直线，熟知两点确定一条直线是解题的关键．根据直线的性质进行回答即可． 【解析】解：将一根木条钉在墙上，至少需要两个钉子，其数学原理是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线 12．如图所示，直线交于点，则 ，根据是 ． 【答案】 = ， 对顶角相等 【分析】根据两直线相交，对顶角相等，即可得到答案. 【解析】解：由题可知，与是对顶角， ∴， 根据是对顶角相等； 故答案为=，对顶角相等； 【点睛】本题考查了对顶角相等，解题的关键是对定理的掌握. 13．如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案． 【解析】解：解：已知在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 14．如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是 米． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确理解题意是解题关键．直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案． 【解析】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是的长米． 故答案为：． 15．已知，在上有两点A，B，在上有两点C、D，且，则与的距离为 6cm．（填“≤”或“≥”） 【答案】≤ 【分析】根据两条平行线间的距离的定义和垂线段最短解答即可 【解析】解：∵，在上有两点A，B，在上有两点C、D，且， ∴与的距离≤6cm 【点睛】本题考查了两条平行线间的距离和垂线段最短，熟练掌握相关的知识是解题的关键 16．如图，直线a、b相交，，则 度． 【答案】140 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等成为解题的关键． 先根据对顶角相等和已知条件求得，再根据平角的性质列式计算即可． 【解析】解：∵，（对顶角相等）， ， ． 故答案为：140． 17．如图，直线与直线相交于点，于点，且，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角，数形结合是解题的关键．根据垂直的定义可得：，由，求出，最后利用平角的定义求解即可． 【解析】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，直线相交于点O，，垂足为O，且平分．    （1）若，则的度数为 ； （2）与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】（1）邻补角求出，角平分线求出，再根据对顶角相等，即可得解； （2）垂直和角平分线，得到，平角的定义，推出，，即可得出结论． 【解析】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，平分， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，正确的识图，找准角之间的和差，倍数关系，是解题的关键． 三、解答题 19．如图，将甲､乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺是直的吗？为什么？ 【答案】见解析 【分析】根据经过两点有且只有一条直线分析即可． 【解析】乙尺不是直的，因为如果乙尺是直的，那么过两点A，B就有两条直线了，这是不可能的， 所以乙尺不是直的． 【点睛】本题考查了过两点有且只有一条直线，掌握过两点有且只有一条直线是解题的关键． 20．按下列要求画图并填空：如图，    (1)过点A画出直线a的垂线，与直线a交于点C；过点B画出直线a的垂线，与直线b交于点D； (2)如果直线，那么线段、长度的大小关系是：______（用“＞”、“＝”、“＜”连接），它们的长度都可以表示直线a、b之间的______． 【答案】(1)见解析 (2)，距离 【分析】（1）将三角板的一条直角边和已知直线重合，然后平移三角板，让其另一条直角与点重合，过点和三角板的直角顶点作直线，就是已知直线的垂线，同理得出； （2）利用平行线之间的距离定义即可得出AC，BD之间的关系． 【解析】（1）解：如图所示：    （2）解：， 根据平行线之间的距离定义可知， 由于， 故它们的长度都可以表示直线a、b之间的距离． 【点睛】点评：此题主要考查了过直线外一点作已知直线垂线以及平行线之间的距离性质，根据已知得出，是解题关键. 21．如图．两条直线a，b相交． （1）如果∠1=60°，求∠2，∠3，∠4的度数； （2）如果2∠3=3∠1，求∠2，∠3，∠4的度数． 【答案】（1）∠3=∠2=120°，∠4=60°；（2）∠2=∠3=108°，∠4=72°． 【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠2，再根据对顶角相等可得∠3=∠2，∠4=∠1； （2）邻补角的定义可得∠1+∠3=180°，然后求出∠1、∠3，再根据对顶角相等解答． 【解析】解：（1）∵∠1=60°， ∴∠2=180°-∠1=180°-60°=120°， ∴∠3=∠2=120°，∠4=∠1=60°； （2）∵∠1+∠3=180°，2∠3=3∠1， ∴∠1=72°，∠3=108°， ∴∠2=∠3=108°，∠4=∠1=72°． 【点睛】本题考查了对顶角相等，互为邻补角的两个角的和等于180°，是基础题，熟记概念是解题的关键． 22．如图，已知于，于． (1)点到直线的距离是线段_______的长； (2)点到直线的距离是线段_______的长； (3)线段的长表示点到直线_______距离； (4)线段的长表示点到直线_______距离； (5)线段的长表示点_______到直线______距离； (6)线段的长表示点_______到直线______距离； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， (6)， 【分析】（1）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离是线段的长； （2）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离是线段的长； （3）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离； （4）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离； （5）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离； （6）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离． 【解析】（1）∵， ∴点到直线的距离是线段的长； 故答案为：． （2）∵， ∴点到直线的距离是线段的长； 故答案为：． （3）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为： ． （4）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为：． （5）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为：，． （6）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为：，． 【点睛】此题考查点到直线的距离的定义，解题关键在于掌握其定义． 23．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O，若∠AOC＝60°，求∠BOF的度数． 解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（　　） ∴∠　　＝　　° ∵OE平分∠BOD（  已知  ） ∴∠BOE＝∠　　＝　　°（　 　） ∵OF⊥OE（ 已知 ） ∴∠EOF＝　　°（　 　 ） ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF ∴∠BOF＝　 　°． 【答案】已知；BOD；60；BOD；30；角平分线的定义；90；垂直定义；60 【分析】利用对顶角的性质以及角平分线的定义得出∠BOE的度数，再利用垂直定义得出∠BOF的度数． 【解析】解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（已知）， ∴∠BOD＝60°， ∵OE平分∠BOD（已知）， ∴∠BOE＝∠BOD＝30°（角平分线的定义）， ∵OF⊥OE（已知）， ∴∠EOF＝90°（垂直定义）， ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF， ∴∠BOF＝60°． 故答案为：已知；BOD；60；BOD；30；角平分线的定义；90；垂直定义；60． 【点睛】此题主要考查了对顶角的性质，垂直定义以及角平分线的定义，得出∠BOE的度数是解题关键． 24．如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．    【答案】 【分析】先利用对顶角的性质得到，再根据角平分线定义得到，接着利用垂直定义得到，则利用互余得到即可求解． 【解析】解：直线与相交于一点， ， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 25．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分． (1)的对顶角为________； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】解：（1） （2）因为OA平分，， 所以． 又因为， 所以． （3）因为，， 所以，． 由（2）可得． 26．如图，直线与相交于点．    (1)若，求，的度数； (2)若，求，的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据对顶角相等，平角为，即可作答； （2）根据对顶角相等有：，，结合，，即可求解． 【解析】（1）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）根据对顶角相等有：，， ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了对顶角相等，平角为等知识，掌握对顶角相等，是解答本题的关键． 27．观察下面各图，寻找对顶角（不含平角） （1）如图（1），图中共有________对不同的对顶角. （2）如图（2），图中共有________对不同的对顶角. （3）如图（3），图中共有________对不同的对顶角. （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有条直线相交于一点，则可形成________对不同的对顶角. （5）计算2013条直线相交于一点，则可形成________对不同的对顶角. 【答案】（1）2；（2）6；（3）12；（4）；（5）4050156 【分析】（1）根据对顶角的定义，写出所有不同的对顶角即可得出结论； （2）根据对顶角的定义，写出所有不同的对顶角即可得出结论； （3）根据对顶角的定义，写出所有不同的对顶角即可得出结论； （4）根据（1）（2）（3）的规律，总结出公式即可； （5）将代入（4）中公式计算即可. 【解析】解：（1）对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠AOD和∠BOC， 共有2对不同的对顶角 故答案为2； （2）对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠AOE和∠BOF、∠COF和∠EOD，∠AOD和∠BOC，∠BOE和∠AOF，∠COE和∠DOF 共有6对不同的对顶角 故答案为6； （3）对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠COF和∠EOD，∠FOH和∠EOG、∠BOH和∠AOG、∠AOE和∠BOF、∠GOD和∠COH，∠EOB和∠AOF，∠DOH和∠COG，∠AOD和∠BOC，∠COE和∠DOF，∠FOG和∠EOH、∠AOH和∠GOB， 共有12对不同的对顶角 故答案为12； （4）两条直线相交，共有2=2×1对不同的对顶角； 三条直线相交，共有6=3×2对不同的对顶角； 四条直线相交，共有12=4×3对不同的对顶角； ∴有条直线相交时，有对不同的对顶角 故答案为：; （5）当时，可形成（对）不同的对顶角 故答案为：4050156. 【点睛】此题考查的是探索规律题，掌握对顶角的定义和找出规律并归纳公式是解决此题的关键. 28．直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①的度数为；②见解析； (2)或． 【分析】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用平分，可得：，再利用垂直得到：，即可证明，平分． （2）需要分类讨论，当点E，F在直线的同侧和点E，F在直线的异侧两种情况，再分别表示出与，再消去即可． 【解析】（1）解：①∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：设，则， 当点E，F在直线的同侧时，如图： ， ∴，① ，② 令①×3+②×2可得：， 当点E，F在直线的异侧时，如图： ， ∴，① ，② 令②×2+①可得：， 综上所述：或． 【点睛】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力． 44 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $$