第一章 整式的乘除（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（四川成都专用，北师大版2024）

第一章 整式的乘除 （B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各题能用同底数幂乘法法用进行计算的是（  ） A． B． C． D． 2．若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 3．若是一个完全平方式，则m的值应为（   ） A． B．8 C． D．16 4．三个连续的正整数，中间的数为，则它们的积为（  ） A． B． C． D． 5．若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．若，为有理数，且，则（   ） A． B． C．8 D．16 7．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（   ）    A． B． C． D． 8．有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知，则代数式的值为 ． 10．已知，则 ． 11．的展开式中不含项和常数项，则 ； 12．若，且，则 ． 13．设实数满足，若，则的值是 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 15．已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 16．阅读：若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， 所以 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积之和（结果必须是一个具体数值）． 17．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，利用几何直观的等面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．如图11甲有三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，老师用种纸片一张、种纸片一张、种纸片两张拼成如图乙的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图乙中大正方形的面积（注：均用含a，b的代数式表示）， 方法1：______，方法2：______，由上可写出一个数学公式：______； (2)根据数学公式，解决问题：已知，，求的值． 18．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知单项式与的和仍然是单项式，那么 ． 20．已知是一个完全平方式，则 ． 21．已知，，，则的值是 ． 22．已知，则的值为 ． 23．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（新情境）如图，将图①中的正方形（阴影部分）沿图中虚线用剪刀平均分成四块小正方形，然后拼成图②所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图①，图②中阴影部分的面积； (2)根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：___________； (3)已知，求的值； (4)若，求的值． 25．长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 26．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】 【归纳】； 【应用】计算 解：令，， 则 结合上述材料，完成下列问题： (1)证明等式：； (2)应用（1）中所证明等式，计算； (3)若多项式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除 （B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各题能用同底数幂乘法法用进行计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的法则进行分析即可，熟练掌握同底数幂的乘法法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故A不符合题意； B、，底数一样，能用同底数幂的乘法的法则运算，故B符合题意； C、只能用合并同类项的法则运算，故C不符合题意； D、，底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故D不符合题意； 故选：B． 2．若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键．将式子配方成，根据平方的非负性可得可得x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 3．若是一个完全平方式，则m的值应为（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．三个连续的正整数，中间的数为，则它们的积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算． 【详解】解：三个连续的正整数，中间的数为，则它们的积为， 故选：D． 5．若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：是完全平方式，解得， 是完全平方式， 有， 故选：D． 6．若，为有理数，且，则（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值等知识，利用完全平方公式确定的值是解题关键．由，可化为两个完全平方的形式，根据非负数相加等于0，所以各个非负数都为0确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 整理可得， ∴， ∴，解得， ∴． 故选：B． 7．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的的变形求值，掌握是解题的关键． 根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出ab的值即可． 【详解】解：大长方形周长为， ， ， 四个正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， 故选：C． 8．有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，定义新运算，理解新运算的计算方法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据材料提示，分别算出第1项，，第2项，，第3项，，由此找出规律，可判定①②；根据计算可得第2023项为，可得，，可判定③；第（为正整数）项为，根据整式的混合运算可得，即，把代入可判定④；由此即可求解． 【详解】解：第1项，，则， 第2项，，则， 第3项，，则， ∴第4项为，， 第5项为，，故①正确； ∴，故②正确； ∴第2023项为，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，；当时，，故③错误； 根据上述计算可知，第（为正整数）项为， 令，则， ∴， 解得，，即， ∴当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C ． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的运算，先化简所求的式子，再将变形得，最后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 10．已知，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将已知等式利用完全平方公式变形可得，由此即可得． 【详解】解：∵①，， ∴②， 由②①得：， ∴， 故答案为：10． 11．的展开式中不含项和常数项，则 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了无关型问题．熟练掌握多项式相乘法则合并同类项法则，代数式求值，是解题的关键． 用多项式乘多项式法则展开，合并同类项，根据不含项和常数项，令项系数和常数项都为0，解方程求出a、b的值，代入计算即得． 【详解】∵ 中不含项和常数项， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式，根据完全平方公式对目标式变形是解题的关键． 由题意可得出的值，然后把代数式变形成含有和的式子即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即． ∵， 将，代入， ∴． 故答案为：． 13．设实数满足，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，由已知可得，代入进行降次计算可得，进而可得：，，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 又∵， ∴ ， ，，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解决本题的关键是根据乘法公式把各部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． 首先根据完全平方公式和平方差公式把各部分展开，得到：原式，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，可得：原式，把的值代入化简后的代数式计算求值； 首先根据完全平方公式和平方差公式把各部分展开，得到：原式，把括号里面的部分合并同类项，可得：原式，再根据多项式除以单项式的法则计算出结果，把，代入化简后的代数式计算求值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ． 当，时， 原式． 15．已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，整式的加减，是解题关键． （1）根据完全平方公式，平方差公式，去括号，合并即得； （2）根据完全平方式特征，知，得，代入A即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：是一个完全平方式， ， ， ． 16．阅读：若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， 所以 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积之和（结果必须是一个具体数值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握通过对完全平方公式变形求值的方法和技巧是解题的关键：完全平方公式的变形在解题中的应用——首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了． （1）设，，则可得，，将原式进行变形可得：原式，然后将和的值代入即可求出原式的值； （2）设，，则可得，，将原式进行变形可得：原式，然后将和的值代入即可求出原式的值； （3）由正方形的边长为x可得，进而可得，，设，，则可得，由长方形的面积是可得，由四边形与都是正方形可得：阴影部分的面积之和，然后将和的值代入即可求出阴影部分的面积之和． 【详解】（1）解：设，， 则， ， ； （2）解：设，， 则， ， ； （3）解：正方形的边长为x， ， ，， ，， 设，， ， 长方形的面积是， ， 四边形与都是正方形， 阴影部分的面积之和． 17．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，利用几何直观的等面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．如图11甲有三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，老师用种纸片一张、种纸片一张、种纸片两张拼成如图乙的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图乙中大正方形的面积（注：均用含a，b的代数式表示）， 方法1：______， 方法2：______， 由上可写出一个数学公式：______； (2)根据数学公式，解决问题： 已知，，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一个图形的面积是得出等量关系的关键； （1）方法一，直接利用正方形的面积公式可得结果，方法二，大正方形的面积等于部分面积和，表示个部分面积，即可求解； （2）利用完全平方公式得出，把，，代入，求得的值，即可求解； 【详解】（1）方法一，直接利用正方形的面积公式可得图的面积为； 方法二，根据个部分面积和，可得， 由上可写出一个数学公式：； 故答案为：，，； （2）解：由（1）得， ，， ， ， ； 18．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知单项式与的和仍然是单项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，负整数指数幂的计算，根据同类项的定义求出，，然后代入，计算负整数指数幂即可． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍然是单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， ∴ 故答案为：． 20．已知是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式列式进行计算，即可确定k的值． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 21．已知，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【详解】解：，， ， 所以原式 ， 故答案为：． 22．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，非负数的性质，代数式求值．将等式进行恰当的变形，从而求出a和b的关系是解题关键．根据多项式乘多项式法则，结合完全平方公式可将等式变形为，再根据平方的非负性即得出，，从而可得出，，最后将所求式子变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 23．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ． 【答案】2697 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式探究出规律是解题的关键． 从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 【详解】解：设是正整数， 由于， 所以，除1外，所有奇数都是智慧数； 又因为， 所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 被4除余2的正整数都不是智慧数． 从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． ， 是第675组的第一个数， 即：． 故答案为：2697． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（新情境）如图，将图①中的正方形（阴影部分）沿图中虚线用剪刀平均分成四块小正方形，然后拼成图②所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图①，图②中阴影部分的面积； (2)根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：___________； (3)已知，求的值； (4)若，求的值． 【答案】(1)图①：；图②： (2) (3)7 (4)22 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何证明，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据正方形面积公式表示出图①中正方形的面积即可；用大正方形的面积减去两个长方形的面积得出答案即可； （2）根据两个图中阴影部分面积相等，即可得出答案； （3）根据完全平方公式，进行变形求值即可； （4）根据，，求出，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：图①中正方形的边长为，则面积为；图②中正方形的面积为：； （2）解：∵图中两个阴影部分的面积相等， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴ ， ∵ ， ∴． 25．长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解； （3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值． 本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题知：，，，， ，， ， ∴长方形窗户的总面积为． （2）解：根据题意可得， ， ， ， ， ∴ ． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】 【归纳】； 【应用】计算 解：令，， 则 结合上述材料，完成下列问题： (1)证明等式：； (2)应用（1）中所证明等式，计算； (3)若多项式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探究； （1）观察等式找到规律，根据规律即可求解； （2）根据（1）的结论，令，，代入，即可求解； （3）分别表示出，观察式子，即可求解． 【详解】（1）解： …… ∴ （2）计算 解：令，， 则 （3）解：∵ ∴ 当时， ∵ ∴ 当时， ∵， ∴ ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$