专题02 整式的乘法四大压轴类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（苏科版2024）

专题02 整式的乘法四大压轴类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、多项式乘积不含某项求字母的值 1 类型二、多项式乘多项式的图形面积问题 5 类型三、多项式乘多项式与规律探究问题 10 类型四、多项式中的新定义问题 15 压轴能力测评（16题） 19 考点1：单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 考点2：单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 考点4：多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 类型一、多项式乘积不含某项求字母的值 【典例1】（四川省内江市2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试题）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【变式1-1】（22-23八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【答案】(1)， (2)35 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 【变式1-2】（24-25八年级上·全国·期中）若的积中不含和项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值， （1）将与的值代入计算即可求出值； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含和项， ∴，， ∴， ， ∴； （2）解： 当， 时，原式 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p、q的值． （1）利用条件中积不含项和项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）先化简，再利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式， ， ∵的积中不含项和项， ∴，， ∴，； （2）， ， ， ， ∵，， ∴原式 类型二、多项式乘多项式的图形面积问题 【典例2】（24-25八年级上·重庆·期中）如图1，某商家准备装修商铺，购买了足够多的（边长为的小正方形），（边长为的大正方形），（长为，宽为的长方形）三种类型的瓷砖来铺设操作间、储藏间和大厅． (1)操作间刚好按如图2的方式铺满，请求出操作间的面积（用含的代数式表示）； (2)请通过计算说明：铺满长为，宽为的储藏间和长为，宽为的大厅共需要三类瓷砖各多少块？（瓷砖均用整块，无空隙无重叠）； (3)若一块类瓷砖的周长为32，一块类瓷砖和一块类瓷砖的面积之差为64，求操作间、储藏间和大厅的面积之和． 【答案】(1) (2)一共需要类瓷砖11块，类瓷砖11块，类瓷砖25块 (3)3920 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，多项式乘多项式几何图形，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． （1）观察图形，找出图2的长与宽，利用长方形面积公式，列出算式，利用多项式乘多项式法则进行计算即可； （2）根据长方形的面积公式，列出算式，利用多项式乘多项式法则求出储藏间和大厅的面积和，根据计算结果求出答案即可； （3）根据已知条件列出关于，的方程组，解方程组求出，，然后求出操作间、储藏间和大厅的面积之和，并化简，最后把，的值代入化简后的式子，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：操作间的长为，宽为， 操作间的面积 ； （2）解：由题意得：储藏间和大厅的面积和为： ， 共需要，各11块，类瓷砖25块； （3）解：由题意可知：，， ①，， ②， ①②得：， 把代入①得： 操作间、储藏间和大厅的面积之和为： ． 【变式2-1】（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的三种纸片：边长为a的小正方形（A类），长为、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的正方形（C类）． 用图1中的A类纸片2张，B类纸片3张、C类纸片1张可以拼出图2所示的长方形．根据长方形的面积，可以用来解释整式乘法：，也可以解释因式分解：    (1)如果要拼成一个长为（），宽为的大长方形，则需要B类纸片 张，C类纸片 张； (2)若用4张B类纸片围成图3所示的图形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y，则下列等式中：①；②；③；④；⑤，正确的有 ；（写出所有正确结论的序号） (3)如果取若干张纸片（三种都要取）拼成一个长方形，使其面积为，请在虚框中画出图形，并根据所画图形将多项式分解因式； (4)如果取若干张纸片（三张都要取）刚好拼成一个长方形，其面积为，求m的值． 【答案】(1)4，3； (2)①③④⑤； (3)图见详解，； (4)或或． 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系： （1）根据长方形的长和宽求出面积即可得到答案； （2）根据图形表示出两个正方形边长与，的关系，，结合面积加减计算即可得到答案； （3）根据整式得到两个大正方形，两个小正方形，五个长方形组合即可得到答案； （4）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴需要，一个A类图形，4个B类图形，3个C类图形， 故答案为：4，3； （2）解：由图形可得， ，，故①正确， ∴，， ，故②错误，④⑤正确， 由图形可得，， ∴，故③正确， 故答案为：①③④⑤； （3）解：由题意可得，图形如图所示，    ∴； （4）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，， 故答案为：或或． 【变式2-2】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (3)当时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)平方米． 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则． （1）利用长方形面积公式直接计算即可； （2）利用长方形面积公式直接计算即可； （3）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解． 【详解】（1）∵平方米， ∴长方形地块的面积为平方米； （2）∵平方米， ∴修建雕像的小长方形地块的面积为平方米； （3）∵绿化部分的面积为平方米； ∴当时， （平方米）， ∴绿化部分的面积为平方米． 【变式2-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：． 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：___________． (2)如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； (3)如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算． （1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）根据，代入数值解之即可； （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和， 即， 同时大长方形的面积也可以为， 所以； 故答案为：； （2）如图（3），中，，，，， ， ； 答：的长为； （3）证明：如图（4）， ，，，垂足分别为点，，， ， ， ， ． 即． 类型三、多项式乘多项式与规律探究问题 【典例3】（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）发现与探索：你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值： ①；②； ③；… （1）由此我们可以得到：______． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般要根据所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，难度一般． （1）根据所给式子从而总结出规律是；， （2）将写成的形式进行计算即可； （3）设， 则， 得出，继而得出，继而得解； 【详解】（1）根据规律可得：， 故答案为：； （2）， ； （3）设， ， ， 解得：， 即 【变式3-1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 【答案】(1)五，六，32 (2)，64 (3)，见解析 (4)1 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （2）根据规律可以写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （3）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式取正整数）的展开式的各项系数之和； （4）把，代入即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五，六，32； （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：，64； （3）解：的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和 ， 取正整数）的展开式的各项系数之和是； （4）解：把，代入得： ， ∴， ∴． 【变式3-2】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： 【知识应用】 (1)补充完整的展开式，______； (2)的展开式中共有______项，所有项的系数和为______； (3)今天是星期五，过了天后是星期几？ 【答案】(1)6，4， (2)8， (3)星期六 【分析】（1）根据三角形系数图中的系数确定规律，计算完善即可． （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案． （3）根据题意，得 ，看余数解答即可． 本题考查了杨辉三角形的理解与应用，正确理解题意，会探索发现规律，转化应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 故， 故答案为：6，4，． （2）解：根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图， 当时，有2项；所有项的系数和为； 当时，有项；所有项的系数和为； 当时，有项；所有项的系数和为； ， 故找到规律为：共项，所有项系数的和为， 故的展开式中共有8项，所有项的系数和为． 故答案为：8，． （3）解：今天是星期五，过了天后是星期六．理由如下： ∵根据题意，得 ， 且都能被7整除， ， ∴除以7余1， ∴如果今天是星期五，过了天后是星期六． 【变式3-3】（23-24七年级下·广东梅州·期末）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； … (1)【归纳】由此可得：________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：； (3)【拓展】请运用上面的方法，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键． （1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案； （2）利用（1）中变化规律进而得出答案； （3）将变形为，再利用（1）中变化规律进而得出答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ……； ∴， 故答案为：． （2）解： ； （3）解：， ． 类型四、多项式中的新定义问题 【典例4】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式，，，（，，，是常数），当他们满足，且是常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式，，，来说 ，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若，，，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当，，，之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算及新定义问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接根据定义计算的值； （2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出的值即可； （3）根据定义化简计算，可得，，，之间满足的数量关系式． 【详解】解：（1） ，，，是一组平衡数， ， ， ， ， ， 平衡因子； （2） ，，，是一组平衡数， ， ， ， ， ， 是常数， ， 解得：； （3）当，，，之间满足时，他们是一组平衡数． 证明： ，，，是一组平衡数， 的结果为常数， 结果为常数， ， ． 【变式4-1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作、、，定义：；；；；，经研究发现，．如：三角形三条边分别为13、14、15，则，，，，；；；，所以，故三角形的面积． (1)若，则_______．_______． (2)当；；时． ①求的表达式； ②若，求三角形的面积． 【答案】(1)6，11 (2)①；②三角形的面积． 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）①根据，利用整式乘法运算法则计算即可求解； ②先求得的值，再根据定义分别求得、、的值，根据，求得，代入①中即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ；；； ∴； 故答案为：6，11； （2）解：①∵；；， ∴ ； ②∵， ∴， ∴，故； ，故； ，故； ∴， ∴， ∴， ∴， 故三角形的面积． 【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，掌握新定义的内容，整式乘法的运算法则是解题的关键. 【变式4-2】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a＋bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算： （3＋5i）＋（2－3i）＝（3＋2）＋（5－3）i＝5＋2i， （1＋i）×（2－i）＝1×2－1×i＋i×2－＝2－i＋2i＋1＝3＋（－1＋2）i＝3＋i， (1)填空：＝ ，＝ ； (2)计算：（3＋2i）×（1－i）； (3)计算： 【答案】(1)-i，1 (2)5-i (3)i-1 【分析】（1）将和化成含的形式求解即可； （2）利用多项式乘以多项式运算法则将原式展开求解即可； （3）根据的计算结果，发现规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：-i，1； （2）解：（3＋2i）×（1－i） =3-3i+2i-2 =3-i+2 =5-i； （3）解：∵，，，，，…， ∴的结果依次按i，-1，-i，1，i，……四次一循环的规律出现， ∵2022÷4=505…2， ∴ =i++(i-1-i+1)×505 =i-1+0×505 = i-1． 【点睛】本题考查利用新定义解决数字运算规律的能力，读懂题中新定义的运算法则，并能正确计算，（3）中找到变化规律是解答的关键． 【变式4-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． (2)若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“郡园多项式”，理由见解析 (2)2 【分析】题目主要考查多项式的乘法及项数的理解，熟练掌握多项式的乘法是解题关键． （1）根据多项式的乘法及项数依据新定义求解即可； （2）根据多项式的乘法及项数确定求解即可． 【详解】（1）解：B是A的“郡园多项式”，理由如下： ∵， 的项数比A的项数多1， ∴B是A的“郡园多项式”． （2） ， ∵B是A的“郡园志勤多项式”， ∴且，解得， ∴a的值是2． 1．（2024·河南驻马店·三模）对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（    ） A．2024 B． C． D．1012 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义运算和同底数幂的乘法，根据新定义运算法则和同底数幂运算法则进行计算即可 【详解】解：∵，且，，， ⋯ ， ∵， ∴， 故选：C 2．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，根据阅读材料，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的运算法则得到，再根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：由得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了新定义运算和多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山西晋城·期中）在学习中，我们接触了很多代数恒等式，知道可以用硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释，则图2可以用来解释（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数恒等式的几何背景，根据题意列出代数恒等式是解题的关键． 根据题意得出图2的面积为，即可得到答案． 【详解】解：由题意得图2的面积为， 故选： D． 4．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）若，则m的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式．利用多项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：B． 5．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）若则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式乘以多项式展开，比较系数解答即可． 本题考查了多项式乘以多项式，恒等式的性质，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：D． 6．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用多项式的不含某项问题求字母的值，解答的关键是先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程组求解即可． 把与的乘积结果化简后令项、x项的系数为0求解即可． 【详解】 ∵结果化简后令项、x项， ∴， ∴． 故选A． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算及数字的变化规律，解题的关键是将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出规律． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴． ∴ ， 因为，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 8．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．根据题意可得：，再根据，从而可得，进而可得：，然后求出：，从而可得，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 由题意得：， 解得：， ， ， 故选：A． 9．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共 张． 【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．由，得A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为，因此需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：， ∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为， ∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张，共9张． 故答案为：9． 10．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据即可求解 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 11．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形数阵解释二项式的展开式的各项系数，此三角形数阵称为“杨辉三角”． 第一行             第二行               第三行                第四行                 第五行                  根据此规律，请你写出第行第三个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法及数字类规律变化，根据“杨辉三角”找出规律是解题关键．分别求出第四、五、六行中第三个数，得出变化规律，即可得答案． 【详解】解：由“杨辉三角”可知： 展开式中第三项的系数为， 展开式中第三项的系数为， 展开式中第三项的系数为， …… ∴展开式中第三项的系数为， ∵第行第三个数是展开式中第三项的系数， ∴第行第三个数是． 故答案为： 12．（24-25八年级上·广西南宁·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 观察“杨辉三角”可得的展开式中第一项和最后一项的系数都是1，中间的项的系数是“杨辉三角”中上一层肩上的两个系数的和，据此即可解答． 【详解】解：由“杨辉三角”可得，的展开式中从左起第四项的系数为． 故答案为：20． 13．（2023九年级·广西柳州·专题练习）由等式，定义一种对应，如：表示，对应的是，记作，那么 . 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据已知条件，分别比较等式两边、、的系数以及常数项，求得、、、的值即可． 【详解】解：∵， ∴比较等式两边的系数得，则， 比较等式两边的系数得，则， 比较等式两边的系数得，则， 比较等式两边的常数项得，则， ∴， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·江西抚州·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则________； ②若，则________； (2)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)27或 【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． （1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ② ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 当时，； 当时，； 的值为27或． 15．（22-23七年级下·北京顺义·期末）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i=1时，． (1)①，②，③中和为45的是 ；（填写编号） (2) ； (3) ；（用含n的式子表示） (4)若，则 ， ， ． 【答案】(1)①③ (2)15 (3) (4)4，，20 【分析】（1）根据题干中的运算法则求解即可； （2）根据题干中的运算法则求解即可； （3）根据题干中的运算法则求解即可； （4）根据题干中的运算法则将等式左边展开，然后对应求解即可． 【详解】（1）①， ②， ③， ∴和为45的是①③； 故答案为：①③； （2）； 故答案为：15． （3） ； （4）∵中二次项系数为3 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 故答案为：4，，20． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，多项式的乘法，第三问根据二次项的系数判断出这个多项式有三项是解本题的关键． 16．（22-23八年级上·四川乐山·期末）我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践—面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)已知，，求的值． (3)若、满足如下条件：，，求的值． 【答案】(1) (2)47 (3) 【分析】（1）利用3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积，列式即可； （2）根据（1）式变形求解即可； （3）令，利用（1）中结论求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴ ； （3）解：令：， ∴， ， ， 由（1）知：， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，以及利用多项式乘多项式求值．正确的识图，得到，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式的乘法四大压轴类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、多项式乘积不含某项求字母的值 1 类型二、多项式乘多项式的图形面积问题 3 类型三、多项式乘多项式与规律探究问题 5 类型四、多项式中的新定义问题 7 压轴能力测评（16题） 9 考点1：单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 考点2：单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 考点4：多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 类型一、多项式乘积不含某项求字母的值 【典例1】（四川省内江市2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试题）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【变式1-1】（22-23八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【变式1-2】（24-25八年级上·全国·期中）若的积中不含和项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【变式1-3】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 类型二、多项式乘多项式的图形面积问题 【典例2】（24-25八年级上·重庆·期中）如图1，某商家准备装修商铺，购买了足够多的（边长为的小正方形），（边长为的大正方形），（长为，宽为的长方形）三种类型的瓷砖来铺设操作间、储藏间和大厅． (1)操作间刚好按如图2的方式铺满，请求出操作间的面积（用含的代数式表示）； (2)请通过计算说明：铺满长为，宽为的储藏间和长为，宽为的大厅共需要三类瓷砖各多少块？（瓷砖均用整块，无空隙无重叠）； (3)若一块类瓷砖的周长为32，一块类瓷砖和一块类瓷砖的面积之差为64，求操作间、储藏间和大厅的面积之和． 【变式2-1】（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的三种纸片：边长为a的小正方形（A类），长为、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的正方形（C类）． 用图1中的A类纸片2张，B类纸片3张、C类纸片1张可以拼出图2所示的长方形．根据长方形的面积，可以用来解释整式乘法：，也可以解释因式分解：    (1)如果要拼成一个长为（），宽为的大长方形，则需要B类纸片 张，C类纸片 张； (2)若用4张B类纸片围成图3所示的图形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y，则下列等式中：①；②；③；④；⑤，正确的有 ；（写出所有正确结论的序号） (3)如果取若干张纸片（三种都要取）拼成一个长方形，使其面积为，请在虚框中画出图形，并根据所画图形将多项式分解因式； (4)如果取若干张纸片（三张都要取）刚好拼成一个长方形，其面积为，求m的值． 【变式2-2】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (3)当时，求绿化部分的面积． 【变式2-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：． 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：___________． (2)如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； (3)如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：． 类型三、多项式乘多项式与规律探究问题 【典例3】（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）发现与探索：你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值： ①；②； ③；… （1）由此我们可以得到：______． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （2）； （3）． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 【变式3-2】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： 【知识应用】 (1)补充完整的展开式，______； (2)的展开式中共有______项，所有项的系数和为______； (3)今天是星期五，过了天后是星期几？ 【变式3-3】（23-24七年级下·广东梅州·期末）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； … (1)【归纳】由此可得：________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：； (3)【拓展】请运用上面的方法，求的值． 类型四、多项式中的新定义问题 【典例4】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式，，，（，，，是常数），当他们满足，且是常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式，，，来说 ，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若，，，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当，，，之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 【变式4-1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作、、，定义：；；；；，经研究发现，．如：三角形三条边分别为13、14、15，则，，，，；；；，所以，故三角形的面积． (1)若，则_______．_______． (2)当；；时． ①求的表达式； ②若，求三角形的面积． 【变式4-2】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a＋bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算： （3＋5i）＋（2－3i）＝（3＋2）＋（5－3）i＝5＋2i， （1＋i）×（2－i）＝1×2－1×i＋i×2－＝2－i＋2i＋1＝3＋（－1＋2）i＝3＋i， (1)填空：＝ ，＝ ； (2)计算：（3＋2i）×（1－i）； (3)计算： 【变式4-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． (2)若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 1．（2024·河南驻马店·三模）对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（    ） A．2024 B． C． D．1012 2．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，根据阅读材料，化简：（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西晋城·期中）在学习中，我们接触了很多代数恒等式，知道可以用硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释，则图2可以用来解释（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）若，则m的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 5．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）若则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题： 四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共 张． 10．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如果，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形数阵解释二项式的展开式的各项系数，此三角形数阵称为“杨辉三角”． 第一行             第二行               第三行                第四行                 第五行                  根据此规律，请你写出第行第三个数是 ． 12．（24-25八年级上·广西南宁·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为 ． 13．（2023九年级·广西柳州·专题练习）由等式，定义一种对应，如：表示，对应的是，记作，那么 . 14．（23-24七年级下·江西抚州·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则________； ②若，则________； (2)若，求的值． 15．（22-23七年级下·北京顺义·期末）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i=1时，． (1)①，②，③中和为45的是 ；（填写编号） (2) ； (3) ；（用含n的式子表示） (4)若，则 ， ， ． 16．（22-23八年级上·四川乐山·期末）我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践—面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)已知，，求的值． (3)若、满足如下条件：，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$