专题01 幂运算六大压轴类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（苏科版2024）

专题01 幂运算六大压轴类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、幂运算 2 类型二、幂运算法则运用（比较大小） 2 类型三、幂运算法则逆用（求代数式的值） 3 类型四、幂运算法则逆用（整体带入） 3 类型五、幂的运算法则（混合运算） 3 类型六、幂的运算法则（新定义问题） 4 压轴能力测评（9题） 7 考点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 考点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 考点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 考点4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 类型一、幂的基本运算 【典例1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，则 ．（请用含有，的代数式表示） 类型二、幂的运算法则运用（比较大小） 【典例2】（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各数的大小：，，（用“”连接）． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 【变式23-】（23-24八年级上·吉林长春·期中）比较，，的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 类型三、幂的运算法则逆用（求代数式的值） 【典例3】（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）已知，，，为正整数，求的值； （2）若，则的值． 【变式3-1】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式3-2】（24-25八年级上·四川内江·期中）（1）若，，求的值； （2）若，，求的值． 类型四、幂的运算法则逆用（整体带入） 【典例4】（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）若．则 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）已知，则的值为 ． 【变式4-2】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如果，那么的值为 ． 【变式4-3】（2024七年级上·上海·专题练习）如果，那么 ． 类型五、幂的运算法则（混合运算） 【典例5】（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）计算与化简： (1) ； (2)； (3)． 【变式5-1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【变式5-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式5-3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 类型六、幂的运算法则（新定义问题） 【典例6】（2024·陕西西安·模拟预测）【定义新知】 如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． 【尝试应用】 （1）_______； 【拓展提升】 （2）若均为整数，且，求证：． 【变式6-1】（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）如果，那么我们规定． 例如：因为，所以． （1）【理解】根据上述规定， ①填空： ； ； ； ②若，则 ；若，则 ； （2）【应用】 ①已知，，，若，求y的值； ②若，求t的值． （3）【拓展】若，，令． ①求的值；②求t的值． 【变式6-2】（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 【变式6-3】（23-24七年级下·广西贺州·期末）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 1．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 2．（2024·河南驻马店·三模）对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（    ） A．2024 B． C． D．1012 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算： ． 4．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）已知，，则 5．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）计算： 6．（23-24七年级下·全国·期中）（1）若，求的值； （2）已知，求m的值． 7．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 8．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设 则 得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)求多少；（请写出计算过程） (2)求的和．（请写出计算过程） 9．（23-24七年级下·江西抚州·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则________； ②若，则________； (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂运算六大压轴类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、幂运算 2 类型二、幂运算法则运用（比较大小） 3 类型三、幂运算法则逆用（求代数式的值） 5 类型四、幂运算法则逆用（整体带入） 6 类型五、幂的运算法则（混合运算） 7 类型六、幂的运算法则（新定义问题） 9 压轴能力测评（9题） 14 考点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 考点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 考点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 考点4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 类型一、幂的基本运算 【典例1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握各个运算法则； （1）根据同底数幂相乘、幂的乘方法则可进行求解； （2）根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂相乘可进行求解； （3）根据积的乘方、幂的乘方法则计算，再合并同类项可进行求解； （4）将和看作整体，根据幂的乘方法则可进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-1】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 先化简得，代入数值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及二元一次方程组的解法，直接利用幂的乘方运算性质将原式变形，进而得出关于x，y的等式求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 则． 故答案为：3． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，则 ．（请用含有，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算进行计算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 类型二、幂的运算法则运用（比较大小） 【典例2】（2025七年级下·全国·专题练习）比较下列各数的大小：，，（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，以及幂的大小比较，掌握比较方法是解题的关键；将，，化为同底数幂，再根据底数为，指数越大，幂越大，进行比较，即可解题． 【详解】10．解：，，． 因为， 所以，即． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选：A． 【变式2-2】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂乘法运算，有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：， ∵ ∴， 故选：B． 【变式23-】（23-24八年级上·吉林长春·期中）比较，，的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将这三个数化成相同指数的形式，然后比较底数的大小即可； 【详解】解： 因为 所以 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算；熟练掌握幂的乘方的运算技巧是解题的关键． 类型三、幂的运算法则逆用（求代数式的值） 【典例3】（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）已知，，，为正整数，求的值； （2）若，则的值． 【答案】（1）；（2）27 【分析】本题考查的是同底数幂乘法运算及其逆运算、幂的乘方运算及其逆运算，掌握以上知识是解题的关键． （1）由可得：再把化为：，从而可得答案； （2）根据积的乘方与幂的乘方把化为，再把代入计算，即可求解． 【详解】解：（1）解： ． （2）∵， ∴ 【变式3-1】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方法则变形求解.     （2）利用同底数乘法的逆运算解答． 此题考查了逆用幂的乘方，同底数乘法的逆运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解：， （2）解：∵， ∴． ∴． 【变式3-2】（24-25八年级上·四川内江·期中）（1）若，，求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）36（2） 【分析】本题主要考查了幂的运算．熟练掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，是解题的关键． （1）化简，再将已知代入即可； （2）由已知得，，可得，，求出m、n的值即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型四、幂的运算法则逆用（整体带入） 【典例4】（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）若．则 ． 【答案】125 【分析】本题考查同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．由已知条件可，然后利用同底数幂乘法法则将原式计算后代入数值计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：125． 【变式4-1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）已知，则的值为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，由得，然后根据同底数幂的乘法把变形后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：27． 【变式4-2】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如果，那么的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了幂的乘方运算、同底数幂相乘，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据幂的乘方运算可得，再利用同底数幂相乘的运算法则化简，结合即可解答． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：16． 【变式4-3】（2024七年级上·上海·专题练习）如果，那么 ． 【答案】81 【分析】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可． 【详解】解：， ， 则． 故答案为：81． 类型五、幂的运算法则（混合运算） 【典例5】（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）计算与化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查实数的混合运算及整式的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键 （1）先计算有理数的乘方运算，求算术平方根及立方根，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先计算同底数幂的乘法、积的乘方运算及同底数幂的除法运算，然后计算加减法即可； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式5-1】（24-25八年级上·四川眉山·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行积的乘方运算，然后进行单项式乘以单项式运算即可； （2）首先进行单项式乘以单项式运算、积的乘方运算和同底数幂除法运算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键． （1）先计算积和幂的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则计算即可； （）先根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，幂的乘方运算法则分别计算，最后合并同类项即可； 本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型六、幂的运算法则（新定义问题） 【典例6】（2024·陕西西安·模拟预测）【定义新知】 如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． 【尝试应用】 （1）_______； 【拓展提升】 （2）若均为整数，且，求证：． 【答案】（1）3；（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算： （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义得到，则可证明，再由同底数幂乘法计算法则得到，即可证明． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式6-1】（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）如果，那么我们规定． 例如：因为，所以． （1）【理解】根据上述规定， ①填空： ； ； ； ②若，则 ；若，则 ； （2）【应用】 ①已知，，，若，求y的值； ②若，求t的值． （3）【拓展】若，，令． ①求的值；②求t的值． 【答案】（1）①；；；②5；；（2）①；②；（3）①；②1 【分析】本题主要考查了新定义：积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用 （1）根据新定义求解即可； （2）①由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出；②设，则，，，根据题意得到，则，进而得到，据此可得答案 （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】解：（1）①∵ ∴；；， 故答案为：；；； ②∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5；； （2）①∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （3）①，， ，， ，， ； ② ， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【变式6-2】（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，根据所给的定义可得，于是可求出； （2）令，，根据所给的定义可得，，因而可得，则； （3）由题意可得，解得，再由，即可求解； （4）由题意可得，，则，从而得到． 【详解】（1）解：令， ， ， 故答案为：； （2）解：令，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：； （4）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的乘方与同底数幂的乘法的运算法则，深刻理解题中新定义是解题的关键． 【变式6-3】（23-24七年级下·广西贺州·期末）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 【答案】(1)96 (2)21 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：当时． ． 1．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，同底数幂的运算、实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算． 从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可． 【详解】解：由题意得， 故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， 故选：C． 2．（2024·河南驻马店·三模）对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（    ） A．2024 B． C． D．1012 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义运算和同底数幂的乘法，根据新定义运算法则和同底数幂运算法则进行计算即可 【详解】解：∵，且，，， ⋯ ， ∵， ∴， 故选：C 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，根据积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用进行求解即可，熟练掌握积的乘方的逆用和同底数幂乘法的逆用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）已知，，则 【答案】675 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，由可得出，然后根据同底数幂乘法的逆用代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：675 5．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法．根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则，展开括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 6．（23-24七年级下·全国·期中）（1）若，求的值； （2）已知，求m的值． 【答案】（1）8；（2）3 【分析】本题考查幂的运算． （1）根据幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘法则得到，代入求值即可； （2）根据幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘法则得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 8．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设 则 得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)求多少；（请写出计算过程） (2)求的和．（请写出计算过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等式的性质，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，理解题意，正确模仿小明的方法解决问题是解题的关键． （1）模仿小明的方法列出算式，进而得出一元一次方程，解之，即可得出答案； （2）模仿小明的方法列出算式，进而得出一元一次方程，解之，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 则， 得，， 解得：， ； （2）解：设， 则， 得，， 解得：， ． 9．（23-24七年级下·江西抚州·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则________； ②若，则________； (2)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)27或 【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． （1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ② ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 当时，； 当时，； 的值为27或． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$