专题03 乘法公式六大压轴类型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（苏科版2024）

专题03 乘法公式六大压轴类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、运用平方差公式进行运算 2 类型二、平方差公式与几何图形 4 类型三、完全平方公式的变形求值 6 类型四、求完全平方式中的字母系数 7 类型五、完全平方公式与几何图形 7 类型六、利用完全平方公式求最值 10 压轴能力测评（14题） 12 考点1：平方差公式 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 考点2：完全平方公式 1. 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 2.拓展、补充公式 ；； ；. 类型一、运用平方差公式进行运算 【典例1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢? 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：，，，，，…… 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵①　　　， ∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即 …… 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是　　　； A．2018    B．2022    C．2024    D．2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“……”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　． 【变式1-1】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②（n为正整数）； ③． (2)通过以上计算，请你进行下面的探索： ①_______； ②_______； ③________． 【变式1-2】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律： (1)； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； (2)根据上述规律求的值； (3)根据上述规律：的值为______． 【变式1-3】（24-25八年级上·四川乐山·期中）观察下列各式： ; ； ； … (1)根据以上规律，则 ； (2)你能否由此归纳出一般性规律：= ． (3)根据（2）求出：的结果． 类型二、平方差公式与几何图形 【典例2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A．    B．    C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 【变式2-1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成两数平方差的形式）； (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是； A． B． C． (3)请利用所得等式解决下面的问题： ①已知，，则　　； ②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少．． 【变式2-2】（22-23七年级下·河南平顶山·阶段练习）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述操作能验证的等式是__________； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①①已知，，求的值． ②计算：． 【变式2-3】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)当，时，则 ． (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 类型三、完全平方公式的变形求值 【典例3】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1) (2) 【变式3-1】（24-25八年级上·海南儋州·期中）已知，； (1)求的值； (2)求的值． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知， (1)求的值； (2)求的值． 【变式3-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 类型四、求完全平方式中的字母系数 【典例4】（24-25八年级上·海南海口·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【变式4-1】（24-25八年级上·全国·期末）已知是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 【变式4-3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 类型五、完全平方公式与几何图形 【典例5】（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 【变式5-1】（23-24八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．    (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． (3)若x满足，则的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； (5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【变式5-2】（23-24八年级上·江苏淮安·开学考试）【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　 　； ②若，则　 　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．    【变式5-3】（22-23七年级下·山东青岛·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    类型六、利用完全平方公式求最值 【典例6】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【变式6-1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）代数推理： 例题：求的最小值． 解： 无论取何值，总是非负数， 即所以， 所以：当时，有最小值，最小值为5． 阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：____________； (2)仿照例题的方法求出的最小值； (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为5a和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 【变式6-2】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∵ ∴ ∴代数式的最小值为； （2） ∵ ∴ ∴代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ； (2)已知；，请比较与的大小，并说明理由． 【变式6-2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 2.（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·天津西青·期末）已知，，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习），则代数式（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·重庆万州·期中）若，则的值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 7．（24-25八年级上·北京·期中）小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（24-25八年级上·北京·期中）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 9．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）算式的结果定（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则的值为（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 11．（24-25八年级上·全国·期中）【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若，，则 ． 12．（22-23八年级上·山西朔州·期末）【阅读理解】 “若x满足，求的值” 解：设，，则，，所以 【解决问题】 (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形ABCD的边长为x，，，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．    13．（23-24八年级上·辽宁·期末）【项目学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由；    (3)如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？    14．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读材料：若x满足 求的值． 解：设 则， 请仿照上面的方法解决下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)正方形 和正方形如图放置，分别延长，交和于K，L两点，四边形和都是正方形．若正方形的边长为x， ①，长方形的面积为28，求阴影部分的面积； ②，长方形的面积是20，求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 乘法公式六大压轴类型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、运用平方差公式进行运算 2 类型二、平方差公式与几何图形 7 类型三、完全平方公式的变形求值 11 类型四、求完全平方式中的字母系数 14 类型五、完全平方公式与几何图形 15 类型六、利用完全平方公式求最值 22 压轴能力测评（14题） 27 考点1：平方差公式 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 考点2：完全平方公式 1. 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 2.拓展、补充公式 ；； ；. 类型一、运用平方差公式进行运算 【典例1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢? 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：，，，，，…… 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵①　　　， ∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即 …… 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是　　　； A．2018    B．2022    C．2024    D．2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“……”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　． 【答案】（1）C；（2）①；②4；③1；④3；⑤二；（3）见解析；（4）2701 【分析】（1）除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； （2）根据平方差公式即可求解； （3）根据平方差公式即可求解； （4）综合（1）和（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 【详解】解：（1）A、， B、， C、， D、， 是智慧数的是C． 故答案为：C； （2）一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 故答案为：①；②4；③1；④3；⑤二； （3）如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即． 因为和这两个数的奇偶性相同， 所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数， 而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数， 可见等式左、右两边不相等， 所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． （4）把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又， 第2022个智慧数在（组），并且是第1个数，即． 故答案为：2701． 【点睛】本题考查了同余问题，新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论． 【变式1-1】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②（n为正整数）； ③． (2)通过以上计算，请你进行下面的探索： ①_______； ②_______； ③________． 【答案】(1)①；②；③； (2)①；②；③． 【分析】（1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②缺少(项，从而可以凑配易得 ，同理即可解答；③中，按降亘进行排列，然后套用规律进行解答； （2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案． 【详解】（1）①； ②； ③； （2）①； ②； ③． 故答案为∶①；②；③． 【点睛】本题考查平方差公式，正确理解平方差公式及展开形式是解决本题关键． 【变式1-2】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律： (1)； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； (2)根据上述规律求的值； (3)根据上述规律：的值为______． 【答案】(1)（1）①，②，③，④，⑤， (2) (3)342 【分析】本题考查了平方差公式以及拓展应用，多项式乘以多项式规律等知识，熟练掌握平方差公式并根据题目中呈现的式子发现其中规律并灵活应用是解题关键． （1）根据结果的规律得出答案； （2）将写成，通过（1）规律即可求解； （3）由得当，，，将变形为，即可得到再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）由上式的规律可得，， ①故答案为：； 由题干中提供的等式的规律可得， ②； 故答案为：； ③， 故答案为：； ④ 故答案为：； ⑤， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴取，，， ． 【变式1-3】（24-25八年级上·四川乐山·期中）观察下列各式： ; ； ； … (1)根据以上规律，则 ； (2)你能否由此归纳出一般性规律：= ． (3)根据（2）求出：的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 类型二、平方差公式与几何图形 【典例2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A．    B．    C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 【答案】(1)； (2)B (3)； 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，数字的变化类，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，发现数字作呈现的规律是得出正确答案的关键． （1）根据图2的长为，宽为，可表示出面积；图3阴影部分的面积是两个正方形的面积差，用代数式表示即可； （2）由图2、图3面积相等可得答案； （3）将原式配上因式，连续利用平方差公式得出结果为，再根据底数为的整数幂的个位数字所呈现的规律得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，图2中的阴影部分的面积可表示为：， 图3中阴影部分的面积可表示为：； （2）解：由图2、图3面积相等得，， 故选： B； （3）解：原式， ， ， ， ∵ ， ， ∴的个位数字为． 【变式2-1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成两数平方差的形式）； (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是； A． B． C． (3)请利用所得等式解决下面的问题： ①已知，，则　　； ②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少．． 【答案】(1)， (2)B (3)①3，②，6 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，数字的变化类，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，发现数字所呈现的规律是得出正确答案的关键． （1）根据图2的长为，宽为，可表示出面积，图3阴影部分的面积是两个正方形的面积差，用代数式表示即可； （2）由图2、图3面积相等可得答案； （3）①根据平方差公式进行计算即可； ②将原式配上因式，连续利用平方差公式得出结果为，再根据底数为2的整数幂的个位数字所呈现的规律得出答案． 【详解】（1）解：图2的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 图3中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 故答案为：，； （2）由图2、图3面积相等得，， 故选：B； （3）①，即，而， ， 故答案为：3； ②原式 ， 而，，，，，，，， 所以的个位数字为6． 【变式2-2】（22-23七年级下·河南平顶山·阶段练习）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述操作能验证的等式是__________； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)C (2)①② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （2）①利用（1）中结论，整体代入法，求出，联立两个二元一次方程，求出的值即可；②利用（1）中结论，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图形可知，阴影部分的面积； 故选C． （2）解：①∵，， ∴， ，得：，解得：； ② ． 【变式2-3】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)当，时，则 ． (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】(1)D (2)2 (3)①1；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）利用平方差公式求解即可； （3）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算； ②将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选：D； （2）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：2； （3）解：① ； ② . 类型三、完全平方公式的变形求值 【典例3】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形公式的运用，掌握公式形式是解题关键． （1）根据，整体代入，即可求解； （2）根据，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴原式； （2）解：∵，， ∴， ∴， ． 【变式3-1】（24-25八年级上·海南儋州·期中）已知，； (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式得到，代入，求解即可； （2）利用完全平方公式得到，代入，求解即可． 【详解】（1）解：当，时                                                                        （2） 【变式3-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)18 (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式变形运用，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由可变形为，利用完全平方公式即可求解； （2）先相乘后整理得，再整体代入即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴． 【变式3-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2)21 (3)126 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式得出，，根据得出结果即可； （2）根据，，求出，得出，最后代入求值即可； （3）根据，，变形求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：． 类型四、求完全平方式中的字母系数 【典例4】（24-25八年级上·海南海口·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级上·全国·期末）已知是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，由平方项确定出这两个数是解题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选D． 【变式4-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，先得出完全平方式为，再将其展开，则有，计算出k的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于、的完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 【变式4-3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 这里首末两项是和的平方，那么中间项为加上或减去和的乘积的倍，据此求解即可． 【详解】解： 是完全平方式， ， ， 故选：C． 类型五、完全平方公式与几何图形 【典例5】（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形. （）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张； （）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________； （）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）利用多项式乘多项式的法则运算，观察各项的系数即可求解； （）利用图大正方形的面积等于部分面积之和解答即可求解； （）把，代入（）中的关系式，求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴需要种纸片张，种纸片张，种纸片张，三种纸片共张， 故答案为：； （）∵图大正方形的面积等于部分面积之和， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵，，， ∴， ∴， ∴， 即直角三角形的面积为． 【变式5-1】（23-24八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．    (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． (3)若x满足，则的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； (5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面积，即可得到等式； （2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果； （3）根据（2）中的方法可得到结果； （4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，计算其和即可； （5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即； 方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即， 两种方法可得出：； （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：设，， ∵x满足， ∴， ∵， ∴， ∴的值为； （4）解：， A纸片的面积为，B纸片面积为，C纸片面积为， 根据可知要拼出一个面积为的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片， 则； （5）解：由图知，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， 设，， 则，， 由，得， ∴， ∴， 即， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的变形适用，熟练掌握完全平方公式以及能够用换元法解题是解题的关键． 【变式5-2】（23-24八年级上·江苏淮安·开学考试）【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　 　； ②若，则　 　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．    【答案】（1）；（2）①7；②3；（3）30． 【分析】（1）根据完全平方公式的变形可得答案； （2）①设，，则，，由进行计算即可； ②设，，则，，由进行计算即可； （3）设，，由题意可得，，，由求出的值即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∵， ， 答：； （2）①设，，则，， ， 故答案为：7； ②设，，则，， ， 故答案为：3； （3）设，， ，， ，， 即，， ， 即， ， 答：一块直角三角板的面积为30． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键． 【变式5-3】（22-23七年级下·山东青岛·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    【答案】（1）2560；（2）31；（3）1026；（4）3636 【分析】（1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （4）根据已知可得，，从而可得，再根据题意得：，，从而可得，进而可得，然后利用（3）的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， 则，， ， 的值为2560； （2）∵， ， ， 设，， 则，， ， 的值为； （3）设，， 则，， ， ， 的值为； （4）∵，，，， ，， 长方形的面积是， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 设，， 则，， 正方形的面积 ， 正方形的面积为3636． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． 类型六、利用完全平方公式求最值 【典例6】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 【变式6-1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）代数推理： 例题：求的最小值． 解： 无论取何值，总是非负数， 即所以， 所以：当时，有最小值，最小值为5． 阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：____________； (2)仿照例题的方法求出的最小值； (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为5a和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)36，6 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）根据完全平方公式的结构特征，即可获得答案； （2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可； （3）首先根据题意得，，进而计算并整理，然后根据完全平方公式的非负性可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：由完全平方公式可得， 故答案为：36，6； （2） 无论取何值，总是非负数， 即， ∴， ∴的最小值为； （3）由题意得，， ∴ ， 无论取何值，总是非负数，即 ， ∴ ∴的最小值为11， ∴， ∴． 【变式6-2】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∵ ∴ ∴代数式的最小值为； （2） ∵ ∴ ∴代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ； (2)已知；，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、偶次方的性质等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，又对于任意的都有，故．，进而可以判断得解； （2）依据题意，作差，又对于任意的都有，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：； （2）解：，理由如下： ， 又对于任意的都有， ． ． 【变式6-2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1) (2) (3)平方米 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负性，列代数式等知识点，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． （1）仿照阅读材料，利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，含、的项分别结合，根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，于是菜地的面积为，再利用配方法把原式进行变形，根据阅读材料解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为； 故答案为：； （2）解： ， 当且时，有最小值，的最小值为； （3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 菜地的面积为： ， 当时，有最大值，最大值为， 围成的菜地的最大面积为平方米． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 【答案】D 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 整理得， 解得的值是5或， 故选：D． 2.（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法公式与几何图形面积，理解图形面积的计算，掌握乘法公式的变形计算是解题的关键．根据题意，分别表示出图1，图2的面积，根据面积相等即可求解； 【详解】解：图1中的阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， ∵图1，图2中边长相等， ∴阴影部分的面积相等， ∴， 故选：B ． 3．（24-25八年级上·天津西青·期末）已知，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形求解和整体代入法求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键； 把已知条件两边平方，根据完全平方公式展开，然后代入数据计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ； 故选：A 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习），则代数式（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，由得，把当作一个整体，利用完全平方公式即可得解． 【详解】解： ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据图1可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图2可得剩余部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此即可得． 【详解】解：由图1可知，剩余部分的面积为， 由图2可知，拼成的矩形的长为，宽为，则剩余部分的面积为， 所以能验证的等式是， 故选：B． 6．（24-25八年级上·重庆万州·期中）若，则的值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式变形求值．把和整体代入 即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：B 7．（24-25八年级上·北京·期中）小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】设，，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，根据完全平方公式得出 ，求解即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为26可得， ，， 即，， 由①得，， ③-②得 ， 所以， 即长方形的面积为6， 故选：A． 8．（24-25八年级上·北京·期中）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查整式混合运算的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键．根据大三角形的面积减小三角形的面积等于阴影部分面积，可列出算式，再结合完全平方公式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：阴影部分面积为 ． 故选A． 9．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）算式的结果定（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．先配一个，则可利用平方差公式计算出原式，然后利用底数为2的正整数次幂的个位数的规律求解． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则的值为（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】D 【分析】每个圆圈上的四个数字的和都等于21，则三个大圆圈上的数字之和为63，可得，由于，进而得，再结合即可解决问题．本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，乘法公式，掌握有理数的乘方和加法运算法则，以及整式运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于21， 三个大圆圈上的数字之和为：， 各小圆圈的数字之和为：， 为什么，这是因为、、都加了两次， ， ， ， ， 而各圆圈的数字的平方和为， 为什么呢？ 这是因为三角形各顶点处三个圆圈内的数字的平方都加了两次， ， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得， ， ． 故选：D． 11．（24-25八年级上·全国·期中）【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若，，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得 ，由 求出，即可求解；掌握、、之间的关系，能表示出面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ，， ， ， ， ； 故答案：． 12．（22-23八年级上·山西朔州·期末）【阅读理解】 “若x满足，求的值” 解：设，，则，，所以 【解决问题】 (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形ABCD的边长为x，，，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．    【答案】(1)109 (2) (3)阴影部分的面积为964 【分析】（1）仿照举例进行解答即可； （2）设，，则，，，最后根据即可解答； （3）正方形ABCD的边长为x，，结合题意可得，设，，从而得到的值，再根据举例求出，最后求出即可解答． 【详解】（1）解：设，，则，， ∴； （2）解：设，，则，，，， ∴． （3）解：∵正方形ABCD的边长为x，，， ∴，， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查了完全平分公式的应用、阅读理解能力等知识点，熟记完全平分公式并灵活转化是解决本题的关键． 13．（23-24八年级上·辽宁·期末）【项目学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由；    (3)如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？    【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，；当时，，理由见解析 (3)当时，长方形场地的面积最大，最大值为243 【分析】本题考查了完全平方公式的应用； （1）先配方，再根据求解即可； （2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）由题意得：，， ∴， ∵， ∴当时，，即， ∴； 当时，，即， ∴； 综上所述，当时，；当时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为243． 14．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读材料：若x满足 求的值． 解：设 则， 请仿照上面的方法解决下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)正方形 和正方形如图放置，分别延长，交和于K，L两点，四边形和都是正方形．若正方形的边长为x， ①，长方形的面积为28，求阴影部分的面积； ②，长方形的面积是20，求阴影部分的面积． 【答案】(1)14 (2)①65，②49 【分析】本题考查有关完全平方公式的运算、全平方公式在图形面积中的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设，，可得，易得，再根据进行解答即可； （2）①根据题意得到、，根据面积及即可解答；②根据题意得到，，再结合面积列式以及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ， ． （2）解：①∵正方形的边长为x， ∴，， ， 令，， ，， ． ②由题意知：，， 令，， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$