数学（四川成都卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

( …… ………… ○…… ………… 外…… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… ) ( …… ………… ○…… ………… 内…… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( …… ………… ○…… ………… 内 …… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… …… ………… ○…… ………… 外…… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025年中考第一次模拟考试（成都卷） 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（    ）． A．2025 B． C． D． 2．如图，这是由四个小正方体叠成的一个立体图形，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．某校组织开展“篮球杯”赛事活动，其中参赛的六个班得分分别为“55，64，51，50，■，55”，整理时不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 6．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 7．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，，，作如下作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点； 根据以上作图，判断下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知，为实数，且，则的值是______． 10．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为．则这个布袋中红球的个数为_______． 11．已知的两直角边长为a、b，且满足，则该三角形的斜边长为______． 12．如图，将△ABC绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为_______． 13．如图，四边形为矩形，，点为边上一点（点不与点重合），连接，过点作与边交于点．则的最小值是________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．(1)计算：． (2)若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 15．近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次一共调查了位同学，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数； (3)为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率． 16．小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 17．如图，△ABC内接于⊙O，点为的中点，连接、，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，把边长为1的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的面积为__________． 20．若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为_______． 21．若一个四位数的千位和十位数字顺次组成的两位数与百位和个位数字顺次组成的两位数之和为，则称这个四位数为“义务数”．若一个四位数（其中，，，，且均为整数）为“义务数”，则_______，在此条件下，若能被整除，则满足条件的的值为_______． 22．如图，在长方形中，内接三个大小相同的正方形，点，，，分别在边，，，上，若，，则每个小正方形的面积为_______． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标； (3)如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．在△ABC中，，，点为上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； (3)如图3，与交于点，且平分，点是线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 试题第7页（共8页）试题第8页（共8页） 试题第1页（共8页）试题第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（成都卷） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（    ）． A．2025 B． C． D． 2．如图，这是由四个小正方体叠成的一个立体图形，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．某校组织开展“篮球杯”赛事活动，其中参赛的六个班得分分别为“55，64，51，50，■，55”，整理时不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 6．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 7．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，，，作如下作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点； 根据以上作图，判断下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知，为实数，且，则的值是______． 10．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为．则这个布袋中红球的个数为_______． 11．已知的两直角边长为a、b，且满足，则该三角形的斜边长为______． 12．如图，将△ABC绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为_______． 13．如图，四边形为矩形，，点为边上一点（点不与点重合），连接，过点作与边交于点．则的最小值是________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．(1)计算：． (2)若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 15．近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次一共调查了位同学，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数； (3)为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率． 16．小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 17．如图，△ABC内接于⊙O，点为的中点，连接、，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，把边长为1的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的面积为__________． 20．若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为_______． 21．若一个四位数的千位和十位数字顺次组成的两位数与百位和个位数字顺次组成的两位数之和为，则称这个四位数为“义务数”．若一个四位数（其中，，，，且均为整数）为“义务数”，则_______，在此条件下，若能被整除，则满足条件的的值为_______． 22．如图，在长方形中，内接三个大小相同的正方形，点，，，分别在边，，，上，若，，则每个小正方形的面积为_______． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标； (3)如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．在△ABC中，，，点为上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； (3)如图3，与交于点，且平分，点是线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（成都卷） 数学·参考答案 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C B B C B D 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9． 10．3 11． 12． 13． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．【详解】(1) ． （2）不等式可化为， ∴．； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴．． 15．【详解】（1）解：本次一共调查了（位）同学， ∴选择“节能减排”的人数为（人）， ∴选择“植树造林”的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：200． （2）解：“垃圾分类”对应的圆心角度数为． （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种， ∴水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率为． 16．【详解】（1）解：如图所示：    为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 窗台米， 作于E，则， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴两栋住宅楼的楼间距至少为78.6米； （2）解：如图所示：、为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 由题意得：米，米， 如图，作于H，于N，    则， ∴四边形、是矩形， ∴米，，米，， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， ∵楼一层每平方米4万8，每增加一层单价增高0.2万元， ∴在B栋购买所花的费用为（万元）， ∵楼一层每平方米5万，每增加一层单价也增高0.2万元， ∴在C栋购买所花的费用为（万元）， ∵， ∴买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元． 17．【详解】（1）证明：如图，连接， 点为的中点，为圆心， ， ， ， 为⊙O的半径， 是⊙O的切线； （2）证明：点为的中点， ， ， 平分， ， 是△ABE的外角， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ∠ACB=∠ADB， ， ， ， 点为的中点， ， ， 由（2）知， ， ， ， ． 18．【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， ∴， ∵，解得或， ∵A在第三象限，∴，． （2）解：把，分别代入， 得，解得， 直线的解析式为， 故关于x的不等式的解集是：或． （3）解：存在。分类讨论： ①为矩形对角线时，如图 ∵，，， 设，则， ， ， 时，为矩形的边，此时为矩形， ， 代入解得或 P点坐标为， 设Q点坐标为， ，解得 得到Q点坐标． P点坐标为，Q点坐标 ②为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∵，，， 设，， 当为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∴， 则Q点坐标：， 此时为矩形，得， 代入得到， 解得，，， 则P点坐标为，Q点坐标． 【点睛】本题是一次函数与反比例涵函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，已知两点求距离，熟练掌握这些知识点是解题的关键，注意分类讨论． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19． 20．2030 21． 22． 23．②④ 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．【详解】（1）解：依题意得：，解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：，解得：， 取整数，． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 25．【详解】（1）解：代入和，得，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：令，则， ， ， ， ， 又， ， 设直线的解析式为， 代入和，得，解得：， 直线的解析式为； 作交于点，轴交轴于点，交于点， 轴， 轴， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由题意得，， ， 设点P的坐标为，则点N的坐标为， ， 解得：， ， 点P的坐标为． （3）解：存在，理由如下： 令，则， 解得：，， ， 如图，将绕点顺时针方向旋转至，则，， ， 由（2）中的结论得，， ， ， 直线上存在符合题意的点， 设直线的解析式为， 代入和得，，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：或， ； 如图，连接、，过点作交于点， ，， 轴， ，， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ，， 又， ， ， ， ， 直线上也存在符合题意的点， 又点在抛物线上， 点与点重合，即； 综上所述，点P的坐标为或． 26．【详解】（1）解：，， ， ，， ， 点为中点， ， ， 将绕着点逆时针方向旋转得到， ，， ； （2）证明：如图1，过点作交于点， ，， ，， ， ，， ，， ， 将绕着点逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， ； （3）如图2，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， 当点，点，点三点共线，且时，有最小值， 如图3， ，， ， 将沿直线翻折至所在平面内得到， ，， ， ， ， ， ， ， 又， 点，点，点三点共线， 将沿直线翻折至所在平面内得到， ， ， ，， ， ， ， ， ． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考第一次模拟考试（成都卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1 ． 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ． 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 4 分，共 4 0 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 5 分，共 2 0 分） 9 ． ____________ 1 0 ． ____________ 1 1 ． ______________ 1 2 ． _____________ _ 1 3 ． ______________ 三、解答题（共 48 分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 1 4 ．（ 12 分） )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ！ ) ( 1 5 ．（ 8 分） 1 6 ．（ 8 分） 1 7 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ！ ) ( 1 8 ．（ 10 分） B 卷 一 、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 19 ． ____________ 20 ． ____________ 2 1 ． ______________ 2 2 ． _____________ _ 23 ． ______________ 24 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ！ ) ( 2 5 ．（ 1 0 分） 26 ．（ 1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第一次模拟考试（成都卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 9．____________ 10．____________ 11．______________ 12．______________ 13．______________ 三、解答题（共 48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（12 分） 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 15．（8 分） 16．（8 分） 17．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10 分） B 卷 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 19．____________ 20．____________ 21．______________ 22．______________ 23．______________ 24．（8 分） 25．（10 分） 26．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考第一次模拟考试（成都卷） 数学·全解全析 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（    ）． A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和为解题即可． 【详解】解：的相反数是，故选：C． 2．如图，这是由四个小正方体叠成的一个立体图形，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三视图，掌握简单组合体的三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形是解题的关键． 根据三视图的基本知识，分析给出的几何体，得到从物体上面看得到的图形，即可解答题目． 【详解】解：俯视图即从上面看，有两列小正方形，从左往右小正方形个数为2，1，且右边的1个小正方形在上方． 故俯视图是，故选：C． 3．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方可进行求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算正确，故符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选C． 4．如图，点A坐标为，点C坐标为，将线段绕点C逆时针旋转至，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E,D，证明△ACE≌△CDB(AAS)，得出，求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E,D， 则． ∵点坐标为，点坐标为， ， 根据旋转可知：， ， ， ∴△ACE≌△CDB(AAS)， ， ， ，故选：B． 5．某校组织开展“篮球杯”赛事活动，其中参赛的六个班得分分别为“55，64，51，50，■，55”，整理时不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差．关键是运用平均数，众数，中位数，方差的定义，比较各量是否变化．根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只改变一个数据，各统计量的是否变化． 【详解】解：∵一组数据“55，64，51，50，■，55”，该数据■在之间， ∴四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项A错误． 这组数据从小到大进行排序后，排在第3，4位的都是55，则中位数是55，不变，选项B正确． 众数与数据■有关，选项C错误． 因为平均数改变，所以方差也发生改变，选项D错误． 故选：B． 6．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； B．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； C．添加，可判断平行四边形为矩形，符合题意； D．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意． 故选：C． 7．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据马四匹、牛六头，共价四十八两，马二匹、牛五头，共价三十八两，列出方程组即可． 【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，由题意，得： ；故选B． 8．如图，在△ABC中，，，作如下作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点； 根据以上作图，判断下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，再利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后证明，可得，进而得到，利用等量代换得到，可得点D是的黄金分割点，最后根据黄金分割的定义可得，即可解答． 【详解】解：,， ， ， 故①正确， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确， ，， ， ， ， ， 故③正确， ， ，即点D是的黄金分割点， ， 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，尺规作图，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知，为实数，且，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组即可求出a的值，进而得出b的值，然后将、的值代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意可得：且，解得：， ， ，故答案为：． 10．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为．则这个布袋中红球的个数为_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了概率公式， 设红球的个数为x，再根据概率公式得，然后求出解即可． 【详解】解：设红球的个数为x，根据题意，得 ，解得． 经检验：是方程的解； 所以这个布袋中红球的个数为3．故答案为：3． 11．已知的两直角边长为a、b，且满足，则该三角形的斜边长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及因式分解法求一元二次方程的解．利用因式分解法求出方程的解得到的值，即为的值，根据勾股定理即可求出斜边长． 【详解】， ， 或 （舍去）， ， 在中， ， ， （负值舍去）， 该三角形的斜边长为．故答案为：． 12．如图，将△ABC绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解． 【详解】解：∵是△ABC绕点旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段扫过的图形面积为， 故答案为：． 13．如图，四边形为矩形，，点为边上一点（点不与点重合），连接，过点作与边交于点．则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，二次函数的性质，由矩形的性质推得，利用有两个角相等的三角形相似，可证得△ACM∽△BMN，由相似三角形的性质得出，设，，根据，得出y关于x的二次函数， 利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴△ACM∽△BMN， ∴， 设，， ∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ∴当时，y取得最小值，即最小，此时， 故答案为： 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．(1)计算：． 【答案】11 【分析】本题考查特殊三角函数及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 先计算乘方、零次幂、负整数指数幂及绝对值再合并即可． 【详解】解： ． (2)若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴．； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴．． 15．近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次一共调查了位同学，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数； (3)为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)200，图见解析；(2)；(3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用选择“水资源保护”的人数除以扇形统计图中“水资源保护”的百分比可得本次调查的学生人数；分别求出选择“节能减排”和“植树造林”的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以“垃圾分类”的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次一共调查了（位）同学， ∴选择“节能减排”的人数为（人）， ∴选择“植树造林”的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：200． （2）解：“垃圾分类”对应的圆心角度数为． （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种， ∴水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率为． 16．小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 【答案】(1)78.6米；(2)买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质． （1）由题意得出为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即，楼高米，窗台米，作于E，证明四边形是矩形，得出，米，求出米，在中，解直角三角形即可得解； （2）根据题意，分别算出在B、C两栋购买房子所花的费用，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：    为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 窗台米， 作于E，则， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴两栋住宅楼的楼间距至少为78.6米； （2）解：如图所示：、为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 由题意得：米，米， 如图，作于H，于N，    则， ∴四边形、是矩形， ∴米，，米，， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， ∵楼一层每平方米4万8，每增加一层单价增高0.2万元， ∴在B栋购买所花的费用为（万元）， ∵楼一层每平方米5万，每增加一层单价也增高0.2万元， ∴在C栋购买所花的费用为（万元）， ∵， ∴买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元． 17．如图，△ABC内接于⊙O，点为的中点，连接、，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】（1）连接，根据垂径定理的推论即可得出，由得出，即可得证； （2）由等弧所对的圆周角相等得出，由角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质及角的和差关系可证得，于是得出； （3）连接，先证，，即可得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 点为的中点，为圆心， ， ， ， 为⊙O的半径， 是⊙O的切线； （2）证明：点为的中点， ， ， 平分， ， 是△ABE的外角， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ∠ACB=∠ADB，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 由（2）知， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识． 18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点， (1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标； (2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围； (3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)，或；(3)P点坐标为，Q点坐标 或P点坐标为，Q点坐标． 【分析】（1）根据反比例函数过第一象限的点，确定反比例函数的解析式，联立反比例函数的解析式与构成的方程组，计算即可． (2)把，分别代入，解方程组，求得交点的横坐标，即可写出解集即可． （3）分，为对角线两种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， ∴， ∵，解得或， ∵A在第三象限，∴，． （2）解：把，分别代入， 得，解得， 直线的解析式为， 故关于x的不等式的解集是：或． （3）解：存在。分类讨论： ①为矩形对角线时，如图 ∵，，， 设，则， ， ， 时，为矩形的边，此时为矩形， ， 代入解得或 P点坐标为， 设Q点坐标为， ，解得 得到Q点坐标． P点坐标为，Q点坐标 ②为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∵，，， 设，， 当为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标， ∴， 则Q点坐标：， 此时为矩形，得， 代入得到， 解得，，， 则P点坐标为，Q点坐标． 【点睛】本题是一次函数与反比例涵函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，已知两点求距离，熟练掌握这些知识点是解题的关键，注意分类讨论． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，把边长为1的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 由边长为1的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，利用勾股定理的知识求出 的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，，从而可求四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵旋转角， ∴， ∴在对角线上， ∵， 在中，， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是． 故答案为：． 20．若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为_______． 【答案】2030 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，是两个不相等的实数，且满足，，可以得到、的值和，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，， ∴，可以看作方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：2030． 21．若一个四位数的千位和十位数字顺次组成的两位数与百位和个位数字顺次组成的两位数之和为，则称这个四位数为“义务数”．若一个四位数（其中，，，，且均为整数）为“义务数”，则_______，在此条件下，若能被整除，则满足条件的的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查实数的新定义运算，正确理解新定义是解题的关键．利用“义务数”的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解；再利用整数整除的性质，合理变形分析讨论，最后得出满足条件的的值，即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵均为整数， ∴为整数， ∴是的倍数， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵， ∴， 当时，，此时； ∴，； ∵， ∴不符合题意； 当时，，此时； ∴，； ∵， ∴不符合题意； 当时，，此时； ∴，； ∵， ∴不符合题意； 当时，，此时； ∴，； ∴， 当时，，此时； ∴，； ∵，， ∴不符合题意； 当时，，此时； ∴，； ∵，， ∴不符合题意； 当时，，此时； ∴，； ∵，， ∴不符合题意； 当时，，此时； ∴，； ∵，， ∴不符合题意； 综上所述， 故答案为：①；②． 22．如图，在长方形中，内接三个大小相同的正方形，点，，，分别在边，，，上，若，，则每个小正方形的面积为_______． 【答案】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得，证明，根据相似三角形的性质得，可得，，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：在长方形中，内接三个大小相同的正方形， ，， 四边形是长方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 每个小正方形的面积为，故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识点，证明是解答本题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，对称轴，数形结合法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． ①根据题中二次函数的图像判断开口方向，，以及抛物线与轴的交点，可判断的符号，进而可判断； ②由二次函数的图象知：当时，，；当时，，两式相加，化简可得 ③一元二次方程的判别式，结合的关系与符号，进而可判断； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理），则， ，结合的关系与符号，进而可判断． 【详解】通过读图： ①因为，所以抛物线开口向上， 对称轴，由于，即对称轴， 可得， 抛物线与轴交于负半轴，所以， 综上，，结论①错误； ②： 二次函数的图象与轴交于由图可知， 又， ， 由二次函数的图象可知： 当时，  ， 当时，， 两式相加，化简可得，结论②正确； ③一元二次方程的判别式， 因为，所以， 由，可得，所以，方程有两个不相等的实根， 结论③错误； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理）， 则， ， ， ， ， ， ， （在对称轴右侧）， ， 又， ，即，结论④正确． 综上，正确结论的序号是：②④． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：，解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：，解得：， 取整数，． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标； (3)如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）代入和，直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，得到的解析式，作交于点，轴交轴于点，交于点，通过证明是等腰直角三角形，得出，再设点P的坐标为，表示出的长度，解方程求出的值即可解答； （3）将绕点顺时针方向旋转至，可得，，则，进而得到的解析式，结合图形和题意可知直线上存在符合题意的点，联立抛物线和直线的解析式得到一个点的坐标；连接、，过点作交于点，通过证明得到，结合图形和题意可知直线上也存在符合题意的点，再根据点在抛物线上可知点与点重合，得到另一个点的坐标，即可得出结论． 【详解】（1）解：代入和，得，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：令，则， ， ， ， ， 又， ， 设直线的解析式为， 代入和，得，解得：， 直线的解析式为； 作交于点，轴交轴于点，交于点， 轴， 轴， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由题意得，， ， 设点P的坐标为，则点N的坐标为， ， 解得：， ， 点P的坐标为． （3）解：存在，理由如下： 令，则， 解得：，， ， 如图，将绕点顺时针方向旋转至，则，， ， 由（2）中的结论得，， ， ， 直线上存在符合题意的点， 设直线的解析式为， 代入和得，，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：或， ； 如图，连接、，过点作交于点， ，， 轴， ，， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ，， 又， ， ， ， ， 直线上也存在符合题意的点， 又点在抛物线上， 点与点重合，即； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，学会利用数形结合思想和正确添加辅助线求解是解题的关键． 26．在△ABC中，，，点为上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； (3)如图3，与交于点，且平分，点是线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】(1)；(2)见解析；(3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可得，可得，可得结论； （3）先证明当点，点，点三点共线，且时，有最小值，再证明点，点，点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， 点为中点， ， ， 将绕着点逆时针方向旋转得到， ，， ； （2）证明：如图1，过点作交于点， ，， ，， ， ，， ，， ， 将绕着点逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， ； （3）如图2，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， 当点，点，点三点共线，且时，有最小值， 如图3， ，， ， 将沿直线翻折至所在平面内得到， ，， ， ， ， ， ， ， 又， 点，点，点三点共线， 将沿直线翻折至所在平面内得到， ， ， ，， ， ， ， ， ． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$