数学（江苏卷01）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（江苏）01·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为或， 所以或，所以， 又，且，所以， 所以实数的取值范围为，故选：D. 2．已知复数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，可得，解得或0， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】由可得， 平方可得， 所以，解得. 故选：D 4．星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为，其中EP是激光器输出的单脉冲能量，Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T满足（单位：dB）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，则此时Γ大小约为（    ）（参考数据：1g2≈0.301） A．－76.02 B．－83.98 C．－93.01 D．－96.02 【答案】B 【解析】因为，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2， 所以， 则， 故选：B． 5．函数在的图像大致为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B． 6．已知角满足，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为， ， 所以， 即，则， 因为，所以， 其中， 故，解得. 故选：B. 7．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设为圆锥高，为圆锥母线长    以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则， 在中，，可得， 且，则，解得， 所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 8．已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】若关于对称，则的图象关于轴对称， 所以，两边求导得， 因为是偶函数，所以，令，就有， 即有， 所以， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知,随机变量的分布列为: 则(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为,所以错， 因为,所以对， 因为 ， 所以,所以,所以对， 举特例来说明错,取， 则， ， ， ,所以错. 故选:BC 10．如图是函数的部分图像，则（    ） A．的最小正周期为 B．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 C．是函数的一条对称轴 D．若函数在上有且仅有两个零点，则 【答案】AD 【解析】由图像可知， ，即，故A正确    此时 又 在图像上， ，解得 将 的图像向右平移个单位后得到的图像对应的解析式为 不为奇函数，故B错误 ， 当是函数的一条对称轴时，此时 不符合题意，故C错误 令 ，解得 当 时， ，不合题意 时， ； 时， ； 时， 又因为函数在上有且仅有两个零点 ，解得 ，故D正确 故选：AD 11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.若抛物线在点，处的切线的斜率分别为，，且抛物线的准线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．若，则 C．若，则直线的方程为 D．直线的倾斜角的最小值为 【答案】ABD 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，， 显然直线的斜率存在，设其方程为，， 由消去得，显然，， 对于A，， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由选项A知，，而，因此，B正确； 对于C，由，求导得，则， 由，得，则，解得，直线的方程为，C错误； 对于D，直线的斜率，，当且仅当时取等号， 则或，因此直线的倾斜角， 直线的倾斜角的最小值为，D正确. 故选：ABD    第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某工厂月产品的总成本（单位：万元）与月产量（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知与线性相关．如果回归方程是，那么表格中数据的值为 ． /万件 1 2 3 4 /万元 3.8 5.6 8.2 【答案】6.4 【解析】由题意及表知， ，， ∵回归方程是，∴，∴． 13．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为 ． 【答案】 【解析】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件， 则，，， 所以，， 若规定三名同学都回答这个问题， 则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率， 若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，， 则这个问题回答正确的概率． 14．已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】（1）当，即时， 恒成立， 所以， 因为有两个零点， 所以且，解得或（舍）， 所以或； （2）当，即或， 设的两个根为，且， 当时，恒成立，不满足题意， 当，有有两个解， 因为，，所以与在必有一个交点， 当时，与没有交点， 当时，，所以与在必有一个交点 所以要使方程有且只有两个零点， 则无解， 即没有实数根， 即，解得， 因为，所以， 综上实数的取值范围为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A； (2)若，求△ABC的面积的最大值． 【解】（1）因为， 所以， 由正弦定理：，得， 故，因为，故． （2）由（1）可知，又，则， 由基本不等式可知，解得， 所以，当且仅当时取等号． 所以△ABC的面积最大值为． 16．（本小题满分15分）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解】（1）连接，由点为的中点，为半个圆柱上底面的直径知， 由，，知，， 则，又四点共面，所以， 由为直三棱柱的侧面知，即，则， 由为的中点得， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，，则平面， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）（法一）以为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 则， 由平面平面知直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设平面的法向量为， 由，取，得， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 又，则时，的最大值为． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． （法二）在直三棱柱中，底面， 因为底面，所以， 由（1）知，，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作交于， 因为平面平面，所以平面， 又平面平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为∽，且正方形的边长为2， 所以，则， 又，要使值最大， 则最小，在中， 过作交于，由等面积可求出，此时． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 17．（本小题满分15分）已知． (1)若在恒成立，求a的范围； (2)若有两个极值点s，t，求的取值范围． 【解】（1）由函数，因为在上恒成立， 即在恒成立， 令，可得， 令，可得， 所以在单调递减，所以， 所以恒成立，所以在单调递减，所以， 所以，所以实数的取值范围为. （2）解：因为有两个极值点， 可得是的两不等正根， 即是的两不等正根，则满足，解得， 则 ， 所以的取值范围为． 18．（本小题满分17分）已知，，为椭圆上三个不同的点，满足，其中.记中点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，交于，两点，求证：. 【解】（1）设，， 则，， 将代入， 得 将代入， 得， 即， 又因为且 所以， 所以， 所以的方程为. 即的方程为. （2）   设中点为，中点为. 当垂直轴时，由对称性可得； 当不垂直轴时，设， 将直线的方程代入，得， 所以，， 所以，， 即， 同理， 由此可知. 19．（本小题满分17分）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列． (1)若数列为2，4，3，7，求的值； (2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，． （i）探究与的关系； （ii）证明：． 【解】（1）依题意，，， . （2）（i）记， ， ， ， ，所以. （ii）设是每项均为非负整数的数列， 当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列， 则， 当存在，使得时，若记数列为，则， 因此，从而对于任意给定的数列， 由，，由（i）知， 所以. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（江苏）01·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D B B B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．6.4 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）因为， 所以， 由正弦定理：，得， 故，因为，故． （2）由（1）可知，又，则， 由基本不等式可知，解得， 所以，当且仅当时取等号． 所以△ABC的面积最大值为． 16．（本小题满分15分） 【解】（1）连接，由点为的中点，为半个圆柱上底面的直径知， 由，，知，， 则，又四点共面，所以， 由为直三棱柱的侧面知，即，则， 由为的中点得， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，，则平面， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）（法一）以为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 则， 由平面平面知直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设平面的法向量为， 由，取，得， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 又，则时，的最大值为． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． （法二）在直三棱柱中，底面， 因为底面，所以， 由（1）知，，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作交于， 因为平面平面，所以平面， 又平面平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为∽，且正方形的边长为2， 所以，则， 又，要使值最大， 则最小，在中， 过作交于，由等面积可求出，此时． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由函数，因为在上恒成立， 即在恒成立， 令，可得， 令，可得， 所以在单调递减，所以， 所以恒成立，所以在单调递减，所以， 所以，所以实数的取值范围为. （2）解：因为有两个极值点， 可得是的两不等正根， 即是的两不等正根，则满足，解得， 则 ， 所以的取值范围为． 18．（本小题满分17分） 【解】（1）设，， 则，， 将代入， 得 将代入， 得， 即， 又因为且 所以， 所以， 所以的方程为. 即的方程为. （2）   设中点为，中点为. 当垂直轴时，由对称性可得； 当不垂直轴时，设， 将直线的方程代入，得， 所以，， 所以，， 即， 同理， 由此可知. 19．（本小题满分17分） 【解】（1）依题意，，， . （2）（i）记， ， ， ， ，所以. （ii）设是每项均为非负整数的数列， 当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列， 则， 当存在，使得时，若记数列为，则， 因此，从而对于任意给定的数列， 由，，由（i）知， 所以. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（江苏）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C．0 D． 4．星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为，其中EP是激光器输出的单脉冲能量，Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T满足（单位：dB）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，则此时Γ大小约为（    ）（参考数据：1g2≈0.301） A．－76.02 B．－83.98 C．－93.01 D．－96.02 5．函数在的图像大致为 A． B． C． D． 6．已知角满足，，则（    ） A． B． C． D．2 7．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知,随机变量的分布列为: 则(    ) A． B． C． D． 10．如图是函数的部分图像，则（    ） A．的最小正周期为 B．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 C．是函数的一条对称轴 D．若函数在上有且仅有两个零点，则 11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.若抛物线在点，处的切线的斜率分别为，，且抛物线的准线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．若，则 C．若，则直线的方程为 D．直线的倾斜角的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某工厂月产品的总成本（单位：万元）与月产量（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知与线性相关．如果回归方程是，那么表格中数据的值为 ． /万件 1 2 3 4 /万元 3.8 5.6 8.2 13．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为 ． 14．已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A； (2)若，求△ABC的面积的最大值． 16．（本小题满分15分）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 17．（本小题满分15分）已知． (1)若在恒成立，求a的范围； (2)若有两个极值点s，t，求的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知，，为椭圆上三个不同的点，满足，其中.记中点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，交于，两点，求证：. 19．（本小题满分17分）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列． (1)若数列为2，4，3，7，求的值； (2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，． （i）探究与的关系； （ii）证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（江苏）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C．0 D． 4．星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为，其中EP是激光器输出的单脉冲能量，Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T满足（单位：dB）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km2，则此时Γ大小约为（    ）（参考数据：1g2≈0.301） A．－76.02 B．－83.98 C．－93.01 D．－96.02 5．函数在的图像大致为 A． B． C． D． 6．已知角满足，，则（    ） A． B． C． D．2 7．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知,随机变量的分布列为: 则(    ) A． B． C． D． 10．如图是函数的部分图像，则（    ） A．的最小正周期为 B．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 C．是函数的一条对称轴 D．若函数在上有且仅有两个零点，则 11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.若抛物线在点，处的切线的斜率分别为，，且抛物线的准线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．若，则 C．若，则直线的方程为 D．直线的倾斜角的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某工厂月产品的总成本（单位：万元）与月产量（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知与线性相关．如果回归方程是，那么表格中数据的值为 ． /万件 1 2 3 4 /万元 3.8 5.6 8.2 13．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为 ． 14．已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A； (2)若，求△ABC的面积的最大值． 16．（本小题满分15分）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 17．（本小题满分15分）已知． (1)若在恒成立，求a的范围； (2)若有两个极值点s，t，求的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知，，为椭圆上三个不同的点，满足，其中.记中点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，交于，两点，求证：. 19．（本小题满分17分）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列． (1)若数列为2，4，3，7，求的值； (2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，． （i）探究与的关系； （ii）证明：． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$