数学（新八省通用01）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新八省通用）01·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B A D D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）解：由题表中的信息可知， 在这100天中，进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿元人民币的天数为， 用频率估计概率，可得所求概率． （2）列出列联表如下： 进口贸易量 出口贸易量 64 16 10 10 （3）零假设为：我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量无关． 由（2）得， 所以依据的独立性检验，推断不成立，即认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关 16．（本小题满分15分） 【解】（1）点在双曲线上， 是以为首项，公差为的等差数列， ；点在直线上， ，当时，， 当时，， ， 是以为首项，公比为的等比数列，. （2）， 解得，成立的最小值为7. （3）， ， ，所以数列为递减数列. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由，， 则， 所以，即切线斜率为， 又，则切点为，切线方程为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）根据题意得，， 则． 由0为的极小值点，可知． 设， 则． （ⅰ）当时，， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以0是的极小值点，符合题意． （ⅱ）当时，设， 则， 所以在上单调递增，， ， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增. 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以0是的极小值点，符合题意． （ⅲ）当时，，且在上单调递增， 所以当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增. 又，所以，单调递增，不符合题意． （ⅳ）当时，，在上单调递增，， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，又， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以0是的极大值点，不符合题意． 综上，的取值范围是． 18．（本小题满分17分） 【解】（1）证明：联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. （2）解：由（1）中切线方程，令，得， 令，得， 因为，所以直线，① 因为，所以直线，② 由①②得. 因为，得， 所以动点的轨迹的方程为）. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组得， 则，所以. 因为直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以， 整理得 所以，即点在定直线上.    19．（本小题满分17分） 【解】（1）在图2中，取EF中点O，BD中点M，连接OP，OM，以O为原点，OF、OM、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 设AB＝4、OP＝x，则，， ∴，，，， 故，， ∵直线BF与PD垂直，， ∴，解得（舍）或， ∴PO＝2OM，∴AE＝2ED， ∴图中点E在靠近点D的三等分点处． ，∴ （2）设二面角E－PF－B的平面角为，则为钝角． 证明：平面PEF的法向量，，， 设平面PBF的法向量，则，即 取a＝1，得，∴． 又为钝角，∴． ∴无论点E的位置如何，二面角E－PF－B的余弦值都为定值． 平面EPF与平面BPF的夹角（锐角）的余弦值为定值． （3）由题意知△ABD为等边为2的三角形，， 如图，设△PEF的外心为，四边形BDEF外接圆的圆心为， 作平面PEF，平面BDEF，， 即为外接球的球心，且四边形为矩形． 设d为Q到平面BDEF的距离，则， 设r为四边形BDEF的外接圆半径， 在△ABE中，， 在△ABE中，． 设外接球半径为R，则， 故当时，外接球半径的最小值为． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新八省通用）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A．2 B． C．3 D．5 4．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 5．设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．在中，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知且，若在上恒成立，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下绳结，拉伸两个端头绳子会打结的是（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 11．Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A． B．Sigmoid函数是单调减函数 C．函数的最大值是 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 . 13．在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是 ． 14．已知函数g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝且函数y＝f(x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共嬴之路．为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单位：亿元人民币/天），整理数据得下表： 进口贸易量 出口贸易量 32 18 4 6 8 12 3 7 10 (1)用频率估计概率，试估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿元人民币”的概率． (2)根据所给数据，完成下面的列联表． 进口贸易量 出口贸易量 (3)依据的独立性检验，能否认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关？ 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（本小题满分15分）已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和． （1）求数列、的通项公式； （2）求使得成立的最小值； （3）若，求证：数列为递减数列． 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若0是函数的极小值点，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 19．（本小题满分17分）如图1，菱形ABCD中∠ABC＝120°，动点E，F在边AD，AB上（不含端点），且存在实数使，沿EF将△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2所示． (1)若BF⊥PD，设三棱锥P－BCD和四棱锥P－BDEF的体积分别为，，求； (2)当点E的位置变化时，平面EPF与平面BPF的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由； (3)若AB＝2，求四棱锥P－BDEF的外接球半径的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新八省通用）01·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由、，，故.故选：B. 2．的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的最小正周期，故选:D. 3．若，则（   ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】因为.故选：B 4．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴，，故选A. 5．设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线中，半焦距为，即， 又双曲线一个顶点坐标为，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为．故选：D． 6．已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥的母线长为，高为，则，解得，所以， 所以圆锥的体积.故选：D. 7．在中，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 故，故选D 8．已知且，若在上恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， ①若，则，且，， 根据穿根法可知或时不符合题意，舍去； ②若，要满足题意则，符合题意，如图所示； ③当时，同理要满足题意需，与前提矛盾； ④当，此时，则的三个零点都是负数，由穿根法可知符合题意； 综上可知满足在恒成立时，只有满足题意. 故选：C ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下绳结，拉伸两个端头绳子会打结的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】绳子A的判断：对于绳子A，其缠绕方式使得在拉伸两个端头时，中间部分会因为绳子的交叉缠绕而形成一个结； 绳子B的判断：绳子B在拉伸两个端头时，绳子可以顺利地被拉直，不会出现打结的情况，因为其缠绕方式并没有形成闭环式的交叉； 绳子C的判断：绳子C的缠绕结构决定了在拉伸两个端头时会形成结，其交叉和缠绕使得在拉伸时必然会有部分绳子形成闭环结； 绳子D的判断：绳子D在拉伸端头时，会因为其复杂的缠绕而形成结，绳子中间部分会收紧成结，故选ACD. 10．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【解析】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C不正确； 由，所以D正确． 故选：BD． 11．Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A． B．Sigmoid函数是单调减函数 C．函数的最大值是 D． 【答案】ACD 【解析】由函数求导得：， 对于A，，A正确； 对于B，，，则Sigmoid函数是单调增函数，B不正确； 对于C，，当且仅当，即时取“=”，C正确； 对于D，因，则，D正确.故选ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 . 【答案】 【解析】由，可得. 13．在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是 ． 【答案】 【解析】6名特警分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，不同安排方法数为， 甲乙安排在同一路口，视甲乙为一个人，5个人安排到4个路口的安排数为， 因此甲和乙安排在同一个路口执勤的概率是， 所以甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是. 14．已知函数g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝且函数y＝f(x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由得：， 可得f(x)－x＝a＋，所以y＝f(x)－x有三个零点等价于 有三个不同交点. 令h(x)＝， 画出y＝h(x)的图象如图所示，将水平直线y＝a从上向下平移，当a＝0时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a＝－1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共嬴之路．为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单位：亿元人民币/天），整理数据得下表： 进口贸易量 出口贸易量 32 18 4 6 8 12 3 7 10 (1)用频率估计概率，试估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿元人民币”的概率． (2)根据所给数据，完成下面的列联表． 进口贸易量 出口贸易量 (3)依据的独立性检验，能否认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关？ 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【解】（1）解：由题表中的信息可知， 在这100天中，进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿元人民币的天数为， 用频率估计概率，可得所求概率． （2）列出列联表如下： 进口贸易量 出口贸易量 64 16 10 10 （3）零假设为：我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量无关． 由（2）得， 所以依据的独立性检验，推断不成立，即认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关 16．（本小题满分15分）已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和． （1）求数列、的通项公式； （2）求使得成立的最小值； （3）若，求证：数列为递减数列． 【解】（1）点在双曲线上， 是以为首项，公差为的等差数列， ；点在直线上， ，当时，， 当时，， ， 是以为首项，公比为的等比数列，. （2）， 解得，成立的最小值为7. （3）， ， ，所以数列为递减数列. 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若0是函数的极小值点，求实数的取值范围． 【解】（1）由，， 则， 所以，即切线斜率为， 又，则切点为，切线方程为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）根据题意得，， 则． 由0为的极小值点，可知． 设， 则． （ⅰ）当时，， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以0是的极小值点，符合题意． （ⅱ）当时，设， 则， 所以在上单调递增，， ， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增. 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以0是的极小值点，符合题意． （ⅲ）当时，，且在上单调递增， 所以当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增. 又，所以，单调递增，不符合题意． （ⅳ）当时，，在上单调递增，， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，又， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以0是的极大值点，不符合题意． 综上，的取值范围是． 18．（本小题满分17分）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 【解】（1）证明：联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. （2）解：由（1）中切线方程，令，得， 令，得， 因为，所以直线，① 因为，所以直线，② 由①②得. 因为，得， 所以动点的轨迹的方程为）. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组得， 则，所以. 因为直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以， 整理得 所以，即点在定直线上.    19．（本小题满分17分）如图1，菱形ABCD中∠ABC＝120°，动点E，F在边AD，AB上（不含端点），且存在实数使，沿EF将△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2所示． (1)若BF⊥PD，设三棱锥P－BCD和四棱锥P－BDEF的体积分别为，，求； (2)当点E的位置变化时，平面EPF与平面BPF的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由； (3)若AB＝2，求四棱锥P－BDEF的外接球半径的最小值． 【解】（1）在图2中，取EF中点O，BD中点M，连接OP，OM，以O为原点，OF、OM、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 设AB＝4、OP＝x，则，， ∴，，，， 故，， ∵直线BF与PD垂直，， ∴，解得（舍）或， ∴PO＝2OM，∴AE＝2ED， ∴图中点E在靠近点D的三等分点处． ，∴ （2）设二面角E－PF－B的平面角为，则为钝角． 证明：平面PEF的法向量，，， 设平面PBF的法向量，则，即 取a＝1，得，∴． 又为钝角，∴． ∴无论点E的位置如何，二面角E－PF－B的余弦值都为定值． 平面EPF与平面BPF的夹角（锐角）的余弦值为定值． （3）由题意知△ABD为等边为2的三角形，， 如图，设△PEF的外心为，四边形BDEF外接圆的圆心为， 作平面PEF，平面BDEF，， 即为外接球的球心，且四边形为矩形． 设d为Q到平面BDEF的距离，则， 设r为四边形BDEF的外接圆半径， 在△ABE中，， 在△ABE中，． 设外接球半径为R，则， 故当时，外接球半径的最小值为． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 进口贸易量 出口贸易量 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 进口贸易量 出口贸易量  0,100  100,150  0,100  100,150 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新八省通用）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A．2 B． C．3 D．5 4．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 5．设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．在中，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知且，若在上恒成立，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下绳结，拉伸两个端头绳子会打结的是（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 11．Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A． B．Sigmoid函数是单调减函数 C．函数的最大值是 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 . 13．在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是 ． 14．已知函数g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝且函数y＝f(x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共嬴之路．为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单位：亿元人民币/天），整理数据得下表： 进口贸易量 出口贸易量 32 18 4 6 8 12 3 7 10 (1)用频率估计概率，试估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿元人民币”的概率． (2)根据所给数据，完成下面的列联表． 进口贸易量 出口贸易量 (3)依据的独立性检验，能否认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关？ 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（本小题满分15分）已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和． （1）求数列、的通项公式； （2）求使得成立的最小值； （3）若，求证：数列为递减数列． 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若0是函数的极小值点，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 19．（本小题满分17分）如图1，菱形ABCD中∠ABC＝120°，动点E，F在边AD，AB上（不含端点），且存在实数使，沿EF将△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2所示． (1)若BF⊥PD，设三棱锥P－BCD和四棱锥P－BDEF的体积分别为，，求； (2)当点E的位置变化时，平面EPF与平面BPF的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由； (3)若AB＝2，求四棱锥P－BDEF的外接球半径的最小值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$