重庆市长寿区2024-2025学年高三上学期期末质量监测数学试题（B卷）

高三年级数学（答案） 第 1页 （共 2页） 长寿区 2024 年秋期高中期末质量监测 高三年级数学 答案（B 卷） 一、选择题 1-5 CBADD 6-10 CBACB 二、填空题 11. Rx  ， 2 2xx  12. 1 13. 8 14. 7 25  15. 32 三、解答题 16.解：（1）记 3个红球分别为 A，B，C，2个白球分别为 a,b，则从口袋中不放回地随机 取出两个球共有 AB,AC,BC,ab，Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb十种取法，因此共有 10种取法. （2）2 个球颜色不同的取法有 Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb 六种取法，由古典概型知，取出的 2 个球颜色不同的概率为 3 5 . 17.解：（ 1）因为 ( )f x 的最小正周期为  ，所以 2    ，所以 2  ，所以 ( ) 2sin(2 ) 1 3 f x x    .由 2 3 x k   得 2 6 kx    ，所以 ( )f x 的对称中心为 ( ,1) 2 6 k   .（ Zk ） （2）因为 [0, ] 2 x  ，所以 22 [ , ] 3 3 3 x      ，所以 3sin(2 ) [ ,1] 3 2 x    ，所以当 2 3 3 x     ，即 0x  时， ( )f x 取得最小值1 3 ；当 2 3 2 x    ，即 5 12 x  时， ( )f x 取得最大值3 . 18.解（1）当 1a  时， ( ) lnf x x x  ，则 1'( ) 1f x x   ，所以 '(1) 0f  ，因为 (1) 1f  ， 所以 ( )f x 在 1x  处的切线方程为 1y  . （2）因为 1( ) lnf x x x a   ，所以 1 1'( )f x a x   ，所以当 0a  时， '( ) 0f x  恒成立， ( )f x 在定义域内单调递减，无极值，不符题意.当 0a  时，当 (0, )x a ， '( ) 0f x  ， 高三年级数学（答案） 第 2页 （共 2页） 当 ( , )x a  ， '( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 (0, )x a 上单调递减，在 ( , )x a  上单调递 增，所以 ( )f x 在 x a 处取得极小值 ( ) 1 lnf a a  ，由题意知 1 ln 1a   ，所以 20 a e  . 19.解：（1）如图，连接 BD，设 AC BD O ，连接OE，因为 底面 ABCD为矩形，所以O为 BD的中点，因为 E为 PD的中点， 所以在 PBD 中， / /OE PB，因为OE 平面 ACE，PB 平面 ACE，所以 / /PB 平面 ACE . （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,2)P ， (0,0,0)A ， (2, 2,0)C ，E(0,1,1) 所 以 (0,0, 2)AP   ， (2, 2,0)AC   ， (0,1,1)AE   .设 平 面 PAC 的 一 个 法 向 量 ( , , )m x y z ，则 0 0 z x y     ，取 (1, 1,0)m   ，设平面 ACE的一个法向量 ( , , )n x y z ， 则 0 0 x y y z      ，取 (1, 1,1)n   ，则 2 6cos , 32 3 m n   ，所以二面角 P AC E  的余弦值为 6 3 . 20.解：（1）设 E的半焦距为 c，由题得 2 2 3c  ，所以 3c  ，又因为 3 2 c a  ，所以 2a  ，所以 1b  ，所以 E的标准方程为 2 2 1 4 x y  . （ 2）设 l 的方程为 3 5 y kx  ，与 E 的方程联立得 2 2 3 5 4 4 0 y kx x y         消去 y 得 2 2 24 64(4 1) 0 5 25 kk x x    .设 1 1( , )B x y ， 2 2( , )C x y ，由韦达定理得 1 2 2 24 5(4 1) kx x k    ， 1 2 2 64 25(4 1) x x k    . 设 直 线 AB 的 斜 率 为 1k ， AC 的 斜 率 为 2k ， 则 2 1 2 1 2 1 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 8 8 8 64( )1 1 5 5 5 25 3 4 1 1 kx kx k x x k x xy yk k k k k x x x x x x                   ， 所以 AB AC ，得证. 高三年级数学 第 1页 （共 4 页） 长寿区 2024 年秋期高中期末质量监测 高三年级数学 试题（B 卷） 注意事项： 1．考试时间：120 分钟，满分：150 分。试题卷总页数：4 页。 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效。 3．需要填涂的地方，一律用 2B 铅笔涂满涂黑。需要书写的地方一律用 0.5MM 签字笔书写。 4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求.） 1.已知复数 1 3iz   ，则 | |z （ ） A.1 B. 3 C. 2 D. 4 2.已知样本数据12，15，16， 20， 24， 27，若去掉其中的最大数与最小数，则下列 统计量不会变化的是（ ） A.平均数 B.中位数 C.标准差 D.极差 3.已知向量 (1, 3)a ， (0,1)b ，则向量a与b的夹角为（ ） A.30 B.60 C.90 D.120 4.已知等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ，且 2 4 6a a  ，则下列选项中的值不．能确定的是 （ ） A. 3a B. 1 5a a C. 5S D. 7S 5.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（ ） A. ( ) cosf x x B. 1( )f x x  C. 1( )f x x x   D. 1( )f x x x   6.数字0，1，1， 2可以组成不同的三位数共有（ ） A.24个 B.12个 C.9个 D.6个 高三年级数学 第 2页 （共 4 页） 7.设 9 90 1 9(1 )x a a x a x     ，则 0a ， 1a ，...， 9a 中最大的是（ ） A. 3a B. 4a C. 5a D. 6a 8.圆 2 2: 2O x y  上的动点 P到直线 : 4 0l x y   的距离最小值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 9.在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 2a  ， 3 A  ， ABC 的 面积 3ABCS  ，则b c （ ） A. 2 3 B.3 3 C. 4 D.8 10.如图所示，正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的底面边长为 2，侧棱长为 3，D是棱 BC上的 动点，E为棱 BC的中点，则下列结论错误．．的是（ ） A.当D为 BC中点时， A， 1A， E，D四点共面 B.当D为 BC中点时，直线 1AC 与DE所成角为60  C.三棱锥 1 1 1D ABC 的体积为定值1 D. AD的最小值为 3 二、填空题（本题共 5小题，每小题 5分，共 25分.） 11.命题：“ Rx  ， 2 2xx  ”的否定为 . 12.计算 lg 2 2lg 5  . 13.已知数列{ }na 满足 1 2n na a   ， 1 1a  ，则 4a . 14.已知 3cos( ) 5    ，则 cos 2  . 15.已知圆O的面积为16 ，矩形 ABCD的四个顶点均在圆O上，则矩形 ABCD的面积 最大值为 . 高三年级数学 第 3页 （共 4 页） 三、解答题（本题共 5小题，每小题 15分，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.） 16.口袋中装有 3个不同的红球，2个不同的白球，从口袋中不放回地随机取出两个球. （1）共有多少种取法？ （2）求取出的 2个球颜色不同的概率. 17.已知函数 ( ) 2sin( ) 3 f x x   ， 0  的最小正周期为 . （1）求和 ( )f x 的对称中心； （2）求 ( )f x 在 [0, ] 2 x  上的最值并求相应的 x的值. 18.已知函数 1( ) lnf x x x a   ， a为非零实数. （1）当 1a  时，求 ( )f x 在 1x  处的切线方程； （2）若 ( )f x 存在极值，且极值不小于 1 ，求 a的取值范围. 高三年级数学 第 4页 （共 4 页） 19.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD，底面 ABCD为正方形， 2PA AB  ， E为 PD的中点. （1）求证： / /PB 平面 ACE； （2）求二面角 P AC E  的余弦值. 20.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yE a b a b     的焦距为 2 3，离心率为 3 2 . （1）求 E的标准方程； （2）过点 30, 5      的直线 l（斜率存在）交 E于 B，C两点，点 (0,1)A ，求证：AB AC .