黄金卷02（湖南长沙专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（长沙专用） 黄金卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C A D C B C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．甲 12． 13．x＞3． 14． 15．6.5 16．2009 3、 解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17-19 每题6分 20-21 每题8分 22-23 每题9分 24-25 每题10分 17.【答案】5 【详解】 ＝ ． ……6分 18.【答案】； 【详解】解： ……4分 当时，原式 ……6分 19.【答案】敬亭山的高度约为316米 【详解】解：过点A作于，过点作于，于，则四边形为矩形， ， 在中，， 则（米）， ……3分 在中，， 则（米）， ∴米 （米）， ……6分 答：敬亭山的高度约为316米． 20.【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：， ； ……2分 （2）解：（人）， 补全条形统计图如下： ……5分 （3）解：用A、B、C、D分别表示文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选到C、D的结果有两种， . ……8分 21.【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ……3分 在和中， （）， ； ……8分 22.【答案】(1)甲种型号电器的销售单价为240元，乙种型号电器的销售单价为200元． (2)甲种型号电器最多能采购20台． (3)能实现，采购方案如下：采购甲种型号电器18台，乙种型号电器17台；采购甲种型号电器19台，乙种型号电器16台；采购甲种型号电器20台，乙种型号电器15台；当采购甲种型号电器20台，乙种型号电器15台，其利润最大． 【详解】（1）解：设甲种型号电器的销售单价为x元，乙种型号电器的销售单价为y元，由表格得： 解得：； 答：甲种型号电器的销售单价为240元，乙种型号电器的销售单价为200元． ……2分 （2）解：设甲种型号电器采购m台，则乙种型号电器采购（35-m）台，由题意得： ， 解得：； 答：甲种型号电器最多能采购20台． ……5分 （3）解：由（2）及题意得： ， 解得：， ∵且m为正整数， ∴m可以为18、19、20， ∴超市销售完这35台电器能否实现利润超过1750元的目标，共有3种销售方案； 方案一：采购甲种型号电器18台，乙种型号电器17台，其利润为（元）； 方案二：采购甲种型号电器19台，乙种型号电器16台，其利润为（元）； 方案三：采购甲种型号电器20台，乙种型号电器15台，其利润为（元）； ∴当采购甲种型号电器20台，乙种型号电器15台，其利润最大． ……9分 23.【答案】(1) (2)5 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径，的直径为10， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； ……4分 （2）解；如图所示，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ……9分 24.【答案】(1)直线，； (2)①；②4 【详解】（1）解：抛物线， 对称轴为直线， 抛物线与轴交于点， ，即， 解得：； ……3分 （2）解：①抛物线与轴交于点和点，且对称轴为直线， ， ，， ， 抛物线与轴交于点， ， ， 由勾股定理得：，， ， 由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， 抛物线， 点、点E是抛物线上的点，且、关于点对称， ， ， 整理得：， ， ， ， ； ……6分 ②设直线的解析式为， 为直线与抛物线的一个交点， ， ， 直线的解析式为， 联立，解得：， 当时，， ， 将、代入直线：， ， ， 将、代入直线：， ， ， ， 的值是一个定值， ， ． ……10分 25.【答案】感知发现：（1）见详解（2）；深入探究（1）见详解（2）是定值， 【详解】感知发现 （1）证明：连接， ，是直径， ， ， ， ， ； ……2分 （2）连接交于， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； ……4分 深入探究： （1）证明：连接、、、， ， 是直径， ，， 垂直平分， ， ， ， ∴∠CDE=90° 是的直径， 一定经过圆心， 线段总经过某一定点； ……6分 （2）是定值； 连接，过作交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 设与之间的距离为， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， ． ……10分 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（长沙专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．某市高度重视科技创新工作，2020年计划投入6.5亿元．请将6.5亿用科学记数法记为（    ） A．6.5╳ B．65╳ C．6.5╳ D．0.65╳ 3．某种食品的标准质量是“”，以下几个包装中，质量不标准的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．某校举行“爱我中华”知识竞赛，统计各位参赛选手的成绩如表所示，则参赛选手成绩的中位数是（    ）． 成绩/分 80 85 90 95 100 人数 7 10 6 6 1 A．85分 B．分 C．分 D．90分 6．点P是由点先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到的，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．下列说法中： ①如果一个三角形两个内角的差等于另一个内角，那么这个三角形是直角三角形； ②三角形的外角等于两个内角的和； ③两组边分别相等的两个直角三角形全等； ④三角形中最大的内角不能小于60°；其中正确的个数是（    ）. A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在半径为13的圆形铁片上切下一块高为8的弓形铁片，则弦的长为（  ）    A．12cm B．16cm C．24cm D．26cm 10．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，第一个作图：以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线BD；以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC和BC的延长线于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线CG，交射线BD于点A1；按同样的方法，在△A1BC中作图可得交点A2，则四边形ABCA2的面积是（    ） A．2 B． C．1＋2 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是 ． 12．如图，，在内随机作一条射线，则不小于的概率为 ． 13．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ． 14．如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ． 15．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为 ． 16．为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ． 3、 解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17-19 每题6分 20-21 每题8分 22-23 每题9分 24-25 每题10分 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．周末爬敬亭山是宣城市民的娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从敬亭山西坡B处沿坡角为的山坡爬了350米到达E处，紧接着又沿坡角为的山坡爬了152米到达山顶A处，请计算敬亭山的高度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 20．海南简称琼，由于盛产椰树，故又有椰岛之称．这个海岸线长达一千五百多公里的中国第二大岛，与东南亚多国接邻.海南岛的风味菜式非常丰富，不止一味，其中以四大名菜最为著名.海南四大名菜为文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹.为更好地提升服务质量，2024年11月，海口市某旅行社随机调查了接待的部分游客对四大名菜的喜好情况（每人限选一种），根据统计得到的数据，绘制了不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)本次随机调查的游客总人数为 人，扇形统计图中n的值为 ； (2)请补全条形统计图； (3)该旅行社推出每人可免费品尝两种不同的四大名菜的活动，某游客从上述四大名菜中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“加积鸭”和“和乐蟹”的概率． 21．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，，求证：． 22．某超市销售甲、乙两种型号的电器，其进价分别为180元/台和160元/台，下表是近两周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润=售价-进价）： 销售时段 销售数量（台） 销售收入 甲种型号 乙种型号 第一周 3 2 1120 第二周 4 3 1560 (1)求甲乙两种型号电器的销售单价； (2)若超市准备用不多于6000元的金额再采购这两种型号的电器共35台，求甲种型号的电器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这35台电器能否实现利润超过1750元的目标？如果能，请给出相应的采购方案，并说明在这些采购方案中，哪种采购方案利润最大？若不能，请说明理由． 23．已知的直径为10，四边形内接于，平分． (1)如图1，若为的直径，求的长； (2)如图2，若，求的长． 24．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)写出抛物线的对称轴，并求的值； (2)如图1，，点是抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为． ①若、关于点对称，求点坐标； ②若点是轴上一点，直线的表达式为，直线的表达式为，当的值是一个定值时，求的值． 25．【感知发现】 如图1，为圆O的直径，点C、D均在圆O上，，连接并延长交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接． （1）证明：； （2）与四边形的面积分别记为，，若，求的值． 【深入探究】 如图2，为圆O内的一条弦，点C、D均在圆O上且分别位于的两侧，，过点D作的平行线交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接、，与交于点F． （1）若为圆O的直径，证明：线段总经过某一定点； （2）若，且的面积与四边形的面积相等，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（长沙专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．某市高度重视科技创新工作，2020年计划投入6.5亿元．请将6.5亿用科学记数法记为（    ） A．6.5╳ B．65╳ C．6.5╳ D．0.65╳ 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：6.5亿=， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．某种食品的标准质量是“”，以下几个包装中，质量不标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解选项中的数据超过或不足的数据，再比较大小即可得到答案. 【详解】解：，，，， 而， ∴质量不标准的是， 故选B 【点睛】本题考查的是正负数的含义，有理数的减法的实际应用，理解题意是解本题的关键. 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂乘法，幂的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据积的乘方，可判断C；根据同底数幂的除法，可判断D． 【详解】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误； B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误； C、积的乘方等于乘方的积，故C正确； D、通敌数幂的除法底数不变指数相减，故D错误． 5．某校举行“爱我中华”知识竞赛，统计各位参赛选手的成绩如表所示，则参赛选手成绩的中位数是（    ）． 成绩/分 80 85 90 95 100 人数 7 10 6 6 1 A．85分 B．分 C．分 D．90分 【答案】A 【分析】根据中位数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：一共有30名参赛选手， 把成绩从低到高排列后位于第15 位和第16位的均为85分， ∴参赛选手成绩的中位数是． 故选：A 【点睛】本题主要考查了求中位数，熟练掌握把一组数据从大到小（或从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数是解题的关键． 6．点P是由点先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到的，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了坐标的平移问题；用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加，上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 根据已知让横坐标加5，纵坐标减3即可得出答案． 【详解】解：点先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到， ∴点P的坐标是， 故选：D 7．一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A.∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0 ∴ ∴一次函数的图象经过一、三、四象限． 故本选项错误； B.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知， ∴ ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 故本选项错误； C.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知， ∴ ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 故本选项正确； D.∵由反比例函数的图象在二、四象限可知， ∴ ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 故本选项错误． 故选：C 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 8．下列说法中： ①如果一个三角形两个内角的差等于另一个内角，那么这个三角形是直角三角形； ②三角形的外角等于两个内角的和； ③两组边分别相等的两个直角三角形全等； ④三角形中最大的内角不能小于60°；其中正确的个数是（    ）. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定．根据三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定逐项判定可求解． 【详解】解：①如果一个三角形两个内角的差等于另一个内角，如：则， ， 这个三角形是直角三角形，故①正确； ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故②错误； ③两组边分别对应相等的两个直角三角形全等，故③错误； ④三角形中最大的内角不能小于60°，故 ④正 确； 故正确的有①④，共个， 故选：B． 9．如图，在半径为13的圆形铁片上切下一块高为8的弓形铁片，则弦的长为（  ）    A．12cm B．16cm C．24cm D．26cm 【答案】C 【分析】过O作于C，交⊙O于D，先利用勾股定理求出的长，进而根据垂径定理得出． 【详解】解：过O作于C，交⊙O于D，如图，    ∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键是熟悉勾股定理和垂径定理． 10．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，第一个作图：以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线BD；以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC和BC的延长线于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线CG，交射线BD于点A1；按同样的方法，在△A1BC中作图可得交点A2，则四边形ABCA2的面积是（    ） A．2 B． C．1＋2 D． 【答案】B 【分析】先利用等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据基本作图得到BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACF，则∠A1BC＝30°，∠ACA1＝∠A1CF＝60°，∠A2BC＝15°，∠A1CA2＝∠A2CF＝30°，接着利用∠CA2B＝∠A2BC＝15°得到CA2＝CB＝2，然后判断△ACA2为等腰直角三角形，最后利用四边形ABCA2的面积＝S△ABC+ 进行计算． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝∠ACB＝60°， 由作法得BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACF， ∴∠A1BC＝30°，∠ACA1＝∠A1CF＝60°， ∵BA2平分∠A1BC，CA2平分∠A1CF， ∴∠A2BC＝15°，∠A1CA2＝∠A2CF＝30°， ∵∠A2CF＝∠A2BC+∠CA2B， ∴∠CA2B＝∠A2BC＝15°， ∴CA2＝CB＝2， ∵∠ACA2＝∠ACA1+∠A1CA2＝60°+30°＝90°， ∴△ACA2为等腰直角三角形， ∴四边形ABCA2的面积＝S△ABC+＝×2×+×2×2＝+2． 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线），等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握尺规基本作图，证△ACA2为等腰直角三角形是解题的关键 ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是 ． 【答案】甲 【分析】根据方差的意义判断即可，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵甲块试验田的方差小， ∴甲试验田小麦长势比较整齐． 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差的意义：它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 12．如图，，在内随机作一条射线，则不小于的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式的应用，当时，，根据概率公式计算即可． 用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：当时，， 不小于的概率为． 故答案为：． 13．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x＞3． 【分析】由二次根式有意义的条件与分母不为零列不等式x﹣3＞0，解不等式可得答案. 【详解】解：根据题意得，x﹣3＞0， 解得x＞3． 故答案为：x＞3． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定，根据分母不等于0，被开方数大于等于0列式计算即可，是基础题，比较简单． 14．如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可． 【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F， ∵， ∴AD= ∴DF=ADsin45°= ， ∵AE=AD=2 ， ∴EB=AB−AE= ， ∴S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC = 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为 ． 【答案】6.5 【分析】根据题意，连接AR，在直角△ADR中，DR＝5，AD＝12，根据勾股定理可得AR=13，又因为E、F分别是PA、PR的中点，即为△PAR的中位线，故EF＝AR. 【详解】∵∠D＝90°，DR＝5，AD＝12， ∴AR＝=13， ∵E、F分别是PA、PR的中点， ∴EF＝AR＝6.5， 故答案为6.5． 【点睛】本题考查了三角形中位线长度的求取，本题的解题关键是不要因为动点问题的包装而把题目想的复杂，根据中位线的性质解题即可. 16．为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ． 【答案】2009 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，根据题意列二元一次方程，整理得，根据a的取值得到x的9种可能，结合实际即可求解． 【详解】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a， 根据题意，得， 整理，得 ∴， ∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字， ∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009， ∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生， ∴x只能是2009， 故答案为：2009． 3、 解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17-19 每题6分 20-21 每题8分 22-23 每题9分 24-25 每题10分 17．计算：． 【答案】5 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值等知识点，先根据算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可，熟练掌握各运算法则是解决此题的关键． 【详解】 ＝ ． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂；先根据分式的混合运算进行化简，然后根据负整数指数幂得出，再代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： 当时，原式 19．周末爬敬亭山是宣城市民的娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从敬亭山西坡B处沿坡角为的山坡爬了350米到达E处，紧接着又沿坡角为的山坡爬了152米到达山顶A处，请计算敬亭山的高度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 【答案】敬亭山的高度约为316米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题．过点A作于，过点作于，于，根据正弦的定义可以分别求出和的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案． 【详解】解：过点A作于，过点作于，于，则四边形为矩形， ， 在中，， 则（米）， 在中，， 则（米）， ∴米 （米）， 答：敬亭山的高度约为316米． 20．海南简称琼，由于盛产椰树，故又有椰岛之称．这个海岸线长达一千五百多公里的中国第二大岛，与东南亚多国接邻.海南岛的风味菜式非常丰富，不止一味，其中以四大名菜最为著名.海南四大名菜为文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹.为更好地提升服务质量，2024年11月，海口市某旅行社随机调查了接待的部分游客对四大名菜的喜好情况（每人限选一种），根据统计得到的数据，绘制了不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)本次随机调查的游客总人数为 人，扇形统计图中n的值为 ； (2)请补全条形统计图； (3)该旅行社推出每人可免费品尝两种不同的四大名菜的活动，某游客从上述四大名菜中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“加积鸭”和“和乐蟹”的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法和画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据条形统计图和条形统计图中的数据计算即可： （2）根据数据补全条形统计图即可； （3）先列表或画树状图，再根据表格或树状图中的信息求出概率即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：， ； （2）解：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：用A、B、C、D分别表示文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选到C、D的结果有两种， . 21．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据四边形是平行四边形，可以得到，，从而可以得到，然后根据即可证明结论成立． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， （）， ； 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．某超市销售甲、乙两种型号的电器，其进价分别为180元/台和160元/台，下表是近两周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润=售价-进价）： 销售时段 销售数量（台） 销售收入 甲种型号 乙种型号 第一周 3 2 1120 第二周 4 3 1560 (1)求甲乙两种型号电器的销售单价； (2)若超市准备用不多于6000元的金额再采购这两种型号的电器共35台，求甲种型号的电器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这35台电器能否实现利润超过1750元的目标？如果能，请给出相应的采购方案，并说明在这些采购方案中，哪种采购方案利润最大？若不能，请说明理由． 【答案】(1)甲种型号电器的销售单价为240元，乙种型号电器的销售单价为200元． (2)甲种型号电器最多能采购20台． (3)能实现，采购方案如下：采购甲种型号电器18台，乙种型号电器17台；采购甲种型号电器19台，乙种型号电器16台；采购甲种型号电器20台，乙种型号电器15台；当采购甲种型号电器20台，乙种型号电器15台，其利润最大． 【分析】（1）设甲种型号电器的销售单价为x元，乙种型号电器的销售单价为y元，然后根据表格可列出方程组进行求解； （2）设甲种型号电器采购m台，则乙种型号电器采购（35-m）台，然后根据题意可列出不等式进行求解； （3）由（2）可直接进行求解． 【详解】（1）解：设甲种型号电器的销售单价为x元，乙种型号电器的销售单价为y元，由表格得： 解得：； 答：甲种型号电器的销售单价为240元，乙种型号电器的销售单价为200元． （2）解：设甲种型号电器采购m台，则乙种型号电器采购（35-m）台，由题意得： ， 解得：； 答：甲种型号电器最多能采购20台． （3）解：由（2）及题意得： ， 解得：， ∵且m为正整数， ∴m可以为18、19、20， ∴超市销售完这35台电器能否实现利润超过1750元的目标，共有3种销售方案； 方案一：采购甲种型号电器18台，乙种型号电器17台，其利润为（元）； 方案二：采购甲种型号电器19台，乙种型号电器16台，其利润为（元）； 方案三：采购甲种型号电器20台，乙种型号电器15台，其利润为（元）； ∴当采购甲种型号电器20台，乙种型号电器15台，其利润最大． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式的应用是解题的关键． 23．已知的直径为10，四边形内接于，平分． (1)如图1，若为的直径，求的长； (2)如图2，若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则，，再根据直径所对的圆周角是直角可证为等腰直角三角形，据此求解即可； （2）如图所示，连接，先根据圆内接四边形对角互补求出，则可以根据角平分线的定义得到，利用圆周角定理即可得到，进而可以证明是等边三角形，得到． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径，的直径为10， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； （2）解；如图所示，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 24．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)写出抛物线的对称轴，并求的值； (2)如图1，，点是抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为． ①若、关于点对称，求点坐标； ②若点是轴上一点，直线的表达式为，直线的表达式为，当的值是一个定值时，求的值． 【答案】(1)直线，； (2)①；②4 【分析】（1）根据二次函数的图像和性质进行求解，即可得到答案； （2）①先根据抛物线的对称性，得到，再求出抛物线与轴的交点，利用勾股定理列方程，求得，进而得到抛物线，根据坐标关于原点对称的特征，得到，将点D、E代入抛物线解析式，求出、的值，即可得到点坐标； ②②设直线的解析式为，先求出，然后联立直线与抛物线，求得，再利用待定系数法分别求出和的值，即而得到的值，最后利用的值是一个定值，即可求出的值． 【详解】（1）解：抛物线， 对称轴为直线， 抛物线与轴交于点， ，即， 解得：； （2）解：①抛物线与轴交于点和点，且对称轴为直线， ， ，， ， 抛物线与轴交于点， ， ， 由勾股定理得：，， ， 由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， 抛物线， 点、点E是抛物线上的点，且、关于点对称， ， ， 整理得：， ， ， ， ； ②设直线的解析式为， 为直线与抛物线的一个交点， ， ， 直线的解析式为， 联立，解得：， 当时，， ， 将、代入直线：， ， ， 将、代入直线：， ， ， ， 的值是一个定值， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，勾股定理，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式等知识，题目较难，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键． 25．【感知发现】 如图1，为圆O的直径，点C、D均在圆O上，，连接并延长交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接． （1）证明：； （2）与四边形的面积分别记为，，若，求的值． 【深入探究】 如图2，为圆O内的一条弦，点C、D均在圆O上且分别位于的两侧，，过点D作的平行线交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接、，与交于点F． （1）若为圆O的直径，证明：线段总经过某一定点； （2）若，且的面积与四边形的面积相等，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】感知发现：（1）见详解（2）；深入探究（1）见详解（2）是定值， 【分析】感知发现 （1）连接，由圆的基本性质得，由圆周角定理得，，由平行线的判定方法，即可得证； （2）连接交于，由线段垂直平分线的判定定理得垂直平分，由三角形面积得 ，，即可求解； 深入探究： （1）连接、、、，由圆的基本性质得，由得，是的直径，即可得证； （2）连接，过作交于，由垂径定理得，由等腰梯形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，，，设与之间的距离为，由三角形面积及梯形面积得， 即可求解． 【详解】感知发现 （1）证明：连接， ，是直径， ， ， ， ， ； （2）连接交于， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； 深入探究： （1）证明：连接、、、， ， 是直径， ，， 垂直平分， ， ， ， ， 是的直径， 一定经过圆心， 线段总经过某一定点； （2）是定值； 连接，过作交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 设与之间的距离为， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质等；掌握圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质，能熟练利用辅助未知数求解是解题的关键． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$