精品解析：江西省宜春市樟树市滨江中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

高二上学期期末考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则它的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简得到复数，再求出它的共轭复数得解. 【详解】， 则其共轭复数， 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得，，， ，， 或， 故选：D 3. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 4. 已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直关系结合数量积公式计算即可. 【详解】因为，所以，即， ，因为向量与的夹角范围为，所以向量与的夹角是. 故选：B 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的关系对已知式子化简可求得结果 【详解】由，得， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 故选：C 6. 定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】判断出函数是以4为周期的周期函数，结合函数的周期可求解. 【详解】，则，从而， 即以4为周期，故. 故选：D. 7. 在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求解棱台的高,进而根据相切，由勾股定理求解球半径，即可由体积公式求解. 【详解】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的体积为. 故选：D 8. 在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理进行角化边整理得到，再通过余弦定理消元得到，然后利用基本不等式得出的最小值，从而可以得到的最大值． 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 由余弦定理得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，取得最大值， 此时， 所以的最大值是． 故选：D． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数学课上老师给出同学们一组数据：，则该组数据的（ ） A. 平均数为5 B. 第60百分位数为 C. 中位数为4 D. 方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平均数、百分位数、中位数和方差的定义依次计算即可求解. 【详解】该组数从小到大排序为. A：该组数的平均数为，故A正确； B：，所以第60百分位数为第五位，为7，故B错误； C：该组数的中位数为，故C正确； D：该组数的方差为，故D正确. 故选：ACD 10. 若，为空间中两条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由点、线、面的位置关系对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，若，，则可能，故A错误； 对于B，因为，则能在内找一条直线，使得， 因为，则，因为，由面面垂直的判定定理可得，故B正确； 对于C，若，则能在内找一条直线，使得， ，，则，又因为，所以，故C正确； 对于D，若，，，则可能异面，故D错误. 故选：BC. 11. 已知为圆锥底面圆的直径，，，点为圆上异于的一点，为线段上的动点（异于端点），则（ ） A. 直线与平面所成角的最大值为 B. 圆锥内切球的体积为 C. 棱长为的正四面体可以放在圆锥内 D. 当为的中点时，满足的点有2个 【答案】AC 【解析】 【分析】A：根据线面垂直得到线面角，然后结合三角函数以及线段长度分析角的最大值；B：根据几何体的轴截面图进行分析计算；C：先考虑将正四面体补形为正方体，然后根据正方体的外接球以及B选项的结果进行判断；D：假设成立，通过线面垂直推导线线垂直并逐步推出矛盾. 【详解】A：过作交于点，连接，如下图所示： 因为圆锥底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 所以与平面所成角即为，且， 又，所以，则， 所以，当且仅当位于的中点处时取等号， 所以，所以直线与平面所成角的最大值为，故正确； B：根据题意可得轴截面如下图所示，设内切球的球心为，半径为， 因为，所以为等边三角形， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以内切球的体积为，故错误； C：将棱长为的正四面体补形为正方体，如下图所示： 由图可知正方体的棱长为， 此正方体的外接球的半径等于， 所以正四面体可以在半径为的球内任意转动， 由B选项的结果可知，棱长为的正四面体可以放在圆锥内，故正确; D：当为的中点时，如下图: 因为为等边三角形，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为圆锥底面，所以，且相交，平面， 所以平面， 因为平面，所以，这显然不成立， 所以满足的点不存在，故错误； 故选：AC. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则在方向上的投影数量是______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，，再结合投影数量的定义分析求解. 【详解】因为，，则，， 所以在方向上的投影数量是. 故答案为：1. 13. 在平面四边形中，，，，，，以直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】该几何体可以看为以AE所在的直线为轴，旋转一周形成一个圆台AE，挖去一个圆锥DE的组合体，由体积公式计算即可. 【详解】如图： 延长AD，过点作，垂足为E，则点到AD所在的直线的距离为CE， 由题设，， 所以. 以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体， 可以看成以AE所在的直线为轴，旋转一周形成一个圆台AE，挖去一个圆锥DE的组合体， 其体积为圆台AE的体积减去圆锥DE的体积，分别为圆台上下底面的面积， 所以 . 故答案为：. 14. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因的面积为10，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时,同理可得. 如图所示,因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题. 处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）证明：的定义域与值域相同． （2）若，，，求m的取值范围． 【答案】（1） 由，得， 所以的定义域为． ， 因为在上单调递增． 所以，所以的值域为， 所以的定义域与值域相同． （2）． 【解析】 【分析】（1）由具体函数的定义域可得，解不等式即可求出的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出的值域. （2）设，则，分别求出，即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知在上单调递增， 所以当时，． 设， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 因为，，， 所以，即m的取值范围为． 16. 如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据函数图象求出周期，即可求得，再将点代入解析式求出即可； （2）先根据函数平移的性质求出，将函数的零点问题转化为函数图象交点的问题，根据函数的对称性求解. 【小问1详解】 设的最小正周期为，则， 所以，所以， 又因为函数的图象的一个最高点为， 所以，所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，得， 考虑与图象的所有交点的横坐标之和， 函数与的图象都关于点对称， 令，解得， 函数与的图象如图所示： 故两函数的图象有且仅有9个交点从左到右分别为， 所以，，，， 所以，故函数的所有零点之和为9. 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若面积为，外接圆面积为，求周长. 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，可化为，再由余弦定理得，即可得到； （2）由外接圆面积，得，再由正弦定理可得 ，由面积公式，可得，再由余弦定理，可得，即可求得周长. 【小问1详解】 ， ， ， ， ． 【小问2详解】 设外接圆的半径为， 由， 得， 因为，解得， ， 所以， 又， 所以49= ， 故， 所以. 18. 如图，在正三棱柱中，D，E分别是BC，的中点，若，. （1）证明：平面； （2）求到平面的距离： （3）求二面角的大小. 【答案】（1） 连接，交于点，连接， 因为四边形为平行四边形，所以O为中点， 又D为BC中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据四边形为平行四边形得，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）利用等体积转化可得答案； （3）利用线面垂直的性质定理得为二面角的平面角，求出三角形边长由勾股定理可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设到平面的距离为d， 因为，，所以， 又为中点，所以， 因为为等边三角形， 所以， 所以，所以， ， 因为， 所以，所以，即， 解得， 即到平面的距离为； 【小问3详解】 由已知正三棱柱中，分别是中点， 所以面，平面， 所以，又，，平面， 所以面，面， 所以，， 所以为二面角的平面角， 连接，在中，， 在中，， 由（2）知，所以， 所以， 所以二面角的大小为. 19. 已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． （1）若，求函数的“平衡”数对； （2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】（1） （2）是 （3） 【解析】 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【小问1详解】 根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, 【小问2详解】 若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. 【小问3详解】 假设存在实数，对于定义域内的任意均有 则 均为函数的“平衡”数对， ，函数单调递增， 即的取范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期期末考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则它的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. （ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 7. 在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数学课上老师给出同学们一组数据：，则该组数据的（ ） A. 平均数为5 B. 第60百分位数为 C. 中位数为4 D. 方差为 10. 若，为空间中两条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 已知为圆锥底面圆的直径，，，点为圆上异于的一点，为线段上的动点（异于端点），则（ ） A. 直线与平面所成角的最大值为 B. 圆锥内切球的体积为 C. 棱长为的正四面体可以放在圆锥内 D. 当为的中点时，满足的点有2个 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则在方向上的投影数量是______. 13. 在平面四边形中，，，，，，以直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的体积为______． 14. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）证明：的定义域与值域相同． （2）若，，，求m的取值范围． 16. 如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和． 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若面积为，外接圆面积为，求周长. 18. 如图，在正三棱柱中，D，E分别是BC，的中点，若，. （1）证明：平面； （2）求到平面的距离： （3）求二面角的大小. 19. 已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． （1）若，求函数的“平衡”数对； （2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $