考点56圆锥曲线中定点与定值问题（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

考点56圆锥曲线中定点与定值问题 （2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【核心题型】 题型一　定点问题 　求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 【例题1】（2024·北京·模拟预测）已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由． 【变式1】（2024·广东·一模）设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为. (1)求; (2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 【变式2】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过作直线与交于两点，（）． (1)当时，求的值； (2)是否存在异于点的定点使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3】（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线上的两点的横坐标分别为. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 题型二　定值问题 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 【例题2】（2024·江苏苏州·模拟预测） 已知椭圆 与圆 在第一、第四象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 【变式1】（2021·广西柳州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，的面积为，点为椭圆的下顶点，. (1)求椭圆的标准方程. (2)椭圆上有两点，（异于椭圆顶点且与轴不垂直），当的面积最大时，证明：直线与的斜率之积为定值. 【变式2】（2024·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率为定值； (2)为坐标原点，若的面积为，求直线的方程． 【变式3】（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·福建·模拟预测）设双曲线C其中一支的焦点为F，另一支的顶点为A，其两渐近线分别为. 若点B在m上，且，则m与n的夹角的正切值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆：，点，，且，则“上存在点使”是“以为直径的圆与椭圆存在公共点的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不必要也不充分 3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：的上、下顶点分别为，，是椭圆上异于，的一点，直线和的斜率分别为，，则满足的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线上一点，直线与抛物线交于与不重合的两点．若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（    ） A．C的离心率为3 B．当时， C． D．为定值 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）对于抛物线 F 是它的焦点，γ的准线与轴交于 T，过点 T 作斜率为的直线与γ依次交于 B、A两点，使得恰有 ，下列说法正确的是（    ） A． 是定值， 不是定值 B． 不是定值， 也不是定值 C． 两点横坐标乘积为定值 D．记 AB 中点为 M， 则 M 和A 横坐标之比为定值 三、填空题 7．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 . 8．（2024·四川·模拟预测）已知点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右焦点，过点作一条直线（直线与轴不重合）交椭圆于两个不同点，连接，则 . 四、解答题 9．（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线的准线过点， (1)求抛物线的标准方程; (2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值. 10．（2021·天津·二模）已知为椭圆的焦点，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线L与椭圆交于两点，且坐标原点O到直线L的距离为的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【综合提升练】 一、单选题 1．（2023·四川自贡·三模）已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（    ） A．－2 B．－2P C．－4 D．－4P 2．（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 3．（2021·湖南永州·二模）抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值是2 B．动点P到点的距离最小值为3 C．存在直线l，使得A，B两点关于直线对称 D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点，则点N在抛物线C的准线上 4．（2023·江苏南通·模拟预测）双曲线和椭圆的右焦点分别为，，，分别为上第一象限内不同于的点，若，，则四条直线的斜率之和为（    ） A．1 B．0 C． D．不确定值 5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（    ） A．点E在定直线上 B．点E在定直线上 C．点E在定直线上 D．点E在定直线上 6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 7．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过椭圆上的任意一点M（不与顶点重合）作椭圆的切线交x轴于点N，O为坐标原点，过N作直线的垂线交直线于点P，则（    ） A．既没最大值也没最小值 B．有最小值没有最大值 C．有最大值没有最小值 D．为定值 8．（2024·江苏苏州·模拟预测）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线、的斜率分别为，且．则（    ） A．的斜率可能不存在，且不为0 B．点纵坐标为 C．直线的斜率 D．直线过定点 二、多选题 9．（2024·山东·二模）已知抛物线焦点为，过点（不与点重合）的直线交于两点，为坐标原点，直线分别交于两点，，则（    ） A． B．直线过定点 C．的最小值为 D．的最小值为 10．（2024·河南·三模）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点（非长轴端点），连接交直线于点，连接交于点（是坐标原点），则（    ）    A．为定值 B． C． D．的最大值为 11．（2023·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为 三、填空题 12．（2023·全国·模拟预测）已知A，B是双曲线上的两个动点，动点P满足，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为 ． 13．（2024·全国·模拟预测）已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上） ①； ②若，则直线MN恒过定点； ③若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为； ④若，则直线MN的斜率为． 14．（2024·宁夏银川·三模）已知曲线，，，P为C上异于A，B的一点，直线与直线交于M，直线与直线交于点N，则有以下四种说法： ①存在两个定点，使得P到这两个定点的距离之和为定值 ②直线与直线的斜率之差的最小值为 ③的最小值为 ④当直线的斜率大于时，大于 其中正确命题的序号为 . 四、解答题 15．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 16．（2021·北京丰台·二模）已知椭圆，过点的直线交椭圆于点． (1)当直线与轴垂直时，求； (2)在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由． 17．（2024·广东广州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 18．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点． (1)求证：直线过定点，并求出定点坐标； (2)求四边形面积的最大值． 19．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)求的方程． (2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． (3)证明：点H在直线上． 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为 2．（2023·河南·二模）已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论： ①C的离心率为2；             ②C的焦点弦最短为6； ③动点P到两条渐近线的距离之积为定值； ④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.则直线MN必过一定点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 4．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为F，动点M，N在直线：上，且，线段，分别交C于P，Q两点，过P作的垂线，垂足为.设的面积为，的面积为，则（    ） A．的最小值为 B． C．为定值 D．的最小值为 5．（2024·河北沧州·三模）已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（    ） A．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点 B．若直线的斜率之积为，则直线恒过定点 C．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点 D．若直线的斜率之积为.则直线恒过定点 三、填空题 6．（2024·四川宜宾·二模）已知为抛物线的焦点，过直线上的动点作抛物线的切线，切点分别是，则直线过定点 . 7．（2021·宁夏中卫·三模）已知椭圆与双曲线共焦点，过椭圆上一点的切线与轴、轴分别交于、两点（、为椭圆的两个焦点）．又为坐标原点，当的面积最小时，下列说法所有正确的序号是 ． ①； ②当点在第一象限时坐标为； ③直线的斜率与切线的斜率之积为定值； ④的角平分线（点在上）长为． 四、解答题 8．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值. 9．（2024·云南·模拟预测）抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．    (1)求抛物线的标准方程； (2)当时，求弦的长； (3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点． 10．（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点56圆锥曲线中定点与定值问题 （2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【核心题型】 题型一　定点问题 　求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 【例题1】（2024·北京·模拟预测）已知椭圆，的下顶点为，左、右焦点分别为和，离心率为，过的直线与椭圆相交于，两点．若直线垂直于，则的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与坐标轴不垂直，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解. 【分析】（1）据题意可知是正三角形，由直线垂直于，可证，由此可知 ，，进而得到椭圆方程； （2）设直线的方程为，，则，得到直线方程，直曲联立， 由韦达定理可得，进而得到，代入直线方程可求出定点. 【详解】（1）由题意可知， 因为离心率为， 所以， 所以，故是正三角形，如图所示： 若直线，则直线垂直平分线段， 所以， 由于的周长为，故的周长为， 由定义可知：， 所以的周长为，故， 所以，故， 所以椭圆的方程：. （2）由题意可设直线的方程为，，则，如图所示： 可得直线的方程为：， 因为， 将其代入直线方程，可得， 可整理得：， 联立方程得， 则， 所以，即， 将其代入式中，可得直线方程为：， 可见直线过定点， 所以直线过定点，坐标为. 【变式1】（2024·广东·一模）设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为. (1)求; (2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点的坐标为，然后表示出直线的斜率，再由它们的斜率之积是，列方程化简可得点的轨迹方程； （2）设，当直线斜率不存在时，求得直线为 0，当直线斜率存在时，设直线 ，由得，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，代入上式化简可得，从而可求得直线恒过的定点. 【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线 的斜率， 同理，直线 的斜率， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为， 即点的轨迹是除去 两点的椭圆. （2）证明：设 ①当直线斜率不存在时，可知 ， 且有， 解得，此时直线为 0， ②当直线斜率存在时，设直线 ，则此时有： 联立直线方程与椭圆方程 ， 消去 可得： ， 根据韦达定理可得： ，， 所以， 所以， 所以 所以，则或， 当时，则直线 恒过点与题意不符，舍去， 故，直线恒过原点， 结合①，②可知，直线恒过原点 ，原命题得证. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题 【变式2】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过作直线与交于两点，（）． (1)当时，求的值； (2)是否存在异于点的定点使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【分析】（1）设,由并与抛物线方程联立得，结合数量积的坐标表示计算即得. （2）确定点在轴上，设出直线的方程，，与抛物线方程联立，利用韦达定理及直线斜率和为0即可. 【详解】（1）当时，直线垂直轴，故，所以不合题意， 故，设，由得，即，， ，得，，即，则， 又，得， 故 , 化简得:,则或． （2）由题意，当时，直线垂直轴，， 在轴上， 故若存在定点，则必在轴上， 记直线的斜率分别为，则，     设，， 联立与得， 所以，     因为， 即，则， 故存在定点使得． 【变式3】（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线上的两点的横坐标分别为. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为原点 【分析】（1）设出两点，运用两点间距离公式构造方程求解即可； （2）过点的直线的方程为，直线的斜率分别为.联立抛物线，运用韦达定理，得到，则，即可证明. 【详解】（1）因为点的横坐标分别为，所以， 则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意，知直线的斜率存在，设，过点的直线的方程为，直线的斜率分别为. 当时，， 因为，所以以为直径的圆过原点. 以下证明当时，以为直径的圆过原点. 由，消去，得， 由根与系数的关系，得， ， 所以，所以以为直径的圆过原点. 综上，以为直径的圆过原点. 题型二　定值问题 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 【例题2】（2024·江苏苏州·模拟预测） 已知椭圆 与圆 在第一、第四象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆和圆的对称性可得，，再代入椭圆和圆的方程中，解方程组求出和的值即可； （2）设，，易知四边形是平行四边形，设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式以及椭圆的方程，推出，再利用点到直线的距离公式，表示出四边形的面积，然后化简即可得定值． 【详解】（1）由对称性知，， 因为，，所以△是边长为1的等边三角形， 因为位于第一象限，所以,， 代入椭圆的方程有， 代入圆的方程有， 联立解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明：设，，则直线的斜率为，且，即， 因为，所以四边形是平行四边形，， 设直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 所以， 因为， 所以， 整理得，即， 而点到直线的距离为， 所以四边形的面积，为定值． 【变式1】（2021·广西柳州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，的面积为，点为椭圆的下顶点，. (1)求椭圆的标准方程. (2)椭圆上有两点，（异于椭圆顶点且与轴不垂直），当的面积最大时，证明：直线与的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件可得，，，解方程求出的值即可得椭圆的标准方程； （2）设，，直线的方程为：与椭圆方程联立，可得、、，由弦长公式计算，点到直线的距离，由基本不等式可得的面积最大时与满足的关系，代入中计算即可求解. 【详解】（1）由题意可得：在中，，即，所以， 椭圆：中，令可得， 所以，可得，所以， 所以，因为，， 则， 可得，所以，， 所以椭圆的标准方程为：. （2）设直线的方程为：，，， 由可得：， ，即， ，， 所以 ， 点到直线的距离， 所以的面积为 ，当且仅当即时等号成立， ， 所以当的面积最大时，直线与的斜率之积是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求定值的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大. 【变式2】（2024·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率为定值； (2)为坐标原点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得的关系，求解即可. （2）设，求得弦长与原点到直线的距离，由面积可求直线的方程. 【详解】（1）由已知可得，解得， 所以双曲线方程为， 设， 所以，两式相减，可得， 又线段的中点为，所以，， 所以，解得， 所以直线的斜率为定值； （2）由（1）设直线的方程为， 由，所以，整理可得， 所以，解得或， 所以，，    所以， 又原点到直线的距离为, 所以的面积为， 化简可得，解得， 所以直线的方程． 【变式3】（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值0. 【分析】（1）先设点，然后求出切线解析式，根据即可求出结果. （2）设直线的方程,通过和抛物线联立求出韦达定理，同理求出和抛物线联立的韦达定理，然后代入即可. 【详解】（1）设切点，则在点处切线斜率为， 所以以为切点的切线方程为. 因为切线过点，所以，同理， 所以是方程的两个根，则. 又因为， 所以，即. 又因为，所以， 所以抛物线的方程为. （2） 由题意，斜率都存在且不为0，设直线的方程为. 联立直线和抛物线的方程，得，所以. 设，则，同理， 所以 所以， 所以等于定值0. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·福建·模拟预测）设双曲线C其中一支的焦点为F，另一支的顶点为A，其两渐近线分别为. 若点B在m上，且，则m与n的夹角的正切值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设双曲线标准方程，由双曲线的特征三角形计算判定，结合条件可求得，再求夹角正切即可. 【详解】 记两渐近线的交点为O，设，双曲线实轴长，焦距， 由双曲线的定义得：，其渐近线方程为：， 由知，，所以， 因为，知为的平分线， 记n交于点H， 因为渐近线的性质，有， 综上，，则m与n的夹角的正切值为. 故选:B. 2．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆：，点，，且，则“上存在点使”是“以为直径的圆与椭圆存在公共点的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不必要也不充分 【答案】A 【分析】根据可得在以为直径的圆，即可判断充分性，举反例即可判断不必要性. 【详解】由题，即在以为直径的圆上且不与，中任意一点重合，故为充分条件， 当时，以为直径的圆与椭圆公共点为，，不符合题意，故不是必要条件. 故选：A 3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：的上、下顶点分别为，，是椭圆上异于，的一点，直线和的斜率分别为，，则满足的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点在椭圆上及两点斜率公式转化计算得，再判定选项即可. 【详解】由题意可知，．设（），则， 所以，所以， 所以．结合选项可得椭圆的方程可以为． 故选:C． 4．（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线上一点，直线与抛物线交于与不重合的两点．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将点点代入抛物线方程求得的值，进一步联立直线与抛物线方程，设，由得对应向量的数量积为0，即，结合韦达定理即可运算得解. 【详解】 由点在抛物线上，得，解得，所以抛物线． 联立抛物线方程与直线方程，得消去，整理得． , 设，则． 由根与系数的关系，得，． 因为， 所以， 即， 所以． 又点与点不重合，所以， 等式两边同时除以，得， 得，即， 所以． 故选：A． 二、多选题 5．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（    ） A．C的离心率为3 B．当时， C． D．为定值 【答案】BCD 【分析】根据离心率的公式即可求解A，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D. 【详解】由题意得，，故A错误； 联立，得，解得或，则，故B正确； 由直线：可知，又，，故在线段的中垂线上， 设，的斜率分别为，，，故直线的方程为， 联立，得， 设，则，，故. 当轴时，，是等腰直角三角形，且易知； 当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故， 因为，所以，所以，，故C正确； 因为，故，故，故D正确. 故选:BCD. 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）对于抛物线 F 是它的焦点，γ的准线与轴交于 T，过点 T 作斜率为的直线与γ依次交于 B、A两点，使得恰有 ，下列说法正确的是（    ） A． 是定值， 不是定值 B． 不是定值， 也不是定值 C． 两点横坐标乘积为定值 D．记 AB 中点为 M， 则 M 和A 横坐标之比为定值 【答案】AD 【分析】由题意可得点的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，再由，可得点B的坐标，进而可得直线AB的斜率，判断出AB的真假，由两根之积可得A，B的横坐标之积，判断出C的真假，由C选项分析，可得点A的横坐标，及A，B的中点M的横坐标，可得M和A的横坐标之比，判断出D的真假. 【详解】如图， 由题意得，设， 设直线的方程为（不等于0）， 联立，可得， 所以 对于A，由，即， 可得，即， 解得，由，则，可得， 可得的横坐标，即， 可得为定值，故A正确B错误； 对C， 两点横坐标乘积为，不是定值，故C错误； 对D，由题意，的横坐标为 ， 由C选项分析可得点A的横坐标为， 所以为定值，故D正确. 故选：AD 三、填空题 7．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 . 【答案】 【分析】先根据渐近线的倾斜角算出，然后联立直线和双曲线，结合题目条件和韦达定理找到的关系，从而得到定点. 【详解】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为. 设，，联立得， . 由韦达定理得，. 因为，所以. 所以，由题意知，此时. 所以直线方程为，恒经过的定点为. 故答案为： 8．（2024·四川·模拟预测）已知点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右焦点，过点作一条直线（直线与轴不重合）交椭圆于两个不同点，连接，则 . 【答案】/ 【分析】利用椭圆方程可知，再设直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理来计算，最后得到一个定值. 【详解】由题知，设，直线， 联立消去整理得， 所以， 因此， 故答案为：. 四、解答题 9．（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线的准线过点， (1)求抛物线的标准方程; (2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值. 【答案】(1)y2＝8x (2)证明见解析，8 【分析】（1）根据准线过点即可求出p，进而可知抛物线标准方程； （2）假设直线的方程，与抛物线联立，进而可以得到与其中垂线的交点坐标，进而可以表示出中垂线方程，进而求点的坐标，再求即可. 【详解】（1）解:(1)由题意得 ∴抛物线的方程为 （2）设，直线的斜率为 则直线方程为 将此式代入，得， 故 设的中垂线为直线m，设直线m与的交点为 则 故直线m的方程为 令得点P的横坐标为 故 ∴为定值8 10．（2021·天津·二模）已知为椭圆的焦点，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线L与椭圆交于两点，且坐标原点O到直线L的距离为的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，定值为 【分析】（1）利用椭圆的定义求出的值，再结合的值可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，求出点的坐标，计算出；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，由已知条件得出，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出，综合可得出结论. 【详解】（1）依题意，椭圆的两焦点为，因为点在椭圆上， 所以由椭圆的定义，可得 ， 即又，所以， 所以椭圆的方程为； （2）是，，理由如下， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 由对称性，不妨令直线的方程为， 由，解得或， 令点， 此时，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，点 由点到直线的距离公式，可得，则， 由，得， 则， 即，， 所以 ， 所以，即. 综上所述，的大小为定值，该定值为.    【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【综合提升练】 一、单选题 1．（2023·四川自贡·三模）已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（    ） A．－2 B．－2P C．－4 D．－4P 【答案】C 【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标，从而可设直线的方程为，设，联立直线与抛物线得交点坐标关系，根据直线斜率的坐标运算化简代入即可得答案. 【详解】抛物线：的焦点坐标为， 所以直线的方程为，设 则，消去得，，所以， 则. 故选：C. 2．（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【答案】D 【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点. 【详解】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D 3．（2021·湖南永州·二模）抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值是2 B．动点P到点的距离最小值为3 C．存在直线l，使得A，B两点关于直线对称 D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点，则点N在抛物线C的准线上 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义计算A，设的坐标，由两点间的距离公式求出的表达式，由二次函数的最值的求法可得B不正确；设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理计算即可判断C；设，，，，利用导数求出切线方程，联立即可得到，从而判断D； 【详解】解：A：过点作垂直准线交准线于点，当在与抛物线的交点时，的值最小， 由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离即， 所以，所以A正确； B：设则，所以，当时，的最小值为，所以B不正确； C：假设存在这样的直线，由题意设直线的方程为：，设，，，， 联立可得：， ，所以， 所以，， 所以，的中点为， 由题意可得在直线上，所以，解得，不满足，所以C不正确； D：设，，，，由，则， 设直线的方程为：， 所以，切线方程分别为：，即， 同理可得：， 两式联立求出，可得， 因为，在抛物线上， ，整理可得：， 所以， 所以，不在准线上，所以D不正确． 故选：A． 4．（2023·江苏南通·模拟预测）双曲线和椭圆的右焦点分别为，，，分别为上第一象限内不同于的点，若，，则四条直线的斜率之和为（    ） A．1 B．0 C． D．不确定值 【答案】B 【分析】设为原点，则，，结合题意可得，即可得到.由可得，进而得到.设，，分别代入双曲线和方程，可得，再表示出和，进而求解. 【详解】设为原点，则，， 而，得， 所以、、三点共线. 因为，所以，且， 得， 所以，即. 设，，分别代入双曲线和， 则，即， 所以， ， 因为、、三点共线， 所以， 即. 故选：B. 5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（    ） A．点E在定直线上 B．点E在定直线上 C．点E在定直线上 D．点E在定直线上 【答案】A 【分析】先设直线，然后根据韦达定理求出E点坐标，根据直线垂直列出方程求解,最后代入E点即可求出E所在直线. 【详解】由题意知,设直线l的方程为,设, 联立消去得, 所以 ， 所以 所以的中点， 因为, 所以 ， 即, 整理得, 所以E在定直线上， 故选:A. 6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【分析】利用三角换元得到，利用斜率公式可求与的关系，化简后可得的关系，故可判断AB的正误，根据面积公式可求（用表示），故可判断CD的正误. 【详解】由于双曲线的对称性，可设, 由双曲线可得， 则 , 因此,其中， 对于不是定值，故不正确； 对于,由于,即， 若为定值,则为定值,从而和是确定的值, 于是均为定值,这是不可能的,故B错误. 对于选项, 因此是定值,不是定值， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是利用三角换元法假设出，然后利用直线的斜率公式和正切的二倍角公式进行化简，即可判断每个选项 7．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过椭圆上的任意一点M（不与顶点重合）作椭圆的切线交x轴于点N，O为坐标原点，过N作直线的垂线交直线于点P，则（    ） A．既没最大值也没最小值 B．有最小值没有最大值 C．有最大值没有最小值 D．为定值 【答案】D 【分析】利用导数求得切线斜率以及方程，从而求得点坐标，再结合点到直线的距离公式以及两点之间的距离公式求得，再求乘积即可. 【详解】设，对求导可得：，解得，故方程为：， 即，，又，故方程为：； 令，解得，故；又方程为，故 则， 又，故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数求导求得过点的切线方程，事实上，也可在选填中根据二级结论直接写出方程. 8．（2024·江苏苏州·模拟预测）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线、的斜率分别为，且．则（    ） A．的斜率可能不存在，且不为0 B．点纵坐标为 C．直线的斜率 D．直线过定点 【答案】D 【分析】A选项，求出，得到，由离心率得到椭圆方程，求出，若的斜率不存在，则重合，A错误；B选项，设出直线，联立抛物线方程，得到两根之和，得到，进而得到；C选项，求出，联立抛物线方程，得到，结合，同理得到，从而得到当时，满足要求；D选项，在C选项基础上，分与两种情况，求出直线的方程，判断其过定点. 【详解】A选项，由题意得，故， 因为，且，解得， 故椭圆方程为，故， 若的斜率不存在，则重合， 因为动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，故A错误； B选项，因为动点P、Q为椭圆上异于A、B两点， 所以直线的斜率存在且不为0，设直线， 联立得，， 则，故， 故，B错误； C选项，直线， 联立得，， 则，故， 则， 因为，所以，， 若，则，， ，，此时不与重合，两者也不重合，满足要求，C错误； D选项，若，此时，故直线与轴垂直，且过点； 若， 由于，， 故 ， 故直线方程为， 令得. 故直线过定点， 综上，直线过定点，D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：（1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 二、多选题 9．（2024·山东·二模）已知抛物线焦点为，过点（不与点重合）的直线交于两点，为坐标原点，直线分别交于两点，，则（    ） A． B．直线过定点 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】设直线与抛物线联立可得抛物线交点坐标，由可得，从而求得的值，即可判断A；设直线，与抛物线联立可得交点坐标关系，从而可确定直线所过的顶点，即可判断B；根据坐标关系求解，结合基本不等式得求得最值，即可判断C；根据坐标运算可得，结合基本不等式的最值，即可判断D. 【详解】设直线与抛物线联立可得：， 设，则， 因为，所以，解，故A正确； 由A可知，，设直线，与抛物线联立可得，， 设，所以，同理可得，所以, 直线，即，所以直线过定点，故B错误； ，故C正确； ， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为,； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 10．（2024·河南·三模）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点（非长轴端点），连接交直线于点，连接交于点（是坐标原点），则（    ）    A．为定值 B． C． D．的最大值为 【答案】AC 【分析】设点的坐标为，，而，对于A，求出直线的斜率进行判断；对于B，C，求出直线的方程，令，求出的值，可得点的坐标，然后可求出的斜率进行判断；对于D，求出直线，的方程，两方程联立可求出点的坐标，从而可表示出的长，进而可判断其最值 【详解】由题意知，因为点在椭圆上， 所以设点的坐标为，，． 对于A，，故A正确； 对于B，因为，直线的方程为，令，得，故， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，的方程为，的方程为， 联立直线的方程可求得，，故点，又， 所以， 当，时，，故，故D错误． 故选：AC． 11．（2023·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为 【答案】ACD 【分析】设出点P坐标，直接计算可判断A、C；比较双曲线的通径长和实轴长可判断B；设出直线l的方程后联立渐近线方程，求出点M，N的坐标，再联立直线l与双曲线方程，利用判别式为零可得参数关系，进而计算点M，N的纵坐标之积可得结果. 【详解】依题意，，，，，， 设，则，，即， 双曲线C的两条渐近线方程为， 对于A，，A正确； 对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为， 若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为，B错误； 对于C， 是定值，C正确； 对于D，不妨设，，直线l的方程为， 由得， 若直线l与双曲线C相切，则， 化简整理得， 则点M，N的纵坐标之积，D正确. 故选：ACD.      三、填空题 12．（2023·全国·模拟预测）已知A，B是双曲线上的两个动点，动点P满足，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为 ． 【答案】 【分析】设,根据得到，，根据点,在双曲线上则，代入计算得，根据双曲线定义即可得到为定值. 【详解】设,则由, 得， 则，， 点,在双曲线上, ，则 ， 设分别为直线,的斜率,根据题意, 可知,即， ，即 在双曲线上,设该双曲线的左、右焦点分别为， 由双曲线定义可知||为定值，该定值为. 故答案为：. 13．（2024·全国·模拟预测）已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上） ①； ②若，则直线MN恒过定点； ③若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为； ④若，则直线MN的斜率为． 【答案】①④ 【分析】对于①：根据抛物线的定义分析求解；对于②：设直线MN的方程为，，，根据垂直关系的斜率关系结合韦达定理分析求解；对于③：由题意可知外接圆圆心的纵坐标为，结合抛物线的定义分析求解；对于④：由题意可知直线MN过焦点F，且，结合抛物线的定义分析求解. 【详解】对于①：根据抛物线的定义得，解得， 所以抛物线，，故①正确； 因为直线MN，OM，ON的斜率必存在，设直线MN的方程为，，， 联立方程，相切y得， 则，，， 因为，所以， 解得，满足， 所以直线MN恒过定点，故②错误； 对于③：因为线段OF的垂直平分线，可知外接圆圆心的纵坐标为， 所以外接圆半径为，故③错误； 对于④：因为，可知直线MN过焦点F，且， 设直线MN的倾斜角为， 不妨设M在第一象限，如图，过点M，N分别向准线作垂线段MA，NB，过点N向MA作垂线段NC， 设，则，，， 则，，，， 所以直线MN的斜率为，故④正确． 故答案为：①④. 【点睛】 方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 14．（2024·宁夏银川·三模）已知曲线，，，P为C上异于A，B的一点，直线与直线交于M，直线与直线交于点N，则有以下四种说法： ①存在两个定点，使得P到这两个定点的距离之和为定值 ②直线与直线的斜率之差的最小值为 ③的最小值为 ④当直线的斜率大于时，大于 其中正确命题的序号为 . 【答案】①②③ 【分析】由曲线方程得出为椭圆的上半部分，根据椭圆定义判断①；对于②，设坐标，表示出直线与直线的斜率之差，利用基本不等式求得最小值；对于③④，表示出直线和的方程，与的坐标，利用距离公式以及基本不等式和函数单调性求得. 【详解】由，得（）， 则表示椭圆的上半部分， 对于①，根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为定值，故①正确； 对于②，设，则， 设，则，， 所以直线与直线的斜率之差为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线与直线的斜率之差的最小值为，故②正确； 对于③，直线的方程为，则的坐标为， 直线的方程为，则的坐标为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故③正确； 对于④，设函数（）， 由对勾函数的性质可得在上为增函数， 所以， 因为，故④错误． 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法：特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法：常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 四、解答题 15．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程； （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点． 【详解】（1）由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 16．（2021·北京丰台·二模）已知椭圆，过点的直线交椭圆于点． (1)当直线与轴垂直时，求； (2)在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）写出直线方程，与椭圆联立，求出两点坐标，即可求出. （2）当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，写出韦达定理，用坐标表示，代入韦达定理，分析为定值的条件，求出点的坐标，再验证斜率不存在时的情况，得出答案. 【详解】（1）解:联立,得或 所以． （2）假设存在，使为定值． 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立得． 显然，设， 则． 所以 ． 若为常数，只需， 解得，此时． 当直线与轴垂直时，不妨设， 当点坐标为时，． 满足为定值． 综上，存在点，使为定值． 17．（2024·广东广州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解； （2）利用“点差法”可得直线斜率与斜率关系，再由圆的性质可得斜率的关系，化简即可得证. 【详解】（1）代入双曲线上两点得，， 故，解得，， 故双曲线C标准方程为：. （2）如图， 设，， 由题知， 相减得， 又， 所以， 由为圆的一条非直径的弦，为中点得，故， 因此为定值. 18．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点． (1)求证：直线过定点，并求出定点坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）依题求出椭圆方程，设，由直线，方程分别与椭圆方程联立，求出点的坐标，由对称性知，定点在轴上，设为，由求出的值即得； （2）根据图形，可得四边形的面积，代入和，经过换元，运用基本不等式和函数的单调性即可求得面积最大值. 【详解】（1） 由题意知，，椭圆： 如图，设， 当时，直线的方程为：，代入， 得，则，从而，点 又直线的方程为：，代入， 得则，从而，点 由对称性知，定点在轴上，设为 由，即，化简得， 因故得，解得. 即直线过定点，而当时，直线也过定点． 综上，直线恒过定点． （2） 由图可知四边形的面积为 ， 令，当且仅当时等号成立， 因在上单调递增，而， 故当时，四边形面积有最大值． 【点睛】方法点睛：本题主要考查直线过定点和四边形面积的最值问题，数据计算较大. 求解直线过定点问题，一般是通过消参后将直线方程化成含一个参数的方程，再求定点；对于四边形面积问题，常运用合理的拆分或拼接，使其表达式易于得到，再利用基本不等式，或函数的单调性求其范围即可. 19．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)求的方程． (2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． (3)证明：点H在直线上． 【答案】(1) (2)直线过定点，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用焦点坐标求抛物线的方程； （2）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （3）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【详解】（1）抛物线的焦点为，则有，， 所以抛物线的方程为. （2）直线，与抛物线各有两个交点，可知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得，， 由A为弦MN的中点，有，则， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，可知时， 所以直线过定点，其坐标为. （3），同理得， 此时直线的方程为， 即， 同理，直线的方程为， 由，消去解得， 故直线ME与直线NP的交点在直线上. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为 【答案】A 【分析】根据题意，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出，求出点的坐标，可求得，即可计算出的值. 【详解】若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意； 由题意，，设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，则， 所以，， 线段的中点为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 所以，，因此，. 故选：A. 2．（2023·河南·二模）已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论： ①C的离心率为2；             ②C的焦点弦最短为6； ③动点P到两条渐近线的距离之积为定值； ④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 ①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可. 【详解】由题意可得，即①正确； 显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2＜6，即②错误； 易知双曲线的渐近线方程为，设点，则，且到两条双曲线的距离之积为是定值，故③正确； 对于④，先推下双曲线的焦半径公式： 对双曲线上任意一点及双曲线的左右焦点， 则， 同理， 所以，此即为双曲线的焦半径公式. 设点，由双曲线的焦半径公式可得， 故， 其中，则， 由二次函数的性质可得其最大值为，当且仅当，即时取得，故④错误； 综上正确的是①③两个. 故选：B 3．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.则直线MN必过一定点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过联立方程组求得两点的坐标，进而确定定点的坐标. 【详解】依题意得， 直线的方程为， 由消去并化简得， ， 则， 所以. 直线的方程为， 由消去并化简得， ， 所以， 所以. 若，即， 即，即， ，则，所以， 此时直线过点. 若，依题意， 所以直线的方程为， ， ， 所以直线过点， 综上所述，直线过定点. 故选：A    二、多选题 4．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为F，动点M，N在直线：上，且，线段，分别交C于P，Q两点，过P作的垂线，垂足为.设的面积为，的面积为，则（    ） A．的最小值为 B． C．为定值 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由三角形相似和基本不等式，即可判断A；代入两点间距离公式，化简后，即可判断B；根据直角三角形的性质，结合B选项，即可判断C；设，利用三角函数表示，再通过换元，利用导数判断函数的单调性，即可求函数的最值. 【详解】对于A，易得，设，则， 设，，由三角形相似可得， 所以，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，设，则，由，得， 所以，所以，故B正确； 对于C，由，可得，所以， 整理得，为定值，故C正确； 对于D，易知，设， 则，， 设，则，解得， 同理可得， 所以， 令， 则，设， 则， 所以在上单调递减，故的最小值为，故D错误. 故选：BC 【点睛】难点点睛：本题的难点是D选项的判断，需根据，转化为三角函数的问题，再利用换元，转化为一般函数问题，再利用导数判断函数的单调性，即可求最值. 5．（2024·河北沧州·三模）已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（    ） A．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点 B．若直线的斜率之积为，则直线恒过定点 C．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点 D．若直线的斜率之积为.则直线恒过定点 【答案】ABC 【分析】A选项，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，得到直线恒过定点；B选项，在A选项基础上，得到方程，求出，得到恒过定点；C选项，根据斜率公式得到方程，求出或，求出恒过定点；D选项，根据斜率之积为-1得到方程，求出直线恒过定点. 【详解】A选项，易知，，设，. 依题意，设直线的方程为. ，，，. 联立得. ，. ， ， . 代入整理，得. ，， . 直线恒过定点，A正确； B选项，， 代入整理，得，解得或（舍去）. 直线恒过定点，B正确； C选项， ， 代入整理，得， 或，恒过定点或， 由于，故舍去，C正确； D选项，.代入整理，得， 解得或，恒过定点或. 由于，故舍去， 直线恒过定点，D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：处理定点问题 （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 三、填空题 6．（2024·四川宜宾·二模）已知为抛物线的焦点，过直线上的动点作抛物线的切线，切点分别是，则直线过定点 . 【答案】 【分析】设，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，从而可确定直线的方程，进而可得出答案. 【详解】设， 由，得，则， 则抛物线在点处得切线方程为， 即， 又，所以， 又因为点在切线上，所以，① 同理可得，② 由①②可得直线的方程为， 所以直线过定点.    故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 7．（2021·宁夏中卫·三模）已知椭圆与双曲线共焦点，过椭圆上一点的切线与轴、轴分别交于、两点（、为椭圆的两个焦点）．又为坐标原点，当的面积最小时，下列说法所有正确的序号是 ． ①； ②当点在第一象限时坐标为； ③直线的斜率与切线的斜率之积为定值； ④的角平分线（点在上）长为． 【答案】①④ 【分析】求出的值，可判断①的正误；设点在第一象限内，利用基本不等式求得面积的最小值，利用等号成立可求得的值，可判断②的正误；利用斜率公式可判断③的正误；利用等面积法可求出的长，可判断④的正误. 【详解】对于①，双曲线的焦点坐标为，所以，，，，①正确； 对于②，由于椭圆的对称性，设点为第一象限内的点， 设点，则，先证明椭圆在其上一点处的切线方程为. 联立，可得，即，解得. 所以，椭圆在其上一点处的切线方程为. 所以点、，由基本不等式可得，可得， ， 当且仅当时，等号成立，此时，，②错误； 对于③，，，所以，，③错误； 对于④，以为直径的圆的方程为， ，则点在圆上，则， ，由等面积法可得，解得. 故答案为：①④. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解； （2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切. 四、解答题 8．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题中条件找到双曲线中的，从而求出的方程. （2）利用平移齐次化进行证明即可. 【详解】（1）由双曲线过点，则， 又离心率为2，则，即， ，即，代入， 可得，，， 因此，的方程为：. （2） 将双曲线向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到双曲线为，得到的双曲线如图所示， 则平移到，平移到， 平移后，变为，，设，，直线的方程为：①， ②， 将①代入②，用“1”的代换得，则， 各项同时除以，得，则， 又直线过，则，即， 因此， 故当直线，的斜率存在时，，的斜率之积为定值. 【点睛】方法点睛：平移齐次化的步骤， （1）平移； （2）与圆锥曲线联立并其次化； （3）同除； （4）利用根与系数的关系进行证明结论；如果是过定点的问题还需要平移回去. 9．（2024·云南·模拟预测）抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．    (1)求抛物线的标准方程； (2)当时，求弦的长； (3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由曲线图象经过点，可得，则得抛物线的标准方程； （2）写出的方程,和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，则； （3）设直线的方程为，，，，，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，．直线的方程为，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，同理可得，由，可得，则直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令，可得，则的直线过定点． 【详解】（1）曲线图象经过点，所以，所以， 所以抛物线的标准方程为． （2）由（1）知，当时，,所以的方程为， 联立，得，则， 由，所以弦． （3）由（1）知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， ，，，， 联立得，， 因此，． 设直线的方程为，联立得， 则，因此，，得， 同理可得， 所以． 因此直线的方程为， 由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以，直线过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： (1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3)求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 10．（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)直线经过定点. 【分析】（1）根据椭圆方程确定、，利用解出即可求解； （2）设直线的方程，直曲联立根据韦达定理得：，结合为中点解出坐标，再利用，解出，即可求解； (3)分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时，设出方程，直曲联立，利用韦达定理，结合已知条件，求出直线过定点；斜率不存在时，设出、两点坐标，根据中点坐标公式，求出、坐标，结合已知条件，求出直线过定点，两种情况综合即可求解. 【详解】（1）由得，所以焦距，离心率 . （2）   ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. （3）   ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于设分斜率存在与不存在两种情况设出直线方程， 利用直曲联立得到方程，结合韦达定理解决问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$