专题7 数列（考点精讲）-2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题7 数列 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 6 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 6 考点二：数列通项公式的简单应用 7 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 9 考点四：由递推关系求数列中的项 10 考点五：等差数列的基本运算 11 考点六：等差数列性质的运用 14 考点七：等比数列的基本运算 15 考点八：等比数列性质的应用 18 考点九：等差、等比数列的设项问题 19 考点十：等差、等比数列应用 20 【考纲要求】 1.了解数列的概念和表示方法. 2.等差数列：理解等差数列的概念和通项公式的意义；掌握等差数列的前n 项和公式；理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系. 3.等比数列：理解等比数列的概念和通项公式的意义；掌握等比数列的前n 项和公式；理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系. 【考向预测】 1.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 2. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式； 3. 由an与Sn的关系求通项公式； 4. 由递推关系求数列中的项； 5. 等差数列的基本运算； 6. 等差数列性质的运用； 7. 应用问题中的对称项的设法； 8. 等比数列的基本运算； 9. 等比数列性质的应用； 10. 等比数列的设项问题. 【知识导图】 【知识清单】 1. 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n) 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫做数列{an}的前n项和 2. 数列的表示方法 通项 公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4. 数列的分类 5. 常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 6. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第_2__项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差__，通常用字母_d__表示，定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 7. 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 8. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 9.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 10.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 【考点分类剖析】 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 例1．观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式． (1)（    ），7，12，（    ），22，27，…； (2)，，（    ），，，，（    ），…； (3)1，，（    ），2，，（    ），，…； (4)，，（    ），，…． 【变式探究】1．写出数列－，，－，的一个通项公式__an＝(－1)n·__. 2．数列的一个通项公式为 . 考点二：数列通项公式的简单应用 例1．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ 例2．已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【方法归纳】　判断某数是否为数列中的项的方法及步骤 (1)将所给项代入通项公式中． (2)解关于n的方程． (3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项． 【变式探究】1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列各数中不是数列中的项的是(　B　) A．2　 B．40　 C．56　 D．90 2．数列的通项公式是. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 例1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋5，则数列{an}的通项公式为an＝____. 例2．已知数列的前项和，则 . 【变式探究】由Sn求an的一般步骤 利用an＝可由数列的前n项和Sn求得数列的通项公式．解题过程通常分为四步： 第一步，令n＝1得a1； 第二步，令n≥2得an； 第三步，在第二步求得的an的表达式中取n＝1，判断其值是否等于a1； 第四步，写出数列的通项公式(若第三步中n＝1时，an表达式的值不等于a1，则数列的通项公式一定要分段表示)． 【变式探究】1. 若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a4＝__ _，通项公式an＝__ __. 2. 已知为数列的前项和，，则（    ） 考点四：由递推关系求数列中的项 例1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，那么a4的值为(　 　) A．4　 B．8　 C．15　 D．31 例2．已知数列中，，（为大于1的正整数），则 ． 【变式探究】1. 在数列中，，，则 ． 2．设数列{an}满足写出这个数的前五项． 考点五：等差数列的基本运算 例1．等差数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　 　) A．0　 B．9 C．12　 D．18 例2．与的等差中项和等比中项分别是（    ） A． B． C． D． 例3．等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第____________项(　 　) A．60　 B．61 C．62　 D．63 例4．记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．240 B．225 C．120 D．30 例5．已知是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．15 B．20 C．25 D．－25 【方法归纳】等差数列基本量的求法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【变式探究】1. 若、、成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝(　C　) A．11　 B．12 C．13　 D．14 3．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 考点六：等差数列性质的运用 例1．已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 例2．在等差数列中，，则其前10项和（    ） A．72 B．80 C．36 D．40 例3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a8＝(　 　) A．8　 B．9　 C．10　 D．11 例4．若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75． 【变式探究】1．在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(　 　) A．9　 B．12　 C．15　 D．18 2. 在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11＝(　 　) A．58　　　　 B．88　　　　 C．143　　　　 D．176 3.在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为(　 　) A．30　 B．27　 C．24　 D．21 考点七：等比数列的基本运算 例1．若三个实数a，b，c成等比数列，其中a＝3－，c＝3＋，则b＝(　 　) A．2　 B．－2　 C．±2　 D．4 例2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　 　) A．64　 B．81 C．128　 D．243 例3．已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（    ） A．或1 B．或1 C． D． 例4．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　 　) A．5　 B．7 C．6　 D．±5 例5．已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，a1＝，6a＝a6，则S5＝_ __. 【变式探究】1．已知实数是2、8的等比中项，则（    ） A． B． C．4 D．5 2．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　 　) A．－2　 B．1或－2 C．1　 D．1或2 3．已知等比数列满足，，则数列前项的和(　 　) A． B． C． D． 4．已知在等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为(　 　) A．4　　　 B．5 C．6　 D．7 考点八：等比数列性质的应用 例1．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝_ __ 例2．已知是等比数列，若，则的值为（    ） A．9 B． C． D．81 【变式探究】1．在等比数列中，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知为等比数列，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 考点九：等差、等比数列的设项问题 例1．设三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为12，三个数的积为48，求这三个数． 【方法归纳】三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下： (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…． (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． 例2．已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数． 『方法归纳』　等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq． (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，，aq，aq3． 【变式探究】1．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． 2．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． 考点十：等差、等比数列应用 例1．5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通4640个5G基站要到（    ） A．2022年10月底 B．2022年9月底 C．2022年8月底 D．2022年7月底 例2．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署． 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是（    ） A．10万人 B．12万人 C．14万人 D．16万人 【变式探究】1．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为(　C　) A．13　 B．14　 C．15　 D．16 2. 某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 数列 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 6 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 6 考点二：数列通项公式的简单应用 7 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 9 考点四：由递推关系求数列中的项 10 考点五：等差数列的基本运算 11 考点六：等差数列性质的运用 14 考点七：等比数列的基本运算 15 考点八：等比数列性质的应用 18 考点九：等差、等比数列的设项问题 19 考点十：等差、等比数列应用 20 【考纲要求】 1.了解数列的概念和表示方法. 2.等差数列：理解等差数列的概念和通项公式的意义；掌握等差数列的前n 项和公式；理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系. 3.等比数列：理解等比数列的概念和通项公式的意义；掌握等比数列的前n 项和公式；理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系. 【考向预测】 1.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 2. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式； 3. 由an与Sn的关系求通项公式； 4. 由递推关系求数列中的项； 5. 等差数列的基本运算； 6. 等差数列性质的运用； 7. 应用问题中的对称项的设法； 8. 等比数列的基本运算； 9. 等比数列性质的应用； 10. 等比数列的设项问题. 【知识导图】 【知识清单】 1. 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n) 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫做数列{an}的前n项和 2. 数列的表示方法 通项 公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4. 数列的分类 5. 常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 6. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第_2__项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差__，通常用字母_d__表示，定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 7. 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 8. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 9.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 10.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 【考点分类剖析】 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 例1．观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式． (1)（    ），7，12，（    ），22，27，…； (2)，，（    ），，，，（    ），…； (3)1，，（    ），2，，（    ），，…； (4)，，（    ），，…． 【答案】(1)2，17， (2) ， ， (3) ， ， (4) ， 【分析】（1）由 ， 可知相邻两项的差相等，进而可得通项公式； （2）把 写成 ，分析规律可得结果； （3） 由 ，，分析规律即可得通项公式； （4）由， 可得数列的通项公式. 【详解】（1）因为 ， ， 原数列为2，7，12，17，22，27，…，相邻两项的差都是5， 故 . （2）由 ，原数列可化为，， ，，，， ，…， 可得 . （3）由 ， ，原数列可化为 ，， ， ，，，， 得 . （4）因为原数列可化为 ， ， ， ，…， 所以 . 【变式探究】1．写出数列－，，－，的一个通项公式__an＝(－1)n·__. 【详解】数列各项负正相间，选用符号选择器(－1)n，分子均为1，分母是序号的2倍，所以an＝(－1)n·. 2．数列的一个通项公式为 . 【答案】 【分析】观察数列规律可得. 【详解】观察数列可知，数列的一个通项公式为. 故答案为：. 考点二：数列通项公式的简单应用 例1．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ [分析]　(1)分别将n＝4，n＝6代入通项公式，即可求得a4，a6；(2)令an＝－49，an＝68，分别求得n的值，若n∈N*，则是数列的项，否则不是该数列的项；(3)令an<0，求出n的范围，范围内正整数的个数即数列{an}中负数项的个数． [解析]　(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60． (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项． 令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2． 因为∉N*，－2∉N*，所以68不是该数列的项． 例2．已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是数列的第10项． 【分析】（1）利用给定的递推公式，代值计算即可. （2）利用方程的正整数解即可得解. 【详解】（1）数列中，，， 所以. （2）若为数列中的项，则， 即，整理得，而，解得， 所以是数列的第10项. 【方法归纳】　判断某数是否为数列中的项的方法及步骤 (1)将所给项代入通项公式中． (2)解关于n的方程． (3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项． 【变式探究】1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列各数中不是数列中的项的是(　B　) A．2　 B．40　 C．56　 D．90 [解析]　由题意令an＝n2－n＝2，可得n＝2(负值舍去)，为正整数，即2是{an}的项；同理令an＝n2－n＝40，可得n不为正整数，即40不是{an}的项；令an＝n2－n＝56，可得n＝8(负值舍去)，为正整数，即56是{an}的项；令an＝n2－n＝90，可得n＝10(负值舍去)，是正整数，即90是{an}的项．故选B． 2．数列的通项公式是. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 【答案】(1) (2)是，第16项 【分析】（1）利用数列的通项公式能求出这个数列的第4项； （2）令，求出方程的解，即可判断． 【详解】（1）解：数列的通项公式是． 这个数列的第4项是：． （2）解：令，即， 解得或（舍， 是这个数列的项，是第16项． 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 例1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋5，则数列{an}的通项公式为an＝____. [解析]　当n＝1时，a1＝S1＝；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n＋5)－[(n－1)2＋(n－1)＋5]＝2n－. 又2×1－＝≠a1， 所以数列{an}的通项公式为an＝ 例2．已知数列的前项和，则 . 【答案】5 【分析】根据给定条件，利用的关系列式计算即得. 【详解】数列的前项和，所以. 故答案为：5 【变式探究】由Sn求an的一般步骤 利用an＝可由数列的前n项和Sn求得数列的通项公式．解题过程通常分为四步： 第一步，令n＝1得a1； 第二步，令n≥2得an； 第三步，在第二步求得的an的表达式中取n＝1，判断其值是否等于a1； 第四步，写出数列的通项公式(若第三步中n＝1时，an表达式的值不等于a1，则数列的通项公式一定要分段表示)． 【变式探究】1. 若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a4＝__7__，通项公式an＝____. [解析]　a4＝S4－S3＝16＋1－9－1＝7， an＝，即an＝. 2. 已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求得结果. 【详解】因为为数列的前项和，，则. 故选：D. 考点四：由递推关系求数列中的项 例1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，那么a4的值为(　C　) A．4　 B．8　 C．15　 D．31 [解析]　因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，所以a2＝2a1＋1＝2＋1＝3，a3＝2a2＋1＝6＋1＝7，a4＝2a3＋1＝14＋1＝15． 例2．已知数列中，，（为大于1的正整数），则 ． 【答案】/ 【分析】利用递推公式，逐一计算，可得答案. 【详解】由，则，，，. 故答案为：. 【变式探究】1. 在数列中，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据递推式先求出，再由递推式可求出 【详解】因为在数列中，，， 所以， 所以， 故答案为： 2．设数列{an}满足写出这个数的前五项． [解析]　据题意可知：a1＝1，a2＝1＋＝2， a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝. 考点五：等差数列的基本运算 例1．等差数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　B　) A．0　 B．9 C．12　 D．18 【详解】由题意得2(3x＋3)＝x＋(6x＋6)，所以x＝0． 所以等差数列的前三项为0,3,6，公差为3， 所以等差数列的第四项为9．故选B． 例2．与的等差中项和等比中项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 结合等差中项与等比中项的定义即可求解． 【详解】 与的等差中项是， 与的等比中项是 故选：A 例3．等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第____________项(　B　) A．60　 B．61 C．62　 D．63 [解析]　设公差为d，由题意，得， 解得. ∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18． 令201＝3n＋18，∴n＝61． 例4．记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．240 B．225 C．120 D．30 【答案】A 【分析】利用等差数列通项公式以及即可求出首项和公差，再代入公式即可得结果. 【详解】设等差数列的公差为．因为，，即 解得所以，所以． 故选：A． 例5．已知是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．15 B．20 C．25 D．－25 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和公式求得首项和公差即可求解. 【详解】设公差为， 则有，即， 联立解得，所以， 故选:B. 【方法归纳】等差数列基本量的求法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【变式探究】1. 若、、成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】因为、、成等差数列，则. 故选：A. 2．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝(　C　) A．11　 B．12 C．13　 D．14 [解析]　设公差为d，由题意，得， 解得.∴a6＝a1＋5d＝3＋10＝13． 3．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和公式，可得，再由等差数列的性质可知，从而求得. 【详解】由等差数列前项和公式，可知：， 所以， 由等差数列的性质“当时，”可知：， 所以. 故选：C. 考点六：等差数列性质的运用 例1．已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，解得， 故选：D. 例2．在等差数列中，，则其前10项和（    ） A．72 B．80 C．36 D．40 【答案】D 【分析】由等差数列的性质可得，由等差数列的前项和公式可求. 【详解】由等差数列的性质可得， 由题意，. 故选：D. 例3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a8＝(　B　) A．8　 B．9　 C．10　 D．11 【详解】设等差数列{an}的公差为d， 则 解得 ∴a8＝a1＋7d＝2＋7＝9，故选B． 例4．若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75． [解析]　解法一：设等差数列{an}的公差为d， ∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d， ∴，解得. ∴a75＝a1＋74d＝＋74×＝24． 解法二：∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列． 设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项， ∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4． ∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24． 【变式探究】1．在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(　A　) A．9　 B．12　 C．15　 D．18 2. 在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11＝(　B　) A．58　　　　 B．88　　　　 C．143　　　　 D．176 [解析]　S11＝＝＝＝88． 3.在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为(　A　) A．30　 B．27　 C．24　 D．21 [解析]　(1)(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝2(a2＋a5＋a8)， 即58＋(a3＋a6＋a9)＝88， 所以a3＋a6＋a9＝30． 考点七：等比数列的基本运算 例1．若三个实数a，b，c成等比数列，其中a＝3－，c＝3＋，则b＝(　C　) A．2　 B．－2　 C．±2　 D．4 [解析]　(1)三个实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac＝(3－)(3＋)＝9－5＝4，则b＝±2． 例2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　A　) A．64　 B．81 C．128　 D．243 [解析]　设等比数列的公比为q， ∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2． 又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3．∴a1＝1， ∴a7＝26＝64． 例3．已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（    ） A．或1 B．或1 C． D． 【答案】A 【分析】分别利用等比数列的通项公式和前项和公式，解方程组可得或. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，依题意得， 解得或. 故选：A. 例4．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　A　) A．5　 B．7 C．6　 D．±5 [解析]　由等比中项的性质知a1a2a3＝a＝5，a7a8a9＝a＝10，所以a2a8＝50， 所以a4a5a6＝a＝()3＝(50)3＝5. 例5．已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，a1＝，6a＝a6，则S5＝____. [解析]　设等比数列{an}的公比为q. 因为a1＝，6a＝a6，所以6×(q2)2＝q5， 解得，q＝2，则S5＝＝. 【变式探究】1．已知实数是2、8的等比中项，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】 由等比中项的定义列方程求解即可. 【详解】因为实数是2、8的等比中项， 所以，得， 故选：A 2．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　B　) A．－2　 B．1或－2 C．1　 D．1或2 [解析]　∵在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，∴a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，即q2＋q－2＝0．解得q＝1或q＝－2．故选B． 3．已知等比数列满足，，则数列前项的和(　 　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知条件求出，，再结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】由等比数列满足，， 则等比数列，即， 代入可得， 则数列前8项的和， 故选：A. 4．已知在等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为(　C　) A．4　　　 B．5 C．6　 D．7 [解析]　由an＝a1qn－1，得96＝3qn－1，∴qn－1＝32＝25． 令n＝6，q＝2，这时S6＝＝189，符合题意， 故选C． 考点八：等比数列性质的应用 例1．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝__25__ 【详解】∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5， ∴a8a9a10a11＝52＝25． 例2．已知是等比数列，若，则的值为（    ） A．9 B． C． D．81 【答案】A 【分析】利用等比数列性质，列式计算得解. 【详解】等比数列的公比为，则，又， 所以. 故选：A 【变式探究】1．在等比数列中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列下标和性质直接求解即可. 【详解】由等比数列性质知：. 故选：D. 2．已知为等比数列，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质直接计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选:B. 考点九：等差、等比数列的设项问题 例1．设三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为12，三个数的积为48，求这三个数． [解析]　设这三个数为a＋d，a，a－d(d>0) 则.解得.所以这三个数是6,4,2． 【方法归纳】三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下： (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…． (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． 例2．已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数． [分析]　求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷． [解析]　设四个数为－a，，a，aq， 则由题意得， 解得或. 因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32． 『方法归纳』　等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq． (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，，aq，aq3． 【变式探究】1．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． [解析]　设这三个数分别为a－d，a，a＋d， 则3a＝9，∴a＝3． ∴这三个数分别为3－d,3,3＋d. 由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，∴d＝－1． ∴这三个数分别为4,3,2． 2．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． [解析]　设这三个数分别为，a，aq. 由题意，得，∴， ∴9q4－82q2＋9＝0， 即得q2＝或q2＝9． ∴q＝±3或q＝±， 故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1． 考点十：等差、等比数列应用 例1．5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通4640个5G基站要到（    ） A．2022年10月底 B．2022年9月底 C．2022年8月底 D．2022年7月底 【答案】B 【分析】转化为等差数列，利用等差数列求和公式进行求解 【详解】由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G基站数量为等差数列，则公差为40， 假设要经过k个月，则， 解得：，所以预计A地区累计开通4640个5G基站要到2022年9月底， 故选：B． 例2．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署． 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是（    ） A．10万人 B．12万人 C．14万人 D．16万人 【答案】D 【分析】设第三年脱贫人口为万，则第二年脱贫人口为万，第一年脱贫人口为万，根据题意列出方程求解即可得解. 【详解】设第三年脱贫人口为万，根据题意，第二年脱贫人口为万，第一年脱贫人口为万， 三年完成脱贫任务则，解得， 所以第一年脱贫人口应为16万. 故选：D 【变式探究】1．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为(　C　) A．13　 B．14　 C．15　 D．16 [解析]　由题意可知，每日所织数量构成等差数列{an}，且a2＋a5＋a8＝15，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝28，设公差为d，由a2＋a5＋a8＝15，得3a5＝15，所以a5＝5，由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28，得a4＝4，则d＝a5－a4＝1，所以a15＝a5＋10d＝5＋10×1＝15． 2. 某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低， 所以6年后，价格降低为（元）， 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$