6.1平方根、立方根（8种题型基础练+能力提升练）（题型专练）数学新教材沪科版七年级下册

6.1平方根、立方根（8种题型基础练+能力提升练） 题型一 计算器——平方根和立方根 1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（   ） A． B． C． D． 2．用计算器求的值时，需相继按“3”“”“5”“=”键，若小颖相继按“”“4”“”“3”“=”键，则输出结果是（    ） A．6 B．8 C．16 D．48 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求算数平方根 4． 9的算术平方根是（    ） A． B．9 C． D．3 5．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若、为实数，且，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 6．（2024·安徽淮北·三模）计算： ． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）利用计算器比较大小： ； ； …… 由此可推出： ． 8．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 9．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 10．若n＜+1＜n+1，则整数n为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）已知，、是有理数，且，则的算术平方根是 ． 12．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 13．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 14．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，若，则 ． 题型三 算数平方根的实际应用 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）面积为4的正方形，其边长等于（    ） A．4的算术平方根 B．4的平方根 C．4的立方根 D．的算术平方根 16．如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（    ）      A． B． C． D． 17．（22-23七年级下·安徽淮南·期末）如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板沿虚线剪开，把剪下的①放在②的位置，③放在④的位置，⑤放在⑥的位置，⑦放在⑧的位置，这样重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）    A．2 B．4 C．5 D． 18．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 题型四 求平方根 19．下列各数中，没有平方根的是（    ） A．48 B．0 C． D． 20．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）实数的平方根是（   ） A． B． C． D． 21．已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为 22．（23-24七年级下·广西南宁·期中）若一个正数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 23．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一个正数的平方根是和，则 ． 24．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若2024是正数的平方根，是的另一个平方根，则的值为 ． 25．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知：，求x的值． 26．【观察】 ，； ，． 【推理】 (1)若，则______； (2)若，则______． 【应用】 (3)已知，． ①求a，b的值； ②若a，b同号，求的值． 题型五 平方根的应用 27．一个正数x的两个平方根分别是和，求、的值． 28．（1）若一个正数的平方根是和，求这个正数； （2）已知，求2021的值． 29．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长． 30．母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 题型六 求立方根 31．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）是的（    ） A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方 32．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．是的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有和 34．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知与相等，则b的值为 ． 35．（22-23七年级下·安徽滁州·期末）一个正数的两个平方根分别是和5，则的立方根是 ． 36．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）若，，如果，则 ． 37．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 38．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 39．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数的平方根是，实数的立方根是，求的立方根． 题型七 立方根的实际应用 40．某金属冶炼厂将27个大小相同的正方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160cm、80cm和40cm，求原来正方体钢锭的棱长. 41．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，这个正方体的体积是，且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 43．求下列各式中x的值： ； ． ； 题型八 算数平方根和立方根的综合应用 44．已知一个正数的平方根是和，则这个正数的立方根是 ． 45．已知的算术平方根是4，的立方根是，求的平方根． 46．已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 47．对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”．若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根． 一、单选题 1．下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知3既是的平方根，也是的立方根，则关于的方程的解是（    ）． A． B． C．或 D．或 4．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 二、填空题 5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 6．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 7．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题： （1）若，则 ； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为 ． 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是 cm（球的体积公式，其中是球的半径）． 9．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求＝ ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·安徽·假期作业）【观察思考】 如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案： 【规律发现】 请用含的式子表示： （1）第个图案中需要长的线段的条数为 ； （2）第个图案中需要长的线段的条数为 ； 【规律应用】 （3）若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？ 11．已知实数满足，求的平方根与立方根． 12．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 13．利用计算器计算下列各题： （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________； （5）___________； 猜想：（6）___________（用含n的式子表示）． 14．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片．   (1)大正方形纸片的边长是___________； (2)若沿着大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 ，且面积为 16．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 17．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）已知、是有理数，若，求的平方根． 18．（23-24七年级下·安徽淮南·阶段练习）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 19．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是与． (1)求x和m的值； (2)求的平方根． 20．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 21．我们规定：a≥b时，a★b=a-b；当a< b时，a★b=a2-b2． （1）求5★3的值； （2）若m> 0，化简（m+3）★（2m+3）； （3）若x★3=7，求x的值； 22．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）已知三个实数分别满足条件：是的立方根，．某正数的两个平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 23．（23-24七年级下·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： 我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． (1)试举一个例子来判断猜测的结论是否成立； (2)根据以上结论，若与的值互为相反数，求的值． 24．已知x+7的平方根是 ，的立方根是1，求的值． 25．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 26．（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （3），求的立方根． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1平方根、立方根（8种题型基础练+能力提升练） 题型一 计算器——平方根和立方根 1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查计算器—基础知识，解答本题的关键是明确第二能键是立方根．根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】解：根据按键顺序可知算式为． 故选A． 2．用计算器求的值时，需相继按“3”“”“5”“=”键，若小颖相继按“”“4”“”“3”“=”键，则输出结果是（    ） A．6 B．8 C．16 D．48 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】根据题目可将计算器按键转为算式求解． 【详解】解：将计算器按键转为算式为：， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是数的开方，将题目中的计算器按键转为算式是解题的关键． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】此题考查了计算器的使用，根据计算器各键的功能进行解答即可. 【详解】解：利用计算器求的值，其按键顺序正确的是： 故选：A. 题型二 求算数平方根 4． 9的算术平方根是（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根，利用算术平方根的定义，进行求解即可，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：9的算术平方根是； 故选：D． 5．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若、为实数，且，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查非负性，根据算术平方根和绝对值的非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 6．（2024·安徽淮北·三模）计算： ． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的运算，求一个数的算术平方根，根据，再计算有理数加减即可． 【详解】原式． 故答案为：3． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）利用计算器比较大小： ； ； …… 由此可推出： ． 【答案】 < < < < 【难度】0.85 【知识点】计算器——平方根和立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了计算器求数的算术平方根，根据题意用计算器计算出各个式子的值，再进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 由此可推出：， 故答案为：，，，． 8．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C 9．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴值是在6和7之间， 故选：D 10．若n＜+1＜n+1，则整数n为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】先估算出的大小，再估算出+1的大小，从而得出整数n的值． 【详解】∵2＜＜3， ∴3＜+1＜4， ∴整数n为3； 故选：B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，理解算术平方根的定义，是解题的关键. 11．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）已知，、是有理数，且，则的算术平方根是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解；∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2， 故答案为：2． 12．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1)81 (2)的算术平方根在之间 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了平方根及算术平方根： （1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． （2）由（1）得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 13．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 14．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴； 故答案为：． 题型三 算数平方根的实际应用 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）面积为4的正方形，其边长等于（    ） A．4的算术平方根 B．4的平方根 C．4的立方根 D．的算术平方根 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据算术平方根的定义，求解即可． 【详解】解：面积为4的正方形，其边长等于，即：4的算术平方根； 故选A． 16．如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】面积及等积变换、已知式子的值，求代数式的值、算术平方根的实际应用 【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为，然后根据直角三角形的面积和正方形的面积可建立关于的等量关系式，求解即可． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， ∵每一个直角三角形的面积为：， 从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，且大正方形面积为， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查等积变换，求代数式的值，算术平方根的应用．根据题意建立等量关系式是解题的关键． 17．（22-23七年级下·安徽淮南·期末）如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板沿虚线剪开，把剪下的①放在②的位置，③放在④的位置，⑤放在⑥的位置，⑦放在⑧的位置，这样重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）    A．2 B．4 C．5 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】根据题意，大正方形的面积等于个小正方形的面积，进而根据平方根的定义即可求解． 【详解】依题意，大正方形的面积为个小正方形的面积，即， ∴大正方形的边长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，根据题意得出大正方形的边长为是解题的关键． 18．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【难度】0.85 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 题型四 求平方根 19．下列各数中，没有平方根的是（    ） A．48 B．0 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据只有负数没有平方根进行求解即可． 【详解】解：∵48，0，都是非负数， ∴48，0，都有平方根， ∵是负数， ∴没有平方根， 故选C． 【点睛】本题主要考查了有无平方根的判断，掌握平方根的性质是解题的关键．即正数有两个平方根，且是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 20．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）实数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴实数的平方根是， 故选：C． 21．已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求代数式的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据平方根的性质得到，解方程求出n的值，然后代入n+1，最后根据平方根的概念即可求出这个数． 【详解】解：∵某一个数的平方根分别是和， ∴，解得：， ∴这个数=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．正数的两个平方根互为相反数． 22．（23-24七年级下·广西南宁·期中）若一个正数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的知识，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根互为相反数．根据正数的平方根有两个，它们互为相反数进行解答即可． 【详解】解：若一个正数的一个平方根是，则它的另一个平方根是． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知一个正数的平方根是和，则 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， ∴， 故答案为：4． 24．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若2024是正数的平方根，是的另一个平方根，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵2024和是正数a的两个平方根， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知：，求x的值． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查运用平方根的定义解方程．根据平方根的定义解方程即可求解． 【详解】解：， ∴， 由平方根定义得， ，解得， 或解得， ∴或． 26．【观察】 ，； ，． 【推理】 (1)若，则______； (2)若，则______． 【应用】 (3)已知，． ①求a，b的值； ②若a，b同号，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①或，    ②或 【难度】0.85 【知识点】绝对值的意义、有理数的减法运算、利用平方根解方程 【分析】（1）根据绝对值得定义解题即可； （2）根据平方根的定义可得结果； （3）利用绝对值和平方根的定义确定a，b的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵ ∴； 故答案为：． （2）∵ ∴ 故答案为：． （3）解：， ∴ 即：或， 由a，b同号可知， 当，时，； 当，时， 所以的值为：或 【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值，有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型五 平方根的应用 27．一个正数x的两个平方根分别是和，求、的值． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根的应用 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可以求得的值，从而可以求得的值； 【详解】由题意，得，解得，． ∴． 【点睛】本题考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 28．（1）若一个正数的平方根是和，求这个正数； （2）已知，求2021的值． 【答案】（1）25；（2）2023 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方根的应用、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根性质的应用，代数式求值， （1）根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得，求出解即可得出答案； （2）先移项，再开方，求出，即可求出答案. 【详解】解：（1）由题意，得，解得， 这个正数为25． （2）由题意，得， 或 或（不合题意，舍去）， 当时， 的值为2023． 29．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平方根的应用、利用平方根解方程 【分析】此题主要考查了平方根的应用，正确表示出总面积是解题关键．根据正方形的性质结合总面积为得出方程求解即可． 【详解】解：设需要的地板砖的边长是，根据题意可得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：需要的地板砖的边长是． 30．母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】平方根的应用 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 题型六 求立方根 31．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）是的（    ） A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查立方根，如果，那么叫做的立方根，这是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】∵， ∴， 即是的立方根， 故选：C． 32．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义，化简计算即可． 【详解】A、，故原计算错误； B、，故正确； C、，故原计算错误； D、，故原计算错误； 故选：B． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义，属于基础题型． 33．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．的立方根是 B．的平方根是 C．是的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有和 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根，立方根，算术平方根．根据相关定义和性质，逐一进行判断即可. 【详解】A.的立方根是，此选项正确； B.的平方根是，此选项错误； C.是的一个平方根，此选项正确； D.算术平方根是本身的数只有和，此选项正确． 故选：B． 34．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知与相等，则b的值为 ． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】立方根概念理解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及立方根，根据题意得到，解方程即可． 【详解】解：∵与相等 ∴， ∴． 故答案为：6． 35．（22-23七年级下·安徽滁州·期末）一个正数的两个平方根分别是和5，则的立方根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求出m的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和5， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，求一个数的立方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 36．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）若，，如果，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、数字类规律探索 【分析】本题考查了立方根的性质，如果被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，那么相应的立方根的小数点每向右（或向左）移动一位，反之也成立. 根据立方根的小数点向左移动一位，则相应的被开方数的小数点向左移动3位，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为． 37．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程； （2）根据求立方根的方法解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 38．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为4的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， 则的平方根是． 39．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数的平方根是，实数的立方根是，求的立方根． 【答案】的立方根是 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根、已知一个数的立方根，求这个数、加减消元法 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的立方根，解二元一次方程组，根据平方根和立方根的定义得到，，据此求出，，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】 解：∵实数的平方根是，实数的立方根是， ∴，， ，， ， ， 的立方根是 题型七 立方根的实际应用 40．某金属冶炼厂将27个大小相同的正方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160cm、80cm和40cm，求原来正方体钢锭的棱长. 【答案】 cm. 【难度】0.94 【知识点】立方根的实际应用 【分析】设原来正方体钢锭的棱长为xcm，根据题意列出方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设原来正方体钢锭的棱长为xcm， 则， 解得. 答：原来正方体钢锭的棱长为cm. 【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 41．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，这个正方体的体积是，且相对面上的算式相同，则这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算、立方根的实际应用、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了立方根的应用、算术平方根的应用、有理数的混合运算，求出正方体的边长为，计算出，，，得到这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个，由此即可得解． 【详解】解：这个正方体的体积是， 这个正方体的边长为， ，，， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面共有个， 这个正方体的展开图中算式结果是奇数的面的面积之和是， 故选：C． 42．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 【答案】(1)3． (2)正方形的面积是5，边长为． 【难度】0.85 【知识点】平方根的应用、立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根和平方根的意义，熟练掌握立方根和平方根的意义是解答本题的关键． （1）直接根据立方根的意义求解即可； （2）先求出阴影部分的面积，再根据平方根的意义求解即可． 【详解】（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得， 解得． 故魔方的棱长为3． （2）∵魔方的棱长为3， ∴阴影面积为：， 设正方形的边长为y，则， 解得，（舍去）， 故正方形的面积是5，边长为． 43．求下列各式中x的值： ； ． ； 【答案】（1）（2）（3）或. 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】由正数的两个平方根互为相反数，直接开平方，进而可求出x的值． 根据立方根的性质直接开立方，进而可求出x的值． 移项，然后直接开平方，再解一元一次方程可求出x的值． 【详解】由得， ， ， 由得， ， 由得 ， ， 由得， ​， 由得，. ∴或. 【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 题型八 算数平方根和立方根的综合应用 44．已知一个正数的平方根是和，则这个正数的立方根是 ． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】平方根概念理解、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】先根据一个数的两个平方根互为相反数得到的值，计算出这个正数，求得立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得：， 则这个正数是， 即， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，正确理解概念是解答本题的关键． 45．已知的算术平方根是4，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】根据算术平方根求出x，由立方根求出y，然后代入即可求出答案． 本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，熟记概念并列出方程是解题的关键． 【详解】解：∵的算术平方根是4， ∴，解得， ∵的立方根是， ∴，解得， ∴， ∴的平方根是． 46．已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了根据立方根和算术平方根求原数，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此列式求出a、b的值即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵的算术平方根是3， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 47．对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”．若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根． 【答案】-2 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】根据和互为相反数，可得，从而得到，再由的平方根是它本身，可得，即可求解． 【详解】解：和互为相反数， ， ， 解得：， 的平方根是它本身， ， ， ， 的立方根是． 【点睛】本题主要考查了立方根的性质，平方根的性质，熟练掌握立方根的性质，平方根的性质是解题的关键． 一、单选题 1．下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算器——有理数、计算器——平方根和立方根 【分析】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【详解】 解：A．按键显示结果：2，正确，不符合题意； B．按键显示结果：64，正确，不符合题意；     C．用计算器求的值时，按键顺序是，正确，不符合题意； D．用计算器求的值时，按键顺序是，故原选项错误，符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根的定义以及算术平方根的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．已知3既是的平方根，也是的立方根，则关于的方程的解是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】立方根概念理解、利用平方根解方程、平方根概念理解 【分析】根据平方根和立方根的概念可得，，求解可得，，然后带入原方程，利用平方根解方程即可． 【详解】解：根据题意，3既是的平方根，也是的立方根， 可得，， 解得，， 则关于的方程即为， ∴， ∴， 解得 或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的知识，熟练掌握相关概念是解题关键． 4．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】方程的解、已知一个数的立方根，求这个数、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及一元一次方程的解的含义和应用，要熟练掌握．首先根据数轴上两点间的距离的求法，求出的值是多少，进而求出的值是多少；然后根据是关于的方程解的立方根，求出的值为多少即可． 【详解】解：， ， 解得， ， ， 是关于的方程的解的立方根， 是此方程的解， ， 解得． 故选：A 二、填空题 5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】估计算术平方根的取值范围、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 6．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解 【分析】（1）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，即可获得答案； （2）借助华罗庚讲述的计算过程，先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，即可获得答案． 【详解】（1）解：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是， 所以的立方根的个位数字是； 故答案为：． （2）第一步：因为，，， 所以． 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是． 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，， 所以，即的十位数字是． 所以． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·安徽淮北·阶段练习）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题： （1）若，则 ； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为 ． 【答案】 2.65 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、求一个数的平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查了相反数的定义、立方根、平方根、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意可知与互为相反数，即可得出答案； （2）根据题意得出，解方程即可得出的值，根据平方根是它本身的数为，求出的值，从而得出的值，再根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）根据题意可知与互为相反数， 故， 故答案为：2.65； （2）根据题意，得， 解得． 的平方根是它本身， ， 解得． ， 故的立方根为， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是 cm（球的体积公式，其中是球的半径）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】立方根的实际应用、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的应用，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可，熟记立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：这个大铅球的半径是， 由题意得：， ∴，则， 故答案为：． 9．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求＝ ． 【答案】0． 【难度】0.65 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、倒数、相反数的定义 【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可． 【详解】∵a、b互为倒数， ∴ab＝1， ∵c、d互为相反数， ∴c+d＝0， ∴＝﹣1+0+1＝0． 故答案为：0． 【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 三、解答题 10．（24-25八年级上·安徽·假期作业）【观察思考】 如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案： 【规律发现】 请用含的式子表示： （1）第个图案中需要长的线段的条数为 ； （2）第个图案中需要长的线段的条数为 ； 【规律应用】 （3）若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？ 【答案】（1）；（2）；（3）需要长的线段200条，需要长的线段220条 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根及图案的规律总结问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）根据题干中所给的图案总结出规律即可； （2）根据题干中所给的图案总结出规律即可； （3）由题意可得此为第10个图案，然后代入（1）（2）中所得结论中计算即可． 【详解】解：（1）第1个图案中长的线段的条数为． 第2个图案中长的线段的条数为， 第3个图案中长的线段的条数为， 第个图案中长的线段的条数为， 故答案为：； （2）第1个图案中长的线段的条数为． 第2个图案中长的线段的条数为， 第3个图案中长的线段的条数为， 第个图案中长的线段的条数为， 故答案为：； （3）由题意得，面积为 的正方形图案为第个图案， 当时，，， 即需要长的线段200条，需要长的线段220条． 11．已知实数满足，求的平方根与立方根． 【答案】平方根为，立方根为． 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根和立方根，由非负数的性质可得，解方程组可得，进而得到，再根据平方根和立方根的定义计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，   解方程组得， ， ∴， ∴的平方根：，               .. 的立方根． 12．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根、求算术平方根的整数部分和小数部分、求一个数的算术平方根 【分析】（1）分别根据立方根，算术平方根的意义，无理数的估算等知识进行计算即可求解； （2）把a，b，c的值代入求值，再根据平方根的意义即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是3， ∴，解得， ∵的算术平方根是4， ∴， 又∵， ∴， ∵c是的整数部分，， ∴， ∴，，； （2）解：把，，代入得 ， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根的意义，无理数的估算，平方根的意义等知识，熟知相关知识并能正确进行计算是解题关键． 13．利用计算器计算下列各题： （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________； （5）___________； 猜想：（6）___________（用含n的式子表示）． 【答案】（1）3；（2）6；（3）10；（4）15；（5）21；（6） 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了平方根及立方的运算中的规律探究问题，解题的关键是通过前五个特殊例子找到一般性规律． （1）利用立方运算及算术平方根运算即可； （2）利用立方运算及算术平方根运算即可； （3）利用立方运算及算术平方根运算即可； （4）利用立方运算及算术平方根运算即可； （5）利用立方运算及算术平方根运算即可； （6）通过前五个计算可发现规律结果为． 【详解】解：（1）， 故答案为：3； （2）， 故答案为：6； （3）， 故答案为：10； （4）， 故答案为：15； （5）， 故答案为：21； 猜想：（6）， 故答案为：． 14．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【难度】0.4 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果； （3）归纳总结得到规律，写出即可； （4）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】解：（1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一； （2）已知，，则；； 故答案为：12.25；0.3873； （3），，，…… 小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； （4）∵，， ∴， ∴， ∴y=-0.01． 【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键． 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片．   (1)大正方形纸片的边长是___________； (2)若沿着大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 ，且面积为 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析． 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】（）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （）先求出长方形的边长，再判断即可； 本题考查了算术平方根的应用，能够根据题意列出算式是解题的关键． 【详解】（1）大正方形的边长是 ， 故答案为：； （2）设长方形纸片的长为，宽为，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 16．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】相反数的应用、绝对值非负性、求一个数的平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据左减原则计算解答即可． （2）根据，代入求值即可． （3）根据题意，得，解得，代入，计算平方根． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：． （2）解：根据，代入，得 原式= ． （3）解：根据题意，得， 解得，代入， 故 ． 【点睛】本题考查了点的坐标的平移规律，已知字母的值求代数式的值，有理数的非负性，相反数的应用，平方根的意义，熟练掌握平移，非负性，平方根是解题的关键． 17．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）已知、是有理数，若，求的平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】加减消元法、求一个数的平方根 【分析】本题考查的是无理数的含义，求解一个数 的平方根，二元一次方程组的解法，理解题意建立方程组解题是关键． 由a，b都是有理数，且，再建立方程组解题即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵a，b都是有理数， ∴，解得， 则，3的平方根为， 即的平方根是． 18．（23-24七年级下·安徽淮南·阶段练习）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 (2)冰川约是在28年前消失的 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求代数式的平方根 【分析】 本题考查了无理数的应用，已知字母的值求代数式的值，求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得，进行计算，即可作答． （2）理解题意，得，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米． （2）解：依题意，， 解得：， 答：冰川约是在28年前消失的． 19．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是与． (1)求x和m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，理解平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴； （2）解： ∴的平方根为 20．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的周长为米 (2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行 【难度】0.65 【知识点】平方根的应用、利用平方根解方程 【分析】本题考查了平方根的应用； （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． 21．我们规定：a≥b时，a★b=a-b；当a< b时，a★b=a2-b2． （1）求5★3的值； （2）若m> 0，化简（m+3）★（2m+3）； （3）若x★3=7，求x的值； 【答案】（1）2；    （2）-3m2-6m；    （3）x=10或x=-4； 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用、利用平方根解方程 【分析】（1）根据当ab时，a★b=a-b计算； （2）用作差法比较m+3和2m+3的大小，然后再根据新定义计算； （3）分两种情况分别进行计算． 【详解】解：（1）∵53， ∴原式=5-3=2； （2）当m0时， ∵m+3-（2m+3） =m+3-2m-3 =-m0， ∴m+32m+3， ∴原式=（m+3）2-（2m+3）2 =（m+3+2m+3）[m+3-（2m+3）] =（m+3+2m+3）（-m） =（3m+6）（-m） =-3m2-6m； （3）当x3时，x-3=7， 解得：x=10； 当x3时，x2-32=7， 解得：x=±4， ∵x3， ∴x=4不符合题意， ∴x=-4； 综上所述，x=10或-4． 【点睛】本题考查了整式的加减，解方程，体现了分类讨论的数学思想，注意不要漏解． 22．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）已知三个实数分别满足条件：是的立方根，．某正数的两个平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、平方根的应用、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据题中条件，结合立方根定义与计算、平方根定义与计算、平方根的性质列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中所得，代入求算术平方根即可得到答案． 【详解】（1）解：是的立方根， ， ， 或， 某正数的两个平方根分别是和， ，解得， 综上所述，； （2）解：由（1）知， 或， 的算术平方根为或． 【点睛】本题考查立方根定义与计算、平方根定义与计算、平方根的性质、解一元一次方程、代数式求值及算术平方根定义等知识，熟练掌握相关定义及计算方法是解决问题的关键． 23．（23-24七年级下·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： 我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． (1)试举一个例子来判断猜测的结论是否成立； (2)根据以上结论，若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)成立，见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、求一个数的立方根 【详解】解：（1）如，则，结论成立． （2）由题意，得， ， 24．已知x+7的平方根是 ，的立方根是1，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】立方根的实际应用、平方根的应用 【分析】利用平方根、立方根定义，一个数的平方根平方得原数，一个数的立方根立方得原数，列出关于x和y的方程，求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得： 解得： ， 则， 即的值是． 【点睛】本题考查平方根，立方根的应用，根据平方根和立方根的定义列出方程求出x,y是解题关键． 25．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【难度】0.65 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 26．（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （3），求的立方根． 【答案】（1）49；（2）；（3）－1 【难度】0.65 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数列式子求解即可； （2）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a、b、c的式子求值，再计算平方根即可； （3）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，从而得出a的值，再计算两数的和，从而得出立方根． 【详解】解：（1）解：依题意：，解得， ，． （2）解依题意：，， 解得，， ，16的平方根是 （3）解：依题意，得， 代入，得 ，的立方根是－1． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出式子是解题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$