精品解析：福建省福州市延安中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

福州延安中学 2024-2025 学年高一上学期12月份月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据对数函数的性质求出集合，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】由，解得或，所以， 又， 所以. 故选：A 2. 已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出扇形的半径，再由面积公式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，因为扇形的圆心角，扇形的周长为， 则，解得， 所以此扇形的面积. 故选：B 3. 设，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性并借助“媒介”数即可得解. 【详解】因函数在R上单调递减，，则有， 又函数在R上单调递增，，则有， 而函数在上单调递增，，则有， 于是得， 所以. 故选：D 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合作差法与举反例的方法逐个判断即可. 【详解】对A，，因为，，故，即，故A错误； 对B，当时，故B错误； 对C，， 因为，故，故， 故，故C错误； 对D，，因为，故， 故，即，故D正确. 故选：D 5. 函数的零点所在的区间是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为原函数是增函数且连续， ， 所以根据函数零点存在定理得到零点在区间上， 故选C． 6. 已知函数，则（     ） A. 函数的值域为 B. 函数无最值 C. 函数在R上递减 D. 函数在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】令，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断A，B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C，D. 【详解】令，则， 对于A，，，则，所以函数的值域为，故A错误； 对于B，因为，所以，当且仅当，即时，取得最大值，故B错误； 对于C，D，因为在上单调递增，上单调递减， ，单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 7. 已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题目条件得到在上单调递增，且为偶函数，，其中，根据函数单调性和奇偶性得到不等式，求出解集. 【详解】不妨设， ， 故在上单调递增， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故定义域为，且， 故为偶函数， 因为，所以， ， 所以，解得或. 故选：A 8. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化问题为函数与有3个交点，进而结合图象求解即可. 【详解】由题意，函数有三个不同的零点， 即方程有3个解， 即函数与有3个交点， 画出函数的大致图象： 由图可知，要使函数与有3个交点， 则， 所以实数b的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义，由函数的解析式，判断函数的单调性，即可判断选项. 【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为， 所以函数为偶函数， 当时，内层函数单调递增，外层函数也为增函数， 所以，函数在区间上单调递增，A选项合乎要求； 对于B选项，设，该函数的定义域为， 所以函数为奇函数，B选项不合乎要求； 对于C，由，定义域关于原点对称， 得是偶函数. 当时，，故在上单调递增，C正确 对于D选项，为偶函数，但该函数在区间上递减，D选项不合乎要求. 故选：AC 10. 关于函数，下列说法中正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 在定义域上是减函数 D. 对任意，，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断 【详解】对于A，由得，故的定义域为，故A错误， 对于B，的定义域为，，则为奇函数，故B正确， 对于C，，由复合函数的单调性知在上是减函数，故C正确， 对于D，任意，，， ，，故D正确， 故选：BCD 11. （多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，判断AB；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD. 【详解】设，，则是增函数，且， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误； ，故C正确； ，，因此的最小值是，故D正确． 故选:ACD． 三、填空题 12. 已知，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】设，再用表达求解即可. 【详解】设，则，，， 故. 故答案为：5 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由及，又，利用诱导公式分别求出和，即可求得. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 14. 已知角终边上一点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简原式，由三角函数定义求出，代入计算即可. 【详解】， 因为角终边上一点，所以，则， 所以 故答案为： 四、解答题 15. 计算下列各式的值： （1） （2） （3）设，，用、表示 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质、诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得； （3）根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为，， 所以. 16. 已知角的终边经过点， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1），，；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数第二定义即可求值； （2）根据诱导公式化简可得，再把（1）中的三角函数值代入即得答案. 【详解】（1）角的终边经过点， ， ， ． （2） ． 【点睛】本题考查三角函数第二定义和诱导公式，属于基础题. 17. 已知函数． （1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1），奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质可求得定义域；根据函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性； （2）将化为，再利用函数的单调性得到，解不等式结合函数的定义域可得答案. 【小问1详解】 由，得函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又, 所以函数奇函数； 【小问2详解】 因为， 所以不等式可化为， 因为在是增函数，所以有， 又，所以，解得，又， 因此不等式的解集为． 18. 在常温下，物体冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.知空气的温度为，现用某品牌电热水壶烧600毫升水，2分钟后水烧开（温度为），再过30分钟，壶中开水自然冷却到.假设烧水时水的温度是关于时间的一次函数，水的初始温度与空气的温度一致. （1）从开始烧水算起，求壶中水的温度（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数解析式； （2）电热水壶在保温模式下会自动检测壶中水温，若水温高于，保温管不加热；若水温不高于，保温管开始加热，直至水温达到才停止加热，保温管加热时水温的上升速度是正常烧水时的.水烧开后，立即将电热水壶设定为保温模式.从开始烧水算起，求96分钟后壶中水的温度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意待定系数运算求解即可； （2）根据题意分从降温至，从加热至，从降温至，三步求时间即可. 【小问1详解】 由题意知，空气的温度为，水温从自然冷却到用时30分钟， 则，即，所以， 当时，依题意设，则， 解得，所以； 当时，依题意得，，即； 综上所述：. 【小问2详解】 由，解得， 即从开始烧水算起，水温从升到，再冷却到，用了62分钟， 因为，所以保温管加热过， 因为保温管加热时水温上升速度是正常烧水时的， 所以保温管加热时，水温每分钟升高， 所以水温从升至，所用时间为分钟， 假设水温从降至需要分钟， 则，即， 因为，所以， 即水温从冷却至所用时间超过30分钟， 因为， 所以从开始烧水算起，96分钟内保温管只加热过1次， 所以当时，， 所以当时，， 所以从开始烧水算起，96分钟后壶中水的温度为. 19. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意，总存在使得，求实数b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数为偶函数可得，即可求出的值； （2）对任意，总存在使得，等价于的值域是值域的子集，即可求解. 【小问1详解】 ， 因为函数是偶函数， 所以，即， 所以，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 则， 因为函数都是增函数，所以函数是增函数， 故， 因为函数是增函数， 所以， 因为对任意，总存在使得， 所以， 所以，解得， 所以实数b的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州延安中学 2024-2025 学年高一上学期12月份月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 函数的零点所在的区间是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数，则（     ） A. 函数的值域为 B. 函数无最值 C. 函数在R上递减 D. 函数在上单调递减 7. 已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，下列说法中正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 在定义域上是减函数 D. 对任意，，都有 11. （多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 三、填空题 12. 已知，则________． 13. 已知，则______． 14. 已知角终边上一点，则____________． 四、解答题 15. 计算下列各式的值： （1） （2） （3）设，，用、表示 16. 已知角的终边经过点， （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数． （1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）解关于x的不等式． 18. 在常温下，物体冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么分钟后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.知空气的温度为，现用某品牌电热水壶烧600毫升水，2分钟后水烧开（温度为），再过30分钟，壶中开水自然冷却到.假设烧水时水的温度是关于时间的一次函数，水的初始温度与空气的温度一致. （1）从开始烧水算起，求壶中水的温度（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数解析式； （2）电热水壶在保温模式下会自动检测壶中水温，若水温高于，保温管不加热；若水温不高于，保温管开始加热，直至水温达到才停止加热，保温管加热时水温的上升速度是正常烧水时的.水烧开后，立即将电热水壶设定为保温模式.从开始烧水算起，求96分钟后壶中水的温度. 19. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意，总存在使得，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $