广东省深圳市宝安区2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题

2024-2025学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，则(    ) A. B. C. D. 2.的值为(    ) A. B. C. D. 3.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.记函数的零点为，则(    ) A. B. C. D. 5.已知，，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A. B. C. D. 6.“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知函数，下列说法正确的是(    ) A. 的周期为 B. 在上单调递减 C. 当时，取得最大值 D. 8.已知定义在R上的奇函数，当时，，若恒成立，则函数的零点个数为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列关于角的说法中，正确的为(    ) A. 若的终边在y轴上，则， B. 若是第二象限角，则不是第二象限角 C. 若，则 D. 若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 10.下列选项正确的是(    ) A. B. ，使 C. 若，则 D. 曲线与在有6个交点 11.已知，，且，则(    ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设不等式的解集为，则______. 13.已知为奇函数，则实数a的值是______. 14.若，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知集合， 当时，求； 当，且时，求实数a的取值范围. 16.本小题15分 设函数 用定义证明：在区间上单调递增； 设，求不等式的解集. 17.本小题15分 已知函数， 求函数的最小值； 当且仅当时，取得最小值，求在的值域； 若，对，恒成立，求m的取值范围. 18.本小题17分 漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为单位：元 求函数的解析式； 当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19.本小题17分 已知函数和，且 若的最小值为，求实数a的值. 若与的图像有且仅有一个交点，求实数a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：全集，集合， 则 故选： 结合补集的定义，即可求解． 本题主要考查集合的运算，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解： 故选： 结合诱导公式先进行化简，然后结合特殊角的三角函数值即可求值． 本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题． 3.【答案】C  【解析】解：命题“，”的否定是， 故选： 直接利用含有量词的命题的否定即可求解． 本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又，， 可得函数的零点 故选： 求出函数的定义域，判断函数在定义域内的单调性，然后结合函数零点的判定得答案． 本题考查函数零点的判定，是基础题． 5.【答案】A  【解析】解：，， 综上所述， 故选： 结合函数的单调性，以及配方法，即可求解． 本题主要考查数值大小的比较，属于基础题． 6.【答案】B  【解析】解：若在定义域内是增函数，则，即， 若函数是幂函数，则， 解得或， 因为， 所以“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要不充分条件． 故选： 根据对数函数和幂函数的性质求出对应的m的范围，再结合充分条件和必要条件的定义判断． 本题主要考查了对数函数和幂函数的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题． 7.【答案】C  【解析】解：因为， 所以，A错误； 当时，，，此时单调递增，B错误； 当，时，，，此时取得最大值，C正确； 因为，，D错误． 故选： 由已知结合正弦函数性质检验各选项即可判断． 本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题． 8.【答案】D  【解析】解：因为恒成立， 所以， 所以函数的周期为4， 又因为函数为R上的奇函数， 所以， 所以， 所以函数的图象关于对称， 又因为当时，， 所以当时，， 所以， 即， 所以， 作出函数的部分图象，如图所示： 令， 则有， 由图可知，函数与有5个交点， 所以函数有5个零点． 故选： 由题意可得函数的周期为4，关于对称，令，则有，作出两函数的图象，结合图象即可得答案． 本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，属于中档题． 9.【答案】BD  【解析】解：若的终边在y轴上，则，A错误； 若是第二象限角，则，，则在第一或第三向限，不在第二象限，B正确； 时，在第一或第三象限，在第三象限时，，C错误； 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为：，D正确． 故选： 根据终边在y轴上的角的表示即可判断A的正误； 根据是第二象限角写出的范围，然后即可得出的范围，进而判断B的正误； 根据正切和正弦在第三象限的符号即可判断C的正误； 根据扇形的面积公式即可判断D的正误． 本题考查了终边在y轴上的角的表示，正切和正弦在第三象限的符号，扇形的面积公式，是基础题． 10.【答案】AC  【解析】解：选项A，，即选项A正确； 选项B，由于，， 所以， 所以不存在，使，即选项B错误； 选项C，由，知， 所以， 所以，即选项C正确； 选项D，令，则， 当时，函数与直线只有2个交点， 所以曲线与在有2个交点，即选项D错误． 故选： 选项A，利用诱导公式化简即可；选项B，由，即可作出判断；选项C，先求得，再利用诱导公式化简所求式子，即可得解；选项D，令，得，将原问题转化为求函数与直线的交点个数，再结合正切函数的图象，求解即可． 本题考查三角函数的综合应用，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的基本关系，正切函数的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 11.【答案】AD  【解析】解：选项A：由，可得， 令，则， 根据二次函数性质可得，当时，取得最大值，A正确； 选项B：由，可得，根据二次函数性质知，当时，取得最小值，B错误； 选项C：由，可得，其中， 利用基本不等式，，因此等号无法取到，所以的最小值不是，C错误； 选项D：由，可得， 利用基本不等式，，因此，当时，等号成立，D正确． 故选： 由已知结合二次函数的性质及基本不等式检验各选项即可判断． 本题主要利用基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题． 12.【答案】1  【解析】解：由可得， 解得， 因为解集为， 则 故答案为： 由已知结合分式不等式的求法求出a，b，进而可求． 本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：根据题意，设，则， 若为奇函数，则， 必有，变形可得或0， 当时，，其定义域为或， 又由，为奇函数，符合题意， 当时，，其定义域为，不是奇函数，不符合题意， 故 故答案为： 根据题意，由奇函数的定义可得，变形分析求出a的值，验证即可得答案． 本题考查奇函数的性质和应用，涉及函数的定义域，属于基础题． 14.【答案】5  【解析】解：令， 则，， 所以，， 所以，， 令，，， 则，可分别看作，与交点的横坐标， 因为与互为反函数，图象关于对称， 联立可得， 所以， 则 故答案为： 由已知等式令，则，，可得，，结合等式特点构造函数，，，则，可分别看作，与交点的横坐标，结合互为反函数的图象对称特点即可求解． 本题主要考查了互为反函数的函数对称性质的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题． 15.【答案】解：因为，， 当时，或， 所以； 当，， 因为， 所以， 所以 故实数a的取值范围为  【解析】把代入可求A，B，然后结合集合并集运算即可求解； 结合集合的交集运算即可求解． 本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 16.【答案】解：证明：设，是任意实数且， 则， 因为，且，所以，， 所以，故在上单调递增； 根据题意，因为， 而， 所以， 又， 当时，，且在上单调递增， 则不等式，即， 则有，解得， 即该不等式的解集为  【解析】利用单调性的定义，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可； 根据换底公式及对数的运算性质得到，从而不等式化为，再根据函数的单调性及对数函数的性质计算可得． 本题考查函数单调性的性质和应用，涉及对数的运算，属于中档题． 17.【答案】解：令， 可化为，， 根据二次函数的性质可知，当时，函数取得最小值； 当且仅当时，即时，取得最小值， 所以， 当时，， 根据二次函数的性质可知，当时，函数取得最大值15，当时，函数取得最小值， 故在的值域为； 若，则， 对，恒成立， 所以对恒成立， 当时，， 根据对勾函数单调性可知，当时，取得最小值0， 故， 所以m的范围为  【解析】结合二次函数的性质即可直接求解； 结合的结论先求出a，然后结合指数函数及二次函数性质可求； 先分离参数，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解． 本题主要考查了指数函数及二次函数性质的综合应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题． 18.【答案】解：由已知， 又， ， 整理得：； 当时，， 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，， ，的最大值为 故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．  【解析】本题考查函数模型的性质及应用，训练了利用配方法及基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题． 由已知，分段代入后整理得答案； 分段求出函数的最大值，取两个最大值中的较大者得结论． 19.【答案】解：由题可知：函数的最小值为， ①当时，，此时， ②当时，，此时无最小值， ③当时，或，在这两段上的取值范围均为，故不成立．  ④当时，，此时无最小值， ⑤当时，，此时有最小值，无最大值，， 综上：或； 由题可知 对于①，可得，即， 当时，只有一个零点，代入②③检验成立．  当时，方程有两个零点，，由题只能有一个零点满足题意， 若满足，则，解得， 若满足②③，则，解得， 若满足，不满足，即， 若不满足，满足，此时a不存在， 故  【解析】由已知结合对数函数的性质及已知函数的最小值对a的范围进行分类讨论，结合函数单调性即可求解； 由题可知，结合方程的零点个数进行分类讨论即可求解． 本题主要考查了对数函数性质的应用，还考查了函数与方程转化思想的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$