青海省部分名校2024-2025学年高一上学期期末数学试卷

2024-2025学年青海省部分名校高一（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 且 2.若集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.若为奇函数，当时，，则(    ) A. B. 0 C. 1 D. 4.“”是“为指数函数”的(    ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.关于函数图象过定点问题，有以下3个命题： ①函数的图象经过定点； ②函数的图象经过定点； ③函数的图象经过两个定点. 其中，真命题的个数为(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据M与小数记录法的数据N满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为参考数据：(    ) A. B. C. D. 7.若，，，则(    ) A. B. C. D. 8.若二次方程在上有两个不相等的实根，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列判断错误的是(    ) A. 当时， B. “，”的否定是”，” C. 函数为增函数 D. “2，3，7，9这四个数都是质数”的否定是“2，3，7，9这四个数不都是质数” 10.在固定压力差压力差为常数下，当气体通过圆形管道时，其流量单位：与管道的半径单位：的四次方成正比，当气体在半径为5cm的管道中时，流量为，则(    ) A. 当气体在半径为3cm的管道中时，流量为 B. 当气体在半径为3cm的管道中时，流量为 C. 要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 D. 要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4cm 11.已知定义在上的函数的图象关于点对称，且在上单调递减，则(    ) A. 是偶函数 B. ，且 C. 不等式的解集为 D. 当表示不大于x的最大整数时，不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数，则不等式的解集为______. 13.若函数是R上的减函数，则a的取值范围为______. 14.如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，一次函数的图象不仅平分正方形ABCD的面积，也平分矩形EFGH的面积，则______，函数的零点为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 若，求值： 若且，求a的取值范围. 16.本小题15分 求函数的最小值； 若，，求的最大值. 17.本小题15分 已知函数 求的解析式； 求的值域. 18.本小题17分 已知函数对任意实数x，y，都有 求的值； 求函数在区间上的最小值； 证明： 19.本小题17分 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”. 试问函数与是否互为“和幂函数”？说明你的理由. 已知函数与互为“积幂函数”. ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一. ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求a的取值范围结果用含字母t的区间表示 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：要使原函数有意义，则，解得且， 则函数的定义域为且 故选： 根据分式中分母不为零，零的零次方无意义列不等式，求解即可． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 2.【答案】D  【解析】解：集合，或， 故 故选： 先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解． 本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 3.【答案】D  【解析】解：根据题意，当时，，则， 又由为奇函数，则 故选： 根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性分析可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：当时，为指数函数，即充分性成立； 当为指数函数时，只需； 所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件． 故选： 根据指数函数的定义及充分条件、必要条件的概念得解． 本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了指数函数定义的应用，属于基础题． 5.【答案】D  【解析】解：根据题意，依次分析3个命题： ①函数，当时，恒成立，即函数的图象经过定点，①正确； ②函数，当时，恒成立，即函数函数的图象经过定点，②正确； ③函数，当或2时，恒成立，即函数的图象经过定点和，③正确， 3个命题都正确． 故选： 结合函数的解析式，利用特殊值分析三个命题的真假，综合可得答案． 本题考查命题真假的判断，涉及函数过定点问题，属于基础题． 6.【答案】A  【解析】解：由于，且，得， ， 因此，该同学视力的小数记录法数据约为 故选： 根据五分记录法数据M与小数记录法数据N满足关系即可求值． 本题考查对数运算的应用，属于基础题． 7.【答案】C  【解析】解：因为， ， 所以， 又因为， 所以 故选： 利用对数函数的性质求解． 本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题． 8.【答案】C  【解析】解：因为二次方程在上有两个不相等的实根， 所以，解得 故选： 结合二次方程根的分布条件建立关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 本题主要考查了二次方程根的分布，属于基础题． 9.【答案】BC  【解析】解：A中，时，，所以A正确； B中，“，”的否定是”，”，所以B不正确； C中，函数，因为和都是减函数， 所以函数为减函数，所以C不正确； D中，“2，3，7，9这四个数都是质数”的否定是“2，3，7，9这四个数不都是质数”，所以D正确． 故选： 由幂的运算性质判断出A的真假；由命题的否定，判断出BD的真假；由复合函数的单调性求解C的真假． 本题考查命题真假的判断，属于基础题． 10.【答案】BD  【解析】解：设， 又， 则， 即， 当气体在半径为3cm的管道中时，流量为， 即选项A错误，选项B正确； 由， 则， 即要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4cm， 即选项C错误，选项D正确． 故选： 结合题意可得：，然后逐一判断即可． 本题考查了函数解析式的求法，属基础题． 11.【答案】ACD  【解析】解：因为的定义域为， 所以函数的定义域为， 又因为的图象关于点对称， 将的图象向右平移1个单位，即得的图象， 所以的图象关于点对称， 所以则为奇函数， 对于A，因为， 所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 又为奇函数， 所以在上单调递减， 则，且， 即，故B错误； 对于C，由， 得， 则，解得，故C正确； 对于D，当表示不大于x的最大整数时， 不等式等价于， 则，所以，D正确． 故选： 由题意可得为奇函数，且在上单调递减， 对于A，由题意可得，即可判断； 对于B，由函数单调性可得，即可判断； 对于C，将问题转化为，列出不等式求解即可； 对于D，由题意可得，从而得，求解即可判断． 本题考查了抽象函数的奇偶性及单调性，考查数学抽象、逻辑推理的核心素养，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：因为是定义域为的减函数， 函数， 所以，解得， 故答案为： 根据对数函数的定义域和单调性列不等式，求解即可． 本题主要考查对数不等式的解法，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：因为函数是R上的减函数， 所以，解得 故答案为： 由一次函数及反比例型函数的性质，列出不等式组求解即可． 本题考查了一次函数、反比例型函数的性质，属于基础题． 14.【答案】    【解析】解：设一次函数的解析式为，， 根据题意该一次函数的图象过正方形的中心点和矩形的中心点， 所以， 解得， 故一次函数的解析式， 则， 令， 解得， 故函数的零点为 故答案为：； 根据一次函数的图象不仅平分正方形ABCD的面积，也平分矩形EFGH的面积，可知该一次函数的图象过正方形的中心点和矩形的中心点，可设一次函数的解析式为，，由待定系数法列出方程组，解出k，b，再写出函数的解析式，令即可解出零点． 本题主要考查了一次函数的图象和性质，考查了函数的零点问题，属于中档题． 15.【答案】解：若，则 ； 若， 当时，则，即， 当时，显然不成立 故a的取值范围为  【解析】结合对数运算性质即可求解； 结合对数函数的性质即可求解． 本题主要考查了对数的运算性质及对数函数性质的应用，属于基础题． 16.【答案】解：令，， 则，当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为23； 因为，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为  【解析】由已知结合基本不等式即可求解； 由已知结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 17.【答案】解：令，得， 则， 所以 令则， 所以可化为， 即 当时，取得最大值， 又， 所以的值域为即的值域为  【解析】由已知利用换元法即可求解函数解析式； 由已知结合指数函数及二次函数的性质即可求解函数的值域． 本题主要考查了换元法求解函数解析式，还考查了函数性质在函数值域求解中的应用，属于中档题． 18.【答案】解：函数对任意实数x，y，都有， 令，可得； 令，可得，， 时，在上单调递增，最小值为； 时，在处取得最小值，最小值为； 时，在上单调递减，最小值为 证明：令，，可得， 令，可得 ， 由基本不等式可知，， 可得  【解析】利用赋值法即可求解的值； 利用赋值先求出，进而可求，然后结合二次函数的性质对a的范围进行分类讨论即可求解； 利用赋值法，结合基本不等式即可证明． 本题主要考察了赋值法的应用，二次函数单调性在最值求解值的应用，还考查了基本不等式的应用，属于中档题． 19.【答案】解：与互为“和幂函数”，理由如下． 因为，，所以与的定义域均为 因为， 又为幂函数，所以与互为“和幂函数”． ①证明：因为函数与互为“积幂函数”， 所以，则，即 设，则为增函数．因为，所以 所以，， 令，即，所以， 设函数因为，， 易知的图象是连续不断的曲线，所以在上存在零点，即存在负零点． 因为为减函数，所以的零点唯一，即存在负零点，且负零点唯一． ②当时，，， 则， 因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减， 所以根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令，得因为，，， 且在上有两个零点，所以a的取值范围为  【解析】计算，由“和幂函数”的定义即可判断； ①由“积幂函数”的定义求出m的值，令可得，构造函数，由零点存在定理即可证明；②依题意可得，由复合函数的单调性结合题意即可求解a的取值范围． 本题考查函数的新定义、幂函数、函数的零点、指数与对数函数、函数的单调性，考查数学运算、数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$