宁夏回族自治区银川外国语实验学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年宁夏银川外国语实验学校八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的为（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列各组数据的三个数，是勾股数的有（　　） ①32，42，52 ②6，8，10 ③7，24，25 ④，， ⑤1.5，2，2.5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）下列说法错误的是（　　） A．﹣8的立方根是﹣2 B． C．的相反数是 D．2的平方根是± 4．（3分）已知P（x，y）在第二象限，且x2＝4，|y|＝7，则点P的坐标是（　　） A．（2，﹣7） B．（﹣2，7） C．（2，7） D．（﹣2，﹣7） 5．（3分）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（　　） 时间/小时 6 7 8 9 人数 3 7 8 2 A．7，8 B．8，8 C．8，7.5 D．9，8.5 6．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB绕点C顺时针旋转90°，则旋转后点D的对应点D'的坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（2，10） C．（﹣2，10） D．（2，0） 7．（3分）关于函数y＝2x﹣4的图象，下列结论正确的是（　　） A．必经过点（1，2） B．与x轴的交点坐标为（0，﹣4） C．过第一、三、四象限 D．可由函数y＝﹣2x的图象平移得到 8．（3分）如图，下列选项提供的条件中，不能判断AB∥CD的是（　　） A．∠DCA＝∠CAF B．∠C＝∠EDB C．∠BAC+∠C＝180° D．∠GDE+∠B＝180° 9．（3分）下列哪个选项不能判断△ABC是直角三角形（　　） A．∠A＝90°﹣∠C B．三个内角的度数之比是3：4：5 C． D．三角形的三条边之比是5：12：13 10．（3分）一次函数y＝kx+b与y＝kbx，它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．（3分）的平方根是　 　． 12．（3分）如图是一盘中国象棋残局的一部分，以“帅”为原点建立坐标系，知道“兵”所在位置的坐标是（2，3），则“炮”所在位置的坐标是　 　． 13．（3分）若的整数部分为a，小数部分为b，则a＝　 　，b＝　 　． 14．（3分）如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，则另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是　 　． 15．（3分）如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为 　 　． 16．（3分）若，则x＝ 　 　． 17．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 　 　． 18．（3分）一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为 　 　． 19．（3分）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B在棱CD上，CB＝5cm．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程为 　 　cm． 20．（3分）快车和慢车同时匀速相向而行，快车从甲地到乙地，慢车从乙地到甲地，快车速度是慢车速度的1.6倍，两车之间的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，则图中的m﹣n＝　 　． 三、解答题 21．（4分）计算：． 22．（8分）解方程组： （1）用代入法解； （2）用加减法解． 23．（6分）（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（其中A1B1C1分别是A，B，C的对应点，不写画法）； （2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标：A1　 　，B1　 　，C1　 　； （3）在x轴上找一点P使得PA+PB最小． 24．（6分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从八年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 　 　，图①中m的值为 　 　； （2）求本次调查获取的样本数据的中位数 　 　和平均数 　 　； （3）根据样本的数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数． 25．（8分）如图，AB∥DC，∠1＝∠B，∠2＝∠3． 证明：（1）ED∥BC； （2）AD∥EC． 请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由． 证明：（1）∵AB∥DC，（已知） ∴∠1＝　 　．（ 　 　） 又∵∠1＝∠B，（已知） ∴∠B＝　 　．（ 　 　） ∴ED∥BC．（ 　 　） （2）∵ED∥BC，（已知） ∴∠3＝　 　．（ 　 　） 又∵∠2＝∠3，（已知） ∴∠2＝∠　 　．（ 　 　） ∴AD∥EC．（ 　 　） 26．（6分）如图，四边形ABCD是某公园的一块空地，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3m，AD＝10m，CD＝8m，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（≈1.7，结果保留整数） 27．（8分）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是7元，批发一箱该农产品的利润是4元． （1）已知该公司某月卖出1000箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？ （2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司要经营1000箱这种农产品，最大利润是多少？ 28．（6分）如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）． （1）直接写出方程组的解； （2）求直线l1对应的表达式； （3）求△ABP的面积． 29．（8分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°． ①求∠A、∠B的度数． ②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数． 2024-2025学年宁夏银川外国语实验学校八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B C A C B B A 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：A、＝2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、＝，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； C、不能化简，是最简二次根式，符合题意； D、＝5，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点评】考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 2．（3分）下列各组数据的三个数，是勾股数的有（　　） ①32，42，52 ②6，8，10 ③7，24，25 ④，， ⑤1.5，2，2.5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可． 【解答】解：①（32）2+（42）2≠（52）2，所以①不是勾股数； ②62+82＝102，所以②是勾股数； ③72+242＝625＝252，所以③是勾股数； ④，所以④不是勾股数； ⑤1.52+22＝6.25＝2.52，但其不是正整数，所以⑤不是勾股数． 综上所述②③是勾股数，共2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． 3．（3分）下列说法错误的是（　　） A．﹣8的立方根是﹣2 B． C．的相反数是 D．2的平方根是± 【分析】根据立方根、绝对值、相反数、平方根的定义逐项计算判断即可． 【解答】解：A、﹣8的立方根是﹣2，说法正确，故此选项不符合题意； B、，计算错误，故此选项符合题意； C、的相反数是，说法正确，故此选项不符合题意； D、2的平方根是±，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了立方根、绝对值、相反数、平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 4．（3分）已知P（x，y）在第二象限，且x2＝4，|y|＝7，则点P的坐标是（　　） A．（2，﹣7） B．（﹣2，7） C．（2，7） D．（﹣2，﹣7） 【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数分别求出x、y的值，然后写出点P的坐标即可． 【解答】解：∵P（x，y）在第二象限，且x2＝4，|y|＝7， ∴x＝﹣2，y＝7， ∴点P的坐标为（﹣2，7）． 故选：B． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 5．（3分）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（　　） 时间/小时 6 7 8 9 人数 3 7 8 2 A．7，8 B．8，8 C．8，7.5 D．9，8.5 【分析】依据中位数与众数定义解答即可． 【解答】解：由题意得：3+7+8+2＝20（人）， ∴抽查学生的人数为20人， ∵这20名学生的睡眠时间出现次数最多的是8小时，共出现8次， ∴众数是8小时， ∵将这20名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为， ∴中位数是7.5小时． 故选：C． 【点评】本题考查中位数、众数，解题的关键是掌握：一组数据中出现次数最多的那个数据叫众数，一组数据中，众数可能不止一个；将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB绕点C顺时针旋转90°，则旋转后点D的对应点D'的坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（2，10） C．（﹣2，10） D．（2，0） 【分析】由正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3），得OC＝BC，∠OCB＝∠B＝90°，A（5，0），则AB＝OA＝5，AD＝3，由旋转得BC的对应边与OC重合，则点D′在x轴的负半轴上，且OD′＝BD＝2，所以D′（﹣2，0），于是得到问题的答案． 【解答】解：∵正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）， ∴OC＝BC，∠OCB＝∠B＝90°，A（5，0）， ∴AB＝OA＝5，AD＝3， ∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2， ∵以C为中心，把△CDB绕点C顺时针旋转90°， ∴BC的对应边与OC重合，∠COD′＝∠B＝90°， ∴点D′在x轴的负半轴上，且OD′＝BD＝2， ∴D′（﹣2，0）， 故选：A． 【点评】此题重点考查坐标与图形变化﹣旋转、正方形的性质等知识，正确地确定点D′的位置是解题的关键． 7．（3分）关于函数y＝2x﹣4的图象，下列结论正确的是（　　） A．必经过点（1，2） B．与x轴的交点坐标为（0，﹣4） C．过第一、三、四象限 D．可由函数y＝﹣2x的图象平移得到 【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵当x＝1时，y＝2﹣4＝﹣2≠2，∴图象不经过点（1，2），故本选项错误； B、点（0，﹣4）是y轴上的点，故本选项错误； C、∵k＝2＞0，b＝﹣4＜0，∴图象经过第一、三、四象限，故本选项正确； D、函数y＝﹣2x的图象平移得到的函数系数不变，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0，b＜0时函数图象经过一、三、四象限是解答此题的关键． 8．（3分）如图，下列选项提供的条件中，不能判断AB∥CD的是（　　） A．∠DCA＝∠CAF B．∠C＝∠EDB C．∠BAC+∠C＝180° D．∠GDE+∠B＝180° 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：∵∠DCA＝∠CAF， ∴AB∥CD， 故A不符合题意； ∵∠C＝∠EDB， ∴AC∥BD， 故B符合题意； ∵∠BAC+∠C＝180°， ∴AB∥CD， 故C不符合题意； ∵∠GDE+∠B＝180°，∠GDE+∠BDE＝180°， ∴∠B＝∠BDE， ∴AB∥CD， 故D不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 9．（3分）下列哪个选项不能判断△ABC是直角三角形（　　） A．∠A＝90°﹣∠C B．三个内角的度数之比是3：4：5 C． D．三角形的三条边之比是5：12：13 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理解题即可． 【解答】解：A．由∠A＝90°﹣∠C可得∠A+∠C＝90°，即∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意； B．设三个内角读数为3x°，4x°，5x°，则3x+4x+5x＝180，解得x＝15，最大角为75°，则△ABC不是直角三角形，故该选项符合题意； C．设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则x+2x+3x＝180，解得x＝30，最大角为90°，则△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意； D．设三条边是5x，12x，13x，则（5x）2+（12x）2＝（13x）2，则△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 10．（3分）一次函数y＝kx+b与y＝kbx，它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，有由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k•b的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解答】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；一次函数y＝kbx的图象可知kb＜0，两函数解析式均成立； B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＞0矛盾； C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＞0矛盾； D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与次函数y＝kbx的图象可知kb＜0矛盾． 故选：A． 【点评】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．（3分）的平方根是　±　． 【分析】由＝3，再根据平方根定义求解即可． 【解答】解：∵＝3， ∴的平方根是±． 故答案为：±． 【点评】本题主要考查平方根与算术平方根，掌握平方根定义是关键． 12．（3分）如图是一盘中国象棋残局的一部分，以“帅”为原点建立坐标系，知道“兵”所在位置的坐标是（2，3），则“炮”所在位置的坐标是　（﹣3，2）　． 【分析】根据“兵”的位置向左平移两个单位的直线是y轴，向下平移三个单位的直线是x轴，可得平面直角坐标系，根据“炮”的位置，可得点的坐标． 【解答】解：由“兵”的位置向左平移两个单位的直线是y轴，向下平移三个单位的直线是x轴，得 平面直角坐标系， “炮“的位置是（﹣3，2）， 故答案为：（﹣3，2）． 【点评】本题考查了坐标确定位置，利用“兵”的位置向左平移两个单位的直线是y轴，向下平移三个单位的直线是x轴得出平面直角坐标系是解题关键． 13．（3分）若的整数部分为a，小数部分为b，则a＝　3　，b＝　﹣3　． 【分析】根据3＜＜4首先确定a的值，则小数部分即可确定． 【解答】解：∵3＜＜4， ∴a＝3， 则b＝﹣3． 故答案为：3，﹣3． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 14．（3分）如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，则另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是　4　． 【分析】根据题意得：数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数为a+3，再根据方差公式进行计算即可得出答案． 【解答】解：根据题意得：数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数为a+3， 根据方差公式：S2＝[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（xn﹣a）2]＝4． 则S2＝{[（x1+3）﹣（a+3）]2+[（x2+3）﹣（a+3）]2+…（xn+3）﹣（a+3）]}2 ＝[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（xn﹣a）2] ＝4． 故答案为：4． 【点评】此题考查了方差，掌握当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变是解题的关键． 15．（3分）如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为 　1﹣　． 【分析】先利用勾股定理求出AB的长从而得到AC的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【解答】解：利用勾股定理算得， ∴， ∴数轴上C点所表示的数为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出是解题的关键． 16．（3分）若，则x＝ 　或1　． 【分析】根据算术平方根等于它本身的数有0和1解答即可． 【解答】解：若， 则3x﹣2＝0或3x﹣2＝1， 解得x＝或x＝1， 故答案为：或1． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 17．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 　24　． 【分析】利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积． 【解答】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为50﹣8﹣18＝24． 故答案为：24． 【点评】此题考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的化简是解题的关键． 18．（3分）一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为 　130°或50°　． 【分析】据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可． 【解答】解：①如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，∠DEN＝40°， ∵EN是DF边上的高， ∴∠N＝90°， ∴∠EDN＝90°﹣40°＝50°， ∴∠EDF＝180°﹣50°＝130°， ②如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，∠ABM＝40°， 又∵BM是AC边上的高， ∴∠AMB＝90°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， 故顶角为：130°或50°． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的分类讨论问题，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案． 19．（3分）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B在棱CD上，CB＝5cm．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程为 　25　cm． 【分析】将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【解答】解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为10cm，另外一条直角边为20+5＝25（cm）， 根据勾股定理得AB＝＝（cm）． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为10+5＝15（cm）， 根据勾股定理得AB＝＝25（cm）． 如图5，AC＝20+10＝30（cm），BC＝5cm， 根据勾股定理得AB＝＝（cm）． 因为25， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是25cm， 故答案为：25． 【点评】本题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2＝c2． 20．（3分）快车和慢车同时匀速相向而行，快车从甲地到乙地，慢车从乙地到甲地，快车速度是慢车速度的1.6倍，两车之间的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，则图中的m﹣n＝　3.9　． 【分析】观察图象，两车之间的距离与慢车的行驶时间之间的感受图象，观察图象，根据慢车行驶24小时时，两车之间的距离为0，求出慢车的行驶的速度，再求出m、n的值，计算即可． 【解答】解：从图象可以看出，两地之间的距离是780km； 从图象中可以看出，慢车行驶4小时时，两车之间的距离为0，即相遇， 两车的速度和为：780÷4＝195， ∵快车速度是慢车速度的1.6倍， ∴慢车速度是195÷2.6＝75千米/小时，快车速度是＝1.6×75＝120千米/小时， ∵当x＝n时，快车已经到达乙地，780÷120＝6.5， ∴n＝6.5， .当x＝6.5时，两车之间的距离为：6.5×75＝487.5km， 慢车距离甲地还有780﹣487.5＝292.5km，需要用时：192.5÷75＝3.9（小时）， ∴3.9小时后到达甲地， ∴m＝6.5+3.9＝10.4， ∴m﹣n＝3.9， 故答案为：3.9． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解决此题的关键是能根据慢车行驶4小时时，两车相遇，求出慢车的行驶速度． 三、解答题 21．（4分）计算：． 【分析】先根据负整数指数幂、绝对值的意义和完全平方公式计算，再分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：原式＝2﹣﹣（+1）+1+2+2 ＝2﹣﹣﹣1+1+2+2 ＝4． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和负整数指数幂是解决问题的关键．也考查了分母有理化． 22．（8分）解方程组： （1）用代入法解； （2）用加减法解． 【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）， 由②得y＝5x﹣6③， 把③代入①，得3x+2（5x﹣6）＝14， 解得x＝2， 把x＝2代入②，得y＝4， 所以方程组的解是； （2）， ①×0.5，得0.15x﹣0.5y＝0.5③， ②﹣③，得0.05x＝18.5， 解得x＝370， 把x＝370代入①，得y＝110， 所以方程组的解是． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解方程组是解题的关键． 23．（6分）（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（其中A1B1C1分别是A，B，C的对应点，不写画法）； （2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标：A1　（2，3）　，B1　（3，1）　，C1　（﹣1，﹣2）　； （3）在x轴上找一点P使得PA+PB最小． 【分析】从三角形的各点向y轴引垂线并延长相同单位得到对应点，顺次连接并从坐标中读出各点坐标即可．第三问根据轴对称图形的性质找到B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交点为所求P点． 【解答】解： （1） （2）A1（2，3），B1（3，1），C1（﹣1，﹣2） （3） 作出B关于x轴的对称点B′，连接AB′与x轴的交点为所求P点． 【点评】本题的关键是找出各点的对应点，然后顺次连接． 24．（6分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从八年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 　40　，图①中m的值为 　25　； （2）求本次调查获取的样本数据的中位数 　6　和平均数 　5.8　； （3）根据样本的数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数． 【分析】（1）根据阅读时间为4h的人数及所占百分比可得，用时间为6小时人数除以总人数可得m； （2）根据中位数、加权平均数的定义计算可得； （3）将样本中课外阅读时间大于6h的学生人数所占比例乘以总人数1200可得． 【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：6÷0.15＝40（人）， 图①中m的值为×100＝25． 故答案为：40，25； （2）∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为6，有＝6， ∴这组数据的中位数是6； 由条形统计图可得＝＝5.8， ∴这组数据的平均数是5.8． 故答案为：6，5.8； （3）＝360（人）． 答：估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数约为360人． 【点评】本题考查的是扇形统计图与条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 25．（8分）如图，AB∥DC，∠1＝∠B，∠2＝∠3． 证明：（1）ED∥BC； （2）AD∥EC． 请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由． 证明：（1）∵AB∥DC，（已知） ∴∠1＝　∠AED　．（ 　两直线平行，内错角相等　） 又∵∠1＝∠B，（已知） ∴∠B＝　∠AED　．（ 　等量代换　） ∴ED∥BC．（ 　同位角相等，两直线平行　） （2）∵ED∥BC，（已知） ∴∠3＝　∠CED　．（ 　两直线平行，内错角相等　） 又∵∠2＝∠3，（已知） ∴∠2＝∠　CED　．（ 　等量代换　） ∴AD∥EC．（ 　内错角相等，两直线平行　） 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠1＝∠AED，等量代换求出∠B＝∠AED，再根据平行线的判定得出结论； （2）根据平行线的性质得到∠3＝∠CED，等量代换求出∠2＝∠CED，再根据平行线的判定得出结论． 【解答】证明：（1）∵AB∥DC，（ 已知 ） ∴∠1＝∠AED．（两直线平行，内错角相等） 又∵∠1＝∠B，（ 已知 ） ∴∠B＝∠AED，（等量代换） ∴ED∥BC．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：∠AED；两直线平行，内错角相等；∠AED；等量代换；同位角相等，两直线平行； （2）∵ED∥BC，（ 已知 ） ∴∠3＝∠CED．（两直线平行，内错角相等） 又∵∠2＝∠3，（ 已知 ） ∴∠2＝∠CED．（等量代换） ∴AD∥EC．（内错角相等，两直线平行） 故答案为：∠CED；两直线平行，内错角相等；CED；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，正确建议相关知识点是解题关键． 26．（6分）如图，四边形ABCD是某公园的一块空地，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3m，AD＝10m，CD＝8m，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（≈1.7，结果保留整数） 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝，进而推出△ACD是直角三角形，S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD，进而作答即可． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3， ∴AC＝2AB＝6， 在Rt△ABC中， 由勾股定理得：BC＝＝＝， ∵AC2+CD2＝62+82＝100，AD2＝102＝100， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝+＝+24（m2）， ∴种植草皮所需金额为：100×（+24）＝450+2400≈3165（元）， ∴在该空地上种植草皮大约需要3165元． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理和逆定理． 27．（8分）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是7元，批发一箱该农产品的利润是4元． （1）已知该公司某月卖出1000箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？ （2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司要经营1000箱这种农产品，最大利润是多少？ 【分析】（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品（1000﹣x）箱，依据该公司某月卖出1000箱这种农产品共获利润4600元，列方程求解即可． （2）设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（1000﹣m）箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品（1000﹣x）箱，依题意得： 7x+4（1000﹣x）＝4600， 解得：x＝200， 1000﹣200＝800（箱）， 答：该公司当月零售这种农产品200箱，批发这种农产品800箱； （2）设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（1000﹣m）箱，依题意得：0＜m≤300， 设该公司获得利润为y元，依题意得： y＝7m+4（1000﹣m）， 即y＝3m+4000， ∵3＞0，y随着m的增大而增大， ∴当m＝300时，y取最大值，此时y＝3×300+4000＝4900（元）， 答：该公司要经营1000箱这种农产品，最大利润是4900元． 【点评】本题主要考查了一元一次方程和一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键． 28．（6分）如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）． （1）直接写出方程组的解； （2）求直线l1对应的表达式； （3）求△ABP的面积． 【分析】（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得y＝2，求得P（﹣1，2），于是得到结论； （2）把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b解方程组得到直线l1对应的表达式为y＝2x+4； （3）在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1，求得B（1，0），根据三角形的面积公式得到△ABP的面积＝×3×2＝3． 【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得y＝2， ∴P（﹣1，2）， ∴方程组的解为； （2）把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，， 解得， ∴直线l1对应的表达式为y＝2x+4； （3）在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1， ∴B（1，0）， ∴△ABP的面积＝×3×2＝3． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 29．（8分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°． ①求∠A、∠B的度数． ②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数． 【分析】（1）①利用“友爱三角形”的定义及∠A＞∠B结合∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°解答即可；②由∠A＝60°，∠B＝30°，∠ADC＝∠BDC＝90°，求出∠BCD＝60°，∠ACD＝30°，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【解答】解：（1）①∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B）， ∴∠A＝2∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°，即2∠B+∠B＝90°，解得∠B＝30°， ∴∠A＝60°； ②△ACD、△BCD都是“友爱三角形”， 理由：∵CD是△ABC中AB边上的高， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵∠A＝60°，∠B＝30°， ∴∠ACD＝30°，∠BCD＝60° 在△ACD中，∠A＝60°，∠ACD＝30°， ∴， ∴△ACD为“友爱三角形”； 在△BCD中，∠BCD＝60°，∠B＝30°， ∴ ∴△BCD为“友爱三角形”； （2）∵△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点（不与点A，B重合）， ∴或， 当时，； 当时， ∴∠A+3∠ACD＝180°，即3∠ACD＝114°， ∴∠ACD＝38°， 综上所述，∠ACD的度数为33°或38°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$