广东省韶关市乳源县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省韶关市乳源县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（1，6） C．（﹣1，6） D．（﹣1，2） 2．（3分）一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，﹣81，0 B．4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 5．（3分）下列关于概率的说法中，正确的是（　　） A．“明天的降水概率为10%”表示明天下雨的可能性是10% B．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就一定有一次正面朝上 C．连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数一定是奇数 D．某射击运动员射击一次，命中靶心是必然事件 6．（3分）已知圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为4cm，那么直线与圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 7．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（　　） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 9．（3分）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　） A．70° B．55° C．45° D．35° 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），（0，﹣2），且对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论正确的是（　　） A．b2﹣4ac＝0 B．a＞0 C．2a+b＝0 D．4a﹣2b+c＝0 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）已知一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的弧长为　 　cm，面积为　 　cm2（结果保留小数点后两位）． 12．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B（2a﹣b，a﹣2b）关于原点对称，则a﹣b的值为　 　． 13．（3分）将函数y＝2x2+1的图象沿x轴向右平移3个单位，得到的图象解析式的一般式为　 　． 14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BDC＝22°，则∠BAC的度数为 　 　． 15．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 　 　． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）解方程： （1）x2﹣9＝0； （2）x2﹣5＝4x． 17．（7分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），C（0，0）． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A'B'C'，并写出点A的对称点A'的坐标； （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并求在这个旋转过程中，点A经过的路径长． 18．（7分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0）和点C（0，﹣3）． （1）求二次函数的解析式； （2）在该二次函数的图象上有一点P，使△PAB的面积为，求点P的坐标． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）用长为32米的篱笆围成一个矩形养鸡场，设养鸡场的一边长为x米，养鸡场的面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当x为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少平方米？ 20．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC＝AB． 21．（9分）小明和小芳做配紫色游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色， （1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。 22．（13分）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）求弦BD的长； （3）求图中阴影部分的面积． 23．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C（0，3），连接BC． （1）①抛物线的解析式为　 　； ②若，则y的取值范围为　 　． （2）点P是AB下方抛物线上一点，作PM⊥x轴于点M，交BC于点Q． ①求PM﹣QM的最大值； ②若，求点P的坐标． 2024-2025学年广东省韶关市乳源县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B A C D B B B 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（1，6） C．（﹣1，6） D．（﹣1，2） 【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3 ＝x2﹣2x+1﹣1+3 ＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）． 故选：A． 【点评】此题考查了二次函数的性质，通过配方法求顶点式是解题的关键． 2．（3分）一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，﹣81，0 B．4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 【分析】先把方程化为一般形式，再根据一元二次方程一般式解答即可． 【解答】解：（2x+3）（2x﹣3）＝72， 整理，得4x2﹣81＝0， 故方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数是4、一次项系数是0、常数项是﹣81， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不合题意； C、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿着对称轴折叠后两部分可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】根据题意可得：把x＝3代入一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0中得：9﹣3k﹣6＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3， ∴9﹣3k﹣6＝0， 解得：k＝1， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（3分）下列关于概率的说法中，正确的是（　　） A．“明天的降水概率为10%”表示明天下雨的可能性是10% B．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就一定有一次正面朝上 C．连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数一定是奇数 D．某射击运动员射击一次，命中靶心是必然事件 【分析】根据概率的意义，随机事件，概率公式，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、“明天的降水概率为10%”表示明天下雨的可能性是10%，故A符合题意； B、“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就可能有一次正面朝上，故B不符合题意； C、连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数可能是奇数，故C不符合题意； D、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 6．（3分）已知圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为4cm，那么直线与圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【解答】解：∵圆的半径为5cm ∵圆心到直线l的距离为4cm， ∴圆的半径＞圆心到直线的距离， ∴直线与圆相交， 故选：C． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 7．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝，与y轴的交点坐标为（0，c）． 【解答】解：A．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x＝＝＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象不符，故A选项错误； B．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故B选项错误； C．由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故C选项错误； D．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x＝＝＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 8．（3分）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（　　） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【分析】因为三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆，所以在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心为该三角形的内心，即该三角形三个角的平分线的交点，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆， ∴在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形三个角的平分线的交点， 故选：B． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义，正确理解“三角形的内心为该三角形三条角平分线的交点”是解题的关键． 9．（3分）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　） A．70° B．55° C．45° D．35° 【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA＝OB，可求出∠ABO的度数 【解答】解：连接OA、OC， ∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°， ∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°， ∵OA＝OB（都是半径）， ∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝55°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），（0，﹣2），且对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论正确的是（　　） A．b2﹣4ac＝0 B．a＞0 C．2a+b＝0 D．4a﹣2b+c＝0 【分析】把点代入二次函数当中，且对称轴为x＝﹣＝﹣1，即可求得a、b、c的值．代入选项A、B、C、D中，即可判断答案． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a，即2a﹣b＝0，故C错误， ∵x＝1时，y＝0， ∴a+b+c＝0， ∵x＝0时，y＝﹣2， ∴c＝﹣2 ∴a+b＝2 ∴a＝，b＝， ∴a＞0．故B正确， ∴b2﹣4ac＝﹣4××（﹣2）＝≠0，故A错误， 把a＝，b＝，c＝﹣2，代入选项D内， 即4a﹣2b+c＝4×﹣2×﹣2＝﹣2≠0，故D错误． 应选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）已知一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的弧长为　6.28　cm，面积为　9.42　cm2（结果保留小数点后两位）． 【分析】根据弧长公式，扇形面积公式进行计算即可． 【解答】解：由弧长公式可得＝2π≈6.28（cm）， 扇形的面积为 ＝3π≈9.42（cm2）， 故答案为：6.28，9.42． 【点评】本题考查弧长的计算，扇形面积的计算，掌握弧长的计算公式以及扇形面积的计算公式是正确计算的关键． 12．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B（2a﹣b，a﹣2b）关于原点对称，则a﹣b的值为　　． 【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征求解． 【解答】解：∵点A（2，3）与点B（2a﹣b，a﹣2b）关于原点对称， ∴， ∴3a﹣3b＝﹣5， ∴a﹣b＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），利用关于原点对称的点的坐标特征得出a，b是解题关键． 13．（3分）将函数y＝2x2+1的图象沿x轴向右平移3个单位，得到的图象解析式的一般式为　y＝2x2﹣12x+19　． 【分析】根据“左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：根据“左加右减”的平移法则，将函数y＝2x2+1的图象沿x轴向右平移3个单位，得到的图象解析式为：y＝2（x﹣3）2+1，即y＝2x2﹣12x+19． 故答案为：y＝2x2﹣12x+19． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BDC＝22°，则∠BAC的度数为 　44°　． 【分析】由AB＝AC＝AD，可得点B，C，D在以点A为圆心的圆上，然后由圆周角定理，即可求得答案． 【解答】解：∵AB＝AC＝AD， ∴点B，C，D在以点A为圆心的圆上， ∵∠BDC＝22°， ∴∠BAC＝2∠BDC＝44°． 故答案为：44°． 【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度适中，解题的关键是得到点B，C，D在以点A为圆心的圆上． 15．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 　20%　． 【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2＝现在价格，设出未知数，列方程解答即可． 【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得， 125（1﹣x）2＝80， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）； 故答案为：20% 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程的依据是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2＝现在价格． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）解方程： （1）x2﹣9＝0； （2）x2﹣5＝4x． 【分析】（1）运用直接开平方法，即可解得方程； （2）利用因式分解法x2﹣5＝4x，转化为（x﹣5）（x+1）＝0，即可解方程． 【解答】解：（1）x2﹣9＝0， ∴x2＝9， ∴x1＝3，x2＝﹣3； （2）x2﹣5＝4x， ∴利用因式分解法得：（x﹣5）（x+1）＝0， ∴x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 17．（7分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），C（0，0）． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A'B'C'，并写出点A的对称点A'的坐标； （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并求在这个旋转过程中，点A经过的路径长． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理求出AC的长，再利用弧长公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求． 由图可得，A'（2，﹣4）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 由勾股定理得，AC＝＝， ∴旋转过程中，点A经过的路径长为＝． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、轨迹，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、弧长公式是解答本题的关键． 18．（7分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0）和点C（0，﹣3）． （1）求二次函数的解析式； （2）在该二次函数的图象上有一点P，使△PAB的面积为，求点P的坐标． 【分析】（1）设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式； （2）设P（t，﹣t2+4t﹣3），利用三角形面积公式得×（3﹣1）×|﹣t2+4t﹣3|＝，然后分别解方程﹣t2+4t﹣3＝和﹣t2+4t﹣3＝﹣，从而得到满足条件的P点坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 把C（0，﹣3）代入得﹣3＝a×（0﹣1）×（0﹣3）， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）， 即y＝﹣x2+4x﹣3； （2）设P（t，﹣t2+4t﹣3）， ∵△PAB的面积为， ∴×（3﹣1）×|﹣t2+4t﹣3|＝， 即﹣t2+4t﹣3＝或﹣t2+4t﹣3＝﹣， 解方程﹣t2+4t﹣3＝得t1＝，t2＝， 此时P点坐标为（，）或（，）； 解方程﹣t2+4t﹣3＝﹣得t1＝2﹣，t2＝2+， 此时P点坐标为（2﹣，﹣）或（2+，﹣）， 综上所述，P点坐标为（，）或（，）或（2﹣，﹣）或（2+，﹣）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）用长为32米的篱笆围成一个矩形养鸡场，设养鸡场的一边长为x米，养鸡场的面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当x为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【分析】（1）由篱笆的总长及养鸡场一边的长，可得出边长为x米的邻边长为（16﹣x）米，利用矩形的面积公式，可找出S与x之间的函数关系式，结合矩形的各边为正值，可求出自变量x的取值范围； （2）利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）∵篱笆的总长为32米，养鸡场的一边长为x米， ∴边长为x米的邻边长为＝（16﹣x）米． 根据题意得：S＝x（16﹣x）＝﹣x2+16x， ∵矩形的各边为正值， ∴， ∴0＜x＜16， ∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣x2+16x（0＜x＜16）； （2）S＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣8）2+64， ∵﹣1＜0， ∴当x＝8时，S取得最大值，最大值为64． 答：当x为8时，养鸡场的面积最大，最大面积是64平方米． 【点评】本题考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出S与x之间的函数关系式是解题的关键． 20．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC＝AB． 【分析】（1）欲证PC是⊙O的切线，直线证明OC⊥PC即可； （2）利用“直角△ACB的斜边上的中线等于斜边的一半”推知OC＝AB；然后根据等腰△APC的性质，三角形外角的性质证得OC＝BC，则BC＝AB． 【解答】证明：（1）∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA． 又∵∠COB为△AOC的外角， ∴∠COB＝2∠OCA，又∠COB＝2∠PCB， ∴∠OCA＝∠PCB， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCA+∠OCB＝90°， ∴∠PCB+∠OCB＝90°， ∴∠PCO＝90°， ∵点C在⊙O上， ∴PC是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． 又∵点O是斜边AB的中点， ∴OC＝AB． ∵AC＝PC， ∴∠A＝∠P． 又由（1）知，∠OCA＝∠PCB， ∴∠COB＝∠OBC， ∴OC＝BC＝AB，即BC＝AB． 【点评】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，利用了转化及等量代换的思想，其中切线的判定方法有两种：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径． 21．（9分）小明和小芳做配紫色游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色， （1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由． 【分析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，即可得答案； （2）由（1）的表格，分析可能得到紫色的概率，得到结论． 【解答】解：（1）用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种． 红 （红，红） （蓝，红） （黄，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （黄，蓝） 红 （红，红） （蓝，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （黄，黄） 红 蓝 黄 （2）上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是＝， 即小明获胜的概率是；故小芳获胜的概率是． 而＜， 故小芳获胜的可能性大，这个“配色”游戏对双方是不公平的． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，要求学生根据题意，结合实际情况，计算并比较游戏者的胜利的概率，进而得到结论．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。 22．（13分）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）求弦BD的长； （3）求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，OC交BD于E，由∠CDB＝∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四边形ABDC为平行四边形，则∠A＝∠D＝30°，由圆周角定理可知∠COB＝2∠D＝60°，由内角和定理可求∠OCA＝90°，证明切线； （2）利用（1）中的切线的性质和垂径定理以及解直角三角形来求BD的长度； （3）证明△OEB≌△CED，将阴影部分面积问题转化为求扇形OBC的面积． 【解答】（1）证明：连接OC，OC交BD于E， ∵∠CDB＝30°， ∴∠COB＝2∠CDB＝60°， ∵∠CDB＝∠OBD， ∴CD∥AB， 又∵AC∥BD， ∴四边形ABDC为平行四边形， ∴∠A＝∠D＝30°， ∴∠OCA＝180°﹣∠A﹣∠COB＝90°，即OC⊥AC 又∵OC是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：由（1）知，OC⊥AC． ∵AC∥BD， ∴OC⊥BD， ∴BE＝DE， ∵在直角△BEO中，∠OBD＝30°，OB＝6， ∴BE＝OBcos30°＝3， ∴BD＝2BE＝6； （3）解：∵OC⊥BD∴BE＝DE且∠OEB＝∠DEC，∠CDB＝∠OBD＝30°． ∴△OEB≌△CED， ∴S阴影＝S扇形BOC ∴S阴影＝＝6π． 答：阴影部分的面积是6π． 【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，扇形面积的计算．关键是连接OC，利用内角和定理，三角形全等的知识解题． 23．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C（0，3），连接BC． （1）①抛物线的解析式为　y＝x2﹣4x+3　； ②若，则y的取值范围为　﹣1≤y≤3　． （2）点P是AB下方抛物线上一点，作PM⊥x轴于点M，交BC于点Q． ①求PM﹣QM的最大值； ②若，求点P的坐标． 【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式即可． ②由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝2，则当x＝0时，y取得最大值3，当x＝2时，y取得最小值﹣1，即可得出答案． （2）①利用待定系数法可求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设点P的坐标为（m，m2﹣4m+3），1＜m＜3，则Q（m，﹣m+3），PM＝﹣m2+4m﹣3，QM＝﹣m+3，可得PM﹣QM＝﹣m2+5m﹣6＝，进而可得答案． ②由题意得，BQ＝，则QM＝PM，即﹣m+3＝﹣m2+4m﹣3，求出m的值，进而可得答案． 【解答】解：（1）①将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3． 故答案为：y＝x2﹣4x+3． ②∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2． ∵， ∴当x＝0时，y取得最大值3，当x＝2时，y取得最小值﹣1， ∴y的取值范围为﹣1≤y≤3． 故答案为：﹣1≤y≤3． （2）①设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将B（3，0），C（0，3）代入， 得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3． 设点P的坐标为（m，m2﹣4m+3），1＜m＜3， 则Q（m，﹣m+3）， ∴PM＝﹣m2+4m﹣3，QM＝﹣m+3， ∴PM﹣QM＝﹣m2+4m﹣3+m﹣3＝﹣m2+5m﹣6＝， ∴当m＝时，PM﹣QM取得最大值，最大值为． ②∵OB＝OC＝3， ∴∠CBO＝45°， ∴BQ＝． ∵， ∴QM＝PM， ∴﹣m+3＝﹣m2+4m﹣3， 解得m1＝2，m2＝3（舍去）， ∴点P的坐标为（2，﹣1）． 【点评】本题考查二次函数的应用、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$