2025年南外杯初中竞赛数学卷

2025年1月 “南外杯” 初中数学竞赛试题 一、填空题 (共 8 题, 每题 4 分, 共 32 分) 1. 已知实数 满足 ,则 _____. 2. 已知在 Rt 中, , 则 _____. 3. 已知 ,则 _____. 4. 已知 且 ,则 的最小值为_____. 5. 已知 ,则 的最大值为_____. 6. 方程 的所有实数解(x, y)为_____. 7. 若对任意 ,均有 ,则 的取值范围为_____. 8. 已知 且 ,则 _____. 二、选择题 (共 4 题, 每题 3 分, 共 12 分) 9. 已知正方形 ,则平面上使得 都是等腰三角形的点 的个数为 ( ) A. 5 B. 9 C. 11 D. 13 10. 已知锐角三角形两边为 1,3 , 则第三边的取值范围为 ( ) A.(2,4) B. C. D. 11. 定义集合 满足 且 为前 个正奇数. 设 ,则 的值为( ) A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 12. 设 . 已知 无解,则 的解数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 三、解答题 (共 4 题, 共 56 分) 13. 解方程 . 14. 已知 及圆 ,求作直线 使得 截两圆的弦长为 . 15. 已知 均为正三角形, 分别为它们的中心,求证: 为正三角形. 16. 已知 的两根满足 . 求证: 对任意 有 . 参考答案 1.3 2. . 3. 4. 10 5. 15 6. (2,1). 7. 或 . 8. 9. B 10. D 11. B 12. A 13. 这是关于 的一个偶函数,暴力通分后是个假四次的方程. 即令 后是关于 的二次方程. 先解出 ,再解出 即可,解得四个解分别为 . 14. 作出两个圆的圆心到 的弦心距,以弦心距为半径作圆. 然后作出这两个圆的公切线即可. 公切线的作法借助于位似, 作出位似中心即可. 15. 这是一道经典定理拿破仑定理的一个特例. 拿破仑定理是 为三角形的情形, 这里是退化的情形.只要证明 即可,由对称性同理可得 顺时针旋转 , 扩大 倍变换到 顺时针旋转 ,扩大 倍变换到 ,故要证 ,只要证 . 这由 与 旋转全等立即可得. 16. 条件是根的性质, 主要考察零点式的运用.可以数形结合去看。 学科网（北京）股份有限公司 $$