数学（广东卷02）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（广东卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ）， A． B． C． D． 2．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知向量，，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．32 D．64 5．在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（    ）（参考数据：） A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟 6．设，，且，则（    ） A． B． C． D． 7．某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了100个样本，勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将100个样本分为10组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将100个样本分为5组或20组等等．假设每个样本含有该矿物质的概率．且每个样本是否含有该矿物质相互独立．则下列选项中检测次数的期望值最小的是（    ）（参考数据：） A．5个一组 B．10个一组 C．20个一组 D．逐个检验 8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．为纯虚数 D．对应的点位于第三象限 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 11．在正三棱柱中，，的重心为，以为球心的球与平面相切.若点在该球面上，则下列说法正确的有（    ） A．存在点和实数，，使得 B．三棱锥体积的最大值为 C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为 D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 13．我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 ． 14．已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B；(2)设，，求的值. 16．（15分）已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 17．（15分）如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. (1)求证：； (2)若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）定义若椭圆（）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知：（）为“完美曲线”，且和：，：均相切． (1)求的表达式和离心率 (2)已知动点在的第一象限上运动，和相切，和交于，和交于．设右焦点为，证明是定值，并求其正切值． 19．（17分）对于给定的数列以及正整数，若，使得成立，则称为“阶可分拆数列”. (1)设，证明：为“3阶可分拆数列”； (2)设的前项和为，若为“1阶可分拆数列”，求实数的值； (3)设，是否存在，使得为“阶可分拆数列”？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（广东卷）02·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ）， A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， ，则， 所以． 故选：A. 2．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】因为该组数据共6个，且， 所以这组数据的分位数为第三位数，即为， 则，解得. 故选：D. 3．已知向量，，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为向量，， 所以. 又因为， 所以，解得或. 则当时，，此时； 当时，，此时. 所以或. 故选：C. 4．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】D 【详解】由，得，则， 设等比数列公比为，则，解得， 所以. 故选：D 5．在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（    ）（参考数据：） A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟 【答案】C 【详解】根据题意得，即； 则，所以，可得， 两边取常用对数得， 故选：C. 6．设，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ， ， . ，，， 或，即或（舍去）. 故选：A. 7．某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了100个样本，勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将100个样本分为10组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将100个样本分为5组或20组等等．假设每个样本含有该矿物质的概率．且每个样本是否含有该矿物质相互独立．则下列选项中检测次数的期望值最小的是（    ）（参考数据：） A．5个一组 B．10个一组 C．20个一组 D．逐个检验 【答案】B 【详解】若5个一组时，每组检测次数为，或5，，， 的分布列是 1 6 0.951 0.049 ， 总检测次数的期望为， 若10个一组时，每组检测次数为，或11，，， 的分布列是 1 11 0.904 0.096 ， 总检测次数的期望为， 若20个一组时，每组检测次数为，或21，，， 的分布列是 1 21 0.818 0.182 ， 总检测次数的期望为， 若逐个检测，总检测次数为100， 因此10个一组检测次数的期望值最小， 故选：B． 8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知直线，都过点，如图， 则有，， 设，则， 所以，故， 所以， 因此， 在，， 即， 整理得即，解得， 所以， 令双曲线半焦距为c， 在中，，即， 解得， 所以的离心率为. 故选：B 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法： ①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．为纯虚数 D．对应的点位于第三象限 【答案】AC 【详解】因为为实数，所以，解得， 所以，，所以，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为，所以， 其对应的点在第四象限，故D错误． 故选：AC 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【答案】ABD 【详解】因为，所以， 由，所以，所以， 所以. 所以，当时，最大，故A正确； 由，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以. 且，， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD. 11．在正三棱柱中，，的重心为，以为球心的球与平面相切.若点在该球面上，则下列说法正确的有（    ） A．存在点和实数，，使得 B．三棱锥体积的最大值为 C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为 D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为 【答案】BC 【详解】对于A， 取中点，中点，连接，， 正三棱柱中，平面平面，平面平面， 平面，平面，，而为的重心， ，到平面的距离为， 而到平面的距离为， 球与平面相离，则不存在这样的和实数，使，A错误． 对于B，到平面的距离为，球半径， 则到平面的最大距离为， ，B正确． 对于C，设为球的上顶点，平面于点， 与球相切且与平面共面， ，， 设，则有，得， ，C正确． 对于D，由选项B可知到平面的距离为，即球半径， 所以球大圆的周长为， 由题意点的轨迹为过B且垂直于的平面与球的交线圆，而， 截面圆的周长大于球的大圆的周长，所以是不可能的，D错误. 故选：BC． 【点睛】方法点睛：利用正三棱柱的结构特征和三角形重心的位置特征，求出重心到相关平面的距离，可解决向量共面，棱锥高度最大，轨迹及位置关系等问题. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 【答案】 【详解】由于所有项的二项式系数之和为， 二项式展开式的通项公式为， 令，所以常数项为. 故答案为： 13．我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：由曲线方程， 由点“爱心线”上任意一点且点在轴的右侧， 所以点“爱心线”上任意一点的最小距离，一定出现在爱心线位于轴的右侧的点， 当时，可得， 设曲线上任意一点，且， 有， 因为的最小值为，所以的最小值为， 当时，心吧面积为的最小值为； 当时，心吧面积为的最大值为. 故答案为：. 14．已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是 【答案】 【详解】由题知，的定义域为， 且， 所以为偶函数， 当时，恒成立， 所以在上单调递增， 由对称性可知在上单调递减， 所以， 令， 若仅有一个实数根，则， 此时，解得或，有两个根，不符合，舍去； 若有两个实数根，由对称知，， 需要满足和均有两个解， 即和均有两个解， 由，，解得， 又，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设，，求的值. 【详解】（1）因为，所以， 1分 所以，所以， 化简得， 3分 所以由余弦定理，得， 5分 又，所以. 6分 （2）由（1）知，，且，， 则由余弦定理，得，即，解得或. 8分 当时，， 则， 9分 又，， 所以； 10分 当时，， 则， 11分 又，， 所以. 12分 综上所述，或. 13分 16．（15分）已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 【详解】（1）当时，，其中，则， 1分 令，化简得，解得（负值舍去）， 3分 又此时，则切线方程过点， 4分 结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. 6分 （2）由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 7分 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 9分 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 11分 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 13分 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 14分 综上，是的极小值点时，. 15分 17．（15分）如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. (1)求证：； (2)若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取中点，连接， 1分 因为点为线段的中点，所以且， 因为，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 3分 因为⊥平面，所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，由三线合一得； 5分 （2）由（1）得，又因为，所以为等边三角形， 故，因为，，即⊥， 因为，所以直线与所成角的正切值为， 即，故， 又，解得， 7分 设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 故，由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 9分 取中点，连接，取中点，连接，则⊥， 因为平面，所以⊥，由三线合一得⊥， 因为平面，， 所以⊥平面， 10分 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 12分 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 14分 设直线与平面所成角大小为， 则. 15分 18．（17分）定义若椭圆（）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知：（）为“完美曲线”，且和：，：均相切． (1)求的表达式和离心率 (2)已知动点在的第一象限上运动，和相切，和交于，和交于．设右焦点为，证明是定值，并求其正切值． 【详解】（1）焦点和长轴顶点共线，它们不会共圆，从而焦点和短轴顶点共圆，则，为半焦距， ，因此的离心率为， 2分 椭圆的方程为，由消去得， 由和相切，得，解得， 4分 此时，由对称性知，和相切， 所以的表达式为. 6分 （2）设从而斜率必然存在且非0，令， 设切线 代入得到 由在上，得，从而， 8分 由直线与椭圆相切，得上述方程有相等实根，则，即， 从而，即 由，解得，记为 10分 同理，记为， 即，，， ，，， 由，得，直线的斜率分别为， 12分 ， ， ， 15分 当时，，和重合，与已知矛盾，又， 因此，所以是定值，其正切值为． 17分 19．（17分）对于给定的数列以及正整数，若，使得成立，则称为“阶可分拆数列”. (1)设，证明：为“3阶可分拆数列”； (2)设的前项和为，若为“1阶可分拆数列”，求实数的值； (3)设，是否存在，使得为“阶可分拆数列”？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）， ， 2分 若，使得成立，则成立， 显然，当时等式成立， 所以，使得成立，得证. 4分 （2）因为数列的前项和为 当时，； 当时，， 所以， 5分 因为存在正整数使得成立， 则①当时，，即， 因为， 所以，而，所以不存在正整数使得成立； 7分 ②当时，若成立，则，得， 所以时存在正整数使得成立， 由①②得. 9分 （3）假设存在使得数列为“阶可分拆数列” 即存在确定的正整数，存在正整数使得成立. 即， 即， 11分 ①当时，时方程成立， 12分 ②当时， 当时，； 当时，， 当时，，所以不存在正整数使得成立； 14分 ③当时，，当时，成立， 15分 ④当时，， 所以不存在正整数使得成立. 综上：或3. 17分 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（广东卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ）， A． B． C． D． 2．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知向量，，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．32 D．64 5．在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（    ）（参考数据：） A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟 6．设，，且，则（    ） A． B． C． D． 7．某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了100个样本，勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将100个样本分为10组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将100个样本分为5组或20组等等．假设每个样本含有该矿物质的概率．且每个样本是否含有该矿物质相互独立．则下列选项中检测次数的期望值最小的是（    ）（参考数据：） A．5个一组 B．10个一组 C．20个一组 D．逐个检验 8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．为纯虚数 D．对应的点位于第三象限 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 11．在正三棱柱中，，的重心为，以为球心的球与平面相切.若点在该球面上，则下列说法正确的有（    ） A．存在点和实数，，使得 B．三棱锥体积的最大值为 C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为 D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 13．我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 ． 14．已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B；(2)设，，求的值. 16．（15分）已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 17．（15分）如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. (1)求证：； (2)若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）定义若椭圆（）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知：（）为“完美曲线”，且和：，：均相切． (1)求的表达式和离心率 (2)已知动点在的第一象限上运动，和相切，和交于，和交于．设右焦点为，证明是定值，并求其正切值． 19．（17分）对于给定的数列以及正整数，若，使得成立，则称为“阶可分拆数列”. (1)设，证明：为“3阶可分拆数列”； (2)设的前项和为，若为“1阶可分拆数列”，求实数的值； (3)设，是否存在，使得为“阶可分拆数列”？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 数学（广东卷02）参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C D C A B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）因为，所以， 1分 所以，所以， 化简得， 3分 所以由余弦定理，得， 5分 又，所以. 6分 （2）由（1）知，，且，， 则由余弦定理，得，即，解得或. 8分 当时，， 则， 9分 又，， 所以； 10分 当时，， 则， 11分 又，， 所以. 12分 综上所述，或. 13分 16．【详解】（1）当时，，其中，则， 1分 令，化简得，解得（负值舍去）， 3分 又此时，则切线方程过点， 4分 结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. 6分 （2）由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 7分 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 9分 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 11分 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 13分 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 14分 综上，是的极小值点时，. 15分 17．【详解】（1）取中点，连接， 1分 因为点为线段的中点，所以且， 因为，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 3分 因为⊥平面，所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，由三线合一得； 5分 （2）由（1）得，又因为，所以为等边三角形， 故，因为，，即⊥， 因为，所以直线与所成角的正切值为， 即，故， 又，解得， 7分 设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 故，由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 9分 取中点，连接，取中点，连接，则⊥， 因为平面，所以⊥，由三线合一得⊥， 因为平面，， 所以⊥平面， 10分 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 12分 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 14分 设直线与平面所成角大小为， 则. 15分 18．【详解】（1）焦点和长轴顶点共线，它们不会共圆，从而焦点和短轴顶点共圆，则，为半焦距， ，因此的离心率为， 2分 椭圆的方程为，由消去得， 由和相切，得，解得， 4分 此时，由对称性知，和相切， 所以的表达式为. 6分 （2）设从而斜率必然存在且非0，令， 设切线 代入得到 由在上，得，从而， 8分 由直线与椭圆相切，得上述方程有相等实根，则，即， 从而，即 由，解得，记为 10分 同理，记为， 即，，， ，，， 由，得，直线的斜率分别为， 12分 ， ， ， 15分 当时，，和重合，与已知矛盾，又， 因此，所以是定值，其正切值为． 17分 19．【详解】（1）， ， 2分 若，使得成立，则成立， 显然，当时等式成立， 所以，使得成立，得证. 4分 （2）因为数列的前项和为 当时，； 当时，， 所以， 5分 因为存在正整数使得成立， 则①当时，，即， 因为， 所以，而，所以不存在正整数使得成立； 7分 ②当时，若成立，则，得， 所以时存在正整数使得成立， 由①②得. 9分 （3）假设存在使得数列为“阶可分拆数列” 即存在确定的正整数，存在正整数使得成立. 即， 即， 11分 ①当时，时方程成立， 12分 ②当时， 当时，； 当时，， 当时，，所以不存在正整数使得成立； 14分 ③当时，，当时，成立， 15分 ④当时，， 所以不存在正整数使得成立. 综上：或3. 17分 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$