数学（广东卷01）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（广东卷）01·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，解得，则， 因为，则， 因此，. 故选：A． 2．若复数满足（i为虚数单位），则的虚部是（   ） A．i B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为，可得， 所以的虚部是. 故选：D. 3．已知平面向量，，，若与平行，则实数的值为（ ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【解析】因为，，， 所以， 由与平行， 得， 解得 故选：D. 4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】 如图为正方体， 设直线为，直线为，平面为， 则，但，A错误； 设平面为，平面为，直线为， 因为，则直线为直线， 满足条件，但不垂直，B错误； 设平面为，平面为，平面为， 则，则相交，C错误； 设直线的方向向量为，直线的方向向量为， 平面的法向量为，平面的法向量为， 因为， 所以，，， 所以，所以，D正确； 故选：D. 5．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【解析】由题可得极差是，该组数据的中位数是极差的， 列出等式，解得， 因为， 故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值，即， 所以该组数据的第40百分位数是. 故选：A. 6．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，易得， 对于A，因为，即，故A错误； 对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误. 故选：C. 7．已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数为定义在上的奇函数，即， 等式两边同时求导得，即， 即①，所以函数为偶函数， 因为为奇函数，则②， 联立①②可得， 当时，，仅当时取等号，所以函数在上为增函数， 由函数为偶函数，由可得，可得， 即，整理得，解得， 因此不等式的解集为. 故选：B. 8．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线上一点到其准线的距离为3， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为． 由抛物线的方程可知，焦点，根据题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线，，． 由消去整理得，， 所以，．又， 所以， 解得， 则，， 则． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，若点在圆：上，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．的最小值为1 D．圆上至少有2个点与点的距离为1 【答案】AC 【解析】对于选项A：点，代入直线得，故点在直线上，A正确 对于选项B：圆心到直线的距离为， 故直线与圆相离，结合选项A可知，点不可能在圆上，故B错误. 对于选项C：结合选项B可知，，故C正确 对于选项D：由选项C可知圆上只有1个点与点的距离为1，故D错误. 故选：AC 10．定义；在区间上，若数是减函数且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（    ） A．在上是“弱减函数” B．在上是“弱减函数” C．在上是“弱减函数” D．若在上是“弱减函数”，则 【答案】BCD 【解析】对于A选项，因为函数在上不是增函数，A不满足条件； 对于B选项，当时，，函数在上为减函数， 令，则，函数在上为增函数，B满足条件； 对于C选项，当时，， 令，其中，则， 所以，函数在上为减函数， 故当时，，则， 则函数在上为减函数， 又因为函数在上为增函数，C满足条件； 对于D选项，因为在上是“弱减函数”且该函数的定义域为， 由，解得，所以，， 又因为函数在上为增函数，D满足条件. 故选：BCD. 11．如图，为圆锥的轴截面，B是底面圆周上异于点A，C的一动点，，，则（   ） A．的面积无最大值 B．与平面不可能垂直 C．当点B为的中点时，三棱锥的体积最大 D．当点B为的中点时，二面角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】由，，可求得，，所以. 对于A，，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，若平面，平面，则，即， 从而，与矛盾，所以与平面不可能垂直，故B正确； 对于C，， 显然当点B为的中点时，取得最大值， 此时三棱锥的体积最大，故C正确； 对于D，如图， 作于点D，连接，，，因为点B为的中点， 由对称性可知，，即为二面角的平面角， 且，，， 由等面积法得，所以， 又，所以，则， 所以，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 【答案】10 【解析】根据题意，双曲线：，，， 又由点在双曲线上，则，即． 又由，则等于或，又，故． 故答案为：10 13．在中，点满足，，，则 ． 【答案】 【解析】设， 由正弦定理得，， 即， 所以 ， 即， 同除得， 解得舍去，或， 所以． 故答案为：． 14．现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 . 【答案】 【解析】由于六件货物的质量之和不是3的倍数，因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况. 设事件表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，事件表示第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量. 考虑三个箱子的摆放顺序，可得. 当发生时，这两个箱子的货物组合只能是和和和三种可能，故. 当不发生时，表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得. 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，比较大小. 【解析】（1） 当时， 当时，，两式相减得， ， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， （2）由（1）可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ，， ， ， 两式相减得 16．（15分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面PAD与平面PBD夹角为45°. (1)点P，A，B，C，D均在同一球面上，求该球的体积； (2)点E，F，G分别在棱AB，BC，PB上，当为等边三角形时，求直线AD与平面EFG所成角的正弦值 【解析】（1）因为底面ABCD为矩形，所以， 又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面PCD，所以，同理：， 又因为，平面ABCD，所以平面ABCD， 由题知，由平面ABCD为矩形知：， 所以，所以，ABCD为正方形， 记PB中点为，可求得：， 所以O为该球的球心，其半径 因此，该球的体积 （2）若平面EFG与平面PAC不平行， 依平行性，不妨将点G放在点P的位置，不妨设E不在A的位置， 则，，不合题意 若平面平面PAC，则， 所以，所以为等边三角形， 又因为平面平面PAC，两平面的法向量共线， 所以直线AD与平面EFG所成角等于AD与平面PAC所成角 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，， 设平面PAC的一个法向量为，则， 所以，令，得 显然，设AD与平面PAC所成角为， 则 17．（15分） 在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【解析】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 18．（17分） 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【解析】（1）因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． （2）（ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 19．（17分） 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 【解析】（1）根据题意得， 又，解得，， 所以椭圆：． （2）（ⅰ）设点，所以，， 设直线的斜率为，方程为：，则， 由消去，得①， 因为直线与椭圆相切，所以方程①， 得， 所以②， 其中． 所以关于的方程②有两相等实根，所以， 所以为定值． （ⅱ）椭圆：的左、右焦点，． 方法1：由（ⅰ）得过点与直线垂直的直线为：， 令，得，所以直线与轴交点， 所以，． （）， 同理．所以． 根据内角分线定理得，为的角平分线，设与轴交于点, 所以， 即，，三点共线，所以直线过点． 方法2：设点，则， 根据题意得，解得 所以， 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． 方法3：设点，则， 过垂直于的直线交于点， 由（ⅰ）可得：，则：． 联立直线与的方程得所以 所以， 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（广东卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足（i为虚数单位），则的虚部是（   ） A．i B．1 C． D． 3．已知平面向量，，，若与平行，则实数的值为（ ） A． B．4 C． D．1 4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 6．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（    ） A． B．8 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，若点在圆：上，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．的最小值为1 D．圆上至少有2个点与点的距离为1 10．定义：在区间上，若数是减函数且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（    ） A．在上是“弱减函数” B．在上是“弱减函数” C．在上是“弱减函数” D．若在上是“弱减函数”，则 11．如图，为圆锥的轴截面，B是底面圆周上异于点A，C的一动点，，，则（   ） A．的面积无最大值 B．与平面不可能垂直 C．当点B为的中点时，三棱锥的体积最大 D．当点B为的中点时，二面角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 13．在中，点满足，，，则 ． 14．现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，比较大小. 16．（15分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面PAD与平面PBD夹角为45°. (1)点P，A，B，C，D均在同一球面上，求该球的体积； (2)点E，F，G分别在棱AB，BC，PB上，当为等边三角形时，求直线AD与平面EFG所成角的正弦值 17．（15分） 在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 18．（17分） 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 19．（17分） 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（广东卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足（i为虚数单位），则的虚部是（   ） A．i B．1 C． D． 3．已知平面向量，，，若与平行，则实数的值为（ ） A． B．4 C． D．1 4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 6．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（    ） A． B．8 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，若点在圆：上，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．的最小值为1 D．圆上至少有2个点与点的距离为1 10．定义；在区间上，若数是减函数且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（    ） A．在上是“弱减函数” B．在上是“弱减函数” C．在上是“弱减函数” D．若在上是“弱减函数”，则 11．如图，为圆锥的轴截面，B是底面圆周上异于点A，C的一动点，，，则（   ） A．的面积无最大值 B．与平面不可能垂直 C．当点B为的中点时，三棱锥的体积最大 D．当点B为的中点时，二面角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 13．在中，点满足，，，则 ． 14．现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，比较大小. 16．（15分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面PAD与平面PBD夹角为45°. (1)点P，A，B，C，D均在同一球面上，求该球的体积； (2)点E，F，G分别在棱AB，BC，PB上，当为等边三角形时，求直线AD与平面EFG所成角的正弦值 17．（15分） 在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 18．（17分） 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 19．（17分） 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（广东卷）01·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D D A C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．10 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1） 当时， 当时，，两式相减得， （3分） ， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， （6分） （2）由（1）可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， （7分） ，， ， ， （9分） 两式相减得 （12分） （13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为底面ABCD为矩形，所以， 又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面PCD，所以，同理：， 又因为，平面ABCD，所以平面ABCD， （2分） 由题知，由平面ABCD为矩形知：， 所以，所以，ABCD为正方形， 记PB中点为，可求得：， （5分） 所以O为该球的球心，其半径 因此，该球的体积 （7分） （2）若平面EFG与平面PAC不平行， 依平行性，不妨将点G放在点P的位置，不妨设E不在A的位置， 则，，不合题意 若平面平面PAC，则， 所以，所以为等边三角形， （9分） 又因为平面平面PAC，两平面的法向量共线， 所以直线AD与平面EFG所成角等于AD与平面PAC所成角 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，， （10分） 设平面PAC的一个法向量为，则， 所以，令，得 （13分） 显然，设AD与平面PAC所成角为， 则. （15分） 17．（15分） 【解析】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （4分） （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （9分） （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， （11分） 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， （13分） 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． （15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． （4分） （2）（ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． （6分） 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． （8分） ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （10分） （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， （14分） 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． （17分） 19．（17分） 【解析】（1）根据题意得， 又，解得，， 所以椭圆：． （4分） （2）（ⅰ）设点，所以，， 设直线的斜率为，方程为：，则， 由消去，得①， （5分） 因为直线与椭圆相切，所以方程①， 得， 所以②， （7分） 其中． 所以关于的方程②有两相等实根，所以， 所以为定值． （9分） （ⅱ）椭圆：的左、右焦点，． 方法1：由（ⅰ）得过点与直线垂直的直线为：， 令，得，所以直线与轴交点， （10分） 所以，． （）， 同理．所以． （14分） 根据内角分线定理得，为的角平分线，设与轴交于点, 所以， 即，，三点共线，所以直线过点． （17分） 方法2：设点，则， 根据题意得，解得 （13分） 所以， （16分） 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． （17分） 方法3：设点，则， 过垂直于的直线交于点， 由（ⅰ）可得：，则：． （11分） 联立直线与的方程得所以 所以， （15分） 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． （17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$