专题06 一次函数易错必刷题型专训（60题20个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题06 一次函数易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 函数的识别】 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）下列函数中，一次函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义． 根据一次函数的定义（形如，其中与是常数且）解决此题． 【详解】解：A. 根据一次函数的定义，不是一次函数，不符合题意； B. 根据一次函数的定义，不是一次函数，不符合题意； C. 根据一次函数的定义，是一次函数，符合题意； D. 根据一次函数的定义，不是一次函数，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）下列函数中：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 【答案】①④ 【分析】根据一次函数的定义对每个选项进行判断即可. 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③是二次函数，不是一次函数； ④是一次函数； ⑤是常值函数，不是一次函数， 故是一次函数的有①④. 故答案为①④. 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 3．（23-24八年级·全国·假期作业）正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情况： x 1 1.02 1.04 1.06 1.08 S 1 1.040 1.082 1.124 1.166 （1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少； （2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？ 【答案】（1）面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）不可以，猜测：面积与边长不成一次函数关系 【分析】（1）根据表格中的数据，计算出x的相邻两个值之间所对应的面积之差即可求解； （2）比较（1）计算计算的差值，看看是否相等，相等即为一次函数，若不相等，则不是一次函数． 【详解】解：（1）1.040﹣1＝0.040， 1.082﹣1.040＝0.042， 1.124﹣1.082＝0.042， 1.166﹣1.124＝0.042， 即x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042； （2）因为x由1变到1.08时，正方形面积S的变化值不是定值，所以正方形的面积S不可以看成边长x的一次函数， 猜测：面积与边长不成一次函数关系． 【点评】本题考查了一次函数的定义，能理解一次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数． 【易错必刷二 正比例函数的图像与性质】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）正比例函数y=3x的大致图像是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵3>0, ∴图像经过一、三象限. 故选B. 点睛：本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx，当k＞0时， y=kx的图象经过一、三象限；当k＜0时， y=kx的图象经过二、四象限. 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）若点A（2，-4）在正比例函数y=kx的图像上，则k= . 【答案】-2 【详解】因为点A（2， -4）在正比例函数y=kx的图象上，所以：-4=2k，解得：k=-2， 故答案为-2. 3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系？ 并在平面直角坐标系中画出该函数的图像； (3)当x＝2.5时，y的值为 ． 【答案】(1)  y＝3x－9；(2)  y是x的一次函数，该函数的图像见解析；(3) －1.5 【详解】试题分析：（1）根据y与x-3成正比例，设出一次函数的关系式，再把当x=4时，y=3代入求出k的值即可； （2）根据一次函数的定义可得y与x之间的函数关系，再根据描点法画出函数即可求解； （3）根据代入法即可求解． 试题解析： （1）∵y与x-3成正比例，设出一次函数的关系式为：y=k（x-3）（k≠0）， 把当x=4时，y=-3代入得：3=（4-3）k，解得k=3， ∴y与x之间的函数关系式为：y=3（x-3）=3x-9． （2）y是x的一次函数，该函数的图象如图所示； （3）当x=2.5时，y=3×2.5-9=-1.5． 【易错必刷三 根据一次函数的定义求参数】 1．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴，， 解得，，， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数及一次函数的定义，根据正比例函数定义“形如的函数”及一次函数的定义“形如的函数”求解即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：已知函数， 若该函数为正比例函数，则，且， 解得，且， 当，则符合题意； 若该函数为一次函数，则， 即； 故答案为：，． 3．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）已知一次函数，求： (1)为何值时，随的增大而减小? (2)为何值时，该一次函数图像与轴的交点在轴下方? 【答案】(1) (2)，且 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质．当，随的增大而增大，图像一定过第一、三象限；当，随的增大而减小，图像一定过第二、四象限；当，图像与轴的交点在轴上方；当，图像过原点；当，图像与轴的交点在轴下方． （1）根据随的增大而减小时，，即可求解； （2）根据题意可得：，且，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 时，随的增大而减小； （2）由题意得：，且， 解得：，且， ，且时，该一次函数图像与轴的交点在轴下方． 【易错必刷四 一次函数图像的增减性】 1．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）已知一次函数的函数值y随x的增大而增大，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据题意可得，则一次函数经过第一、二、三象限，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴一次函数经过第一、二、三象限， 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）已知点在直线上，当时，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了一次函数性质，结合一次函数性质，根据大小关系进行合理分析是解题关键．根据一次函数性质对各项进行逐项分析判断即可． 【详解】解：∵点在直线上， 且中，随的增大而减小， ， ，①正确． 若， 当时，，时，，， 则不一定成立，故②错误． 若， 当时，满足， 而此时，则不一定成立，故③错误． 若，且， 且中，随的增大而减小， ，， ， ，故④正确． 正确结论的序号是①④． 故答案为：①④． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，已知直线经过点． (1)求k的值 (2)当x_____时，函数值y为负数； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解一次函数解析式的方法和步骤． （1）把代入，即可求出k的值； （2）求出当时x的值，再结合一次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：． （2）解：令，得， ∵，y随x得增大而减少， ∴时，函数y为负数． 故答案为：． 【易错必刷五 一次函数图像的位置】 1．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，分别假设，，逐个图象分析，判断两条直线中k，b的正负是否一致即可． 【详解】解：A、假设，则过一、二、三象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时，，两结论相矛盾，故本选项错误； B、假设，则过一、三、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时，两结论相矛盾，故本选项错误； C、假设，过二、三、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时， ，故本选项正确； D、假设，其中一条过一、二、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时， ，两结论相矛盾，故本选项错误． 故选：C．． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键，据此求解即可． 【详解】解；∵直线经过第二、三、四象限， ∴， ∴， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． (1)求点的坐标． (2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求得； （2）利用直线的解析式求得，即可求得，，利用三角形面积求得，，然后分两种情况讨论，设的纵坐标为，列出关于的方程，解方程组求得的纵坐标，把纵坐标代入函数解析式求得横坐标即可． 本题是两条直线相交问题，考查了交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解， 得：， 一次函数与的图象交点为． （2）由可知， 由 可知， ， ， ， ， 设的纵坐标为， 当在的上方，则， 解得， 当在的下方，则， 解得， 把代入，得， 把代入，得， 点的坐标为或． 【易错必刷六 一次函数与不等式】 1．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，一次函数的图像与x轴交于点，则不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．找出一次函数的图象位于轴上方时，的取值范围即可得． 【详解】解：不等式表示的是一次函数的图象位于轴上方， 则由函数图象可知，不等式的解为， 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）的图象如图所示，关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图象得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：从图象知，函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， 即关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 【易错必刷七 一次函数与一元一次方程】 1．（23-24八年级下上海青浦·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．先根据一次函数与坐标轴的交点排除B、C、D，进而可得出A正确． 【详解】解：∵， ∴一次函数过点，故B、C、D不合题意， A、由一次函数的图象可得即，而正比例函数图象可得，符合题意． 故选：A． 2．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出x的值即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴点A的横坐标是． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【答案】（1）x＝2；（2）﹣1；（3）x＝﹣1． 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为−3时对应的自变量的值即可． 【详解】解：（1）当x＝2时，y＝0， 所以方程kx+b＝0的解为x＝2； （2）当x＝1时，y＝﹣1， 所以代数式k+b的值为﹣1； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣3， 所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键． 【易错必刷八 一次函数与二元一次方程（组）】 1．（23-24八年级下·上海长宁·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，一次函数（、为常数，且）的图象与直线都经过，则关于、的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据两直线的交点求方程组的解，利用图象法求方程组的解，是解题的关键．先求出点A的坐标，根据关于、的二元一次方程组的解正好为两条直线的交点坐标，求出方程组的解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴关于、的方程组的解为． 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 3．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，掌握相关结论即可． （1）分别将代入和即可求解； （2）方程的解表示函数和的图象的交点横坐标，据此即可求解； 【详解】（1）解：将代入函数，得， 解得， 将代入函数，得，解得； （2）解：根据图象可得方程的解是． 【易错必刷九 求直线围成的图形面积】 1．（24-25八年级下·上海青浦·期末）点在第一象限内，且，点的坐标为，为坐标原点．若的面积为，则下列图象中，能正确反映与之间的函数关系式的是（    ）（注：不存在时，用空心点表示） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系，利用数形结合的思想解答．根据点在第一象限内，且，点A的坐标为，从而可以得到S关于的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】解：点在第一象限内，且， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ， ∴， ∴四个选项中D选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式． 先求出，，从而得出，联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】直线中，令，则 直线中，令，则 ， 将与联立 解得： 点C的坐标为 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期中）已知直线和，求它们与轴围成的三角形面积． 【答案】 【分析】本题考查了两条直线相交问题，画出函数草图，得出所围三角形为，根据函数解析式可知，再联立函数所成方程组可得，即可求得的面积．关键是通过求出两直线的交点和与y轴的交点求出三角形的边长和高，用到的知识点是求两直线的交点、三角形的面积公式． 【详解】如图所示， 直线与y轴交于点A，直线和交于点B， 当时， ∴， ∴ 联立直线和得， 即，解得 将代入得， ∴ ∴． 【易错必刷九 一次函数图象平移】 1．（23-24八年级下·上海静安·期中）若要把直线的图象变为直线的图象，则下列平移方法正确的是（   ） A．向下平移 10个单位 B．向上平移10个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移法则：左加右减，上加下减，求解即可，熟练掌握一次函数的平移是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴要把直线的图象变为直线的图象，原图象向上平移了个单位， 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）将直线向右平移4个单位，平移后的直线经过点，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征．根据图象平移的规律“左加右减”得出平移后的解析式，再将坐标代入求解即可． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后的解析式为， ∴将点代入，得， 解得：， 故答案为：6． 3．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知一次函数．    (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)把该函数图象向下平移3个单位，判断点是否在平移后的直线上． 【答案】(1)详见解析 (2)不在此函数的图象上 【分析】（1）求出图象与坐标轴交点进而得出图象即可； （2）将代入求出y的值，进而判断得出点是否在图象上． 【详解】（1）解：当，则，当，则， 如图所示：    （2）解：把该函数图象向下平移3个单位得到， 当，则， ∴不在此函数的图象上． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征、一次函数图象画法以及一次函数的平移，熟练记忆一次函数平移性质是解题关键． 【易错必刷十 比较一次函数值的大小】 1．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）已知，，是一次函数的图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，因为，所以随的增大而减小，横坐标越大，纵坐标越小． 【详解】解：， 随的增大而减小， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知点是函数上的两个点，则 （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式得出时，，时，，列表、描点，画出直线即可； （2）根据一次函数的性质，得出随的增大而增大即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， 列表如下： 描点，该函数的图象如下： （2）∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． 【易错必刷十一 一次函数的规律探究问题】 1．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为1， ∵，，在直线的图象上， ∴纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴的纵坐标为的纵坐标为， ……， ∴点的纵坐标为． 故选：A． 2．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，分别在x轴上，点，，分别在直线上，，，，，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据，是等腰直角三角形，得到和的横坐标为1，根据点在直线上，得到点的纵坐标，结合为等腰直角三角形，得到和的横坐标为，同理：和的横坐标为，和的横坐标为，依此类推，即可得到点的横坐标． 【详解】解：根据题意得： 和的横坐标为1， 把代入得：， ∴的纵坐标为1，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴和的横坐标为， 同理：和的横坐标为， 和的横坐标为， 依此类推， 的横坐标为，纵坐标为0， 即点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，此题是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，以数学结合思想灵活运用等腰直角三角形的性质是解本题的关键． 3．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 【易错必刷十二 函数自变量的取值范围】 1．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，在一次函数图象上的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数上点的特点， 把各点横坐标代入一次函数解析式，看y值和点的纵坐标是否一致，一致则在函数图像上，反之则不在． 【详解】解：．当时，，则点A在一次函数的图象上，故该选项符合题意； ．当时，，则点B不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； ．当时，，则点C不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； ．当时，，则点D不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海青浦·期中）已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点” ．直线上的“姐妹点”的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，直线上的“姐妹点”的坐标是，根据新定义得出，代入解析式即可求解． 【详解】解：设直线上的“姐妹点”的坐标是， ∴， ∴， ∴ ∵是线上的点， ∴ 解得： ∴，即， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象；并结合图象，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见详解，x的取值范围为任意实数 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由图象及自变量的取值范围； （1）由正比例函数的定义可设，代入求解，即可求解； （2）画出图象，根据图象即可求解； 理解正比例函数的定义，会根据图象求自变量的取值范围是解题的关键． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， y与x之间的函数表达式：； （2）解：函数图象，如图， 由图象得：x的取值范围为任意实数． 【易错必刷十三 求一次函数解析式】 1．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数，即可写出解析式．根据正比例函数图象确定B点坐标再根据图象确定A点的坐标，设出一次函数解析式，代入一次函数解析式，即可求出． 【详解】解：∵B点在正比例函数的图象上，横坐标为1， ∴， ∴， 设一次函数解析式为：， ∵一次函数的图象过点，与正比例函数的图象相交于点， ∴可得出方程组 ， 解得 ， 则这个一次函数的解析式为， 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海长宁·期中）现有一个容器，在注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，在容器注满水之前，发现容器内的水面高度是时间的一次函数，将容器内的水面高度与时间记录如下表： 0 5 10 25 … 10 11 12 15 … 则容器内的水面高度关于时间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，设与的关系式为，然后将，分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得、的值，从而求得函数解析式，利用待定系数法确定函数解析式是解题的突破口． 【详解】解：设与的关系式为， 将，分别代入，得 ． 解得． 故该一次函数解析式为：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连结和，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)当时，x的取值范围是或 (3) 【分析】（1）将点代入得，进而可得反比例函数的表达式，点，将代入即可得出一次函数的表达式； （2）根据一次函数与反比例函数交于点，结合函数的图象即可得出当时，x的取值范围； （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，则点，点，由此可得，，然后根据可得出答案． 【详解】（1）将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或； （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点， ， ，， ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键． 【易错必刷十四 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（23-24八年级下·上海青浦·期中）反比例函数 的图像与正比例函数的图像没有交点，若点 、在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，比较反比例函数的函数值大小，先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据增加形，进行判断即可． 【详解】解：联立，得：， ∵反比例函数 的图像与正比例函数的图像没有交点， ∴， ∴双曲线过二，四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴； 故选B． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象找到直线在双曲线上面时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：时，或； 故答案为：或． 3．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)过点C作x轴的平行线l，如果点D在直线l上，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先利用一次函数解析式求出点C坐标，再把点C坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）先求出A、B坐标，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为 （2）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴， ∴ ． 【易错必刷十五 一次函数应用分配方案问题】 1．（2021·上海嘉定·二模）张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000元；乙家房屋没有装修，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样，需要花费40000元． 请你自行定义变量，建立函数，并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案（备注：只从最省钱的角度设计租房方案，写出具体的解题过程）． 【答案】 ①当租期超过40个月时，租乙家合适；②当租期等过40个月时，租家、乙家都可以；③当租期低于40个月，租甲家合适． 【分析】由租金随租期的变化而变化，所以租期是自变量，租金是函数值，列出y与x的关系式，再根据两家租金的多少分类讨论分类讨论即可． 【详解】解：设张先生组的时间为自变量x，租金为函数值y， ∴租甲家房屋y与x的关系为：y=3000x， 租甲家房屋y与x的关系为：y=40000+2000x， ①当甲家费用高于乙家费用时3000x＞40000+2000x， 解得：x＞40； ②当甲家费用等于乙家费用时3000x=40000+2000x， 解得：x=40； ③当甲家费用低于乙家费用时3000x＜40000+2000x， 解得：x＜40， 综上所诉，①当租期超过40个月时，租乙家合适；②当租期等过40个月时，租家、乙家都可以；③当租期低于40个月，租甲家合适． 【点睛】此题是一次函数的应用，一元一次不等式的应用，关键是根据租金的多少进行分类讨论． 2．（2021九年级·上海·专题练习）某校九年级二班为开展“迎五一劳动最光荣”的主题班会活动，派小明和小丽两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的宝克牌钢笔每支8元，英雄牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支． 小明和小丽根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的宝克牌钢笔的数量要少于英雄牌钢笔的数量的，但又不少于英雄牌钢笔的数量的，如果他们买了宝克牌钢笔支，买这两种笔共花了元． （1）请写出（元）关于（支）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）请帮助他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？ 【答案】（1），自变量的范围为的整数（2）当购买英雄牌钢笔32支，宝克牌钢笔8支时，所花的钱最少，此时花了217．6元． 【分析】（1）宝克牌钢笔x支，则英雄牌钢笔（40-x）支，从而分别乘以单价，再求和即为总价y，然后根据题意列出自变量x满足的不等式求解即可； （2）利用函数的性质，结合自变量的取值范围即可确定花费最少的情况． 【详解】（1）根据题意，得． 根据题意，得自变量的范围为．   解得，自变量的范围为的整数． （2）由于一次函数的． 所以 随的增大而增大． 因此，当时花的钱最少． ，． 答：当购买英雄牌钢笔32支，宝克牌钢笔8支时，所花的钱最少，此时花了217．6元． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，准确根据题意列出函数关系式并熟练运用函数的思想解决问题是解题关键． 3．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【答案】(1)； (2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式： （1）由图可设关于x的函数解析式为，利用待定系数法求得，再根据每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，则可得每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元，则可设，利用待定系数法即可求解； （2）由图知，分三种情况：当送货量小于200件时，；当送货量为200件时，；当送货量大于200件时，，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为； ∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元， ∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元． 可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为． （2）由图知： 当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案． 【易错必刷十六 一次函数应用最大利润问题】 1．（2024·云南昆明·模拟预测）某校运动会需购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品单价各是多少元？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为元，写出（元）与m（件）之间的函数表达式，并求最少费用的值． 【答案】(1)A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元； (2)，最少费用为1125元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系． （1）设奖品的单价是元，奖品的单价是元，根据条件建立方程组求出其解即可； （2）根据总费用两种奖品的费用之和表示出与的关系式，并有条件建立不等式组求出的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论． 【详解】（1）解：设奖品的单价是元，奖品的单价是元，由题意，得 ， 解得， 答：奖品的单价是10元，奖品的单价是15元； （2）解：由题意，得 ， ， 解得：． 是整数， ，71，72，73，74，75． ， ， 随的增大而减小， 时，． 应买种奖品75件，种奖品25件，才能使总费用最少为1125元． 2．（23-24八年级·全国·假期作业）某销售商准备采购一批儿童玩具，有A，B两种品牌可供选择，其进价和售价如下： A品牌 B品牌 进价（元/件） 150 120 售价（元/件） 200 150 销售商购进A，B两种品牌的儿童玩具共30件． （1）若销售商购进A品牌的儿童玩具为x（件），求销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式； （2）若想使得销售完这30件儿童玩具获得的总利润为1300元，则应购进A品牌的儿童玩具多少件？ 【答案】（1）y＝20x+900；（2）应购进A品牌的儿童玩具20件． 【分析】（1）根据设A类为x件，则B类为（30-x）件，从而分别列出利润的式子求和即可； （2）令y=1300，代入（1）中的解析式求解即可． 【详解】（1）由题意可得：y＝（200﹣150）x+（150﹣120）（30﹣x）＝20x+900， ∴销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式y＝20x+900； （2）当y＝1300，则1300＝20x+900， 解得x＝20， 答：应购进A品牌的儿童玩具20件． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，准确根据题意建立函数解析式是解题关键． 3．（2024·云南文山·模拟预测）某商店购进和销售甲、乙两种商品的信息表如下： 商品种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 20 45 乙种商品 40 销售总价y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： (1)求乙种商品的销售总价y（元）与销售量x（千克）的函数解析式； (2)该商店购进甲、乙两种商品共200千克，并全部销售完．当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，求该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润． 【答案】(1) (2)5600元 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数表达式及一次函数的应用， （1）用待定系数法求一次函数表达式即可； （2）先求出x的取值范围，再列出总利润为w关于销售量x的函数，最后求最值即可． 【详解】（1）解：当时，设（k为常数，且）． 将代入得， 解得，， ∴． 当时，设（a、b为常数，）． 将代入得， ， 解得，， ∴． （2）由题意知，购进x千克乙商品，则购进千克甲商品． ∴， 解得，． 设甲、乙两种商品全部销售完的总利润为w元． 由题意得，． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w取得最大值，为． ∴当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润为5600元． 【易错必刷十七 一次函数应用行程问题】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）李叔叔从西安驾车回汉中，全程共，他以的速度匀速行驶．设表示李叔叔行驶的时间，表示李叔叔与汉中的距离． (1)写出y与x之间的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数． (2)当时，求y的值． 【答案】(1)，y是x的一次函数 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用．解答关键是理解题意，正确列出函数关系式． （1）根据速度、路程、时间关系列函数关系式，然后利用一次函数定义判断即可； （2）将x=1.5代入（1）中函数关系式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． 根据一次函数的定义，可知y是x的一次函数， 与x之间的函数关系式为，y是x的一次函数． （2）解：当时，． 2．（24-25八年级下·全国·期末）如图是小明放学骑车回家行驶的路程y(千米)与行驶时间x(分钟)的函数图象，已知前10分钟的速度是千米/分钟，行驶10分钟时车子发生故障，维修车子用了5分钟． (1)刚发生故障时，小明离家有多远？ (2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了多少？ 【答案】(1)千米 (2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了千米 【分析】本题主要考查函数图象获取信息，理解图示，掌握行程问题的数量关系是解题的关键． （1）由图可得总行程为千米，先算出前10分钟所行驶的距离，总路程减去行驶的路程即可求解； （2）总的时间减去前10分钟和修车的5分钟，则可得后面的时间，由行程的数量关系可得行驶速度，由此即可求解． 【详解】（1）解：前10分钟所行驶的距离为 (千米)， (千米)． 故刚发生故障时小明离家有千米． （2）解：后5分钟的速度为 (千米/分钟)， (千米/分钟)． 故维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了千米． 3．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时同时到达C点，如图所示的是甲、乙两机器人之间的距离与他们的行走时间之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题∶ (1)A，B两点之间的距离是　　　　m； (2)求线段所在直线的函数表达式． 【答案】(1)70 (2) 【分析】本题考查了图象信息题，待定系数法求解析式． （1）当时，，此时就是甲、乙两个机器人之间的距离． （2）设的函数表达式为，根据点，点在该函数图象上， 代入确定解析式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴A，B两点之间的距离是， 故答案为：70； （2）解：设的函数表达式为， ∵点，点在该函数图象上， ∴， 解得， 即的函数表达式为． 【易错必刷十八 一次函数与几何综合问题】 1．（23-24八年级下·河南漯河·期中）直线交x轴于点，交轴于点，与直线交于点C． (1)求交点的坐标； (2)直接写出当取何值时． (3)在轴上取点使得，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）联立方程组，可求解； （2）结合图象可求解； （3）先求出点P坐标，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：联立方程组可得∶ 解得 点的坐标为． （2）解：如图，当时，． （3）解：直线交x轴于点，交轴于点， 点，点． 在轴上取点使得， ． 点或． 或 ． 或． 2．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若P是x轴上一点，且的面积是6，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）将点代入可得，进而得点．将点、代入即可求得解析式； （2）设点，则，据此即可求解； 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：； ∴点． 将点、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：设点， 则， 解得：或， ∴点P的坐标为或 3．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交y轴，x轴于点A，B，直线：分别交x轴，直线于点C，D． (1)求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标； (2)连接，若，求t的值； (3)P是x轴上的一点，连结，若，且，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，一元一次方程，全等三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程是解题的关键，注意分类讨论． （1）根据一次函数与坐标轴的交点，分别令和时即可得出与坐标轴交点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标； （2）利用勾股定理求出，根据，即可求得t的值； （3）过点D作轴于H，设，则可证明，即可得出，分情况讨论m的值，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：分别交y轴，x轴于点A，B， 令，则， 故点A的坐标为， 令，则， 故点B的坐标为， ∵直线：分别交x轴，直线于点C，D． 令，则， 解得：， ∴点C的坐标为， 联立，解得， 故点D的坐标为； 综上，； （2）解：连接， 则，， ∵， ∴， 解得：； （3）解：过点D作轴于H， 设， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得或（A，D重合舍去）， 当时，， 解得或（舍）， 综上，或． 【易错必刷十九 一次函数中面积问题】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)该函数图像与轴交于点，与轴交于点，求△的面积． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，函数图像与x轴，y轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，准确进行计算． （1）设，把时，代入求出k的值即可得出答案； （2）当时，代入求解即可； （3）先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：设， 把时，代入得， 解得， ∴， ∴y与x的函数解析式为； （2）当时，； （3）解：当时，，解得，则， 当时，，则， 如图所示： ∴的面积为：． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点 B． (1)求 A， B两点的坐标； (2)求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形， （1）令，，即可求出答案； （2）先求出，可求出答案． 【详解】（1）当时，， ∴点； 当时，， ∴点； （2）由（1）可知， ∴． 3．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）如图 所示，梯形的上底，下底，，，点M从点C出发向点D移动，连接，，假设阴影部分的面积是y，的长度为x． (1)写出变量y与x之间的关系式； (2)在点M的移动过程中，是否存在阴影部分的面积等于梯形面积的，若存在，求出x的值；若不存在，简单说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据题意列出函数关系式． （1）根据，代入相关数据即可得； （2）根据阴影部分的面积等于梯形面积的列方程进行求解即可得． 【详解】（1）∵的长度为x， ∴ ∴； （2）不存在，理由： 假设存在，则 解得， ∴不存在． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 函数的识别】 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）下列函数中，一次函数是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）下列函数中：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 3．（23-24八年级·全国·假期作业）正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情况： x 1 1.02 1.04 1.06 1.08 S 1 1.040 1.082 1.124 1.166 （1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少； （2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？ 【易错必刷二 正比例函数的图像与性质】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）正比例函数y=3x的大致图像是(    ) A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）若点A（2，-4）在正比例函数y=kx的图像上，则k= . 3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系？ 并在平面直角坐标系中画出该函数的图像； (3)当x＝2.5时，y的值为 ． 【易错必刷三 根据一次函数的定义求参数】 1．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 2．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 3．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）已知一次函数，求： (1)为何值时，随的增大而减小? (2)为何值时，该一次函数图像与轴的交点在轴下方? 【易错必刷四 一次函数图像的增减性】 1．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）已知一次函数的函数值y随x的增大而增大，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）已知点在直线上，当时，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，已知直线经过点． (1)求k的值 (2)当x_____时，函数值y为负数； 【易错必刷五 一次函数图像的位置】 1．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． (1)求点的坐标． (2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 【易错必刷六 一次函数与不等式】 1．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，一次函数的图像与x轴交于点，则不等式的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）的图象如图所示，关于x的不等式的解集是 ． 3．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【易错必刷七 一次函数与一元一次方程】 1．（23-24八年级下上海青浦·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【易错必刷八 一次函数与二元一次方程（组）】 1．（23-24八年级下·上海长宁·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，一次函数（、为常数，且）的图象与直线都经过，则关于、的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 【易错必刷九 求直线围成的图形面积】 1．（24-25八年级下·上海青浦·期末）点在第一象限内，且，点的坐标为，为坐标原点．若的面积为，则下列图象中，能正确反映与之间的函数关系式的是（    ）（注：不存在时，用空心点表示） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是 ． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期中）已知直线和，求它们与轴围成的三角形面积． 【易错必刷九 一次函数图象平移】 1．（23-24八年级下·上海静安·期中）若要把直线的图象变为直线的图象，则下列平移方法正确的是（   ） A．向下平移 10个单位 B．向上平移10个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位 2．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）将直线向右平移4个单位，平移后的直线经过点，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知一次函数．    (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)把该函数图象向下平移3个单位，判断点是否在平移后的直线上． 【易错必刷十 比较一次函数值的大小】 1．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）已知，，是一次函数的图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知点是函数上的两个点，则 （填“”，“”或“”） 3．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 【易错必刷十一 一次函数的规律探究问题】 1．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，分别在x轴上，点，，分别在直线上，，，，，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标为 ．    3．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【易错必刷十二 函数自变量的取值范围】 1．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，在一次函数图象上的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（24-25八年级下·上海青浦·期中）已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点” ．直线上的“姐妹点”的坐标是 ． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象；并结合图象，直接写出x的取值范围． 【易错必刷十三 求一次函数解析式】 1．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，则这个一次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海长宁·期中）现有一个容器，在注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，在容器注满水之前，发现容器内的水面高度是时间的一次函数，将容器内的水面高度与时间记录如下表： 0 5 10 25 … 10 11 12 15 … 则容器内的水面高度关于时间的函数关系式为 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连结和，求的面积． 【易错必刷十四 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（23-24八年级下·上海青浦·期中）反比例函数 的图像与正比例函数的图像没有交点，若点 、在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，函数，若，则的取值范围是 ． 3．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)过点C作x轴的平行线l，如果点D在直线l上，且，求的面积． 【易错必刷十五 一次函数应用分配方案问题】 1．（2021·上海嘉定·二模）张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000元；乙家房屋没有装修，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样，需要花费40000元． 请你自行定义变量，建立函数，并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案（备注：只从最省钱的角度设计租房方案，写出具体的解题过程）． 2．（2021九年级·上海·专题练习）某校九年级二班为开展“迎五一劳动最光荣”的主题班会活动，派小明和小丽两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的宝克牌钢笔每支8元，英雄牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支． 小明和小丽根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的宝克牌钢笔的数量要少于英雄牌钢笔的数量的，但又不少于英雄牌钢笔的数量的，如果他们买了宝克牌钢笔支，买这两种笔共花了元． （1）请写出（元）关于（支）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）请帮助他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？ 3．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【易错必刷十六 一次函数应用最大利润问题】 1．（2024·云南昆明·模拟预测）某校运动会需购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品单价各是多少元？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为元，写出（元）与m（件）之间的函数表达式，并求最少费用的值． 2．（23-24八年级·全国·假期作业）某销售商准备采购一批儿童玩具，有A，B两种品牌可供选择，其进价和售价如下： A品牌 B品牌 进价（元/件） 150 120 售价（元/件） 200 150 销售商购进A，B两种品牌的儿童玩具共30件． （1）若销售商购进A品牌的儿童玩具为x（件），求销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式； （2）若想使得销售完这30件儿童玩具获得的总利润为1300元，则应购进A品牌的儿童玩具多少件？ 3．（2024·云南文山·模拟预测）某商店购进和销售甲、乙两种商品的信息表如下： 商品种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 20 45 乙种商品 40 销售总价y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： (1)求乙种商品的销售总价y（元）与销售量x（千克）的函数解析式； (2)该商店购进甲、乙两种商品共200千克，并全部销售完．当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，求该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润． 【易错必刷十七 一次函数应用行程问题】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）李叔叔从西安驾车回汉中，全程共，他以的速度匀速行驶．设表示李叔叔行驶的时间，表示李叔叔与汉中的距离． (1)写出y与x之间的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数． (2)当时，求y的值． 2．（24-25八年级下·全国·期末）如图是小明放学骑车回家行驶的路程y(千米)与行驶时间x(分钟)的函数图象，已知前10分钟的速度是千米/分钟，行驶10分钟时车子发生故障，维修车子用了5分钟． (1)刚发生故障时，小明离家有多远？ (2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了多少？ 3．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时同时到达C点，如图所示的是甲、乙两机器人之间的距离与他们的行走时间之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题∶ (1)A，B两点之间的距离是　　　　m； (2)求线段所在直线的函数表达式． 【易错必刷十八 一次函数与几何综合问题】 1．（23-24八年级下·河南漯河·期中）直线交x轴于点，交轴于点，与直线交于点C． (1)求交点的坐标； (2)直接写出当取何值时． (3)在轴上取点使得，求的面积． 2．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若P是x轴上一点，且的面积是6，求点P的坐标． 3．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交y轴，x轴于点A，B，直线：分别交x轴，直线于点C，D． (1)求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标； (2)连接，若，求t的值； (3)P是x轴上的一点，连结，若，且，求t的值． 【易错必刷十九 一次函数中面积问题】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时的函数值； (3)该函数图像与轴交于点，与轴交于点，求△的面积． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点 B． (1)求 A， B两点的坐标； (2)求 的面积． 3．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）如图 所示，梯形的上底，下底，，，点M从点C出发向点D移动，连接，，假设阴影部分的面积是y，的长度为x． (1)写出变量y与x之间的关系式； (2)在点M的移动过程中，是否存在阴影部分的面积等于梯形面积的，若存在，求出x的值；若不存在，简单说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$