专题05 一次函数与常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题05 一次函数与常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 【题型目录】 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的动点问题 题型三 一次函数中的最值问题 题型四 一次函数中的存在性问题 题型五 一次函数中的新定义问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型八 一次函数中的平移模型 【经典例题一 一次函数中的面积计算】 【例1】（24-25八年级下·上海嘉定·期中）已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 1．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点 (1)求点坐标________，点坐标________； (2)求及面积： (3)若点为轴上一动点，当时，则点坐标为________． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，点是直线上的点，如果直线平分，轴于，轴于． (1)求的值； (2)如果反比例函数的图像与分别交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，如果四边形的面积是面积的，求反比例函数的解析式． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，四边形中，，．动点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度从D，C同时出发，点P沿方向运动，到达C点停止运动，点Q沿折线方向运动，到达A点停止运动，连接，设点P、点Q的运动时间为t秒，四边形的面积为y． (1)请直接写出y关于时间t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出四边形的面积小于11时t的范围． 4．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点B的坐标； (2)直线l垂直平分交于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示的面积； ②当时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得与面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题二 一次函数中的动点问题】 【例2】（2024八年级下·全国·专题练习）已知点及在第一象限的动点，且，设的面积为S． (1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)当时，求P的坐标． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，已知点在该图象上，连接． (1)求函数的关系式； (2)点为轴上一动点，若，求点的坐标． 2．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，在中，，，动点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，设点的运动路程为，的面积为．请解答下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)根据函数图象，写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 3．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图1，直线AB的解析式为，D点的坐标为，点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求的函数表达式． (2)点是直线上方第一象限内的动点，如图2，当为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点P的坐标． 4．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．如图2．在平面直角坐标系中，一次函数分别与轴和轴交于点和点，， (1)直线经过两点，求直线的解析式； (2)以为腰为直角顶点，在第一象限构造等腰直角三角形，求所在直线解析式； (3)如图3，为点右侧轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交轴于点．当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【经典例题三 一次函数中的最值问题】 【例3】（23-24八年级下·上海崇明·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物．已知购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元． (1)求购买1本《艾青诗选》和1本《呐喊》各需多少元； (2)若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共45本，其中《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，设购买《艾青诗选》m本，购买两种读物所需费用共w元，则m为何值时总费用w最小，并求出w的最小值． 1．（2024·上海青浦·一模）“快乐村超，活力四射”，榕江某村超产品制造商制作村超小摆件、蜡染背心、民族服饰，其中制作小摆件的数量是民族服饰数量的5倍，制造商制作每件产品所需时间和利润如下表： 产品 民族服饰 小摆件 蜡染背心 制作一件产品所需时间（小时） 1 制作一件产品所获利润（元） 20 3 10 (1)若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作小摆件、蜡染背心和民族服饰的数量； (2)若制造商所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程与时间之间的函数关系如图所示． (1)慧慧比聪聪晚出发________秒． (2)求慧慧提速后与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为________． 3．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点．    (1)求a，b的值； (2)当线段最短时，求点B的坐标； (3)在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值． 4．（23-24八年级下·上海青浦·期末）【问题背景】利用“同一个图形的面积相等”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”可以灵活计算线段的长度问题．如图1，在一个直角三角形中，两条直角边分别为，，斜边为，斜边上的高为，那么三角形的面积可以表示为，从而可以表示斜边上的高为．    【尝试应用】 （1）已知，如图2，在中，，，，是边上的高，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．则点的坐标为______． 【深入探究】 （2）如图3，是的平分线，为射线上一动点，当的长为何值时，的面积是面积的2倍． 【拓展延伸】 （3）如图4，在（2）的条件下，点是轴上的动点，点是直线上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 【经典例题四 一次函数中的存在性问题】 【例4】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知正比例函数的图像经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为4，且三角形的面积为8． (1)求正比例函数的解析式； (2)已知，在直线上（除点外）是否存在点，使得三角形为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 2．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，与直线交于点，且在第三象限． (1)若的面积为，求的值； (2)在（1）的条件下，在直线上是否存在点，使的面积等于6？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，作如下定义；点的坐标为，点的坐标为，若，则称、两点为“同和点”．如图①，点、为“同和点”． (1)若点的坐标为． ①在点，、中，是点的“同和点”的是________．（填“C”、“D”或“E”） ②若点在轴上，且、两点为“同和点”，则点的坐标为________． (2)如图②，直线与轴、轴分别交于点、，点为线段上一动点． ①若点与点为“同和点”，则点的坐标为________． ②若存在点与点为“同和点”，求的取值范围． 4．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接． (1)方程组的解是________； (2)求的面积； (3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【经典例题五 一次函数中的新定义问题】 【例5】（2024·江苏南京·模拟预测）如定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”． (1)若，试判断函数是否为函数，的“组合函数”，并说明理由： (2)设函数与的图像相交于点． ①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方．求的取值范围； ②若，函数、的“组合函数”图像经过点，是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数．都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在．请求出的值及此时点的坐标；若不存在．请说明理由． 1．（2024八年级下·上海·专题练习）定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)函数，是否存在“平衡点”，若存在求出“平衡点”坐标，若不存在，说明理由； (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； (3)将一次函数的图象关于y轴对称，若对称后的图象存在“平衡点”则k的取值范围为___________． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n级限距点”．例如，点是函数图象的“级限距点”；点是函数图象的“2级限距点”． (1)在①；②；③三点中，是函数图象的“1级限距点”的有________（填序号）； (2)若y关于x的一次函数图象的“2级限距点”有且只有一个，求k的值； (3)若y关于x的函数图象存在“n级限距点”，求出n的取值范围． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，记线段为，线段为，点是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点的直线与，都有公共点，则称点是联络点．例如，点是联络点． (1)以下各点中，______是联络点（填出所有正确的序号）； ①；②；③． (2)直接在图中画出所有联络点所组成的区域，用阴影部分表示． 4．（23-24八年级下·上海金山·期末）定义：对于平面直角坐标系xOy中的点和直线，我们称点是直线的反关联点，直线是点的反关联直线．特别地，当时，直线为常数的反关联点为．如图，已知点，，． （1）点B的反关联直线的解析式为______； （2）求直线AC的反关联点的坐标． （3）设直线AB的反关联点为点D，直线BC的反关联点为点E，点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 【例6】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 1．（2024·上海长宁·二模）如图，在平面直角坐标系中有两点，请在x轴上找一点C，将沿翻折，使点B的对应点D恰好落在x轴上．    (1)利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点C；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，请直接写出点C的坐标． 2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像可由函数y＝x的图像平移得到，且经过点（﹣2，0）． （1）求一次函数y＝kx＋b的表达式； （2）将一次函数y＝kx＋b在x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示）． ①根据图像，当x＞﹣2时，y随x的增大而 　 　； ②请再写出两条该函数图像的性质． 3．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图1，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 4．（23-24八年级下·上海宝山·期中）在“综合与探究”课上，张老师让每名同学在练习本上画出一个长方形，随后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题．经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了侯老师的认可，同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧．如图1，分别以长方形OABC的边OC，OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知AO＝10，AB＝6，点E在线段OC上，以直线AE为轴，把△OAE翻折，点O的对应点D恰好落在线段BC上． （1）分别求点D，E的坐标． （2）如图2，若直线AD与x轴相交于点F，求直线AD表达式及点F的坐标． （3）在（2）的条件下，P是x轴上的一动点，是否存在以A，P，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在本题的探究过程中，你感悟到哪些数学思想，请至少写出两条．     【经典例题七 一次函数中的旋转模型（45度等）】 【例7】（23-24八年级下·上海闵行·期中）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点． （1）求一次函数解析式和m的值； （2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式； （3）在第二象限是否存在点D，使是以BC为腰的等腰直角等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（23-24八年级下·福建泉州·自主招生）在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C． （1）求直线BC的函数表达式； （2）若将直线AB绕点B逆时针方向旋转45°，请直接写出此时直线BC的函数表达式． 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b 经过点P（4，4）和点Q（0，﹣4），与x轴交于点A，与直线y2＝mx+n交于点P． （1）求出直线 y1＝kx+b的解析式； （2）求出点A的坐标； （3）直线y2＝mx+n绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当△PAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（0，2）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图，以点A为直角顶点作∠CAD＝90°，射线AC交x轴于点C，射线AD交y轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转，且点C在x轴的负半轴上，点D在y轴的负半轴上时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围． 4．（2024·天津滨海新·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，直线AB： 与x轴、y轴分别交于B、A两点，等腰Rt△OCD，∠D＝90°，C坐标为（﹣4，0）． （1）求A、B坐标； （2）将△OCD沿x轴正方形平移，速度为1个单位为每秒，时间为t（0≤t≤6），设△OCD与△OAB重叠面积为S，请写出S与t之间的函数关系式； （3）将△OCD绕O点旋转，当O、B、D三点构成的三角形为直角三角形时，请直接写出D点坐标． 【经典例题八 一次函数中的平移模型】 【例8】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，已知直线l： (1)将直线l向上平移m个单位长度，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值； (2)在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长交于点E，求的面积． 1．（23-24八年级下·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，直线l：（m为常数）的图像与y轴交于点A，点B坐标． (1)若直线l经过点， ①求出直线l的解析式； ②请直接判断出直线与直线l的位置关系； ③若直线经过平移可以得到直线l，设在平移过程中线段扫过的面积为S，请求出S的值； (2)过点B作x轴的垂线交函数（m为常数）的图像于点C，以O、A、B、C为顶点构造平行四边形，求出此时m的值． 2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，直线与坐标轴分别交于点和，直线经过点．将直线沿轴正方向平移个单位长度得到直线，直线交轴于点，交直线于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当且时，记以点、、、为顶点的四边形面积为，直接写出与之间的函数关系式． 4．（23-24八年级下·山西大同·期末）阅读下列两则材料，回答问题． 我们知道一次函数（，、是常数）的图像是一条直线，到高中学习时，直线通常写成（，、、是常数）的形式，点到直线的距离可用公式计算． 例如：求点到直线的距离． 解：∵， ∴，其中，，， ∴点到直线的距离． 根据以上材料解答下列问题： (1)求点到直线的距离； (2)如图，直线沿轴向上平移个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离． 1．（2024·安徽合肥·一模）将函数y=-2x+b(b为常数)的图象位于x轴上方的部分沿x轴翻折至其下方，所得的折线记为图象C，若图象C在直线y=-3上方所有点(含交点)的横坐标x均满足0≤x≤4，则b的取值范围是（    ） A．3≤b≤5 B．0≤b≤3 C．0＜b＜3 D．3＜b＜5 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江温州·三模）如图，在直角坐标系中，已知点，将沿着轴正方向平移，使点平移至原点，得到交于点，则的长为（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，直线分别与轴交于点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：；直线的解析式为；点；若线段上存在一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是．正确的结论是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． 7．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，一次函数分别与坐标轴交于，，点为轴上一点，把直线沿翻折，点刚好落在轴的负半轴上，则点的坐标为 ． 8．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 9．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，直线与轴和轴分别交于两点，第四象限中有一点，连接，，轴．将沿折叠，使点落在点处．若在轴上存在一点，满足，则点坐标为 ． 10．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，直线交坐标轴于点A、B，与坐标原点构成的向x轴正方向平移4个单位长度得，边与直线AB交于点E，则图中阴影部分面积为 ．    11．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)直接写出点B的坐标为 ； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 12．（24-25八年级下·重庆酉阳·阶段练习）如图1，在矩形中，，点Q为边上的中点．动点M从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止．设运动的时间为x秒，记线段所围成的图形的面积为． (1)请直接写出y关于x的函数表达式以及对应的x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有2个交点，请估计两个交点的横坐标的值并直接写出来（误差不超过0.2）． 13．（24-25八年级下·陕西·期末）如图，点，． (1)点在直线上，连接，将的面积分成相等的两部分，求点的坐标． (2)点从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度的速度从点向轴正半轴运动，设点运动的时间为1秒．如图，直线，交于第四象限的点D，已知点D的坐标是，求点，运动的时间以及点的速度． 14．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 15．（23-24八年级下·河南焦作·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点和点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)设直线与直线相交于点，求的面积； (3)若将直线沿轴向下平移，交轴于点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数与常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 【题型目录】 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的动点问题 题型三 一次函数中的最值问题 题型四 一次函数中的存在性问题 题型五 一次函数中的新定义问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型八 一次函数中的平移模型 【经典例题一 一次函数中的面积计算】 【例1】（24-25八年级下·上海嘉定·期中）已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）对于直线，令求出的值，确定出的坐标，把坐标代入中求出的值，再将坐标代入求出的值，进而将坐标代入求出的值即可； （2）过作垂直于轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可； （3）在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①；②，分别求出坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：， 把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即； （2）解：过作轴，垂足为，如图1所示， 由（1）可知：一次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：， ∴， ， ； （3）解：如图2所示，设， ， ， ， 分两种情况考虑： ①当时，， ， ， ； ②当时，由横坐标为1，得到横坐标为1， 在轴上， 的坐标为， 综上，的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 1．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点 (1)求点坐标________，点坐标________； (2)求及面积： (3)若点为轴上一动点，当时，则点坐标为________． 【答案】(1)，； (2)，； (3)或． 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握掌握一次函数的性质． （1）中，分别令，，构造方程求解即可； （2）把代入即可求得，进而求得面积； （3）点，由，得，求解即可． 【详解】（1）解：中，令，则，解得， ∴点坐标为， 中，当时，， ∴点坐标， 故答案为：，； （2）解：把代入得， ， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴面积为； （3）解：点， ∵面积为，， ∴， ∵点坐标为，， ∴， 解得或， ∴或， 故答案为：或． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，点是直线上的点，如果直线平分，轴于，轴于． (1)求的值； (2)如果反比例函数的图像与分别交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，如果四边形的面积是面积的，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)1 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用、角平分线的性质定理、勾股定理、坐标与图形等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先根据角平分线的性质定理以及点坐标，可得，进而可得，然后将其代入，即可求得的值； （2）根据题意作出图像，结合题意可得，进而可得，即可证明结论； （3）首先求得是面积，进而可得，结合，求得，进而解得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵直线平分，轴于，轴于， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将点代入， 可得，解得； （2）如下图， ∵反比例函数的图像与分别交于点， ∴， ∴，， ∴； （3）∵，轴于，轴于， ∴， ∴， ∵四边形的面积是面积的， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即有，解得， ∴反比例函数的解析式为． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，四边形中，，．动点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度从D，C同时出发，点P沿方向运动，到达C点停止运动，点Q沿折线方向运动，到达A点停止运动，连接，设点P、点Q的运动时间为t秒，四边形的面积为y． (1)请直接写出y关于时间t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出四边形的面积小于11时t的范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，y随t的增大而减小 (3)或 【分析】此题考查了坐标与图形、求函数解析式、从函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据动点P、Q运动的路线分段进行分析，写出解析式即可； （2）利用描点、连线画出二次函数的图象即可； （3）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当点Q在上时，连接， 由题意可得，， ∴ 即， 当点Q在上时，如图， 由题意可得，，， ∴ 即, 综上可知， （2）函数图象如图所示： 当时，y随t的增大而减小 （3）由图象可知，四边形的面积小于11时为或． 4．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点B的坐标； (2)直线l垂直平分交于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示的面积； ②当时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得与面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)①；②；③的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质等，熟练掌握一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质及其应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （）由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③分点在轴和轴两种情况考虑，利用三角形面积即可求出点坐标； 【详解】（1）解：∵直线：交轴于点， ∴， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为， （2）解：∵直线垂直平分，， ∴， 当时，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ②∵， ∴， 解得：， ∴点； ③当点在轴上时，设其坐标为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点在轴上时，设其坐标为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或， 综上所述：在坐标轴上，存在一点，使得与面积相等，且点的坐标为或或． 【经典例题二 一次函数中的动点问题】 【例2】（2024八年级下·全国·专题练习）已知点及在第一象限的动点，且，设的面积为S． (1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)当时，求P的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查一次函数的性质，解题的关键是数形结合运用三角形的面积公式进行计算． （1）首先把，变形为，再利用三角形的面积求法：S底高2，可以得到S关于x的函数表达式，P在第一象限，故，再利用三角形的面积，可得到x的取值范围； （2）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，且， ∴， ∴， ∴． 又∵，且， ∴． （2）解：当时，即， 解得， ∴， ∴时，点坐标． 1．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，已知点在该图象上，连接． (1)求函数的关系式； (2)点为轴上一动点，若，求点的坐标． 【答案】(1)该函数的解析式为 (2)点P为或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式等知识点， （1）把、代入到中进行求解即可； （2）由得出，再结合B点的坐标位置即可得解； 正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入到中得： ， ， 该函数的解析式为； （2）解：把代入得， ，即， ， 点为轴上一动点，且，点， ， ， 点为或． 2．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，在中，，，动点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，设点的运动路程为，的面积为．请解答下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)根据函数图象，写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【答案】(1)，图象见解析 (2)当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或6.2 【分析】（1）分两种情况分别求出函数解析式，再画出函数图象即可； （2）根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式分别求出当时x的值． 【详解】（1）解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，， 综上，． y与x的函数图象如图所示， （2）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． （3）令，； 令，． ∴当时x的值为或6.2． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图1，直线AB的解析式为，D点的坐标为，点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求的函数表达式． (2)点是直线上方第一象限内的动点，如图2，当为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，本题的关键是理解题意利用分类讨论思想解题． （1）求出点A的坐标，得到的长度，根据对称的性质结合勾股定理列方程求出点B的坐标，代入一次函数中即可就出k的值； （2）分①若，，②若，③若，，根据全等三角形的性质，求出线段长度从而得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O关于直线的对称点C在直线上， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得， ∴点B的坐标为， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①若， 过点P作轴，垂足为M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴点P的坐标为； ②若， 过点P作轴，垂足为M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ③若， 过点P作直线垂直x轴，交x轴于N，过点A作，垂足为M， 设点P的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 4．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．如图2．在平面直角坐标系中，一次函数分别与轴和轴交于点和点，， (1)直线经过两点，求直线的解析式； (2)以为腰为直角顶点，在第一象限构造等腰直角三角形，求所在直线解析式； (3)如图3，为点右侧轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交轴于点．当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)点K的位置不发生变化，其坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）先求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）过点C作轴于F，证明，求得，再利用待定系数法求解即可； （3）如图所示，过点Q作轴于H，根据一线三垂直模型证明，得到，进而证明，得到是等腰直角三角形，则，由此可证明为等腰直角三角形即可求出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点C作轴于F， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，所在直线的解析式为； （3）解：点K的位置不发生变化，其坐标为，理由如下： 如图所示，过点Q作轴于H，    ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【经典例题三 一次函数中的最值问题】 【例3】（23-24八年级下·上海崇明·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物．已知购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元． (1)求购买1本《艾青诗选》和1本《呐喊》各需多少元； (2)若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共45本，其中《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，设购买《艾青诗选》m本，购买两种读物所需费用共w元，则m为何值时总费用w最小，并求出w的最小值． 【答案】(1)《艾青诗选》的单价10元，《呐喊》的单价15元． (2)时，总费用w最小，为600元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式、一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）设《艾青诗选》的单价x元，《呐喊》的单价y元．根据“购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元．”列出方程组，即可求解； （2）根据“《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，”列出不等式，即可求出的取值范围，再列出费用关于的函数解析式，根据一次函数的性质求得最小值即可求解． 【详解】（1）解：设《艾青诗选》的单价x元，《呐喊》的单价y元． 根据题意可得：， 解得， 答：《艾青诗选》的单价10元，《呐喊》的单价15元． （2）解：根据题意：，解得， ， ∵， ∴w随m增大而减小， ∴当时，w最小， （元） 答：时，总费用w最小，为600． 1．（2024·上海青浦·一模）“快乐村超，活力四射”，榕江某村超产品制造商制作村超小摆件、蜡染背心、民族服饰，其中制作小摆件的数量是民族服饰数量的5倍，制造商制作每件产品所需时间和利润如下表： 产品 民族服饰 小摆件 蜡染背心 制作一件产品所需时间（小时） 1 制作一件产品所获利润（元） 20 3 10 (1)若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作小摆件、蜡染背心和民族服饰的数量； (2)若制造商所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值． 【答案】(1)制作民族服饰数量10件，小摆件数量50件，蜡染背心数量10件； (2)制作三种产品总量的最小值为75件． 【分析】本题考查一次函数的应用，不等式组的应用和二元一次方程组的应用，关键是根据三种产品的利润之和等于700列出函数关系式． （1）设制作民族服饰数量为件，蜡染背心数量为件，则小摆件数量为件，根据题意列出二元一次方程组即可； （2）根据三种产品的利润之和等于700列出函数关系式，再列出不等式组求得的范围，然后根据一次函数的性质求出最小值． 【详解】（1）解：设制作民族服饰数量为件，蜡染背心数量为件，则小摆件数量为件， 由题意得：， 解得：， 答：制作民族服饰数量10件，小摆件数量50件，蜡染背心数量10件； （2）解：设制作三种产品总量为件，民族服饰数量件，则小摆件数量件，蜡染背心数量件， 由题意得：， 解得：， ， 解得：， ，是整数， 的最小值为2， 是的一次函数， ， 随的增加而增加， 三种产品均有制作，且，均为正整数， 当时，有最小值，则， 答：制作三种产品总量的最小值为75件． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程与时间之间的函数关系如图所示． (1)慧慧比聪聪晚出发________秒． (2)求慧慧提速后与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为________． 【答案】(1)11 (2) (3)140 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题关键． （1）根据图像信息直接得出答案即可； （2）先求出慧慧原来的速度，然后求出点C的坐标，再根据待定系数法求出函数解析式即可； （3）分慧慧出发前，慧慧出发后，提速前，慧慧提速后，相遇前，慧慧与聪聪相遇后，到慧慧停止运动的过程中，当慧慧停止运动时，分别求出最大值即可得出答案． 【详解】（1）解：根据图可知：慧慧比聪聪晚出发； 故答案为：11； （2）解：慧慧开始运动的速度为：， 慧慧从点B运动到点C所用的时间为： ， 点C的坐标为：， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； （3）解：根据图象可知，点A的坐标为， 设段对应的函数表达式为， 将点A的坐标代入，可得， 解得：， ∴； 设慧慧提速前函数表达式为，把将，代入得： ， 解得：， ∴， 当慧慧出发前，聪聪和慧慧之间距离的最大值为： ； 当慧慧出发后，提速前，聪聪和慧慧之间距离为： ， 当时，取最大值，最大值为： ， 即此时聪聪和慧慧之间距离的最大值为； 慧慧提速后，相遇前，由于在提速前它们之间的距离就在不断减小，所以提速后它们之间的距离也一定在不断减小，它们间的最大距离不会出现在此过程中； 慧慧与聪聪相遇后，到慧慧停止运动的过程中，聪聪和慧慧之间距离为： ， 当时，取最大值，最大值为； 当慧慧停止运动时，聪聪和慧慧之间距离逐渐减小，所以当慧慧一开始停止时，它们间的距离是最大的，最大值为； 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为． 故答案为：140． 3．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点．    (1)求a，b的值； (2)当线段最短时，求点B的坐标； (3)在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值． 【答案】(1) (2) (3)，最大值 【分析】 （1）首先把点代入直线得出的值， 再进一步代入直线求得的值即可； （2）当直线时, 线段最短，进而得出的坐标即可； （3）由三角形的三边关系得，,当三点共线时, ，, 即最大, 即为,进而解答即可. 【详解】（1）把点代入直线， 解得：， 把代入， 解得：， ∴，； （2）当垂直于直线时，线段最短，把直线与y轴的交点标记为E，    当时，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点B作于点M， ∴， ∴， ∴B； （3） 在轴上取点，由三角形的三边关系得，, 当三点共线时, ，, 即最大, 即为, 所以点在上, 把代入中, 得, 得, ∴, ∵, 过点作于点， ， 【点睛】 本题考查了一次函数的综合题，关键是根据一次函数图象上点的坐标特征与垂线段最短的性质解答，结合图形，选择适当的方法解决问题. 4．（23-24八年级下·上海青浦·期末）【问题背景】利用“同一个图形的面积相等”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”可以灵活计算线段的长度问题．如图1，在一个直角三角形中，两条直角边分别为，，斜边为，斜边上的高为，那么三角形的面积可以表示为，从而可以表示斜边上的高为．    【尝试应用】 （1）已知，如图2，在中，，，，是边上的高，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．则点的坐标为______． 【深入探究】 （2）如图3，是的平分线，为射线上一动点，当的长为何值时，的面积是面积的2倍． 【拓展延伸】 （3）如图4，在（2）的条件下，点是轴上的动点，点是直线上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，然后根据题干给出的公式求出的长，即可求出点坐标； （2）过作于，于，根据三角形的面积公式，当面积是面积一半时，到的距离是的一半，即是的一半，根据垂直平分线的判定以及等腰直角三角形的性质求解即可； （3）作关于轴的对称直线，以及关于轴的对称点，当，，共线且时，最小，据此求解． 【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：， 由已知公式得：， ； 故答案为：； （2）过作于，于，如图：   为的平分线，， ，， 为等腰直角三角形， ∴， ，，， ， ， ； （3）作关于轴的对称直线，以及关于轴的对称点，如图：      由（2）知，， 和重合， ，， ，， ， ， ，， 的解析为：，的解析式为：， 是中点， ， 的解析式为：，的解析式为：， ， 由对称的性质可知，，，， ， 当，，共线且时，最小， ， 的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了三角形综合题，一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，合理利用等积变换、一次函数的解析式以及勾股定理是本题解题的关键． 【经典例题四 一次函数中的存在性问题】 【例4】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知正比例函数的图像经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为4，且三角形的面积为8． (1)求正比例函数的解析式； (2)已知，在直线上（除点外）是否存在点，使得三角形为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)正比例函数的解析式为 (2)存在，或或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，画出图形，注意进行分类讨论． （1）先利用三角形面积公式得到点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式； （2）分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：点的横坐标为4，，轴 ∴， ∴， ∴， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 正比例函数的图象经过点， ， 解得， 正比例函数的解析式为； （2）解：在直线上（除点外）存在点，使得为等腰三角形，理由如下： 当，点在点的上方时，如图， 则； 点在点的下方时，； 当时， ， 点与点重合， 此时点不符合题意； 当时， ，， ， ， ， ， ， 则； 综上分析可知，的长为或或． 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 【答案】(1)温度，声音在空气中的传播速度 (2)0.6 (3) (4)小乐与燃放烟花所在地大约相距 【分析】本题考查函数的表示方法，常量与变量及一次函数的应用，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是正确解答的前提． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式； （4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高， 故答案为：0.6； （3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 故答案为：； （4）当时，， ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 2．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，与直线交于点，且在第三象限． (1)若的面积为，求的值； (2)在（1）的条件下，在直线上是否存在点，使的面积等于6？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在满足条件的点Q，其坐标为或 【分析】（1）先求出，得出，根据的面积为，在第三象限，得出，求出，得出，代入正比例函数解析式求出k的值即可； （2）设点Q的坐标是，分两种情况：当Q在线段上和延长线上，根据三角形的面积公式列出关于m的方程解方程求得即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为，在第三象限， ∴， 解得：， 把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：； （2）解：设点Q的坐标是， 在中，令可得， ∴， ∴，， ∴Q点有两个位置：Q在线段上和延长线上， 当Q点在线段上时，则， 解得：， ∴， ∴Q点的坐标为；   当Q点在线段延长线上时， 则， 解得， ∴， ∴Q点的坐标为； 综上所述，存在满足条件的点Q，其坐标为或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，求一次函数解析式、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．在（2）中确定出Q点所在的位置是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，作如下定义；点的坐标为，点的坐标为，若，则称、两点为“同和点”．如图①，点、为“同和点”． (1)若点的坐标为． ①在点，、中，是点的“同和点”的是________．（填“C”、“D”或“E”） ②若点在轴上，且、两点为“同和点”，则点的坐标为________． (2)如图②，直线与轴、轴分别交于点、，点为线段上一动点． ①若点与点为“同和点”，则点的坐标为________． ②若存在点与点为“同和点”，求的取值范围． 【答案】(1)①E ② (2)① ② 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点"的定义并运用是解题的关键； （1）由同和点的定义可求解；由同和点的定义可求解； （2）由同和点的定义，列出等式可求解；由同和点的定义，列出等式可得． 【详解】（1）①∵点的坐标为 ∴ ∵点，、 ∴ ∴点的“同和点”的是E ②点在轴上，且、两点为“同和点”， ∴ （2）∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，；当时， ∴ ∵点与点为“同和点”， 设 ∴ ∴ ∴点的坐标为 设 ∵点与点为“同和点”， ∴ ∴ ∵点为线段上一动点 ∴ ∴ 4．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接． (1)方程组的解是________； (2)求的面积； (3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据直线与直线的交点坐标即可得； （2）设直线与轴的交点为点，先利用待定系数法求出，再分别求出点的坐标，然后根据的面积等于求解即可得； （3）设直线与轴的交点为点，先求出点的坐标，从而可得，再根据的面积等于建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：方程组可转化为， 所以这个方程组的解为直线与直线的交点的横坐标、纵坐标， 即方程组的解是， 故答案为：． （2）解：如图，设直线与轴的交点为点， 将点代入得：，解得， ∴， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∴的面积为． （3）解：如图，设直线与轴的交点为点， 由（2）已得：， 当时，，解得，即， 设点的坐标为，则， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∵的面积与的面积相等，且的面积为10， ∴， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 所以点得坐标为． 【经典例题五 一次函数中的新定义问题】 【例5】（2024·江苏南京·模拟预测）如定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”． (1)若，试判断函数是否为函数，的“组合函数”，并说明理由： (2)设函数与的图像相交于点． ①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方．求的取值范围； ②若，函数、的“组合函数”图像经过点，是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数．都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在．请求出的值及此时点的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)①  ②存在；， 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键． （1）把，代入组合函数中，化简后进行判断即可； （2）①先求出点的坐标和“组合函数”，把代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点代入“组合函数”，整理得，把代入“组合函数”，消去，把代入解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：是函数，的“组合函数”， 理由：由函数，的“组合函数”为：， 把，代入上式，得， 函数是函数，的“组合函数”； （2）解：①解方程组 得． 函数与的图像相交于点， 点的坐标为， 、的“组合函数”为， ， ，点在函数、的“组合函数”图像的上方． ，整理，得， ， 解得：， 的取值范围为； ②存在，理由如下： 函数的“组合函数”图像经过点． 将点坐标代入"组合函数"，得 ， ， ，． 将代入， 把代入，得 解得：， 设，则， ． 对于不等于的任意实数，存在“组合函数”图像与轴交点的位置不变． 1．（2024八年级下·上海·专题练习）定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)函数，是否存在“平衡点”，若存在求出“平衡点”坐标，若不存在，说明理由； (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； (3)将一次函数的图象关于y轴对称，若对称后的图象存在“平衡点”则k的取值范围为___________． 【答案】(1)见解析 (2)0或或或或 (3)且 【分析】（1）根据一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”，得到．以此为据，计算判断即可． （2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，且 ，，根据题意，得，，确定“平衡点”，根据为等腰三角形，分类计算即可． （3）确定对称后函数解析式为，根据图象上存在“平衡点”，得到,表示出，根据，解答即可． 【详解】（1）解：设“平衡点”的坐标为，根据题意，得． 设是函数的平衡点，则即，不满足， ∴函数上不存在平衡点， 设是的平衡点，则， 解得， 故的平衡点是． （2）解：设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，且，，根据题意，得，， 解得，， ∴，， ∵过点A作轴，垂足为C． ∴， ∵为等腰三角形， 当时，得， ∴ 解得或； 当时，得， ∴ 解得； 当时，得， ∴ 解得或， 综上所述，0或或或或． （3）解：一次函数的图象关于y轴对称的直线为：， ∵上存在“平衡点”， ∴, ∴， ∴ 则且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了新定义问题，相反数的应用，方程组求交点，不等式的应用，坐标系中的对称变换，正确理解定义，熟练掌握解方程组是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n级限距点”．例如，点是函数图象的“级限距点”；点是函数图象的“2级限距点”． (1)在①；②；③三点中，是函数图象的“1级限距点”的有________（填序号）； (2)若y关于x的一次函数图象的“2级限距点”有且只有一个，求k的值； (3)若y关于x的函数图象存在“n级限距点”，求出n的取值范围． 【答案】(1)①②； (2)k的值为或； (3)． 【分析】（1）根据定义即可作出判断； （2）作出以O为中心，边长为4的正方形，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2级限距点”有且只有一个，当直线经过点时，解得；当直线经过点时，解得． （3）画出在以O为中心，边长为的正方形，根据定义进行讨论即可得到n的取值范围． 【详解】（1）解：根据定义可得，在①；②；③三点中，①；②是函数图象上的点，且到两坐标轴的距离都不大于1， ∴“1级限距点”有①；②； 故答案为：①② （2）解：如图， 在以O为中心，边长为4的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2级限距点”有且只有一个， 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得． 综上所述：k的值为或． （3）解：当时，，当时，， 在以O为中心，边长为的正方形中，当图象与正方形区域有公共部分时， 函数图象的“n级限距点”一定存在． 设，，，， 如图，当图象经过点时，代入得， 如图，当图象经过点时，代入得． ∴当时，函数图象的“n级限距点”一定存在． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，弄清楚“级限距点”的定义，数形结合是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，记线段为，线段为，点是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点的直线与，都有公共点，则称点是联络点．例如，点是联络点． (1)以下各点中，______是联络点（填出所有正确的序号）； ①；②；③． (2)直接在图中画出所有联络点所组成的区域，用阴影部分表示． 【答案】(1)② (2)图见解析 【分析】（1）根据题意画出联络点的区域，然后根据区域的界限函数解析式判断各个点是否在区域内，进而判断是否是联络点； （2）根据联络点的意义画出图形是直线、直线、线段、线段围成的区域． 【详解】（1）解：设过点，点的直线为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设过点，点的直线为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图所示，直线、直线、线段、线段围成的阴影区域就是联络点点的区域． ①；②；③ 当时，，这样的点在区域内，所以不是联络点； 当时，，即，这样的点在区域内，所以是联络点； 当时，，即，这样的点在区域内，所以不是联络点． 故选：②． （2）所有的联络点所组成的区域为图中阴影部分含边界，如图所示： ． 【点睛】本题考查直线在坐标系中的位置，以及直线解析式．正确理解联络点的概念是解题的关键． 4．（23-24八年级下·上海金山·期末）定义：对于平面直角坐标系xOy中的点和直线，我们称点是直线的反关联点，直线是点的反关联直线．特别地，当时，直线为常数的反关联点为．如图，已知点，，． （1）点B的反关联直线的解析式为______； （2）求直线AC的反关联点的坐标． （3）设直线AB的反关联点为点D，直线BC的反关联点为点E，点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 或． 【分析】（1）根据反关联直线的定义，直接写出答案即可； （2）先求出直线AC的解析式，进而即可求解； （3）分别求出直线AB、BC的解析式，从而得到D、E的坐标，进而即可求解． 【详解】解：（1）根据反关联直线的定义，可知，点B的反关联直线的解析式为：， 故答案是：； （2）设直线AC的解析式为：， 把点，C代入得：，解得：， ∴直线AC的解析式为：， ∴直线AC的反关联点的坐标为：； 点，，． 设直线AB的解析式为， ，解得：， 直线AB的解析式为，                          ， 设直线BC的解析式为， ，解得：， 直线BC的解析式为，                            ， 设直线DE的解析式为， ，解得：， 直线DE的解析式为， 直线DE与x轴交于点， 设点， ， ， 解得或， 或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形综合，掌握待定系数法，函数图像上点的坐标的特征，是解题的关键． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 【例6】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 【答案】(1) (2)，是关于x的一次函数 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理． （1）根据折叠的性质得到，在中利用勾股定理求得，据此即可求得点E的坐标； （2）由折叠得到，有，在中利用勾股定理列式，整理即可解． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，，， 由勾股定理，得， 则， ∴； （2）解：在中，由勾股定理，得， 又∵，，， ∴， 整理得， 是关于x的一次函数． 1．（2024·上海长宁·二模）如图，在平面直角坐标系中有两点，请在x轴上找一点C，将沿翻折，使点B的对应点D恰好落在x轴上．    (1)利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点C；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【分析】（1）以A为圆心，为半径画圆交x轴于，作的平分线交x轴于，点即为所求； （2）求出直线的解析式，根据，再求出直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）如图，以A为圆心，为半径画圆交x轴于，作的平分线交x轴于，点即为所求．    （2）设满足条件的点D坐标为， ∵， ∴， ∴或， ∴， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵连接，设其中点为E， ∴， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴，同法可得， 综上所述，满足条件的点C坐标为或． 【点睛】本题考查作图−轴对称变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型． 2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像可由函数y＝x的图像平移得到，且经过点（﹣2，0）． （1）求一次函数y＝kx＋b的表达式； （2）将一次函数y＝kx＋b在x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示）． ①根据图像，当x＞﹣2时，y随x的增大而 　 　； ②请再写出两条该函数图像的性质． 【答案】（1）y＝x+2；（2）①增大；②函数有最小值0；函数图像关于直线x＝﹣2对称 【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点（﹣2，0）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）观察图像即可求得． 【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图像由函数y＝x的图像平移得到， ∴k＝1， 又∵一次函数y＝x+b的图像过点（﹣2，0）， ∴﹣2+b＝0． ∴b＝2， ∴这个一次函数的表达式为y＝x+2； （2）将一次函数y＝kx+b在x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示）． ①根据图像，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， 故答案是：增大； ②函数有最小值0；函数图像关于直线x＝﹣2对称． 【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图1，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数与平面几何的综合，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特征以及勾股定理是解题的关键． （1）把代入，即可求解； （2）依据题意得出，，令，则，得到，再根据勾股定理得，从而得到，设，由折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）当时，， 所以点坐标为； （2）， ，， 当时，，所以， ， 由折叠知，，， ， 设，则，， 在中：， 即， 解得：， 的长为． 4．（23-24八年级下·上海宝山·期中）在“综合与探究”课上，张老师让每名同学在练习本上画出一个长方形，随后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题．经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了侯老师的认可，同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧．如图1，分别以长方形OABC的边OC，OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知AO＝10，AB＝6，点E在线段OC上，以直线AE为轴，把△OAE翻折，点O的对应点D恰好落在线段BC上． （1）分别求点D，E的坐标． （2）如图2，若直线AD与x轴相交于点F，求直线AD表达式及点F的坐标． （3）在（2）的条件下，P是x轴上的一动点，是否存在以A，P，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在本题的探究过程中，你感悟到哪些数学思想，请至少写出两条．     【答案】（1）D（6，2），E（，0）；（2）y=x+10，F（，0）；（3）存在，点P的坐标为（﹣，0）或（﹣5，0）或（，0）或（20，0）；（4）数形结合，分类讨论，方程思想，转化等． 【分析】（1）由折叠得：AD=AO=10，OE=DE，根据勾股定理可得BD的长，由矩形的性质可得CD和OC的长，可得点D的坐标，设OE=x，在Rt△CDE中，根据勾股定理列方程可得x的长，得点E的坐标； （2）利用待定系数法可得AD的解析式，令y=0，解方程可得点F的坐标； （3）根据等腰三角形的判定分类讨论可得点P的坐标； （4）由（1）可知利用数形结合的思想，由（2）和（1）列方程可解答，利用了方程思想，由（3）运用了分类讨论的思想． 【详解】解：（1）如图1，由折叠得：AD=AO=10，OE=DE， Rt△ABD中，AB=6， ∴BD=， ∵OA=BC=10， ∴CD=10﹣8=2， ∴D（6，2）， 设OE=x，则EC=6﹣x， 由勾股定理得：DE2=EC2+CD2， ∴x2=（6﹣x）2+22， 解得：x=， ∴E（，0）； （2）设AD的解析式为：y=kx+b， ∵OA=10，∴b=10 ∴AD的解析式为：y=kx+10， 把D（6，2）代入得：k=， ∴AD的解析式为：y=x+10， 当y=0时，x+10=0， ∴x=， ∴F（，0）； （3）存在， 设P（x，0） ∵A（0，10），F（，0） ∴,， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况 ①当AF=PA时，，即 解得，或（此时点P与点F重合，不符合题意，舍去） ∴点P的坐标为（﹣，0） ②当AF=PF时，，即 解得，或 ∴点P的坐标为（﹣5，0）或（20，0）； ③当PA=PF时，，即 解得， ∴点P的坐标为（﹣，0） 综上，点P的坐标为（﹣，0）或（﹣5，0）或（﹣，0）或（20，0）； （4）在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有：数形结合，分类讨论，方程思想，转化等； 【点睛】题考查翻折的性质，矩形的性质，待定系数法求解析式，勾股定理，数学思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型（45度等）】 【例7】（23-24八年级下·上海闵行·期中）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点． （1）求一次函数解析式和m的值； （2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式； （3）在第二象限是否存在点D，使是以BC为腰的等腰直角等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），的值为；（2）或；；（3）存在，点坐标或 【分析】（1）将点A，点B代入一次函数解析式可得； （2）分情况讨论，△ACP的面积△ABC的面积或求解，利用底一样，面积比等于高的比求解； （3）分情况讨论D点位置，利用三角形全等求解． 【详解】解：（1）把点，代入， 得，解得，， ∴一次函数解析式为，的值为； （2）过点作轴，垂足为点Q， 由（1）得，，点， ∴，，， ∵线段AB 绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处， ∴，∴， ∴， 若直线把分成面积之比为2：1的两部分，则有以下两种情况： ①当时，， ∴，∴点的纵坐标为， 将其代入一次函数得，点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，点代入得， ，解得， ∴直线的解析式； ②当时，， ∴， 将其代入一次函数得，点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，点代入得， ，解得 ∴直线的解析式； 综上所述：直线的解析式或； （3）存在， ∵是以为腰的等腰直角等腰三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，∴，， ∴点； ②当时， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∴点； 综上所述，点坐标或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数待定系数法求解、函数图像上点的特点、直线的旋转和等腰直角三角形，第二问解题关键是利用底相等，面积比等于高的比求解，第三问是借助三角形全等的判定和性质进行求解． 1．（23-24八年级下·福建泉州·自主招生）在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C． （1）求直线BC的函数表达式； （2）若将直线AB绕点B逆时针方向旋转45°，请直接写出此时直线BC的函数表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据已知条件结合一次函数图像特征求得、，然后添加辅助线“过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点”，再利用全等三角形的判定和性质求得，最后根据待定系数法即可求得答案； （2）根据已知条件结合一次函数图像特征求得、，然后添加辅助线“过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点”，再利用全等三角形的判定和性质求得，最后根据待定系数法即可求得答案． 【详解】解：（1）∵一次函数的图像分别交、轴于点、 ∴点，点          ∴， 将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点，如图， ∵， ∴为等腰直角三角形                 ∴ ∵， ∴ ∴在和中 ∴ ∴， ∴点坐标为 ∵直线过， 设直线表达式为，代入得， 解得   ∴直线的解析式为：． （2）∵一次函数的图像分别交、轴于点、 ∴点，点          ∴， 将直线绕点按逆时针方向旋转，交轴于点，过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点，如图， ∵， ∴为等腰直角三角形                 ∴ ∵， ∴ ∴在和中 ∴ ∴， ∴ ∴点坐标为 ∵直线过， 设直线表达式为，代入得 解得   ∴直线的解析式为：． 当直线AB绕点B按逆时针方向旋转45°时，直线BC的解析式为： 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b 经过点P（4，4）和点Q（0，﹣4），与x轴交于点A，与直线y2＝mx+n交于点P． （1）求出直线 y1＝kx+b的解析式； （2）求出点A的坐标； （3）直线y2＝mx+n绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当△PAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标． 【答案】（1）y1=2x−4；（2）A(2，0)；（3）(+2，0) 、(2−，0)、 (6，0) 、(7，0) 【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式； （2）令y=0，可求解； （3）对于本题中的等腰△PAB的腰不确定，需要分类讨论，分三种情况：PA=AB，AB=BP，AP=BP解答． 【详解】(1)把P(4，4)和点Q(0，－4)分别代入y1=kx+b，得 ， 解得， 则直线y1=kx+b的解析式为：y1=2x−4； (2)∵直线y1=2x−4与x轴交于点A， ∴当y=0时，0=2x−4， ∴x=2， ∴点A(2，0)； (3)过点P作PM⊥x轴，交于点M， 由题意可知A(2，0)，M(4，0)，AP=，AM=2， ①当AP=AB时，AB=， ∴B(2-，0)或者B(2+，0). ②当PA=PB时，AB=2AM=4， ∴B(6，0)， ③当PB=AB时，设AB=x，由勾股定理可得：42+（x-2）2=x2， 解得x=5， ∴B(7，0)， 综上所述，点B有4种位置使得△PAB为等腰三角形，坐标分别为(+2，0)、(2−，0) 、(6，0)、(7，0) ． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，熟练找出函数图象中包含的信息是解题的关键，注意分类讨论． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（0，2）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图，以点A为直角顶点作∠CAD＝90°，射线AC交x轴于点C，射线AD交y轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转，且点C在x轴的负半轴上，点D在y轴的负半轴上时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围． 【答案】（1）；（2）不变，值为8. 【分析】（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为、，可证明，可得到，从而可把转化为，再利用线段的和差可求得． 【详解】解：（1）设直线的解析式为：． 点，点在直线上， ， 解得． 直线的解析式为：； （2）不变． 理由如下： 过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图1． 则， 又， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． ． 故的值不发生变化，值为8． 【点睛】考查了一次函数综合题，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 4．（2024·天津滨海新·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，直线AB： 与x轴、y轴分别交于B、A两点，等腰Rt△OCD，∠D＝90°，C坐标为（﹣4，0）． （1）求A、B坐标； （2）将△OCD沿x轴正方形平移，速度为1个单位为每秒，时间为t（0≤t≤6），设△OCD与△OAB重叠面积为S，请写出S与t之间的函数关系式； （3）将△OCD绕O点旋转，当O、B、D三点构成的三角形为直角三角形时，请直接写出D点坐标． 【答案】（1）， B（6，0）；（2）；（3）点D的坐标为 ， ， ， ． 【分析】1）分别令x＝0，解得点A的坐标，令y＝0，解得点B的坐标． （2）分情况讨论，利用特殊角度求得线段之间存在的数量关系，再计算重叠部分面积． （3）分情况讨论，O为直角顶点，D为直角顶点，再利用等面积法求得线段长度． 【详解】解：（1）令x＝0，y＝2， ∴A（0，2）， 令y＝0，即﹣x+2＝0， 解得x＝6， ∴B（6，0）． （2）∵C（﹣4，0）， ∴OC＝4， ∵△COD为等腰直角三角形， ∴CD＝OD，设CD为a，则OD为a， 在Rt△OCD中，根据勾股定理得，a2+a2＝42， 解得a＝2， ①当0≤t≤2时， OO′＝t，OM＝t， S＝OO′•OM•＝t2． ②2＜t≤4时， OO′＝t，∴OC′＝4﹣t， ∴OM＝4﹣t， S＝×（2）2﹣OC′•OM•＝4﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t﹣4． ③当4＜t≤8﹣2时， S＝×（2）2＝4． ④8﹣2＜t≤6时， OO′＝t， ∴BO′＝6﹣t， 过M作MN垂直x轴，垂足为N， 设MN＝NO′＝x， 则BN＝x， ∴x﹣x＝6﹣t， 解得x＝， BC′＝10﹣t，过点Q作x轴得垂线，垂足为P， 设PQ＝PC′＝y，则BP＝y， ∴y+y＝10﹣t， 解得y＝， ∴S＝BC′•PQ•﹣BO′•MN•＝﹣t2+8t﹣2t+16﹣34． 综上： （3）①如图所示， 此时D（0，2）． ②如图所示， 此时D（0，﹣2）． ③如图所示， 此时∠BDO＝90°，OD＝2，OB＝6， ∴DB＝2， 过D作DE垂直于x轴，垂足为点E， OD•DB•＝OB•DE•， 解得DE＝， ∴OE＝， ∴D（，）． ④如图所示， 此时的点D与③中的点D关于x轴对称， ∴D． 综上，点D的坐标为 ， ， ， ． 【点睛】此题考查了动态图形，含有特殊角度的直角三角形的边长比例关系，以及等面积法求线段长度． 【经典例题八 一次函数中的平移模型】 【例8】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，已知直线l： (1)将直线l向上平移m个单位长度，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值； (2)在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形的面积，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． （1）根据直线平移的规律，可设平移后的直线解析式为，把点代入，求出，得到平移后的直线解析式为，进而求出； （2）先求出点的横坐标为，再把代入，那么点的坐标为，，根据三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）设平移后的直线解析式为， 过点， ， ， 平移后的直线解析式为， ； （2）如图所示． ∵ 正方形的边长为2，且点 A 的坐标为， ∴． 把 代入 得 则． 的面积． 1．（23-24八年级下·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，直线l：（m为常数）的图像与y轴交于点A，点B坐标． (1)若直线l经过点， ①求出直线l的解析式； ②请直接判断出直线与直线l的位置关系； ③若直线经过平移可以得到直线l，设在平移过程中线段扫过的面积为S，请求出S的值； (2)过点B作x轴的垂线交函数（m为常数）的图像于点C，以O、A、B、C为顶点构造平行四边形，求出此时m的值． 【答案】(1)①；②平行； ③3； (2)或． 【分析】本题考查一次函数的图像和性质． （1）①利用待定系数法求出函数解析式即可； ②求出直线的解析式，根据值的特点确定两直线位置即可； ③根据平行四边形的面积公式计算即可； （2）先求出点A和点C的坐标，然后根据平行四边形的对边相等列方程解题即可． 【详解】（1）①将点代入直线表达式，可得， 解得， 则该直线的表达式为 ②解：由①，可得点B的坐标为 设直线的解析式为代入得 ∴直线的解析式为:， ∴与直线l平行； ③由①知：点A坐标为点B坐标为 ∴ ， （2）①对于直线，令，则， ∴， ∵过点作轴的垂线交函数（为常数）的图像于点， ∴， ∵点的坐标为， ∴点在点上方，， ∵以为顶点构造四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：或． 2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，直线与坐标轴分别交于点和，直线经过点．将直线沿轴正方向平移个单位长度得到直线，直线交轴于点，交直线于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当且时，记以点、、、为顶点的四边形面积为，直接写出与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直线即可求得、的坐标，进一步求得直线为，与直线联立成方程组，解方程即可求得点的坐标； （2）由平移的规律求得直线为，与直线联立成方程组，解方程即可求得点，观察图象，据此即可求得与之间的函数关系式． 【详解】（1）解：直线与坐标轴分别交于点和， ，， 直线经过点， ， 直线为， 将直线沿轴正方向平移1个单位长度得到直线，则直线为， 由，解得， ； （2）解：由（1）可知直线为， 将直线沿轴正方向平移个单位长度得到直线，则直线为， ， 且， ， 由，解得， ， 当且时，如图， 则点、、、为顶点的四边形面积为． 与之间的函数关系式为． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，两条直线交点的求法，三角形的面积等，得到平移后的直线解析式是解题的关键． 4．（23-24八年级下·山西大同·期末）阅读下列两则材料，回答问题． 我们知道一次函数（，、是常数）的图像是一条直线，到高中学习时，直线通常写成（，、、是常数）的形式，点到直线的距离可用公式计算． 例如：求点到直线的距离． 解：∵， ∴，其中，，， ∴点到直线的距离． 根据以上材料解答下列问题： (1)求点到直线的距离； (2)如图，直线沿轴向上平移个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程，一次函数的性质，一次函数的图像与几何变换， （1）直线中，，，，利用点到直线的距离公式可求出点到直线的距离； （2）由直线沿轴向上平移个单位得到另一条直线，在直线上任取一点，利用点到直线的距离公式可求出这两条平行直线之间的距离； 掌握点到直线的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线中，，，， ∴点到直线的距离为： ∴点到直线的距离为； （2）直线沿轴向上平移个单位得到另一条直线：， 当时，， 即点在直线上， ∴点到直线即的距离为：， ∵直线与平行， ∴这两条直线之间的距离为． 1．（2024·安徽合肥·一模）将函数y=-2x+b(b为常数)的图象位于x轴上方的部分沿x轴翻折至其下方，所得的折线记为图象C，若图象C在直线y=-3上方所有点(含交点)的横坐标x均满足0≤x≤4，则b的取值范围是（    ） A．3≤b≤5 B．0≤b≤3 C．0＜b＜3 D．3＜b＜5 【答案】A 【分析】根据题意得出-2x+b＞-3，和将图象翻折后的函数关系式中时，2x-b＞-3，解关于x的不等式组，得出用的范围，结合0≤x≤4，得出b的不等式组，解关于b的不等式组即可． 【详解】解：∵y=-2x+b，当y＞-3时，-2x+b＞-3，解得：， 翻折后y=-2x+b变成-y=-2x+b，即y=2x-b， ∵y＞-3，即2x-b＞-3，解得：， ∴，满足0≤x≤4， ∴， 解得：3≤b≤5，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，根据题目中的已知条件列出关于b的不等式组是解题的关键． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式和平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可求解，熟知“过平行四边形对称中心的直线平分平行四边形的面积”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵，， ∴， ∵直线将的面积分成相等的两部分， ∴直线过点， ∴，解得：， 故选：． 3．（2024·浙江温州·三模）如图，在直角坐标系中，已知点，将沿着轴正方向平移，使点平移至原点，得到交于点，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】用待定系数法求出直线的解析式为：，根据平移的法则可得，再用待定系数法可得直线的解析式为：，联立方程组可得，从而根据两点间的距离公式进行计算即可得到的长度． 【详解】解：设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 将沿着轴正方向平移，使点平移至原点， 沿着轴正方向平移了两个单位长度，得到， ， 设直线的解析式为：， 将代入得：， ， 直线的解析式为：， 联立方程组， 解得：， ， ， 故选：A． 【点睛】本意考查了待定系数法求函数解析式，平移的性质，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法求函数解析式，平移的性质，两点间的距离公式，是解题的关键． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数与几何，对称最短路径的综合，掌握对称最短路径的计算方法，一次函数图像的性质是解题的关键． 根据的最小值就是的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当时，的值最小，即有最小值，由此可知有最小值，根据等面积法即可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，点关于轴的对称点是点， ，即， 在中，，即是等腰三角形， 即， ， ， ， ， 直线交轴于点，交轴于点， 当时，；当时，，解得， ，，即，， 在中， ， 根据点到直线的垂线段最短，可知:当时，最小， ， ， 的最小值为， 点与点关于轴对称， 的最小值就是的最小值， 最小值为： 故选：B 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，直线分别与轴交于点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：；直线的解析式为；点；若线段上存在一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是．正确的结论是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断；由折叠的性质可得， ，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断；由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断；由菱形的性质可得，可得点纵坐标为可判断，即可求解． 【详解】∵直线分别与、 轴交于点、 ， ∴点，点， ∴，， ∴，故正确； ∵线段沿翻折，点落在边上的点处， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴点， 设直线解析式为: , ∴ ∴， ∴直线解析式为: ，故正确； 如图，过点作于，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时， ， ∴， ∴点，故正确； ∵线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，且， ∴， ∴点纵坐标为，故错误； 综上可知正确， 故选：． 【点睛】此题考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理和菱形的性质等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的定义，分为腰及为腰两种情况，求出点的坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，在中，利用勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，当为腰时，利用等腰三角形的三线合一，可得出的长，进而可得出点的坐标；当为腰时，利用等腰三角形的性质，可得出的长，结合点的坐标，即可得出点的坐标，综上所述，即可得出结论． 【详解】解：如图， 当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 在中，，，， ． 当为腰时，， 点的坐标为； 当为腰时，， 又点的坐标为， 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 故答案为：或或． 7．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，一次函数分别与坐标轴交于，，点为轴上一点，把直线沿翻折，点刚好落在轴的负半轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题综合考查了翻折变换以及一次函数图象上点的坐标特征，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键． 设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有，而的长度根据已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到，在直角中根据勾股定理可以求出，也就求出M的坐标． 【详解】解：如图所示，当点M在y轴正半轴上时， 设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点， 则有， ， ，， ， ， ∴点C的坐标为． 设M点坐标为，则，， ， ， ， ． 8．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，动点问题，解题的关键是读懂函数图像与动点之间的关系．由函数图象可知P在上运动了，在上运动了，在上运动了，即可求出它们的长，再结合长方形性质和的面积即可求出在边上的高，从而可求出的值． 【详解】解：由图可知：当点P在上运动时面积逐渐增加，在上运动时面积不变，在上运动时面积逐渐减小， P在上运动了，在上运动了，在上运动了， P点的运动速度为， ，，， 四边形是长方形， ，， ， 的边上的高为：， 当是，， 当时，则， ， ， 故答案为：或． 9．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，直线与轴和轴分别交于两点，第四象限中有一点，连接，，轴．将沿折叠，使点落在点处．若在轴上存在一点，满足，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】先求出点，点A的坐标为，根据等腰三角形的性质求出，根据轴，得出，说明点在y轴上，，求出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：把代入得：，则点， 把代入得：，解得：， 则点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵将沿折叠，使点落在点， ∴点在y轴上，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判断和性质，解题的关键是数形结合，根据题意作出图形，说明点在y轴上． 10．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，直线交坐标轴于点A、B，与坐标原点构成的向x轴正方向平移4个单位长度得，边与直线AB交于点E，则图中阴影部分面积为 ．    【答案】14 【分析】由平移的性质可得，进而可得阴影部分面积等于梯形的面积，由此可解． 【详解】解：向x轴正方向平移4个单位长度得， ，，， 阴影部分面积等于梯形的面积， 对于，当时，， 当时，， ，， ，， 梯形， 阴影部分面积等于14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查图形的平移，一次函数的图象和性质，解题的关键是通过平移得出阴影部分面积等于梯形的面积． 11．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)直接写出点B的坐标为 ； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点与轴的距离是2， ∵， 的面积； （3）解：存在； 由（2）知的面积为， ， 设， ， ， 或， 代入直线得，或， 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点，坐标与图形以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 12．（24-25八年级下·重庆酉阳·阶段练习）如图1，在矩形中，，点Q为边上的中点．动点M从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止．设运动的时间为x秒，记线段所围成的图形的面积为． (1)请直接写出y关于x的函数表达式以及对应的x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有2个交点，请估计两个交点的横坐标的值并直接写出来（误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)图象见解析；当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大 (3)2.4和7 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，由实际问题中抽象出一次函数，一次函数图象的画法与性质等知识点，采用数形结合的方法求解是解题的关键． （1）根据M的位置不同分类讨论，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据一次函数的画法，画出函数图象，进而可写出函数的性质； （3）采用数形结合的方法，画出函数与的图象，即可求解． 【详解】（1）解：当M在上时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当M在上时，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据一次函数的画法，画出图象如图： ∴函数性质有（答案不唯一）：当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大； （3）解：如图： 估计两个交点的横坐标的值分别为2.4和7． 13．（24-25八年级下·陕西·期末）如图，点，． (1)点在直线上，连接，将的面积分成相等的两部分，求点的坐标． (2)点从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度的速度从点向轴正半轴运动，设点运动的时间为1秒．如图，直线，交于第四象限的点D，已知点D的坐标是，求点，运动的时间以及点的速度． 【答案】(1) (2)点P，Q运动的时间为1.5秒，点的速度为每秒2个单位长度． 【分析】此题考查了一次函数和几何综合，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设直线的函数表达式为，然后利用待定系数法求出，设点，然后根据题意得到，解得，进而求解即可； （2）首先求出所在直线的关系式为，然后求出，，同理求出所在直线的关系式为，进而求解即可． 【详解】（1）设直线的函数表达式为， 则 解得 直线的函数表达式为， 设点， 由题意可得， 解得， ； （2）设所在直线的关系式为， ，， 解得 ， 当时，， ，， 点的速度为每秒3个单位长度， （秒）． 设所在直线的关系式为， ，， 解得 ， 当时，， ，， 点运动的时间为1.5秒， ， 答：点P，Q运动的时间为1.5秒，点的速度为每秒2个单位长度． 14．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 【答案】(1)， (2) (3)解析式为 ． 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，两直线平行问题，等腰直角三角形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将、两点代入即可求解； （2）过点作轴于点．设，根据可证明，可得，，由点恰好落在直线上即可求解； （3）连接交于，由翻折得，，根据等腰三角形的性质可得，可得，设过点且与直线平行的直线的解析式为，将代入即可求解． 【详解】（1）一次函数的图象与轴、轴相交于、两点， ， 解得， 即，； （2）过点作轴于点． 设， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ； ，， ， ，， 直线的解析式为， 点恰好落在直线上， ， 解得， ； （3）连接交于， 由翻折得，， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 设过点且与直线平行的直线的解析式为， 将代入得， 解得， 过点且与直线平行的直线的解析式为． 15．（23-24八年级下·河南焦作·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点和点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)设直线与直线相交于点，求的面积； (3)若将直线沿轴向下平移，交轴于点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用待定系数法求出直线所对应的函数表达式． （1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出直线所对应的函数表达式； （2）联立直线及直线所对应的函数表达式为方程组，通过解方程组可求出点的坐标，再利用三角形的面积公式结合点的坐标即可求出的面积； （3）分三种情况考虑：①当时，由等腰三角形的性质可得出，结合点的坐标可得出的坐标；②当时，设，则，在中利用勾股定理可求出的值，进而可得出点的坐标；③当时，利用勾股定理可求出的值，结合点的坐标可得出点的坐标．综上，此题得解． 【详解】（1）解：设直线所对应的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线所对应的函数表达式． （2）解：联立直线及直线所对应的函数表达式为方程组，得：， 解得：， 点坐标， ． （3）解：分三种情况考虑， ①当时，， 点的坐标为， 点的坐标为； ②当时，设，则， 在中，，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时， ，点的坐标为， 点的坐标为或（舍去）． 综上所述：当为等腰三角形时，点的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$