专题01 一次函数的概念重难点题型专训（7大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题01 一次函数的概念重难点题型专训（7大题型+15道提优训练） 题型一 正比例函数的定义 题型二 正比例函数的图象 题型三 正比例函数的性质 题型四 识别一次函数 题型五 根据一次函数的定义求参数 题型六 求一次函数自变量或函数值 题型七 列一次函数解析式并求值 知识点01 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 知识点02 求函数的值 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 知识点03 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 知识点04 正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 知识点05 正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 知识点06 正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 【经典例题一 正比例函数的定义】 【例1】（23-24八年级下·上海浦东新·期末）下列判断正确的是（    ） A．代数式一定是二次根式； B．是一元二次方程； C．能分解为 D．如果，那么不成正比例关系； 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是（    ） A．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系 B．圆的面积与它的半径之间的关系 C．某水池有水，现打开进水管进水，进水速度，后水池有水 D．有一个边长为x的正方体，则它的表面积S与边长x之间的函数关系 2．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）两辆汽车匀速行驶时，路程与时间的关系如右图．由图象可知，两辆车的路程和时间成( )比例；( )号车的速度更快一些；    3．（23-24八年级·上海·假期作业）（1）已知是正比例函数，求m的取值范围； （2）若函数是正比例函数，那么m的值是多少？ 【经典例题二 正比例函数的图象】 【例2】（2024·上海浦东新·模拟预测）已知点、是正比例函数图象上关于原点对称的两点，则的值为（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则的值等于（　　） A．－6 B．－ C．－ D．－ 2．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，直线与双曲线，分别交于，两点，则 . 3．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系？ 并在平面直角坐标系中画出该函数的图像； (3)当x＝2.5时，y的值为 ． 【经典例题三 正比例函数的性质】 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）关于函数y=2x，下列结论中正确的是（　　） A．函数图象经过点（2，1） B．函数图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有y＞0 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知函数y＝(1－2k)x是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么k的取值范围是(　　) A．k＜ B．k＞ C．k＞0 D．k＜1 2．（2024·上海静安·一模）手机悦动圈是记录步行数和热量消耗数的工具，下表是孙老师用手机悦动圈连续记录的一周当中，每天的步行数和卡路里消耗数（热量消耗，单位：大卡） 星期 一 二 三 四 五 六 日 步行数 5025 5000 4930 5208 5080 10085 10000 卡路里消耗 201 200 198 210 204 405 400 孙老师发现每天步行数和卡路里消耗数近似成正比例关系.孙老师想使自己的卡路里消耗数达到300大卡，预估他一天步行约为__________步.（直接写出结果，精确到个位） 3．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）已知：y与x+2成正比例，且x=1时，y=﹣6． （1）求y与x之间的函数关系式；             （2）若点M（m，2）在这个函数的图象上，求m的值． 【经典例题四 识别一次函数】 【例4】（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，是的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）有下列函数：①；   ②；   ③；   ④；⑤ ；⑥；其中是正比例函数的有 ，是一次函数的有 （填代号即可）. 3．（23-24八年级下·上海·课后作业）写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比列函数？ （1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系； （2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米） 【经典例题五 根据一次函数的定义求参数】 【例5】（23-24八年级下·上海静安·期中）已知一次函数，若当x增加3时，y增加6，则k的值是（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 1．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）若点在函数的图象上，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（23-24八年级下·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，，若，则称点为点的“理想点”．如点为点的“理想点”，而点的“理想点”就是点．已知点为直线上一点，点的“理想点”为点，当时，，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级下·上海青浦·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个根为和，分别以、为横、纵坐标得到点，则称点为该方程的“两根点”． (1)求方程的“两根点”的坐标； (2)已知点是关于的一元二次方程的“两根点”，若点在直线上，求的值． 【经典例题六 求一次函数自变量或函数值】 【例6】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）一次函数的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，都是直线（为常数）上的点，已知，点的横坐标分别为和，轴，轴．则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．与m有关 2．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点” ． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ， ； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”， ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线 x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 4 3 2 1 0 1 m 3 4 … (1)表格中：______； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图像； 【经典例题七 列一次函数解析式并求值】 【例7】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是(    ) A．y=20-2x(0＜x＜10) B．y=20-2x(5＜x＜10) C．y=10-x(5＜x＜10) D．y=10-0.5x(10＜x＜20) 1．（23-24八年级下·全国·期末）如右图所示，直线m是一次函数y=kx+b的图像，则k的值是（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）如果反比例函数的图象经过点，那么直线一定经过点(2， )． 3．（23-24八年级下·河南开封·开学考试）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息，甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示． (1)求出图中a、b、c的值； (2)在乙出发多少秒后，甲、乙两人相距米？ 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）下列各关系中成正比例的有（    ） ①圆的周长与半径； ②速度一定，路程与时间； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高； ④长方形的面积一定时，长与宽． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）无论m为什么实数时，直线总经过点（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海普陀·期中）若点在直线上，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．2 D．0 4．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）某商家为减少商品的积压，通过电商平台采取降价销售的策略，商品原售价480元/件， 随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化如下表所示： 降价/元 … 5 10 15 20 25 30 35 … 日销量/件 … 160 180 200 220 240 260 280 … 下列说法不正确的是（       ） A．当降价10元时，日销量为180件 B．每降价5元，日销量增加20件 C．当售价为420元，估计日销量为400件 D．估计降价之前的日销量为140件 6．（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知是关于x的一次函数，则k的值为 ． 7．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知与成反比例，与成正比，如果当时，，那么当时， ． 8．（23-24八年级下·上海·期中）已知，与成正比例，与成反比例；并且当时，；当时，，则当时的值为 ． 9．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 10．（23-24八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 11．（23-24八年级下·上海·单元测试）已知与成正比例，且当时，，求关于的函数解析式． 12．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 13．（23-24八年级下·上海松江·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：正比例函数，它的相关函数为 (1)已知点在正比例函数的相关函数的图象上，则m的值为______； (2)已知正比例函数 ①这个函数的相关函数为______； ②若点在这个函数的相关函数的图象上，求n的值． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）兴平大蒜是咸阳市兴平的特产，具有全国农产品地理标志，其种植历史悠久，蒜皮紫红色、整齐美观，营养丰富．个体户小李购进一批兴平大蒜，到农贸市场零售，已知卖出的大蒜质量（kg）与销售收入（元）之间的关系如下表所示． （kg） 1 2 3 4 5 … （元） 10.5 21 31.5 42 52.5 … (1)求出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求销售收入的值． 15．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一次函数的概念重难点题型专训（7大题型+15道提优训练） 题型一 正比例函数的定义 题型二 正比例函数的图象 题型三 正比例函数的性质 题型四 识别一次函数 题型五 根据一次函数的定义求参数 题型六 求一次函数自变量或函数值 题型七 列一次函数解析式并求值 知识点01 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 知识点02 求函数的值 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 知识点03 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 知识点04 正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 知识点05 正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 知识点06 正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 【经典例题一 正比例函数的定义】 【例1】（23-24八年级下·上海浦东新·期末）下列判断正确的是（    ） A．代数式一定是二次根式； B．是一元二次方程； C．能分解为 D．如果，那么不成正比例关系； 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式、一元二次方程、因式分解、成正比例，根据二次根式、一元二次方程、成正比例的定义及因式分解的运算逐项判断即可求解，掌握二次根式、一元二次方程、成正比例的定义及因式分解的运算是解题的关键． 【详解】、∵， ∴代数式一定是二次根式， 故该选项正确，符合题意； 、∵方程根号里面含有未知数 ∴不是整式方程，即不是一元二次方程， 故该选项错误，不符合题意； 、∵， ∴不能分解为， 故该选项错误，不符合题意； 、∵， ∴成正比例， 故该选项错误，不符合题意； 故选：． 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是（    ） A．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系 B．圆的面积与它的半径之间的关系 C．某水池有水，现打开进水管进水，进水速度，后水池有水 D．有一个边长为x的正方体，则它的表面积S与边长x之间的函数关系 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可求解 【详解】选项A: y=80x,属于正比例函数，两个变量之间成正比例函数关系，符合题意; 选项B:属于二次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意; 选项C: y=15+5x， 属于一次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意; 选项D: S=6x2，属于二次函数，两个变量之间不是成正比例函数关系，不合题意; 故选: A 【点睛】本题考查正比例函数的定义，正确理解正比例函数的定义是关键 2．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）两辆汽车匀速行驶时，路程与时间的关系如右图．由图象可知，两辆车的路程和时间成( )比例；( )号车的速度更快一些；    【答案】 正 ① 【分析】根据辆车的路程和时间的函数图像都过原点，可知两辆车的路程和时间成正比例；再根据两车行驶360千米所用的时间即可发现，①号车快一些． 【详解】解：根据图像可知：辆车的路程和时间的函数图像都过原点，则两辆车的路程和时间成正比例； 根据图像可知：①号车行驶360千米用时4小时，②号车行驶360千米用时8小时，即①号车的速度更快一些． 故答案为：正，①． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图像的性质、函数图像的意义等知识点，理解正比例函数图像的性质是解答本题的关键． 3．（23-24八年级·上海·假期作业）（1）已知是正比例函数，求m的取值范围； （2）若函数是正比例函数，那么m的值是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据正比例函数的定义可得，即可求解； （2）根据正比例函数的定义可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵是正比例函数， ∴， ∴； （2）∵函数是正比例函数， ∴， ∴． 【点睛】考查正比例函数的概念理解，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【经典例题二 正比例函数的图象】 【例2】（2024·上海浦东新·模拟预测）已知点、是正比例函数图象上关于原点对称的两点，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题解析：∵，关于原点对称， ∴，， 把代入得，计算得出． 所以选项是正确的． 故选A 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则的值等于（　　） A．－6 B．－ C．－ D．－ 【答案】C 【详解】∵点(2,-3)在正比例函数上， ∴－3＝2k， ∴k=－， 故选C. 2．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，直线与双曲线，分别交于，两点，则 . 【答案】 【详解】解：过点A、B作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图所示 ∵直线与双曲线，分别交于，两点， ∴点A的横坐标为：，   点B的横坐标为：， ∴OC＝，OD＝， ∵AC⊥x轴、BD⊥x轴， ∴AC//BD， ∴∠OAC=∠OBD、∠OCA＝∠ODB， 在△OAC和△OBD中 ， ∴△OAC∽△OBD（AAA）， ∴． 故答案是． 3．（23-24八年级下·上海长宁·阶段练习）已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系？ 并在平面直角坐标系中画出该函数的图像； (3)当x＝2.5时，y的值为 ． 【答案】(1)  y＝3x－9；(2)  y是x的一次函数，该函数的图像见解析；(3) －1.5 【详解】试题分析：（1）根据y与x-3成正比例，设出一次函数的关系式，再把当x=4时，y=3代入求出k的值即可； （2）根据一次函数的定义可得y与x之间的函数关系，再根据描点法画出函数即可求解； （3）根据代入法即可求解． 试题解析： （1）∵y与x-3成正比例，设出一次函数的关系式为：y=k（x-3）（k≠0）， 把当x=4时，y=-3代入得：3=（4-3）k，解得k=3， ∴y与x之间的函数关系式为：y=3（x-3）=3x-9． （2）y是x的一次函数，该函数的图象如图所示； （3）当x=2.5时，y=3×2.5-9=-1.5． 【经典例题三 正比例函数的性质】 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）关于函数y=2x，下列结论中正确的是（　　） A．函数图象经过点（2，1） B．函数图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有y＞0 【答案】C 【详解】A：当x=2时，y=4≠1，∴函数图像不经过（2，1），故错误； B：k=2＞0，∴函数图像经过一、三象限，故错误； C：k＞0，y随着x的增大而增大，故正确； D：当x＜0时，y＜0，故错误. 故选C. 点睛：掌握正比例函数图像的性质. 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知函数y＝(1－2k)x是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么k的取值范围是(　　) A．k＜ B．k＞ C．k＞0 D．k＜1 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】∵正比例函数y=（1-2k）x，y随x的增大而减小， ∴1-2k<0． 解得k> . 故选B． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小． 2．（2024·上海静安·一模）手机悦动圈是记录步行数和热量消耗数的工具，下表是孙老师用手机悦动圈连续记录的一周当中，每天的步行数和卡路里消耗数（热量消耗，单位：大卡） 星期 一 二 三 四 五 六 日 步行数 5025 5000 4930 5208 5080 10085 10000 卡路里消耗 201 200 198 210 204 405 400 孙老师发现每天步行数和卡路里消耗数近似成正比例关系.孙老师想使自己的卡路里消耗数达到300大卡，预估他一天步行约为__________步.（直接写出结果，精确到个位） 【答案】7500 【详解】试题分析：首先根据所给出的表格得出一次函数的解析式，然后代入进行计算. 考点：一次函数的实际应用 3．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）已知：y与x+2成正比例，且x=1时，y=﹣6． （1）求y与x之间的函数关系式；             （2）若点M（m，2）在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】（1）y=﹣2x﹣4；（2）-3 【详解】试题分析：（1）根据y与x+2成正比，设y=k（x+2），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出关系式； （2）把点M（m，2）代入一次函数解析式求出m的值即可． 试题解析：（1）根据题意：设y=k（x+2）， 把x=1，y=-6代入得：-6=k（1+2）， 解得：k=-2． 则y与x函数关系式为y=-2（x+2）=-2x-4； （2）把点M（m，2）代入y=-2x-4得：2=-2m-4， 解得m=-3． 【经典例题四 识别一次函数】 【例4】（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，是的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：，进行判断即可． 【详解】解：A．不是一次函数，不符合题意； B．不是一次函数，不符合题意； C．是一次函数，符合题意； D．不是一次函数，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图 【答案】A 【分析】根据可得，则与成一次函数，再根据正方形的面积公式可得，则S与x满足的函数关系是二次函数关系． 【详解】解：由题意得：、 ， ∴与，与满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键． 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）有下列函数：①；   ②；   ③；   ④；⑤ ；⑥；其中是正比例函数的有 ，是一次函数的有 （填代号即可）. 【答案】 ①③ ①③④⑤. 【分析】根据正比例函数与一次函数的定义对各个选项进行判断即可. 【详解】解：①是一次函数，也是正比例函数； ②不是一次函数； ③是一次函数，也是正比例函数； ④是一次函数，但不是正比例函数； ⑤是一次函数，但不是正比例函数； ⑥自变量次数是2，故不是一次函数； 故是正比例函数的有①③；是一次函数的有①③④⑤. 故答案为①③；①③④⑤. 【点睛】本题主要考查正比例函数与一次函数的定义，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 3．（23-24八年级下·上海·课后作业）写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比列函数？ （1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系； （2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米） 【答案】（1）一次函数，正比例函数；（2）不是x的一次函数，不是正比例函数；（3）是x的一次函数，不是正比例函数． 【分析】(1)根据路程=速度时间可得相关函数关系式;(2)根据圆的面积可得相关函数关系式;(3)x月后这棵树的高度=现在高+每个月长的高月数． 【详解】解：（1）行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系为：y=60x，是x的一次函数，是正比例函数； （2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径r（厘米）之间的关系为：y=πx2，不是x的一次函数，不是正比例函数； （3）x月后这棵树的高度为y（厘米）之间的关系为：y=50+2x，是x的一次函数，不是正比例函数． 【经典例题五 根据一次函数的定义求参数】 【例5】（23-24八年级下·上海静安·期中）已知一次函数，若当x增加3时，y增加6，则k的值是（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练运用一次函数的性质是解题的关键．根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：当x增加3时，y增加6， ， 即， ， ， 故选：C． 1．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）若点在函数的图象上，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将点代入函数，得到，即可求出代数式的值． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，代数式求值，解题关键是掌握函数的图象上的点符合函数解析式． 2．（23-24八年级下·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，，若，则称点为点的“理想点”．如点为点的“理想点”，而点的“理想点”就是点．已知点为直线上一点，点的“理想点”为点，当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，根据题意，当以及当时，理想点Q的坐标不同，应分别进行分析计算，关键在于理解理想点的定义，确定k的取值范围． 【详解】解：根据题意，可设点P坐标为， ①当时，点Q的纵坐标为，则， 解得：，即， ②当时，点Q的纵坐标为，则， 解得： ∴ x的取值范围是：， ∵当时，， ∴k的取值范围是：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海青浦·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个根为和，分别以、为横、纵坐标得到点，则称点为该方程的“两根点”． (1)求方程的“两根点”的坐标； (2)已知点是关于的一元二次方程的“两根点”，若点在直线上，求的值． 【答案】(1)“两根点” (2) 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）解方程的两根，即可得出结果； （2）解方程，求出“两根点P”，将点P的坐标代入即可求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得： ， 解得，， “两根点”； （2）解：， ， ， ，， ， 点在直线上， ， ． 【经典例题六 求一次函数自变量或函数值】 【例6】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）一次函数的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数性质，将选项各点代入一次函数求解判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项A不符合题意； B、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项B不符合题意； C、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项C不符合题意； D、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项D符合题意； 故选：D． 1．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，都是直线（为常数）上的点，已知，点的横坐标分别为和，轴，轴．则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．与m有关 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质；根据题意求得点、的纵坐标，据此可以求得、的长度，然后由直角三角形的面积公式求得的面积． 【详解】解：∵点，都是直线（为常数）上的点，已知，点的横坐标分别为和， ∴； 又轴，轴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点” ． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ， ； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”， ． 【答案】 1 2 6或 【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法． （1）由点在正比例函数的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出m的值，由点是y关于x的正比例函数的“阶和点”，可求出n的值； （2）利用分类讨论的方法和“5阶和点”的定义求得“5阶和点”，再利用待定系数法解答即可． 【详解】解：（1）∵点是y关于x的正比例函数的点， ∴， ∴， ∵点到两坐标轴的距离之和等于2， ∴点是y关于x的正比例函数的“2阶和点”， ∴． 故答案为：1，2； （2）设一次函数图象的“5阶和点”为，则，， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ∴，， ∴一次函数图象的“5阶和点”为， ∴一次函数的图象经过， ∴， ∴； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ∴，， ∴一次函数图象的“5阶和点”为， ∴一次函数的图象经过， ∴， ∴． 综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”，k的值为6或， 故答案为：6或． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线 x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 4 3 2 1 0 1 m 3 4 … (1)表格中：______； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图像； 【答案】(1)2 (2)图形见解析 【分析】本题主要考查绝对值函数的性质，熟练掌握绝对值函数的性质是解题的关键． （1）将代入即可得到答案； （2）采用描点、连线的方法画出图像即可． 【详解】（1）解：将代入，得； （2）解：函数图像如图所示． 【经典例题七 列一次函数解析式并求值】 【例7】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是(    ) A．y=20-2x(0＜x＜10) B．y=20-2x(5＜x＜10) C．y=10-x(5＜x＜10) D．y=10-0.5x(10＜x＜20) 【答案】B 【分析】根据已知列函数式，再根据三角形三边的关系确x的取值范围即可． 【详解】解：∵2x+y=20， ∴y=20-2x，则20-2x＞0， 解得：x＜10， 由两边之和大于第三边，得x+x＞20-2x， 解得：x＞5， 综上可得：y=20-2x（5＜x＜10） 故选B． 【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键． 1．（23-24八年级下·全国·期末）如右图所示，直线m是一次函数y=kx+b的图像，则k的值是（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】将图像经过的两个点坐标代入解析式即可求出k的值. 【详解】将点（1,0），（0，-2）代入y=kx+b，得 ，解得， 故选：D. 【点睛】此题考查利用图像求一次函数的解析式，准确表示点的坐标是解题的关键，利用待定系数法求函数解析式. 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）如果反比例函数的图象经过点，那么直线一定经过点(2， )． 【答案】--2 【分析】利用点坐标求出k的值，再将x=2代入直线解析式即可． 【详解】解：将点代入中，得， ∴， 当x=2时，， ∴直线一定经过点（2，--2）， 故答案为：--2． 【点睛】此题考查了求反比例函数解析式，直线上点的坐标特点，正确代入计算是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河南开封·开学考试）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息，甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示． (1)求出图中a、b、c的值； (2)在乙出发多少秒后，甲、乙两人相距米？ 【答案】(1)，，； (2)乙出发秒或者秒后，甲、乙两人相距米． 【分析】（1）由函数图象可以分别求出甲的速度为4米/秒，乙的速度为5米/秒，就可以求出乙追上甲的时间a的值，b表示甲跑完全程时甲、乙之间的距离，c表示乙出发后多少时间，甲走完全程就用甲走完全程的时间−2就可以得出结论； （2）分别求出8秒到100秒和100秒到123秒的解析式，再把代入即可解出x值． 【详解】（1）解：由题意及函数图象可以得出： 甲的速度为：（米/秒），乙的速度为：500÷100＝5（米/秒）， （秒）； （米）， （秒）， 所以． （2）设秒和秒的解析式分别为和， 把代入得解得， 把代入得解得， 秒解析式：，秒的解析式， 当时，则， 所以在乙出发秒或者秒后，甲、乙两人相距米 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，一次函数的运用，清晰准确从图像获得信息是解题的关键． 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）下列各关系中成正比例的有（    ） ①圆的周长与半径； ②速度一定，路程与时间； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高； ④长方形的面积一定时，长与宽． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数关系，根据成正比例则比值固定解决此题． 【详解】①设圆的半径为，周长为，则固定不变，那么圆的周长与半径是正比例关系； ②，则速度一定，路程与时间是正比例关系； ③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高乘积固定，不是比值固定，不成正比例． ④长方形的面积一定时，长与宽乘积固定，不是比值固定，不成正比例． 故符合条件的有：①②， 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）无论m为什么实数时，直线总经过点（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式变形得到关于m的不定方程形式得到y＝（x+1）m -2，根据无论m为什么实数时，直线总过定点得出，x+1＝0，求出经过的点即可． 【详解】解：∵y＝mx+m﹣2， ∴y＝（x+1）m -2， ∵无论m为什么实数时，直线总过定点， ∴x+1＝0，解得x＝﹣1，代入解析式得，y＝﹣2， ∴直线y＝mx+m﹣2总经过点（﹣1，﹣2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数过定点问题，解题关键是把解析式适当变形，根据所含参数系数为0求出点的坐标． 3．（23-24八年级下·上海普陀·期中）若点在直线上，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】把点代入，得出，将其代入进行计算即可． 【详解】解：把点代入得， 整理得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号． 4．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：（1）是正比例函数也是一次函数； （2）是一次函数； （3）不是一次函数； （4）是一次函数； （5）不是一次函数； ∴是一次函数的有：（1）（2）（4）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，解决本题的关键是明确一次函数的定义，一般地，形如是常数的函数，叫做一次函数． 5．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）某商家为减少商品的积压，通过电商平台采取降价销售的策略，商品原售价480元/件， 随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化如下表所示： 降价/元 … 5 10 15 20 25 30 35 … 日销量/件 … 160 180 200 220 240 260 280 … 下列说法不正确的是（       ） A．当降价10元时，日销量为180件 B．每降价5元，日销量增加20件 C．当售价为420元，估计日销量为400件 D．估计降价之前的日销量为140件 【答案】C 【分析】根据图表，可得A、B、D正确，以此计算出售价为420元时的日销量，即可判断C， 本题考查了，自变量与因变量，解题的关键是：从表中正确获取信息． 【详解】解：由表可得：当降价10元时，日销量为180件，故A正确，不符合题意， 每降价5元，日销量增加20件，故B正确，不符合题意， 当售价为480元，日销量为：（件），故D正确，不符合题意， 当售价为420元，降价了（元），日销量为：（件），故C错误，符合题意， 故选：C． 6．（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知是关于x的一次函数，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如的式子是一次函数解答． 【详解】根据题意，，， 解得，且， 所以， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知与成反比例，与成正比，如果当时，，那么当时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数，正比例函数，将所给数据代入求出系数再代入x的值即可，用待定系数法求函数表达式求出z与x的函数关系是解题关键． 【详解】解：∵与成反比例，即设，与成正比例，即设， ∴，即与成反比例关系， ∴把代入得， ∴与成反比例关系式为， ∴当时，， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·上海·期中）已知，与成正比例，与成反比例；并且当时，；当时，，则当时的值为 ． 【答案】/8.5 【分析】与成正比例，与成反比例，设，，当时，；当时，，求出，的值，由此可求出，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，设，， ∴，当时，；当时，， ∴，解方程组得，， ∴， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正比例函数与反比例函数的综合运用，掌握正比例函数，反比例函数的解析式的计算方法是解题的关键． 9．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，取x值求一次函数图形上点的坐标，再根据新定义进行判断即可． 【详解】解：把代入得，， ∵点到坐标轴的距离是， ∴点是直线上的等距离点， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，理解新定义，求一次函数图象上点的坐标是解题的关键． 10．（23-24八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 【答案】或 【分析】设，由等距点的定义列方程计算即可，注意分类讨论，求出不同情况下的值即可． 【详解】∵点B在直线上， ∴设， 点到x、y轴的距离中的最小值为， 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， A，B两点不是“坐标轴等距点”； 综上所述，点B的坐标为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“坐标轴等距点”． 11．（23-24八年级下·上海·单元测试）已知与成正比例，且当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查成正比例，根据与成正比例设，再代入求值即可． 【详解】∵与成正比例， ∴设， 当时，， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】（1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出的自变量和函数的对应值求出待定的系数则可； （2）将代入（1）中求值即可． 此题主要考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则， 根据题意，得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，． 13．（23-24八年级下·上海松江·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：正比例函数，它的相关函数为 (1)已知点在正比例函数的相关函数的图象上，则m的值为______； (2)已知正比例函数 ①这个函数的相关函数为______； ②若点在这个函数的相关函数的图象上，求n的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据题意把点代入求解即可； （2）①根据相关函数的定义求解即可；②分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的相关函数的图象上，， ∴把点代入得，， 故答案为：； （2）解：①由题意可得，正比例函数的相关函数为， 故答案为：； ②∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）兴平大蒜是咸阳市兴平的特产，具有全国农产品地理标志，其种植历史悠久，蒜皮紫红色、整齐美观，营养丰富．个体户小李购进一批兴平大蒜，到农贸市场零售，已知卖出的大蒜质量（kg）与销售收入（元）之间的关系如下表所示． （kg） 1 2 3 4 5 … （元） 10.5 21 31.5 42 52.5 … (1)求出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求销售收入的值． 【答案】(1)；是的正比例函数； (2)． 【分析】此题考查了列函数解析式和正比例函数、求函数值等知识． （1）由表格可知： 大蒜质量量每增加，销售收入增加10.5元，据此得到函数解析式，再根据正比例函数的定义进行判断即可； （2）把代入（1）中的函数解析式即可． 【详解】（1）解：由表格可知： 大蒜质量量每增加，销售收入增加10.5元， ∴， 即； 则是的正比例函数； （2）当时，， 即当时，销售收入的值为． 15．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 学科网（北京）股份有限公司 $$