专题01 多边形重难点题型专训（15大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题01 多边形重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 多边形的概念与分类 题型二 平面镶嵌 题型三 多边形截角后的边数问题 题型四 多边形的周长 题型五 网格中多边形面积比较 题型六 对角线分成的三角形个数问题 题型七 多边形对角线的条数问题 题型八 多边形内角和问题 题型九 正多边形的内角问题 题型十 多（少）算一个角问题 题型十一 多边形截角后的内角和问题 题型十二 复杂图形的内角和 题型十三 正多边形的外角问题 题型十四 多边形外角和的实际应用 题型十五 多边形内角和与外角和综合 知识点01 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2） 正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点02 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【经典例题一 多边形的概念与分类】 【例1】（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，把边长为12的等边三角形纸板剪去三个小等边三角形，得到正六边形，则剪去的小等边三角形的边长为(  ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可知剪去的三个三角形是全等的等边三角形，由原等边三角形的边长可知得到剪去的小正三角的边长. 【详解】如图， ∵六边形BCEFHI是正六边形， ∴BC=CE=EF=FH=HI=BC， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=120°， ∴∠7=∠8=∠9=∠10=∠11=∠12=60°， ∴△ABI≌△DEC≌△GHF，且都是等边三角形， ∴AB=BC=CD=12÷3=4. ​故选D 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质与判定，正六边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质与判定定理是解题的关键. 2．（2024·上海松江·模拟预测）将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，全等三角的判定以及性质，根据正六边形的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如下图1正六边形形中，O为正三角的中心， ∴， ∵为正三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴图 1中，实线画出的6个三角形的面积都相等，为正六变形的， 在下图2中，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图，在正五边形中，，F为垂足．求证：．    【答案】见解析 【分析】由正五边形可得，，证得，因此，又，根据“三线合一”可得． 【详解】∵五边形为正五边形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正多边形的性质，全等三角形的证明与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正多边形的性质与等腰三角形的性质是解题的关键． 【经典例题二 平面镶嵌】 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（　　）    A．12 B．10 C．18 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平面镶嵌，多边形内角和公式，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据平面镶嵌的条件，先求出正多边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出边数即可． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意可知，该正边形的一个内角为 则有： 解得： 故选：A． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查密铺、正多边形的内角度数，根据“密铺图形的公共顶点处的角的度数和为”逐项判断即可． 【详解】解：观察可知“半正密铺”图案记号，则表示由一个正方形和两个正八边形组成的； A．是由一个正三角形、两个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正十二边形的每一个内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； B．是由一个正三角形、两个正方形和一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正六边形的内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； C．是由两个正三角形、一个正方形、一个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正十二边形的每一个内角为：， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； D．是由三个正三角形、一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正六边形的内角为： ， ，不能表示“半正密铺”图案，符合题意； 故选D． 2．（23-24八年级下·上海金山·期中）工人师傅用边长均是的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长为的正多边形地砖无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的周长是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了正多边形的性质，掌握正多边形性质是解题的关键．根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解可得到这块正多边形地砖的边数，再结合边长即可求得这块正多边形地砖的周长． 【详解】解：由图可知：， 设这块正多边形地砖的边数是， 由题意得：， 解得：， 正六边形地砖和正方形地砖边长均是， 这块正多边形地砖的周长是， 故答案为：24． 3．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 … 正多边形每个内角的度数 … (2)如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ (3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 【答案】(1)，，； (2)正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形； (3)正方形和正八边形，图见解析，符合条件的图形只有一种，理由见解析． 【分析】（）利用求解即可； （）根据正多边形的内角能构成角即可； （）设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么，应是方程的正整数解即可； 本题考查了正多边形的内角问题，平面镶嵌，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，，； （2）解：如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形； （3）解：正方形和正八边形（如下图所示）， 理由：设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么，应是方程的正整数解， 即的正整数解，只有一组， ∴符合条件的图形只有一种． 【经典例题三 多边形截角后的边数问题】 【例3】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】A 【解析】略 2．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 3．（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 【经典例题四 多边形的周长】 【例4】（2024·上海闵行·一模）如图，□ABCD纸片，∠A=120°，AB=4，BC=5，剪掉两个角后，得到六边形AEFCGH ,它的每个内角都是120°，且EF=1，HG=2，则这个六边形的周长为(     ) A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】如图，分别作直线AB、BC、HG的延长线和反向延长线使它们交于点B、Q、P. ∵六边形ABCDEF的六个角都是120°， ∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°. ∴△APH、△BEF、△DHG、△CQG都是等边三角形． ∴EF=BE=BF=1，DG=HG=HD=2. ∴FC=5-1=4，AH=5-2= 3，CG=CD-DG=4−2=2. ∴六边形的周长为1+3+3+2+2+4=15. 故选B. 1．（23-24八年级下·上海普陀·期中）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内，若求五边形 DECHF的周长，则只需知道（   ） A．△ABC的周长 B．△AFH的周长 C．△BDE或△FGH的周长 D．四边形ADEC的周长 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论． 【详解】解：∵△GFH为等边三角形， ∴FH＝GH，∠FHG＝60°， ∴∠AHF+∠GHC＝120°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°， ∴∠GHC+∠HGC＝120°， ∴∠AHF＝∠HGC， ∴△AFH≌△CHG（AAS）， ∴AF＝CH． ∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形， ∴BE＝FH， ∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF ＝BD+CE+AF+BE+DF ＝（BD+DF+AF）+（CE+BE）， ＝AB+BC． ∴只需知道△ABC的周长即可． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是 ． 【答案】/16厘米 【分析】根据轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：∵主体部分(四边形)关于所在的直线对称， ，， ∴四边形的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，四边形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． 3．（23-24八年级下·上海青浦·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【答案】（1）20（2）不正确 【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数； （2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值. 试题解析：（1）a=60÷3=20； （2）此说法不正确． 理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b， 但可令a=b，得， ∴60n+420=67n， 解得n=60， 经检验n=60是方程的根． ∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60． 点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点. 【经典例题五 网格中多边形面积比较】 【例5】（23-24八年级下·重庆合川·期中）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（　 　） A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 【答案】B 【详解】试题分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答． 试题解析：如图： 小方格都是边长为1的正方形， ∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25 S△AED=DE•AE=×1×2=1， S△DCH=•CH•DH=×2×4=4， S△BCG=BG•GC=×2×3=3， S△AFB=FB•AF=×3×3=4．5． S四边形ABCD=S□EFGH-S△AED-S△DCH-S△BCG-S△AFB=25-1-4-3-4．5=12．5． 故选B． 考点：三角形的面积． 1．（2024·上海金山·模拟预测）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系． 【详解】观察图形可得 ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系． 2．（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ． 【答案】12 【分析】四边形的面积等于正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 【详解】解：如图， 小方格都是边长为l的正方形， 四边形EFGH是正方形，S正方形EFGH， ， ， ， ， S四边形ABCD= S正方形EFGH． 故答案为：12． 【点睛】本题考查不规则图形的面积计算，求出此大正方形的面积和三角形的面积是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海青浦·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据图形平移的性质分别找到平移前后对应的顶点位置，然后连线即可； （2）采用割补方法，利用矩形面积减去多余直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：通过观察，发现点向右移动格，向下移动格即可得到对应点，将点、按照同样的平移方式，即可分别得到对应点、，然后顺次连接即可得到如下三角形，    （2）解：由图像可得， 则三角形的面积为． 【点睛】本题考查了图像的平移，网格中三角形的面积计算，掌握网格中图像平移的性质并掌握网格中的面积计算是解题关键． 【经典例题六 对角线分成的三角形个数问题】 【例6】（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案 【详解】解：设这个多边形的边数是边形， 根据题意可得：， 解得：， 这个多边形的边数是7， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形． 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】根据多边形的定义，多边形对角线，角的大小，周角等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形，判断错误； ②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形，判断正确； ③角的边越长，角越大，判断错误； ④一条射线就是一个周角，判断错误． 故选：A 【点睛】本题考查了多边形、角等知识，理解多边形、多边形对角线、角、周角的概念是解题关键． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． （1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是 ； （2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数 ． 【答案】 122 【分析】本题主要考查多边形的性质、图形的规律等知识，发现从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为成为解题的关键． （1）由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答； （2）根据（1）得到的规律求得n的值即可． 【详解】解：（1）由图中可以看出： 四边形被分为个三角形， 五边形被分为个三角形， 六边形被分为个三角形， ， 边形被分为个三角形． 故本题答案为：． （2）当时，． 故答案为：122． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 【答案】(1)有关系．题图①中，三角形的个数多边形的边数；题图②中，三角形的个数多边形的边数；题图③中，三角形的个数多边形的边数 (2)用上述三种方法分割边形所得三角形的个数分别为：，， 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、图形规律等知识点，掌握从特殊中发现规律，进而推广到一般成为解题的关键． （1）观察图形即可解答； （2）根据（1）所得的规律进行归纳即可解答． 【详解】（1）解：有关系，关系如下： 如图①中，三角形的个数多边形的边数； 如图②中，三角形的个数多边形的边数； 如图③中，三角形的个数多边形的边数． （2）解：结合特殊图形，可以发现： 如图①中，三角形的个数； 如图②中，三角形的个数； 如图③中，三角形的个数． 【经典例题七 多边形对角线的条数问题】 【例7】（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发可以画条对角线，那么这个多边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的对角线（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线）．解题的关键：边形从一个顶点出发可引出条对角线，其内角和为．据此解答即可． 【详解】解：设多边形的边数为， ∵从这个多边形的一个顶点出发可以画条对角线， ∴， 解得：， ∴， ∴这个多边形的内角和为． 故选：B． 1．（24-25八年级下·上海青浦·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：C． 2．（2024八年级下·上海嘉定·阶段练习）过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ． 【答案】216 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线．从n个顶点出发引出条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：，且n为整数，可得到m、n、p的值，进而可得答案． 【详解】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线， ∴， 解得，； n边形没有对角线，； ∵五边形有p条对角线， ∴， 所以． 故答案为：216． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【答案】(1)2；5；9；14 (2)； (3) (4)54条 【分析】本题考查的是多边形的对角线的数量的探究； （1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可； （2）根据从1个顶点出发的对角线的数量，可得答案； （3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可； （4）利用（3）的规律，把代入计算即可． 【详解】（1）解：一个四边形有条对角线； 一个五边形有条对角线； 一个六边形有条对角线； 一个七边形有条对角线； （2）解：由（1）归纳总结可得： 由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线； （3）解：由（1）归纳总结可得： 一个n边形有条对角线． （4）解：当时， 一个十二边形有条对角线． 【经典例题八 多边形内角和问题】 【例8】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，点A是半径为5的上任意一点，以点A为圆心，为半径画弧，交于点B，以点B为圆心，为半径画弧交于点C，同上述作图方法逆时针作出点D，E，F，依次连接，则这个多边形的内角和度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和“一个多边形的内角和等于，其中为多边形的边数，，且为整数”，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和公式求解即可得． 【详解】解：由六边形的内角和得：这个多边形的内角和度数为， 故选：A． 1．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个等边三角形则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，设原三角形的三个顶点为，由等边三角形的性质可得，再根据五边形的内角和定理即可求解，解题的关键是熟练运用多边形内角和公式，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设原三角形 得三个顶点为， 解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∵右边图形为五边形，内角和为， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，一个六边形纸片上剪去一个四边形后，得到，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了多边形的内角和公式．由多边形的内角和公式，即可求得六边形的内角和，又由，即可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵六边形的内角和为：，且， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，四边形中，是边上的点，，交于点，．    (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角和，三角形的内角和定理的应用． （1）根据垂直的定义，四边形的内角和是进行计算即可； （2）根据平角的定义以及已知条件得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【经典例题九 正多边形的内角问题】 【例9】（24-25八年级下·上海虹口·期中）一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的特点、多边形内角和公式、等腰三角形的性质，根据正多边形特点算出正六边形和正五边形的一个内角，推出，再利用等腰三角形的性质，即可得出． 【详解】解：由题知，， ， 由多边形内角和公式可知正六边形的一个内角为， 正五边形的一个内角为， ， ． 故选：D． 1．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠1的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角，三角形的外角，先求出正方形和正五边形的一个内角的度数，进而求出的度数，利用三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：如图： ∵正方形的一个内角的度数为90度，正五边形的一个内角的度数为， ∴， ∴； 故选B 2．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图，在正七边形中延长交于点P，那么 °． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形内角和三角形外角的性质，熟记正多边形内角和公式是解题的关键； 延长交于点H，根据正多边形内角和公式得出每个内角度数，然后得出邻补角，再根据三角形外角的性质，等量代换即可解答． 【详解】解：如图延长交于点H， ，正七边形的每个内角为 ， ， ，， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·天津和平·期中）如图1， 点分别是正五边形的边上的点，且 交于点P． (1)求 的度数； (2)将上述正五边形改成正六边形，如图2，其他条件不变，则=   ． (3)探究： 改成正 n边形 ，其他条件不变，则 ．（用含有n的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正五边形、正六边形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）利用正五边形的性质得出，，再证明，然后全等三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质及等量代换即可解答； （2）根据（1）的方法解答即可； （3）根据（1）的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵正五边形， ∴，， 在和中 ， ； ∴， ∴． （2）解：∵正六边形， ∴，， 在和中 ， ； ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵正n边形， ∴，， 在和中 ， ； ∴， ∴． 故答案为：． 【经典例题十 多（少）算一个角问题】 【例10】（23-24八年级下·上海长宁·期末）已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）若六边形的最大内角为度，则必有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和和多边形的内角和即可得出答案. 【详解】∵六边形可分为4个三角形，每个三角形的内角和180° ∴m<180° 又∵六边形的内角和为720° 当六边形为正六边形时，6个内角都相等，此时m最小，每个内角=720°÷6=120° 故120°≤m＜180° 故答案选择C. 【点睛】本题考查的是三角形和多边形的内角和，难度适中，需要熟练掌握相关基础知识. 2．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 【答案】 /45度 八 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键，首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数． 【详解】解：解：由题意可知：多加的内角为． 解得． ∵n为正整数， ∴． ∴多加的内角为：． 故多加的这个内角是，这个多边形是八边形． 故答案为：，八． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）小军求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到 (1)求少加的这个内角的度数． (2)通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1) (2)不是正多边形，计算见解析 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，牢记多边形内角和公式是解题的关键． （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则：， 解得：， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴少加的这个内角的度数为：； （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为：， ∴它的边数应等于， 由（1）可知，这个多边形的边数为， ∴这个多边形不是正多边形． 【经典例题十一 多边形截角后的内角和问题】 【例11】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 1．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 【答案】C 【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：n边形的内角和是，外角和 边数增加1，则新的多边形的内角和是：， 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°， 所以淇淇说的对，其他的值为360°或180°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个是解决本题的关键． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是 边形． 【答案】五或六或七 【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，再分三种情况考虑截角，即可得出答案． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是， ， 解得：， 包装盒的底面是六边形， 如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形； 如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形； 如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形． 故答案为：五或六或七． 【点睛】本题考查多边形知识，注意截去一个角有三种情况需要考虑． 3．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】（1）见解析；（2）12或13或14． 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理： （1）n边形内角和为，那么每增加一条边，对应的多边形内角和就增加180度，据此可知①的多边形边数为5，②的多边形边数为6，③的多边形边数为4，据此作图即可； （2）先根据多边形内角和计算公式求出新多边形的边数，再根据（1）进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）设新的多边形边数为n， 由题意得，， 解得， ∴新多边形的边数为13， 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为13； 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为12； 当原多边形内角和新多边形内角和时，原多边形的边数为14； 综上所述，原多边形的边数为12或13或14． 【经典例题十二 复杂图形的内角和】 【例12】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 1．（2024·上海崇明·三模）如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接CD，设AD与BC交于点O，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根据各角的关系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论． 【详解】解：连接CD，设AD与BC交于点O ∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，， ∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540° ∴∠ODC＋∠OCD=72° ∵∠AOB=∠COD ∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72° 故选B． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是解决此题的关键． 2．（2024九年级·全国·专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 【答案】1080° 【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数． 【详解】解：连KF，GI，如图， ∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°． 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°． 故答案为：1080°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 3．（2024九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 【经典例题十三 正多边形的外角问题】 【例13】（23-24八年级下·上海青浦·期末）将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角和以及邻补角的性质，三角形的内角和定理等知识．根据正多边形的外角和，分别得出，，根据邻补角的性质，分别得出，的度数，据此求解即可． 【详解】解：由正多边形外角和等于可得： ，， ， ， ∴． ∴． 故选：B． 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，若要围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．不存在满足条件的的值 【答案】C 【分析】根据题中条件，先求出正五边形内角，根据拼接的是正多边形，每一个外角都相等，从而由多边形外角和为求解，即可得到答案． 【详解】解：对于正五边形，每一个内角为， ∵两个正五边形拼成一个角， ∴， 题中是由两个正五边形与一个正多边形的内角拼成一个周角， 则拼接成的正多边形内角为， ∴拼成的正多边形的一个外角为， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可． 【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等， ， ， ， 则该正多边形的边数为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的外角和等于，即可求解； （2）用多边形的边数乘以的长，即可求解； （3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：15 （2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形， ∴这n边形的周长为（米）； 故答案为：150 （3）解：设这个多边形有条边， 根据题意，得， 解得，                ∴这个正m边形的每一个内角的度数为． 【经典例题十四 多边形外角和的实际应用】 【例14】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查三角形外角的性质及多边形的外角和，根据题意，利用三角形外角得出，然后利用多边形外角和求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 1．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于列出等式计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于是解题的关键． 【详解】解：等边三角形的每个内角为， 正方形的每个内角为， 正五边形的每个内角为， 如图，    ∵的外角和等于， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·上海虹口·期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，求出2024边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据圆的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵2024边形的外角和， ∴图中阴影部分的面积之和， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）求下列图中的的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，三角形内角和定理，多边形外角和，解题的关键在于根据图形建立等量关系． （1）根据图形以及三角形内角和建立等量关系，即可解题； （2）根据图形以及多边形外角和建立等量关系，即可解题． 【详解】（1）解：由图知， ； （2）解：由图知， ． 【经典例题十五 多边形内角和与外角和综合】 【例15】（23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角的求法，三角形内角和，求出每个正五边形和正方形的内角度数和每个外角度数． 【详解】解：如图所示： ∵正五边形的每个外角是，正方形的外角是， ∴， 又∵正五边形每个内角是，正方形的内角是， ∴， 故选：C． 1．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图所示，是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，连接、，利用任意凸多边形的外角和均为正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可，熟记公式是解答本题的关键． 【详解】解：连接、， 多边形的每个外角相等，且其和为 据此可得多边形的边数为： ， 故选：． 2．（2024·上海青浦·二模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的内角和为 ． 【答案】/1260度 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握圆周角定理．先连接，，根据已知条件判断点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上，然后根据圆周角定理和已知条件求出的度数，从而求出多边形的边数，最后根据多边形内角和公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示：连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数为：， 这个正多边形的内角和为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）请看图解答下列问题： (1)错把外角当内角的那个外角的度数是多少？ (2)小华求的是几边形的内角和？ 【答案】(1) (2)十三边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟练掌握正确运用多边形的内角和公式． （1）根据多边形内角和一定是180度的倍数，依此即可求解； （2）根据多算的外角度数求出多边形内角和，再根据多边形内角和公式求出边数即可． 【详解】（1）解：． 又多算了一个外角， 外角度数为； （2）解：由（1）可知多边形内角和为 设小华求的是边形内角和， ， 解得：， 小华求的是十三边形的内角和． 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】已知多边形的外角和为，结合题意，利用多边形的内角和公式列方程并解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 则， 解得：， 即这个多边形的边数是14． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，利用方程思想将外角和与内角和建立等量关系是解题的关键． 2．（23-24八年级·全国·单元测试）利用边长相等的正三角形和正六边形地板砖镶嵌地面，在每个顶点周围有块正三角形和块正六边形地板砖，则的值为（    ） A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．4 【答案】B 【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌． 【详解】∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°， 60°×4+120°=360°，或60°×2+120°×2=360°， ∴a=4，b=1或a=2，b=2， ①当a=4，b=1时，a+b=5； ②当a=2，b=2时，a+b=4． 故选B． 【点睛】解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，六边形ABCDEF中，，，，，，则的度数为（    ） A．120° B．125° C．130° D．140° 【答案】C 【分析】延长与的延长线交于点G，根据两直线平行，同旁内角互补求出，根据垂直的定义可得 ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，即的度数，再根据五边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：如解图，延长交的延长线于点， ∵，， ， ， ， ∵， 根据多边形内角和可知， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和，平行线的性质，熟记公式并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 4．（24-25八年级下·上海松江·期末）某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查正多边形，解决本题的关键是掌握正多边形内角和与外角和公式． 先求出正六边形的每一个内角的度数，可求出的度数，再由三角形内角和定理可得，从而得到正边形的每一个内角的度数，即可求解． 【详解】解：∵图2的外轮廓是正六边形， ∴正六边形的每一个外角的度数为， ∴正六边形的每一个内角的度数为， ∴， ∴， ∴正边形的每一个内角的度数为， ∴， 解得：． 故选：C 5．（24-25八年级下·上海青浦·期中）阅读下列材料，回答下面的问题． 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是． 现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题： 和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是________； A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，平面镶嵌时在拼接点处的内角度数和为，正五边形的一个内角为，还剩下，而，所以还需要一个正五边形和一个正十边形，所以一个拼接点处应有个正五边形和个正十边形． 【详解】解：正五边形一个内角为， 正四边形一个内角为， 正六边形一个内角为， 正十边形一个内角为， 正十二边形一个内角为， 与正五边形进行镶嵌，在每个拼接点处内角的和应为， ， 而， 内角为的是正十边形， 所以一个拼接点处应有个正五边形和个正十边形． 故选：C． 6．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度． 【答案】80 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，设多边形的边数为x，根据多边形的内角一定大于0，且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，可以求出多边形的边数为14，再利用内角和公式即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为x， 由题意得， 解得：， 多边形的边数是14， 则这个内角是， 故答案为80． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）一个正n边形的每个内角是它的外角的2倍，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是正多边形的内角和与外角和的综合，熟记多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补是解本题的关键．由多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补先求解每一个外角，从而可得答案． 【详解】解：∵一个正n多边形的一个内角是它的外角的2倍， ∴正多边形的每一个外角为：， ∴， 故答案为：6． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在正八边形的外侧作正五边形，连结，，则的大小为 度． 【答案】54 【分析】先根据正六方形和正八边形的内角和其每个角度数，再根据及三角形内角和定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵多边形是正八方形， ∴ ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， .故答案为：54． 9．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）在某市一个正八边形的广场上每个顶点处安装一个安全监控摄像头（俯视图如图所示），每个摄像头的视野夹角相同，点处的摄像头视野边沿恰好经过点和点，则摄像头的视野夹角的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查正八边形性质，四边形内角和，等腰三角形性质等．根据题意先计算出正八边形各个内角度数，再计算出和，继而得到，再计算出四边形内角和度数，继而求出本题答案． 【详解】解：∵正八边形各个内角度数：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，边数为，观察每个正边形中的变化情况，当时， ． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的内角和外角和计算，分别计算正三角形，正四边形，正五边形中的值，找到计算思路，据此求出当时的度数，熟练掌握正多边形外角和及内角与外角的关系是解题的关键 【详解】解：正三角形中， ， 正四边形的每个内角为，， 正五边形的每一个内角为，， 正六边形的每一个内角为，， 依次类推，正n边形的每一个内角为， 则， ∴当时，． 故答案为： 11．（24-25八年级下·上海金山·期中）（1）根据图中的相关数据，求出的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题关键是牢记边形的内角和是，外角和是． （1）利用四边形内角和是列出方程即可求解； （2）利用内角和公式及外角和是，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形内角和是， ∴， ∴， ∴； （2）设这个多边形的边数为n， ， ， ∴边数为6． 12．（23-24八年级下·上海崇明·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如下图，把向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出； (2)连接，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图-平移变换、四边形的面积等知识点，灵活运用利用分割法求四边形的面积是解题的关键． （1）利用平移变换分别作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）利用分割法求四边形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图：连接． ． 14．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据五边形内角和求解即可； （2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）五边形广场的内角和， 故答案为：； （2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度， 故答案为：； （3）延长NE交AB于点F    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在五边形中 ∴ 【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点． 15．（24-25八年级下·上海长宁·期末）【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 【答案】(1)；； (2)①③ (3)或 (4)； 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌． （1）根据正n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数的整数倍是即可解答； （3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解； （4）根据正五边形每一个内角的度数即可求解． 【详解】（1）解：正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， 故答案为：；；． （2）解：由（1）可求， 正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：由题意，得， 其正整数解为或． （4）解：∵正五边形的内角为， ∴，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 多边形重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 多边形的概念与分类 题型二 平面镶嵌 题型三 多边形截角后的边数问题 题型四 多边形的周长 题型五 网格中多边形面积比较 题型六 对角线分成的三角形个数问题 题型七 多边形对角线的条数问题 题型八 多边形内角和问题 题型九 正多边形的内角问题 题型十 多（少）算一个角问题 题型十一 多边形截角后的内角和问题 题型十二 复杂图形的内角和 题型十三 正多边形的外角问题 题型十四 多边形外角和的实际应用 题型十五 多边形内角和与外角和综合 知识点01 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2） 正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点02 多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 【经典例题一 多边形的概念与分类】 【例1】（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，把边长为12的等边三角形纸板剪去三个小等边三角形，得到正六边形，则剪去的小等边三角形的边长为(  ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·上海松江·模拟预测）将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为 ． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图，在正五边形中，，F为垂足．求证：．    【经典例题二 平面镶嵌】 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（　　）    A．12 B．10 C．18 D．6 1．（2024八年级下·全国·专题练习）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海金山·期中）工人师傅用边长均是的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长为的正多边形地砖无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的周长是 ． 3．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 … 正多边形每个内角的度数 … (2)如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ (3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 【经典例题三 多边形截角后的边数问题】 【例3】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 2．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 3．（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【经典例题四 多边形的周长】 【例4】（2024·上海闵行·一模）如图，□ABCD纸片，∠A=120°，AB=4，BC=5，剪掉两个角后，得到六边形AEFCGH ,它的每个内角都是120°，且EF=1，HG=2，则这个六边形的周长为(     ) A．12 B．15 C．16 D．18 1．（23-24八年级下·上海普陀·期中）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内，若求五边形 DECHF的周长，则只需知道（   ） A．△ABC的周长 B．△AFH的周长 C．△BDE或△FGH的周长 D．四边形ADEC的周长 2．（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形)关于所在的直线对称，与相交于点O，若，，则四边形的周长是 ． 3．（23-24八年级下·上海青浦·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【经典例题五 网格中多边形面积比较】 【例5】（23-24八年级下·重庆合川·期中）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（　 　） A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 1．（2024·上海金山·模拟预测）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ． 3．（23-24八年级下·上海青浦·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【经典例题六 对角线分成的三角形个数问题】 【例6】（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． （1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是 ； （2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 【经典例题七 多边形对角线的条数问题】 【例7】（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发可以画条对角线，那么这个多边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·上海青浦·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 2．（2024八年级下·上海嘉定·阶段练习）过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【经典例题八 多边形内角和问题】 【例8】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，点A是半径为5的上任意一点，以点A为圆心，为半径画弧，交于点B，以点B为圆心，为半径画弧交于点C，同上述作图方法逆时针作出点D，E，F，依次连接，则这个多边形的内角和度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个等边三角形则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，一个六边形纸片上剪去一个四边形后，得到，则 ． 3．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，四边形中，是边上的点，，交于点，．    (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【经典例题九 正多边形的内角问题】 【例9】（24-25八年级下·上海虹口·期中）一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠1的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图，在正七边形中延长交于点P，那么 °． 3．（24-25八年级下·天津和平·期中）如图1， 点分别是正五边形的边上的点，且 交于点P． (1)求 的度数； (2)将上述正五边形改成正六边形，如图2，其他条件不变，则=   ． (3)探究： 改成正 n边形 ，其他条件不变，则 ．（用含有n的式子表示） 【经典例题十 多（少）算一个角问题】 【例10】（23-24八年级下·上海长宁·期末）已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）若六边形的最大内角为度，则必有（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）小军求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到 (1)求少加的这个内角的度数． (2)通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【经典例题十一 多边形截角后的内角和问题】 【例11】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 1．（23-24八年级下·上海静安·阶段练习）将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 2．（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是 边形． 3．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【经典例题十二 复杂图形的内角和】 【例12】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海崇明·三模）如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 3．（2024九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【经典例题十三 正多边形的外角问题】 【例13】（23-24八年级下·上海青浦·期末）将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（   ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，若要围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．不存在满足条件的的值 2．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为 ． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 【经典例题十四 多边形外角和的实际应用】 【例14】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海虹口·期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 3．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）求下列图中的的值． (1) (2) 【经典例题十五 多边形内角和与外角和综合】 【例15】（23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图所示，是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海青浦·二模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的内角和为 ． 3．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）请看图解答下列问题： (1)错把外角当内角的那个外角的度数是多少？ (2)小华求的是几边形的内角和？ 1．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．（23-24八年级·全国·单元测试）利用边长相等的正三角形和正六边形地板砖镶嵌地面，在每个顶点周围有块正三角形和块正六边形地板砖，则的值为（    ） A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．4 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，六边形ABCDEF中，，，，，，则的度数为（    ） A．120° B．125° C．130° D．140° 4．（24-25八年级下·上海松江·期末）某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（24-25八年级下·上海青浦·期中）阅读下列材料，回答下面的问题． 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是． 现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题： 和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是________； A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形 6．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）一个正n边形的每个内角是它的外角的2倍，则 ． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在正八边形的外侧作正五边形，连结，，则的大小为 度． 9．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）在某市一个正八边形的广场上每个顶点处安装一个安全监控摄像头（俯视图如图所示），每个摄像头的视野夹角相同，点处的摄像头视野边沿恰好经过点和点，则摄像头的视野夹角的度数为 ． 10．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，边数为，观察每个正边形中的变化情况，当时， ． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 11．（24-25八年级下·上海金山·期中）（1）根据图中的相关数据，求出的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 12．（23-24八年级下·上海崇明·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如下图，把向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出； (2)连接，求四边形的面积． 14．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 15．（24-25八年级下·上海长宁·期末）【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$