专题2.3 一元一次不等式与一次函数【八大题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题2.3 一元一次不等式与一次函数【八大题型】 【北师大版】 【题型1 利用一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集】 2 【题型2 由两直线的交点求不等式的解集】 4 【题型3 根据不等式的解集求交点】 7 【题型4 一元一次不等式组与一次函数】 8 【题型5 根据函数图象求最值】 11 【题型6 一元一次不等式（组）与函数的多结论问题】 14 【题型7 不等式（组）、方程（组）与函数的综合探究】 18 【题型8 函数图象与不等式（组）的应用】 23 知识点1：一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围. 一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下： 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，时的取值范围 不等式的解集在函数中，时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的的取值范围 【拓展】 直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围.如图所示，方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为. 【题型1 利用一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】（24-25八年级·安徽合肥·期末）的图象如图所示，关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图象得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：从图象知，函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， 即关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题意可知当时，，结合函数图象可得时，．本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． 【详解】解：， ， 函数的图象经过点， 当时，， 由图象可得，时，， 故答案为： 【变式1-2】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图为一次函数的图象，不等式的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分所有的点的横坐标所构成的集合；直接根据图像解答即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如图，一次函数的图象与x轴和y轴的交点分别为、，求关于x的不等式的解集 ．    【答案】 【分析】直接根据函数的图象与y轴的交点为进行解答即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知，函数值y随x的增大而增大， ∵一次函数的图象与y轴交于点， ∴当时，关于x的不等式． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 【题型2 由两直线的交点求不等式的解集】 【例2】（23-24八年级·河南郑州·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．先求出的值，再根据图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：将点代入， 得， 解得， ， 根据图象，不等的解集为， 故选：A 【变式2-1】（23-24八年级·湖南长沙·期末）一次函数与的图象如图所示，其交点，则不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象，可知：当时，直线在直线的上方， 不等式的解集为． 在数轴上表示为： ． 故选：C． 【变式2-2】（23-24八年级·安徽宿州·期末）一次函数的图象经过点，两点，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的图象及性质与一元一次不等式的解集的关系是解决此题的关键． 首先求出一次函数的解析式为，然后和联立求出交点坐标为，然后画出图象求解即可． 【详解】∵一次函数的图象经过点，两点， ∴ ∴ ∴ ∴联立和得， 解得 ∴函数和交于点 ∴如图所示， ∴由图象可得，当时，函数的图象在函数图象的上面 ∴的解集是． 故选：A． 【变式2-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图所示，直线和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是求出点坐标．首先把代入，求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式解集即可． 【详解】解：把点代入得， ， 解得：， ， 不等式可变为：， 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在一些函数的上面， 不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：B． 【题型3 根据不等式的解集求交点】 【例3】（23-24八年级·四川德阳·期末）已知关于x的不等式的解集是，则直线与x轴的交点是 ． 【答案】 【分析】根据直线与x轴的交点坐标为当时对应的坐标，再结合关于x的不等式的解集是即可得到结果． 【详解】∵关于x的不等式的解集是, ∴直线与x轴的交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查由不等式的解集求其相关一次函数图象与坐标轴的交点坐标．熟练掌握一次函数图象与坐标轴的交点坐标和一元一次不等式的解集的关系是解题的关键． 【变式3-1】（23-24八年级·江苏南通·假期作业）已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】把代入任一函数解析式即可得到结果． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴直线与的交点的横坐标为2， 当时，， 则直线与的交点坐标是． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式与一次函数，解答本题的关键是熟练掌握两个一次函数图象的交点坐标适合这两个一函数解析式． 【变式3-2】（23-24八年级·全国·课后作业）已知直线和，当时，；当时，则直线与的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，交点的横坐标为3，代入直线解析式即可求解． 【详解】解：由题意可得，直线与的交点横坐标为3 将代入直线，得，即交点坐标为 故答案为 【点睛】此题考查了求解直线的交点坐标，理解一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 【变式3-3】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）若关于x的不等式mx－1＞0(m≠0)的解集是x＞1，则直线y＝mx－1与x轴的交点坐标是 . 【答案】(1，0) 【详解】试题解析：∵关于x的不等式ax-1＞0（a≠0）的解集为x>1，不等式的解集中自变量的取值是相对于直线与x轴的交点来说的， ∴直线y=ax-1与x轴的交点是（1，0）． 故答案为（1，0） 【题型4 一元一次不等式组与一次函数】 【例4】（23-24八年级·河北保定·期末）一次函数直线与（）的交点横坐标为，则关于的不等式的整数解为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与不等式组的解集的关系．先求出直线与x轴的交点坐标为，观察图象得：当时，直线在直线的上方，且直线在x轴的上方，可得关于的不等式的解集为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当，即时，， 即直线与x轴的交点坐标为， ∵一次函数直线与（）的交点横坐标为， 观察图象得：当时，直线在直线的上方，且直线在x轴的上方， ∴关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式的整数解为． 故选：B 【变式4-1】（23-24八年级·湖北黄冈·期末）如图，直线y=kx+b（k≠0）与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，3），则关于x的不等式0＜kx+b＜3的解集是 ． 【答案】0＜x＜2 【分析】根据一次函数的性质得出y随x的增大而增大，当x<2时，y<0，即可求出答案． 【详解】∵直线y=kx+b(k>0)与x轴的交点为(2,0),与y轴的交点为(0,3)， ∴y随x的增大而减小， 当x<2时，y0， 即kx+b0， 当x时，y3， 即kx+b3， 0<kx+b<3的解集为：0<x<2， 故答案为0<x<2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，灵活运用一次函数的性质是解题的关键． 【变式4-2】（23-24八年级·四川绵阳·期末）若直线与直线的交点坐标为, 则不等的解集是 ． 【答案】 【分析】把（1，k）代入y1＝ax＋2得到a＝k−2，求得y1＝（k−2）x＋2，解kx−3＜（k−2）x＋2，得到x＜1；解（k−2）x＋2＜kx，得到x＞，于是得到结论． 【详解】把（1，k）代入y1＝ax＋2，可得 k＝a＋2， 解得a＝k−2， ∴y1＝（k−2）x＋2， 令y3＝kx−3，则 当y3＜y1时，kx−3＜（k−2）x＋2， 解得x＜1； 当ax＋2＜kx时，（k−2）x＋2＜kx， 解得x＞， ∴不等式组kx−3＜ax＋2＜kx的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【变式4-3】（23-24八年级·湖北十堰·期中）如图，直线与的交点坐标为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由直线与的交点坐标为，利用图像法即可解决问题． 【详解】解：∵直线与的交点坐标为， ∴的解集是：， 把代入：得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴与轴交于， 的解集为， 不等式的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图像法解不等式问题． 【题型5 根据函数图象求最值】 【例5】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）已知直线，，，若无论x取何值，y总是取，，中的最小值，则y的最大值是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，根据题意可得y所表示的函数图象为图象在点A下方的那部分函数图象包含点A，线段，以及在点B下方的函数图象（包含）点B，据此联立函数解析式求出点A和点B的坐标即可得到答案． 【详解】解：联立，解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∵无论x取何值，y总是取，，中的最小值， ∴y所表示的函数图象为图象在点A下方的那部分函数图象包含点A，线段，以及在点B下方的函数图象（包含）点B， ∴y的最大值是2， 故选：D． 【变式5-1】（2024·山东济宁·三模）已知无论x取何值，y总是取与中的最小值，则y的最大值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题意可知，y的最大值就是两函数相交时y的值，联立两方程求出y的值即可． 【详解】解：由题意得，当y1=y2时，x+1=-2x+4， 解得x=1， ∴y=1+1=2， ∵当时，；当x>1时，， ∴y的最大值为2， 故选：C． 【点睛】此题考查了求两条直线的交点坐标，正确理解题意是解题的关键． 【变式5-2】（23-24八年级·福建宁德·期中）定义：对于实数a，b，符号max{a，b}表示：当a≥b时，max{a，b}= a，当a＜b时，max{a，b}= b．例如max{-3，5}=5，max{2，1}=2．若关于x的函数y = max{x-2，-2x+1}，则该函数的最小值为 ． 【答案】-1 【解析】联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值． 【详解】解：联立两函数解析式成方程组，得： ， 解得：． ∴当x＜1时，y=max{x-2，-2x+1}=-2x+1＞-1； 当x≥1时，y=max{x-2，-2x+1}=x-2≥-1． ∴函数y=max{x-2，-2x+1}最小值为-1． 故答案为-1． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，联立两函数解析式成方程组求出交点坐标是解题的关键． 【变式5-3】（23-24八年级·四川达州·期中）已知，整数满足，对任意一个，p都取中的大值，则p的最小值是（    ） A．4 B．1 C．2 D．-5 【答案】C 【分析】先画出两个函数的图象，然后联立解析式即可求出两个函数的交点坐标，然后根据图象对x分类讨论，分别求出对应p的取值范围，即可求出p的最小值． 【详解】，的图象如图所示 联立，解得： ∴直线与直线的交点坐标为（1,2）， ∵对任意一个x，p都取 中的较大值 由图象可知：当时，＜，＞2 ∴此时p=＞2； 当x=1时，==2， ∴此时p===2； 当时，＞，＞2 ∴此时p=＞2． 综上所述：p≥2 ∴p的最小值是2． 故选：C． 【点睛】此题考查的是画一次函数的图象、求两个一次函数的交点坐标和比较函数值的大小，掌握一次函数的图象的画法、联立函数解析式求交点坐标、根据图象比较函数值大小是解决此题的关键． 【题型6 一元一次不等式（组）与函数的多结论问题】 【例6】（23-24八年级·安徽合肥·期末）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第四象限；③不等式的解集是；④其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的性质和一次函数与不等式的关系．根据图象判断出a，b，c，d的正负，结合两直线交点的横坐标为4，逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得：，，，，两直线交点的横坐标为4， ， ， 对于函数来说，y随x的增大而减少，故①错误； ，， 函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②正确； 由图可得，当时，直线在直线的上方， 的解集为， 的解集是，故③正确； 两直线交点的横坐标为4， ， ，故④正确； 综上可知，正确的有②③④． 故选：C． 【变式6-1】（23-24八年级·安徽合肥·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法： 随x的增大而减小；；关于x的方程的解为；当时，其中正确的是 请你将正确序号填在横线上 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对个小题分析判断即可得解． 【详解】由图可知： ①y随x的增大而增大，错误； ②b＞0，错误； ③关于x的方程kx+b=0的解为x=﹣2，正确； ④当x=﹣1时，y＞0，错误． 故答案为③． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键． 【变式6-2】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知直线与直线的交点横坐标为，根据图像有以下结论：①；②；③对于直线上任意两点，，若，则；④是不等式的解集．其中正确的结论有 ． 【答案】①④ 【分析】根据一次函数的性质、结合图形解答． 【详解】解：由图可知，向右下方倾斜，交轴正半轴， 所以，，故①正确； 中k=1，故y是随着x的增大而增大的， 即对于直线上任意两点，，若，则， 故②③错误； 观察图像可知，当时，，所以④正确 故答案为：①④ 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【变式6-3】（23-24八年级·河南商丘·期末）如图，直线与交于点，直线与x轴的交点坐标为，则下列四个结论：①，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，正确记忆相关知识点是解题关键，根据正比例函数和一次函数的性质，结合图象判断即可，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断． 【详解】解：∵经过二，四象限， ∴， ∵经过一、二、三象限， ∴， 故①正确； ，当时，， 故②正确； 结合图象可得，当时，直线的图象在的图象下方，， 故③正确； 结合图象，当时，， ， ， ， 故④正确． 故选：D． 【题型7 不等式（组）、方程（组）与函数的综合探究】 【例7】（23-24八年级·河南漯河·期末）已知函数，请对该函数及图象进行如下探究： … 0 2 … … 0 0 … (1)选取适当的值补充表格，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象． (2)结合函数图象，写出该函数的一条性质． (3)结合上述函数的图象，直持写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2)时随的增大而增大，时随的增大而减小 (3) 【分析】此题考查函数的实际应用及根据函数图像解不等式，对函数的数形结合的掌握是关键． （1）把1代入函数求出或1，根据表格内容取1即可；把代入函数求出；再描点连线作图即可； （2）根据图像写出一条即可； （3）数形结合求出不等式的解集即可； 【详解】（1）当时，，当时，， 补充表格如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 画图如下： （2）性质不唯一，时随的增大而增大，时随的增大而减小等． （3）根据图象可知：两函数的图象交点是， ∴关于的不等式的解集：． 【变式7-1】（24-25八年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C． (1)求m的值； (2)根据图象，直接写出当时，x的取值范围 (3)若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据两个一次函数图象交于点 ，可求出，进而可得到一次函数解析式为，即可求出点A的坐标； （2）先求出点A、C的坐标，画出函数图象，根据图象得一次函数的图象在一次函数的图象下方时，x的取值范围，即可得出答案； （3）先求出，然后分两种情况：点P在点B下方，点P在点B上方，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与一次函数相交于点 ∴B点即在上也在上， 由可得：， ∴； （2）解：∵； ∴B点的坐标为； 把点B代入可得即， ∴一次函数解析式为， 当时，，得， 即点A的坐标为， 当时，，即点C的坐标为，函数图象如图所示： 观察图象，得：当 时，一次函数的图象在一次函数的图象下方时， ∴当时，x的取值范围为． （3）解：∵，，， ∴， 设点P的坐标为， 当点P在点B下方时，点P与点C重合时，与的面积相等，此时点P的坐标为， 当点P在点B上方时， ∴ 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一次函数相结合，一次函数图象的应用，用一次函数解不等式，求三角形的面积，求出两直线的交点坐标，利用一次函数与一元一次不等式的关系解不等式的数形结合思想解答问题是解题的关键． 【变式7-2】（24-25八年级·福建三明·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点B，点B的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量x的取值范围是______； (2)求一次函数的表达式； (3)点C为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点D，若，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)点C的坐标为或． 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式． （1）找到函数的图象在函数的图象的上方，自变量x的取值范围即可； （2）先求得，再利用待定系数法即可求解； （3）设点C的坐标为，得到点D的坐标为，根据题意列得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：观察图象得当时，函数的图象在函数的图象的上方， ∴当时，自变量x的取值范围是； 故答案为：； （2）解：∵正比例函数经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （3）解：设点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点C的坐标为或． 【变式7-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_______，_______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_______时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_______； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②；③存在最小值，最小值是 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象，注意数形结合； （1）把与的值分别代入函数式中即可求得对应a与b的值； （2）描点、连线即可画出函数图象； （3）①观察函数图象上升时自变量的取值范围即可； ②观察当时函数图象，即可确定的取值范围； ②观察函数图象是否存在最低点，则判断是否有最小值，若有，最低点的纵坐标是最小值． 【详解】（1）解：当时，；当时，； 故答案为：； （2）解：描点、连线得到的函数图象如下： （3）解：①由图象知，当时，图象是上升的，即函数值随自变量的增大而增大； 故答案为：； ②当时，即， 解得：或； ∴当时，由图象知，； 故答案为：； ③观察图象知，函数图象存在最低点，其纵坐标为， ∴函数存在最小值，最小值是． 【题型8 函数图象与不等式（组）的应用】 【例8】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）某装修市场出售A和B两种款式的瓷砖，两种瓷砖的进价和售价如下表： A款 B款 进货价（元/块） 80 60 销售价（元/块） 130 90 市场计划恰好用49000元进货两种瓷砖，且B款瓷砖的数量不少于A款，如何进货可以使利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】当A款进货350块，B款进350块时利润最大，最大利润为28000元． 【分析】设A款瓷砖进货x块，B款瓷砖进货y块，根据所用资金49000元，购进两款瓷砖，根据B款瓷砖的数量不少于A款，得出，列不等式，可求A款购进范围为，设瓷砖利润用w表示，根据两款利润列函数关系式为，根据函数性质k=10＞0，w随x的增大而增大，当x=350块时元即可． 【详解】解：设A款瓷砖进货x块，B款瓷砖进货y块， 根据题意得， 整理得， ∵B款瓷砖的数量不少于A款， ∴， ∴， 解得， 设瓷砖利润用w表示， ， ∵k=10＞0，w随x的增大而增大， 当x=350块时元， 此时x=350块，块， ∴当A款进货350块，B款进350块时利润最大，最大利润为28000元． 【点睛】本题考查二元一次方程应用，不等式应用，一次函数的应用，掌握二元一次方程，不等式，一次函数的性质是解题关键． 【变式8-1】（23-24八年级·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： (1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； (2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用． （1）利用待定系数法即可得到y与x的一次函数关系式； （2）根据（1）可以得出，再进行求解即可得出答案． 【详解】（1）设， 把，，代入得：， 解得， 即； （2）由， 得， 即至少放入个小球时有水溢出． 【变式8-2】（2024·河北衡水·模拟预测）A、B两地相距，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发．设甲车行驶的时间为x（），甲、乙两车离A地的距离分别为、，图中线段表示与x的函数关系． (1)甲车的速度为______； (2)若两车同时到达目的地，计算m的值，在图中画出与x的函数图象，并求甲车行驶几小时后与乙车相遇； (3)若甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇，直接写出m的范围． 【答案】(1)60 (2)，图见解析，甲车出发后与乙车相遇； (3)m的范围是． 【分析】（1）甲车的速度为； （2）求出乙车比甲车晚出发，即可画出图象，再求出，，联立解析式解方程组即可得到答案； （3）求得，，联立解方程组可得，根据甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇，可列，即可解得答案． 【详解】（1）解：由图可得，甲车的速度为， 故答案为：60； （2）解：∵乙车从B地以的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地， ∴乙车行驶时间为， ∵， ∴乙车比甲车晚出发， 画出与x的函数图象如下： 图象即为与x的函数图象， 由题意得， 设的函数表达式为，将代入，得， ∴， 由，解得， ∴甲车出发后与乙车相遇， 答：甲车出发后与乙车相遇； （3）解：根据题意得，， 由得：， 当时，， ∵甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇， ∴， 解得， ∴m的范围是． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解一元一次不等式，涉及待定系数法，解题的关键是数形结合数形的应用． 【变式8-3】（2024·吉林长春·模拟预测）小优和小秀家住同一小区，两人同时从小区门口出发到吉林省图书馆查阅资料，小区与图书馆的路程是3600米，小优骑自行车，小秀步行，当小优从小区到图书馆并原路原速返回到小区门口时，小秀刚好到达图书馆，图中折线和线段OD分别表示两人距离小区门口的路程与所经过的时间之间的函数关系． (1)小优在图书馆查阅资料的时间为______分钟，小秀的速度为______米/分钟； (2)求线段对应的函数表达式； (3)当小优与小秀相距不超过时，称为小优与小秀“互相可见”，则小优与小秀“互相可见”持续的时长为______分钟． 【答案】(1)16，75 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，熟练地运用待定系数法求函数解析式和用方程求交点坐标是解题的关键． （1）根据图象上所给的数据的实际意义，线段表示小优在图书馆查阅资料，可得答案，根据速度路程时间即可求解； （2）根据，利用待定系数法求解即可； （3）由题意可知线段的解析式为，线段的解析式为，分三种情况：当小优从小区到图书馆时，当小优在图书馆查阅资料时，当小优从图书馆回小区时，分别讨论进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，小优在图书馆查阅资料的时间为分钟， 小秀的速度为米/分钟， 故答案为：16，75； （2）设的解析式为， 将，，代入， 可得：，解得：， ∴线段对应的函数表达式为； （3）由题意可知，小优的速度为米/分钟， 线段的解析式为， 线段的解析式为， 当小优从小区到图书馆时，即：时，，解得：， 即：小优与小秀“互相可见”持续的时长为分钟； 当小优在图书馆查阅资料时，即：时，当时，两人相距米，当时，两人相距米，故此时不符合题意； 当小优从图书馆回小区时，即：时，，解得：， 即：小优与小秀“互相可见”持续的时长为分钟； 则 综上，小优与小秀“互相可见”持续的时长为分钟， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 一元一次不等式与一次函数【八大题型】 【北师大版】 【题型1 利用一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集】 2 【题型2 由两直线的交点求不等式的解集】 3 【题型3 根据不等式的解集求交点】 4 【题型4 一元一次不等式组与一次函数】 4 【题型5 根据函数图象求最值】 5 【题型6 一元一次不等式（组）与函数的多结论问题】 6 【题型7 不等式（组）、方程（组）与函数的综合探究】 7 【题型8 函数图象与不等式（组）的应用】 9 知识点1：一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围. 一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下： 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，时的取值范围 不等式的解集在函数中，时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在的部分所对应的的取值范围 【拓展】 直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围.如图所示，方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为. 【题型1 利用一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】（24-25八年级·安徽合肥·期末）的图象如图所示，关于x的不等式的解集是 ． 【变式1-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集是 ． 【变式1-2】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图为一次函数的图象，不等式的解为 ． 【变式1-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如图，一次函数的图象与x轴和y轴的交点分别为、，求关于x的不等式的解集 ．    【题型2 由两直线的交点求不等式的解集】 【例2】（23-24八年级·河南郑州·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级·湖南长沙·期末）一次函数与的图象如图所示，其交点，则不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级·安徽宿州·期末）一次函数的图象经过点，两点，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图所示，直线和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据不等式的解集求交点】 【例3】（23-24八年级·四川德阳·期末）已知关于x的不等式的解集是，则直线与x轴的交点是 ． 【变式3-1】（23-24八年级·江苏南通·假期作业）已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是 ． 【变式3-2】（23-24八年级·全国·课后作业）已知直线和，当时，；当时，则直线与的交点坐标为 ． 【变式3-3】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）若关于x的不等式mx－1＞0(m≠0)的解集是x＞1，则直线y＝mx－1与x轴的交点坐标是 . 【题型4 一元一次不等式组与一次函数】 【例4】（23-24八年级·河北保定·期末）一次函数直线与（）的交点横坐标为，则关于的不等式的整数解为（　　）    A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24八年级·湖北黄冈·期末）如图，直线y=kx+b（k≠0）与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，3），则关于x的不等式0＜kx+b＜3的解集是 ． 【变式4-2】（23-24八年级·四川绵阳·期末）若直线与直线的交点坐标为, 则不等的解集是 ． 【变式4-3】（23-24八年级·湖北十堰·期中）如图，直线与的交点坐标为，则关于的不等式的解集为 ． 【题型5 根据函数图象求最值】 【例5】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）已知直线，，，若无论x取何值，y总是取，，中的最小值，则y的最大值是（    ） A． B．3 C． D．2 【变式5-1】（2024·山东济宁·三模）已知无论x取何值，y总是取与中的最小值，则y的最大值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-2】（23-24八年级·福建宁德·期中）定义：对于实数a，b，符号max{a，b}表示：当a≥b时，max{a，b}= a，当a＜b时，max{a，b}= b．例如max{-3，5}=5，max{2，1}=2．若关于x的函数y = max{x-2，-2x+1}，则该函数的最小值为 ． 【变式5-3】（23-24八年级·四川达州·期中）已知，整数满足，对任意一个，p都取中的大值，则p的最小值是（    ） A．4 B．1 C．2 D．-5 【题型6 一元一次不等式（组）与函数的多结论问题】 【例6】（23-24八年级·安徽合肥·期末）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第四象限；③不等式的解集是；④其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】（23-24八年级·安徽合肥·阶段练习）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法： 随x的增大而减小；；关于x的方程的解为；当时，其中正确的是 请你将正确序号填在横线上 【变式6-2】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知直线与直线的交点横坐标为，根据图像有以下结论：①；②；③对于直线上任意两点，，若，则；④是不等式的解集．其中正确的结论有 ． 【变式6-3】（23-24八年级·河南商丘·期末）如图，直线与交于点，直线与x轴的交点坐标为，则下列四个结论：①，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7 不等式（组）、方程（组）与函数的综合探究】 【例7】（23-24八年级·河南漯河·期末）已知函数，请对该函数及图象进行如下探究： … 0 2 … … 0 0 … (1)选取适当的值补充表格，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象． (2)结合函数图象，写出该函数的一条性质． (3)结合上述函数的图象，直持写出关于的不等式的解集． 【变式7-1】（24-25八年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与x轴相交于点C． (1)求m的值； (2)根据图象，直接写出当时，x的取值范围 (3)若在一次函数上存在点P，使得，求点P的坐标． 【变式7-2】（24-25八年级·福建三明·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点B，点B的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量x的取值范围是______； (2)求一次函数的表达式； (3)点C为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点D，若，求点C的坐标． 【变式7-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_______，_______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_______时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_______； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 【题型8 函数图象与不等式（组）的应用】 【例8】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）某装修市场出售A和B两种款式的瓷砖，两种瓷砖的进价和售价如下表： A款 B款 进货价（元/块） 80 60 销售价（元/块） 130 90 市场计划恰好用49000元进货两种瓷砖，且B款瓷砖的数量不少于A款，如何进货可以使利润最大？最大利润为多少元？ 【变式8-1】（23-24八年级·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： (1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； (2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 【变式8-2】（2024·河北衡水·模拟预测）A、B两地相距，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发．设甲车行驶的时间为x（），甲、乙两车离A地的距离分别为、，图中线段表示与x的函数关系． (1)甲车的速度为______； (2)若两车同时到达目的地，计算m的值，在图中画出与x的函数图象，并求甲车行驶几小时后与乙车相遇； (3)若甲、乙两车在距A地至之间的某处相遇，直接写出m的范围． 【变式8-3】（2024·吉林长春·模拟预测）小优和小秀家住同一小区，两人同时从小区门口出发到吉林省图书馆查阅资料，小区与图书馆的路程是3600米，小优骑自行车，小秀步行，当小优从小区到图书馆并原路原速返回到小区门口时，小秀刚好到达图书馆，图中折线和线段OD分别表示两人距离小区门口的路程与所经过的时间之间的函数关系． (1)小优在图书馆查阅资料的时间为______分钟，小秀的速度为______米/分钟； (2)求线段对应的函数表达式； (3)当小优与小秀相距不超过时，称为小优与小秀“互相可见”，则小优与小秀“互相可见”持续的时长为______分钟． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$