北京市昌平区2024-2025学年高一上学期期末质量抽测数学试题

1 昌平区 2024－2025学年第一学期高一年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 2025.1 一、选择题 (共 10小题，每小题 4分，共 40分) 二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25分） （11） [1, ) （12） 0.035 750 （13） 4（答案不唯一） （14） 1 [0, 4) （15）①③④ 三、解答题（共 6小题，共 85分） （16）（共 13分） 解：（Ⅰ）依题意， (4,1)  AB ， ( 1,4)   AC k . 因为向量 AB  与 AC  共线， 所以    AB AC . 所以 1 16 k ，解得 15k . ………………… 4分 （Ⅱ）在平行四边形 ABCD中， , (1.3)     AD BC BC . 设 ( , )D x y ，得 ( 1, 2)    AD x y . 所以 ( 1, 2) (1,3)  x y 可得 1 1, 2 3.      x y 解得 0, 1.    x y 所以 (0,1)D . 所以 = 3 2  （- ，）BD . 所以 | | 13  BD . ………………… 13分 （17）（共 14分） 解：（Ⅰ）设事件 C为“从这两组数据中随机抽取一个小于 10的数据”. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C B A D A C C 2 从这两组数据中随机抽取一个数据，总数据个数为 6+6 = 12 个； A版本的 AI智能助手小于 10的数据有 2个，B版本的 AI智能助手小于 10 的数据有 2 个，共有 4个. 所以 4 1 ( ) 12 3  P C . ………………… 5分 （Ⅱ）设事件 D为“第 8个数据是 A版本的 AI智能助手用时数据”. 将 A 版本的数据 8,9,10,10,11,12 和 B版本的数据 7,8,10,10,12,13合并后从小 到大排列为：7,8,8,9,10,10,10,10,11,12,12,13. 可以看到第 8个数据是 10，在 A版本数据中出现了 2次，在 B版本数据中也 出现了 2次，总共出现 4次. 满足事件 D的情况有 2种. 所以 2 1 ( ) . 4 2  P D …………………11分 （Ⅲ） 2 21 2s s . ………………… 14分 （18）（共 14分） 解：（Ⅰ）当 4a  时， { 5 7}A x x≤ ≤ ,则 U Að { 5 7}x x x  或 . 由题设，得 { 3 4} B x x≤ ≤ . 所以 ( )U A Bð ={ 3 4}x x≤ ≤ . ………………… 6分 （Ⅱ）选①或②都可以转化成 A B . ………………… 7分 当  A 时， 1 3 5  a a ，即 3a 时，满足 A B； …………… 9分 当  A 时，若 A B，则 1 3 5, 1 3 5 4. -3,≥          a a a a ≤ ≤ 解得 3a . 综上， a的取值范围是 3]( , . ………………… 14分 （19）（共 14分） 解：（Ⅰ）当 0 81 x 时， *Nx ， 2 21 1( ) 30 ( 10 ) 200 20 200 8 8        L x x x x x x . 当 81≥x 时， *Nx ， 40000 40000 ( ) 30 (31 1380) 200 1180        L x x x x x x . 3 所以 21 20 200, 0 81, ( ) 40000 1180, 81. , 8 , ≥                x x x L x x x x x x * * N N ……6分 （Ⅱ）当 0 81 x 时， 2 2 1 1 ( ) 20 200 ( 80) 600, 8 8        L x x x x 此时当 80x 时， ( )L x 取得最大值为 (80) 600L 万元； 当 81≥x 时， 40000 40000 ( ) 1180 ( ) 1180 2 780     L x x x x x ≤ ， 当且仅当 40000 x x ，即 200x 时， ( )L x 取得最大值为 (200) 780L 万元. 因为 600 780 , 所以年产量为 200件时，所获年利润的最大值为 780万元. ………… 14分 （20）（共 15分） 解：（Ⅰ）由题意知 1 0, 1 0.        x x 解得 1 1  x . 所以 ( )f x 的定义域为 ( 1,1) . 对任意 ( 1,1) x 时，都有 ( 1,1)  x . 又因为 ( ) ln(1 ( )) ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )         f x x x x x (ln(1 ) ln(1 )) ( )      x x f x ， 所以 ( )f x 是奇函数. …………………4分 （Ⅱ） ( )f x 在 ( 1,1) 上是减函数. 证明如下：任取 1 2, ( 1,1) x x ，且 1 21 1   x x . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 (1 )(1 ) ( ) ( ) ln ln ln 1 1 (1 )(1 )             x x x x f x f x x x x x 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ln 1        x x x x x x x x . 因为 1 21 1   x x ， 所以 2 1 0 x x ， 1 2 0 x x ， 1 2(1 )(1 ) 0  x x ， 1 2(1 )(1 ) 0  x x . 4 所以 1 2 2 1 1 2 1 21 1      x x x x x x x x . 所以 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1        x x x x x x x x . 所以 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ln 0 1        x x x x x x x x . 所以 1 2( ) ( ) 0 f x f x ，即 1 2( ) ( )f x f x . 所以 ( )f x 在 ( 1,1) 上是减函数. ……… 9分 （Ⅲ） ( )g x 有两个零点. 由题意可知， 1 ( ) ( ) 1  g x f x x 的定义域为 ( 1,0) (0,1)  . 任取 1 2, ( 1,0) x x ，且 1 21 0   x x ，所以 2 1 0 x x ， 1 2 0x x . 则 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) [ ( ) 1] [ ( ) 1]      g x g x f x f x x x 2 1 1 2 1 2 [ ( ) ( )]     x x f x f x x x . 因为 1 2( ) ( ) 0 f x f x ， 2 1 1 2 0   x x x x . 所以 1 2( ) ( ) 0 g x g x ，即 1 2( ) ( )g x g x . 所以 ( )g x 在 ( 1,0) 上是减函数. 因为 1 3 ( ) ln 3 1 ln 0 2 e     g ， 1 ( ) ln 2 2 0 3    g ， 所以根据函数零点存在定理与函数的单调性可知， ( )g x 在 ( 1,0) 内存在唯一零点 1x . 同理 ( )g x 在 (0,1)上是减函数. 因为 1 ( ) 3 ln 3 0 2   g ， 3 99 199 ( ) ln199 3 ln e 0 100 99     g ， 所以根据函数零点存在定理与函数的单调性可知， ( )g x 在 (0,1)内存在唯一零点 2x . 综上， ( )g x 在定义域内有且仅有两个零点. ………………… 15分 5 （21）（共 15分） 解：（Ⅰ） P不是集，T 是集. ……..…….. 4分 （Ⅱ）证明：因为 *1 2{ , , , }( , 2)≥  nA a a a n nN 是集. 所以对任意的 2 k n≤ ≤ ，都存在 , (1 )i j i j n≤ ≤ ≤ ，使得  k i ja a a 成立. 因为 1 21     na a a ，所以 i ka a ， j ka a . 所以 1i ka a≤ ， 1j ka a≤ . 所以 12  k i j ka a a a≤ ，对任意的 (2 )k k n≤ ≤ 均成立. 所以 2 12a a≤ ， 3 22a a≤ ， 4 32a a≤ ， 5 42a a≤ ， 6 52a a≤ . 那么 2 3 4 5 6 1 2 3 4 52( )       a a a a a a a a a a≤ . 所以 6 1 2 3 4 52a a a a a a   ≤ . 所以 6 1 6 6( ) 1 ( )    a a M a M a≤ . 所以 62 1a M≤ . ………9分 （Ⅲ）依题意， {1, 2,3, 4, 7,14, 28,56}A  为集，且所有元素和为115 . ………10分 （1）由题设， 1 21  a a ， 2 2≥a ， 3 2 2≥a a ，即 3 3≥a ，所以 ≥na n . 所以 1 2 ( 1) 1 2 3 2 ≥           n n n n S a a a n . 当 15≥n 时， 115120≥nS ， 所以满足 1 2 115n nS a a a    ≤ 的集合只有有限多个. ……11分 （2）如果 A为满足 1 2 115n nS a a a    ≤ 的集. 由 56na ，下面从 1 28na   ， 2 14na   ， 3 7na   ，分析 A的构成.3 （i）如果 28 A ，因为 A是集， 56na  . 存在 ,i j，使得56 n i ja a a   . 因为 28 A ，所以 i ja a . 6 因为集合 A中至少有 7个元素， 所以集合 A中至少还有 4个异于 , ,n i ja a a 的元素. 那么 14 56 56 4 116 115      ≥n n i jS a a a a ，与假设矛盾. 所以 28 A 一定成立. (ii)令 28ta  ， 56 28 28na    . 为了使得 1 2    n nS a a a 最小，不存在元素 ka ，使得 28 56 ka . 此时 1 28na   . 同理可证： 2 14na   ， 3 7na   . …..13分 (iii)因为集合 A是集，所以存在 ,i j，使得 7 i ja a  . 不妨设 ≥j i，那么 ≥j ia a . 分为三类： ①当 3, 4 i ja a 时，此时集合 {1,2,3, 4,7,14,28,56}A 满足要求. ②当 2, 5 i ja a 时，此时集合 A中至少还要有一个不小于 3的元素， 此时 56 28 14 7 5 3 2 1 116 115nS         ≥ ，与假设矛盾，不符合题意. ③当 1, 6 i ja a 时，此时集合 A中至少还要有两个不小于 2和 3的元素， 此时 56 28 14 7 6 3 2 1 117 115nS         ≥ ，与假设矛盾，不符合题意. 综上， A中所有元素和的最小值为115，此时 {1, 2,3, 4, 7,14, 28,56}A  . …………..…15分