1.3 直角三角形全等的判定-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(湘教版)

第1章 直角三角形 1.3 直角三角形全等的判定 学习目标 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 学习重点、难点 运用“斜边、直角边”定理证明两个直角三角形全等. 重点： 难点： “斜边、直角边”定理的探索推导过程. 知识回顾 我们已经学过的判定三角形全等的方法有： SSS ASA SAS AAS 课时导入 思考 前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？ A B C A′ B′ C′ 1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3. 两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 任意画一个Rt△ABC，使∠C = 90°.再画一个 Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们能重合吗？ A B C 探究 画图思路 (1) 先画 ∠MC′N＝90°； A B C M C′ N (2) 在射线 C′M 上截取 B′C′＝BC； M C′ A B C N B′ M C′ 画图思路 (3) 以点 B′ 为圆心，AB 为半径画弧，交射线 C′N 于 A′； M C′ A B C N B′ A′ 画图思路 (4) 连接 A′B′. M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 画图思路 B C A A' B' C' 在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∵AB = A'B'，AC = A'C'， 根据勾股定理， BC2 = AB2－AC2， B'C'2 = A'B'2－A'C'2， ∴BC = B'C'. ∴Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'. 证明猜想 知识讲解 “斜边、直角边”定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： A B C A′ B′ C′ 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB=A′B′， BC=B′C′， 例 如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD. 求证：Rt△BEC ≌ Rt△CDB. 证明：∵ BD，CE是△ABC的高， ∴∠BEC = ∠CDB = 90°. 在 Rt△BEC 和Rt△CDB 中， ∵BC = CB，BE = CD， ∴ Rt△BEC≌Rt△CDB (HL). A B C E D 随 堂 小 测 1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有 ( ) A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等 D A 2. 如图，在 △ABC 中，AD ⊥ BC 于点 D，CE ⊥ AB 于 点 E ，AD，CE 交于点 H，已知 EH ＝ EB ＝ 3， AE ＝ 4，则 CH 的长为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角 △ABC 和△ABE 的高，如果 AD ＝ AF ，AC ＝AE. 求证：BC ＝ BE. 证明：∵AD，AF 分别是两个钝角 △ABC 和 △ABE 的高，且 AD ＝ AF，AC ＝ AE， ∴ Rt△ADC≌Rt△AFE (HL)． ∴ CD ＝ EF. ∵AD ＝ AF，AB ＝ AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD ＝ BF. ∴BD－CD ＝ BF－EF. 即 BC ＝ BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 4. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角 ∠B 和 ∠F 的大小有什么关系？ 解：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， BC = EF， AC = DF， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B = ∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF +∠F = 90°， ∴∠B +∠F = 90°. 5. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C ＝ 90°，AC ＝ 10 cm，BC ＝ 5 cm，一条线段 PQ ＝ AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？ 解：(1) 当 P 运动到 AP＝BC 时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ∵ PQ ＝ AB，AP ＝ BC， ∴ Rt△ABC≌Rt△QPA (HL)， ∴AP ＝ BC ＝ 5 cm. (2)当 P 运动到与 C 点重合时，AP ＝ AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中， ∵PQ ＝ AB，AP ＝ AC， ∴Rt△PQA≌Rt△ABC (HL)， ∴AP ＝ AC ＝ 10 cm， ∴当AP＝5 cm 或10 cm 时，△ABC 才能和△PQA 全等． 方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 小结 “斜边、直角边” 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 前提条件 在直角三角形中 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$