1.2 第2课时 勾股定理的应用-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(湘教版)

第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质和判定（II） 第2课时 勾股定理的应用 课时导入 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4 m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗? 动脑筋 A B D C O 解：在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得 OB2 = AB2 - OA2 = 2.62 - 2.42 = 1， ∴OB = 1. 在 Rt△COD 中，根据勾股定理得 OD2 = CD2 - OC2 = 2.62 - (2.4-0.5)2 = 3.15. ∴梯子的顶端沿墙下滑 0.5 m 时，梯子 底端并不是也外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D B C A 例 解：设水池的水深 AC 为 x 尺， 则这根芦苇长 AD = AB = (x+1)尺， 在直角三角形 ABC 中，BC = 5 尺， 由勾股定理得，BC2 + AC2 = AB2， 即 52 + x2 = (x+1)2， 25 + x2 = x2 + 2x + 1， 2x = 24， ∴ x = 12，x + 1 = 13. 答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长 13 尺. D B C A （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 决解 知识讲解 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 探究1 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短距离. AA' = 2×3×2 = 12， A'B' = 5，根据勾股定理得 即梯子最短需 13 米. 归纳：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 探究2 如图，一个牧童在小河的南 4 km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8 km 北 7 km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 解：如图，作出点 A 关于河岸的对称点 A′， 连接 A′B，则 A′B 的长就是最短路程. 由题意得 A′C = 4 + 4 + 7 = 15 (km)， BC = 8 km. 在 Rt△A′CB 中，由勾股定理得 即最短路程是17 km. 牧童 A 小屋 B A′ C 东 北 归纳：求直线同侧的两定点到直线上一动点的距离之和最小的方法：先作其中一定点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一定点的线段的长就是最小的距离之和，以此线段为斜边构造直角三角形，再结合勾股定理就能求出这个最小的距离和． 随 堂 小 测 1. 从电线杆上离地面 5 m 的 C 处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是(　　) A. 24 m B. 12 m C. m D. m D 2. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的长度可能是(　　) A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm D A B C A.50 米 B.120 米 C.100 米 D.130 米 130 120 ? A 3. 湖的两端有 A，B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA =130 米，CB =120 米，则 AB 为（ ） 4. 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 8 米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 A C B 解：根据题意构建直角三角形，如图. 在 Rt△ABC 中，AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得 ∴这棵树在折断之前的高度是10+6 = 16（米）. B 牛奶盒 A 5. 看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点 A 处，并在点 B 处放了一滴蜂蜜，你能帮小蚂蚁求出找到蜂蜜的最短路程么？ 6 cm 8 cm 10 cm B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12 =102 + (6+8)2 = 296， AB22= 82 + (10+6)2 = 320， AB32= 62 + (10+8)2 = 360， 解：由题意知有三种展开方法， 如图.由勾股定理得 ∴ AB1＜AB2＜AB3. ∴小蚂蚁找到蜂蜜的最短路程为 AB1，长为 cm . 解：(1) 在 Rt△ ABC 中，根据勾股定理得 ∴这条“近路”的长为 5 米. C A B 6. 如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草. (1) 求这条“近路”的长； (2) 他们仅仅少走了几步(假设 2 步为 1 米)？ (2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4 (步). 小结 勾股定理 的应用 用勾股定理解决实际问题 用勾股定理解决点的距离及路径最短问题 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$