1.1 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(湘教版)

第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质和判定（I） 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用 课时导入 问题引入 问题1 如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？ A C B' A' C' B 问题2 剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ 动手：用刻度尺测量含 30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系. 结论：短直角边=斜边 证明1：取线段 AB 的中点 D，连接 CD. ∵CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， A 30° B C D ∵∠BCA = 90°，且 ∠A = 30°， ∴∠B = 60°. ∴△CBD 为等边三角形. 证明方法：中线法 证明2：在 △ABC 中， ∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°， ∴∠B = 60°． 延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD， 则△ABD 是等边三角形． A B C D ∴ BC = BD = AB．　　 30° ) 证明方法：倍长法 ) 证明3：在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵ ∠B = 60° ，BE = BC. ∴ △BCE 是等边三角形， ∴ ∠BEC = 60°，BE = EC. ∵ ∠A = 30°， ∴ ∠ECA = ∠BEC -∠A = 60°- 30°= 30°. ∴ AE = EC， ∴ AE = BE = BC， ∴ AB = AE + BE = 2BC. E A B C ∴BC = AB．　　 30° 证明方法：截半法 知识讲解 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半. 应用： ∵在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°， A B C ) 30° 如图，在 Rt△ABC 中，如果 BC = AB，那么 ∠A 等于多少？ 动脑筋 解：如图，取线段 AB 的中点 D，连接 CD. ∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， 即△BDC 为等边三角形． ∴∠B = 60°. ∵∠B +∠A = 90°， ∴∠A = 30°. B C A D 知识讲解 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°. 应用： ∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = AB． ∴∠A = 30°. A B C ) 30° 例 解：∵∠AOD = 30°， AO = 海里， ∴ AD = AO = 海里＞20 海里， ∴无触礁危险. O B D A 北 东 60° 如图，在 A 岛周围 20 海里 (1 海里 = 1 852 m) 水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，测得 A 岛在北偏东 60°的方向上，且与轮船相距 海里.若该船继续保持航向不变，有触礁的危险吗？ 随 堂 小 测 B 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD＝3 cm，则 AB 的长度是(　　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 注意：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． 2. 如图，一棵树在一次强台风中，于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30°角，这棵树在折断前的高度为( ) A．6 米 B．9 米 C．12 米 D．15 米 B 3. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的 △ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A ＝ 150°，这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮需要 ( ) A．300a 元 B．150a 元 C．450a 元 D．225a 元 B 4. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高， ∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 . 1 A B C D 5. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则 AB =______cm. A C B 第5题图 第4题图 8 ∵∠B = ∠ACB = 15° (已知)， ∴∠DAC = ∠B+∠ACB = 15°+15°= 30°， 6. 已知：等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20. 求腰上的高. A C B D 15° 15° 20 解：过 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D. ) ) ∴CD = AC = ×20 = 10. 方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30°角的直角三角形来解决． 7. 如图所示，在四边形 ACBD 中，AD∥BC， AB⊥AC，且 AC ＝ BC，求∠DAC 的度数． 解：∵AB⊥AC， ∴∠CAB ＝ 90°. ∵AC ＝ BC， ∴∠CBA ＝ 30°. ∵AD∥BC， ∴∠BAD ＝ ∠CBA ＝30°． ∴∠DAC ＝ ∠CAB＋∠BAD ＝ 120°. A B C D E 解：∵DE⊥AC，BC ⊥AC，∠A = 30°， ∴BC = AB，DE = AD. ∴BC = AB = ×7.4 = 3.7(m). 又AD = AB， ∴DE = AD = ×3.7 = 1.85 (m). 答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m. 8.如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC、DE 有多长？ 小结 直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 小结 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立） 使用要点 含 30°角的直角三角形的性质 找准 30°的角所对的直角边，点明斜边 注意 前提条件：含30°角的直角三角形中 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$