1.1 第1课时 直角三角形的性质和判定-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(湘教版)

第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质和判定（I） 第1课时 直角三角形的性质和判定 学习目标 1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 学习重点、难点 直角三角形的性质定理（直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）. 会判定一个三角形是直角三角形. 重点： 难点： 性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的探索推导过程. 知识回顾 我们已经学习了三角形边与边，边与角，角与角之间的一些性质，你能列举出一些吗？ 直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？ 如：三角形内角和为180°…… 课时导入 如图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少? 说一说 30° + 60° = 90° 45° + 45° = 90° 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？ 在 Rt△ABC 中，由三角形内角和定理，得∠A +∠B +∠C = 180°，因为 ∠C = 90°，故∠A + ∠B = 90°. 思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 知识讲解 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°，∴∠A +∠B = 90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC ． A B C 如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么 △ABC 是直角三角形吗？ 有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？ 在 △ABC 中， ∵ ∠A +∠B +∠C = 180°， 又∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. 于是 △ABC 是直角三角形. 说一说 知识讲解 直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 应用： 在 △ABC 中， ∵ ∠A +∠B = 90°， ∴ △ABC 是直角三角形． A B C 探究 如图，画一个 Rt△ABC， 并作出斜边 AB 上的中线 CD，比较线段 CD 与线段 AB 之间长度，你能得出什么结论？ 我测量后发现 CD = AB. 线段 CD 比线段 AB 短. 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出数学证明. 图1-4 如图 1-3， 如果中线 CD = AB，则有∠DCA = ∠A . 由此受到启发，在图 1-4 的 Rt△ABC 中，过直角顶点 C 作射线 CD′ 交 AB 于 D′，使∠D′CA = ∠A ，则 CD′ = AD′ . 图1-3 证一证 ∴ 点 D' 是斜边上的中点，即 CD' 是斜边 AB 的中线. 又∵∠A +∠B = 90°，∠D′CA +∠D′CB = 90°， ∴ ∠B = ∠D′CB. ∴CD′ = BD′. 故得 从而 CD 与 CD' 重合，由此得到： 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例 如图，已知 CD 是 △ABC 的 AB 边上的中线，且 . 求证：△ABC 是直角三角形. 证明： ∴ ∠1 = ∠A，∠2 = ∠B . ∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠ACB = ∠1 + ∠2， ∴∠A +∠B +∠1 +∠2 = 180°， ∴ 2(∠A +∠B) = 180°. ∴ ∠A +∠B = 90°. ∴ △ABC 是直角三角形. 随 堂 小 测 1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 40°，则另一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B 2. 具备下列条件的 △ABC 中，不是直角三角形的是（ 　） A．∠A + ∠B = ∠C B．∠A - ∠B = ∠C C．∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 D．∠A = ∠B = 3∠C D 3. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°， CD⊥AB，与 ∠1 互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD 和 ∠A D．∠BCD C 4. 如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线. (1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm； (2)若∠C = 30°， AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD =_____cm. A B C D 6 10 5 5. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是________. 90° 6. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若∠BOD = 38，则∠A = _____°. 52 第5题图 第6题图 7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD = ∠B．求证：△ACD 是直角三角形． 证明：∵∠ACB = 90°， ∴∠A +∠B = 90°． ∵∠ACD = ∠B， ∴∠A +∠ACD = 90°． ∴△ACD 是直角三角形． 解：（1）∵AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4． ∴四边形 AEDF 的周长＝ AE＋DE＋DF＋AF ＝ 5＋5＋4＋4 ＝ 18． 8. 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1) 若AB ＝ 10，AC ＝ 8，求四边形 AEDF 的周长； (2)求证：EF 垂直平分 AD. 证明：∵DE ＝ AE，DF ＝ AF， ∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上． ∴EF 垂直平分 AD. 归纳：当已知条件含有线段的中点、直角三角形时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 小结 直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$