专题02 一元一次不等式（组）的实际应用（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪教版2024）

专题02 一元一次不等式（组）的实际应用 目录 压轴题型讲练 1 类型一、方案问题 1 类型二、分配问题 4 类型三、销售利润问题 7 类型四、阶梯收费问题 12 类型五、分式方程与一元一次不等式（组）结合 15 压轴能力测评 21 类型一、方案问题 【例1】如图是某的两种计费方案的说明．若晓莉和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务生计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们在同一间包厢里欢唱的至少有（   ） 包厢计费方案： 包厢每间每小时300元，每人须另付入场费30元 人数计费方案： 每人欢唱3小时180元，接着续唱每人每小时30元 A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【详解】解：设晓莉和朋友共有人． 若选择包厢计费方案需付费用为元； 若选择人数计费方案需付费用为（元）． 根据题意，得， 解得， 所以他们在同一间包厢里欢唱的至少有8人． 故选：C． 【例2】高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】(1)“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元 (2)①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【详解】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． 【变式1-1】某企业产品换代升级，决定购买台新设备，现有A，B两种型号，A型每台万元，B型每台万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于万元．则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ，得 又∵为整数， ∴，， 故购买方案有3种． 故选：． 【变式1-2】“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 (2)共有5种购买方案，最低费用是8440元 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 【变式1-3】某厂租用、两种型号的车给零售商运送货物，已知用辆型车和辆型车装满可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；厂家现有吨货物需要配送，计划租用、两种型号车辆一次配送完货物，且型车至少辆．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完吨货物； (3)若型车每辆需租金元每次，型车每辆需租金元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨 (2)共有种租车方案，方案：租用型车辆，型车辆；方案：租用型车辆，型车辆；方案：租用型车辆，型车辆 (3)方案最省钱，即租用型车辆，型车辆，最少租车费为元 【详解】（1）解：设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 解得：， 答：辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 依题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴可以取，，， ∴共有种租车方案， 方案：租用型车辆，型车辆； 方案：租用型车辆，型车辆； 方案：租用型车辆，型车辆； （3）选择方案的租车费为（元）； 选择方案的租车费为（元）； 选择方案的租车费为（元）； ∵， ∴方案最省钱，即租用型车辆，型车辆，最少租车费为元． 类型二、分配问题 【例3】学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 【答案】 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 【例4】某小区业主张先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．已知甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，张先生要求装修公司再派一工程队与甲队共同工作，乙单独完成此项工程需30天． (1)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天天可完成此项工程？ (2)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000元，甲工程队至多参加工作多少天？ 【答案】(1)15天； (2)20天． 【详解】（1）解：设再合作天可完成此项工程 解得： 答：再合作15天可完成此项工程； （2）解：设甲工程队参加工作天， 则乙参加的天数为 解得： 答：甲工程队至多参加工作20天 【变式2-1】科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时． (1)一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ (2)五一劳动节将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达件，该中心原有该型号的自动分拣流水线5条，进行小时作业，还有名工人，每天分拣8小时．现准备购买该型号的自动分拣流水线进行小时作业以解决分拣需求，则至少应再购买多少条？ 【答案】(1)一条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹 (2)至少应再购买2条自动分拣流水线 【详解】（1）解：设1名工人每小时分拣x件包裹，这条自动分拣流水线每小时分拣4x件包裹， 根据题意，得 解得， 检验是原分式方程的解， ∴ 答：一条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹； （2）设再购买该型号的自动分拣流水线y条，根据题意，得 解得， 答：至少应再购买2条自动分拣流水线 【变式2-2】“电梯方便你我他，正确使用靠大家”．某单位的货运电梯限重标志显示，载重总重量禁止超过．现需用此货运电梯装运一批设备，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，且体积较小，已知1个A部件和2个B部件总重量为，2个A部件和1个B部件的重量相等． (1)求1个A部件和1个B部件的重量各是多少千克？ (2)由于设备需要成套装运，且每次装运都需要两名工人随设备搭乘电梯装卸，已知两名装卸工人的重量分别为和，问货运电梯一次装运7套设备是否会超载？ 【答案】(1)1个部件的质量是30千克，1个部件的质量是60千克 (2)货运电梯一次装运7套设备不会超载 【详解】（1）解：设1个部件的质量是千克，1个部件的质量是千克， 根据题意得：， 解得：． 答：1个部件的质量是30千克，1个部件的质量是60千克； （2）解：设货运电梯一次可装运套设备， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为7． 答：货运电梯一次装运7套设备不会超载． 【变式2-3】某工厂用甲乙两种原料，生产M，N两种产品．甲、乙两种原料是分别用A，B，C三种物质是按配方混合制成的（混合时没有损耗），甲原料的配方A：B＝1：4，乙原料的配方A：B：C＝2：3：5． （1）现有A，B，C三种物质共505kg，其中B物质258kg，能同时制成甲、乙两种原料各多少kg且无剩余？ （2）生产一件M产品需用甲原料3kg，乙原料5kg；生产一件N产品需用甲原料6kg，乙原料4kg．现用（1）中甲、乙两种原料生产M，N两种产品共60件，其中M产品m件，N产品（60﹣m）件，求m的取值范围？ 【答案】（1）能同时制成213kg甲原料、292kg乙原料；（2）m的取值范围为49≤m≤52（m为整数）． 【详解】解：（1）设能制成xkg甲原料，则能制成（505﹣x）kg乙原料， 依题意，得：x+（505﹣x）＝258， 解得：x＝213，505﹣x＝292． 答：能同时制成213kg甲原料、292kg乙原料． （2）依题意，得：， 解得：49≤m≤52． 答：m的取值范围为49≤m≤52（m为整数）． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系与不等关系是解题的关键． 类型三、销售利润问题 【例5】“食博会”期间，某零食店计划购进两种网红零食共包，其中种零食的进价为每包元，种零食的进价为每包元．已知在出售时，包种零食和包种零食的价格一共为元，包种零食和包种零食的价格一共为元． (1)两种零食每包的售价分别是多少元？ (2)该零食店为了限制进货投入，计划种零食的进货不超过包，且销售完后总利润不低于元，则进货方案有多少种？哪种进货方案可获最大利润？ 【答案】(1)种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元； (2)购进种零食包，购进种零食包，获利最大，最大利润为元． 【详解】（1）解：设种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元， 根据题意得，， 解得， 答：种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元； （2）解：设购进种零食包，则购进种零食包， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴进货方案有种： 方案一：购进种零食包，种零食包，获利元； 方案二：购进种零食包，种零食包，获利元； 方案三：购进种零食包，种零食包，获利元； ∵， ∴购进种零食包，购进种零食包，获利最大，最大利润为元． 【例6】某电器商场销售每台的进价分别为2599元、7300元的A，B两种型号的空调，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量/台 销售收入/元 A种型号 B种型号 第一周 4 3 36296 第二周 5 5 55495 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A，B两种型号的空调的销售单价． (2)若该电器商场准备用不多于151182元的金额再采购这两种型号的空调共30台，则B种型号的空调最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，该电器商场销售完这30台空调能否实现利润超过16000元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号的空调的销售单价分别为2999元和8100元； (2)B种型号的空调最多能采购16台； (3)能实现利润超过16000元的目标，方案如下：方案一：购买A种型号的空调15台，购买B种型号的空调15台；方案二：购买A种型号的空调16台，购买B种型号的空调14台；方案三：购买A种型号的空调17台，购买B种型号的空调13台；方案四：购买A种型号的空调18台，购买B种型号的空调12台． 【详解】（1）设A、B两种型号的空调的销售单价分别为x元、y元． 根据题意有：， 解得：， 答：A、B两种型号的空调的销售单价分别为2999元和8100元； （2）设购买A种型号的空调a台，则购买B种型号的空调台， 根据题意有：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为14， ∴的最大值为16 ∴B种型号的空调最多能采购16台； （3）根据题意有， 解得：． ∵，且为整数， ∴，16，17，18，19， ∴能实现利润超过16000元的目标，且方案如下： 方案一：购买A种型号的空调15台，购买B种型号的空调15台； 方案二：购买A种型号的空调16台，购买B种型号的空调14台； 方案三：购买A种型号的空调17台，购买B种型号的空调13台； 方案四：购买A种型号的空调18台，购买B种型号的空调12台． 【变式3-1】为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 【答案】(1)A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个 (2)该商店第二次有3种批发方案 【详解】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得： ， 解得：， 答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个； （2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得， ， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为72，74，76， ∴该商店第二次有3种批发方案． 【变式3-2】某品牌运动鞋专卖店出售三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ① ② 下午的销售量 合计 ③ (1)根据表格信息，填空：①________；③________；（用含，的代数式表示） (2)已知这天型鞋上午的销售量是型鞋上午销售量的倍，且型鞋的总销售量比，型鞋总销售量少双．求这天一共卖的鞋的数量（双）； (3)由于，版型的鞋店里库存已经很少，店长准备从厂家购进这两种版型的鞋共双，已知，型鞋的进价分别为元双，元双，销售单价分别为元，元如果希望总支出不超过元，全部售完后，总利润不低于元，店长有哪几种进货方案？（利润=售价-进价） 【答案】(1)； (2)双 (3)店长有种进货方案，应购进双型鞋，双型鞋 【详解】（1）解：依题意,填表如下： A B C 合计 上午的销售量 下午的销售量 合计 故答案为： ①  ③ （2）题意得     解得    ． 答：这天一共卖的鞋的数量为双． （3）设购进双型鞋，则购进双型鞋． 由题意得     解得． 为．   ． 答：店长有1种进货方案，应购进双型鞋，双型鞋． 【变式3-3】“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 秞色销售数量 秞色销售数量 总售价 第1个月 6套 5套 5410元 第2个月 8套 4套 5480元 (1)求釉色，两款瓷器每套的售价分别为多少元？ (2)若釉色瓷器的进价为300元，釉色瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8600元购进釉色，两款瓷器一共20套，且釉色瓷器的数量不少于釉色瓷器数量的一半，请你帮忙计算有几种进货方案？ (3)在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 【答案】(1)款瓷器每套的售价为元，款瓷器每套的售价为元； (2)两种进货方案；①釉色款瓷器套，釉色款瓷器套；②釉色款瓷器套，釉色款瓷器套； (3)最大利润为元； 【详解】（1）解：设款瓷器每套的售价为元，款瓷器每套的售价为元， 由题意得，， 解得， 答：款瓷器每套的售价为元，款瓷器每套的售价为元． （2）解：设购进釉色款瓷器套，则购进釉色款瓷器套， 由题意得， 解得， 为整数， 或， 当，； 当，； 共有两种方案：①购进釉色款瓷器套，釉色款瓷器套； ② 购进釉色款瓷器套，釉色款瓷器套； 答：共有两种方案：①购进釉色款瓷器套，釉色款瓷器套；② 购进釉色款瓷器套，釉色款瓷器套； （3）解：方案①：当购进釉色款瓷器套，购进釉色款瓷器套； 利润为：， 方案②：购进釉色款瓷器套，购进釉色款瓷器套； 利润为：， 当选择方案②时，该商店卖出这些瓷器的最大利润为元． 答：在（2）的条件及进货方案下，当选择方案②，该商店卖出这些瓷器的最大利润为元． 类型四、阶梯收费问题 【例7】某自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元．小颖家每月水费都不少于25元，则小颖家每月用水量至少是 立方米． 【答案】13 【详解】解：∵，， ∴小颖家每月用水量超过了5立方米， 设小颖家每月用水量为x立方米， ， 解得：， ∴小颖家每月用水量至少是立方米． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找出题目中的不等关系是解题的关键． 【例8】为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 【答案】(1)该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元/度，第二阶梯电费单价为0.6元/度． (2)他家最大用电量为300度． 【详解】（1）解：设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度， 依题意得：， 解得：． 答：该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元度，第二阶梯电费单价为0.6元度． （2）解：设刘先生6月份用电量为度， 依题意得：， 解得：． 答：他家最大用电量为300度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式4-1】为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个． （1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？ （2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？ 【答案】（1）有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；（2）学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少． 【详解】解：（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据题意得， 解得， ∵x是整数， ∴x=9，10或11 ∴20-x=12，10或9 故有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球； （2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个， 在甲商场花费：元； 在乙商场花费：元； ∴要使学校到甲商场花费最少，则有： 解得， ∵，且x是整数， ∴x=9, 即：学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出不等式，再求解． 【变式4-2】漳州市政府为了鼓励市民绿色出行，投资了一批城市公共自行车，收费如下：第1小时内免费，1小时以上，每半小时收费0.5元（不到半小时按半小时计）．马小跳刷卡时显示收费1.5元，则马小跳租车时间x的取值范围为（　　） A．1＜x≤1.5 B．2＜x≤2.5 C．2.5＜x≤3 D．3＜x≤4 【答案】B 【详解】由题意可得，，解得，2＜x≤2.5，故选B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，注意题目中每半小时收费0.5元，也就是说每小时收费1元． 【变式4-3】为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过15立方米时，按基本价格x元/立方米进行收费；超过15立方米时，加价收费，超过的部分按y元/立方米收费.该市某户居民今年3、4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量(立方米) 水费(元) 3 16 50 4 20 70 5 m 不低于36元且不超过95元 (1)求x、y的值； (2)求该居民5月份用水量m的范围. 【答案】(1) ； (2) 【详解】（1）设基本水费价格为：x元/立方米，超过的部分的水费价格为：y元/立方米， 根据题意得，， 解这个方程组得； （2）根据题意得， 解得：， ∴该居民5月份用水量m的范围是 类型五、分式方程与一元一次不等式（组）结合 【例9】某校为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举，积极开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共60个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的2倍，用240元单独购买某一种球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少3个． (1)求篮球和排球的单价各是多少元？ (2)若学校购买篮球和排球的总资金不超过3680元，并且篮球的数量不少于30个，请问有几种购买方案？ 【答案】(1)80元；40元 (2)三种；方案见解析 【详解】（1）解：设排球的单价为元，则篮球的单价为元． 由题意得，解得， 检验，当时，， 是原分式方程的解，且符合题意 答：篮球的单价是80元，排球的单价是40元． （2）解：设购买个篮球，则购买个排球，由题意得： ， 解得：， 为整数， 取30或31或32 则购买方案有如下三种： 方案一：购买篮球30个，购买排球30个； 方案二：购买篮球31个，购买排球29个； 方案三：购买篮球32个，购买排球28个． 【例10】为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进两种文创饰品对游客销售．已知种的单价比种单价的倍少元，用元购买种的数量与用元购买种数量相等． (1)求饰品每件的进价分别为多少元？ (2)该商铺计划共购进个两种文创饰品，购买总费用不超过元，且种文创饰品的购买数量不少于种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)饰品每件的进价为元，饰品每件的进价为元 (2)共有4种方案，方案一：购买饰品个，购买饰品个；方案二：购买饰品个，购买饰品个；方案三：购买饰品个，购买饰品个；方案四：购买饰品个，购买饰品个 【详解】（1）解：设饰品每件的进价为元，则饰品每件的进价为元，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解且符合题意； ∴饰品每件的进价为（元） 答：饰品每件的进价为元，饰品每件的进价为元； （2）解：设购买饰品个，则购买饰品个，根据题意得， 解得： ∵为正整数， ∴ ∴共有4种方案， 方案一：购买饰品个，购买饰品个； 方案二：购买饰品个，购买饰品个； 方案三：购买饰品个，购买饰品个； 方案四：购买饰品个，购买饰品个． 【变式5-1】深圳文博会期间，某展商展出了A、两种商品，已知用120元可购得的A种商品比种商品多2件，种商品的单价是A种商品的1.5倍． (1)求A、两种商品的单价各是多少元？ (2)小亮用不超过330元购买A、两种商品共13件，并且A种商品的数量不超过种商品数量的2倍，那么他有哪几种购买方案？要使购买这两种商品所需费用尽可能少，应选用哪种方案？ 【答案】(1)A种商品的单价为20元，B种商品的单价为30元 (2)方案一：购买A种商品6件，B种商品7件；方案二：购买A种商品7件，B种商品6件；方案三：购买A种商品8件，B种商品5件；应选用方案三 【详解】（1）解：设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，由题意得：． 解得． 经检验是原方程的解． ∴． 答：A种商品的单价为20元，B种商品的单价为30元． （2）解：设购买商品的件数为件，则购买商品的件数为件，由题意得：． 解得． ∴整数，7，8． ∴共有三种方案． 方案一：购买A种商品6件，B种商品7件，所需费用为元； 方案二：购买A种商品7件，B种商品6件，所需费用为元； 方案三：购买A种商品8件，B种商品5件，所需费用为元； 答：共有三种购买方案．其中方案三所需费用最少，所以应选用方案三． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识；解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式． 【变式5-2】为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍． (1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案； (3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件． 【答案】(1)甲品牌每件的进价为30元，乙品牌每件的进价为60元； (2)商场共有三种进货方案：①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件；②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件；③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件； (3)抽到的二等奖中，购买乙种品牌恤衫有1件或3件． 【详解】（1）解：设甲品牌恤衫每件的进价为元，则乙品牌恤衫每件的进价为元． 由题意得： 解得： 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：甲品牌恤衫每件的进价为30元．乙品牌恤衫每件的进价为60元． （2）设该商场购进甲品牌恤衫a件，则购进乙品牌恤衫件． 根据题意得： 的整数值为78，79，80． 商场共有三种进货方案． 方案一：购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件； 方案二：购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件； 方案三：购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件． （3）设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件， ①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． ②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为甲品牌， 解得：． 购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为乙品牌， 解得：． ③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． 因此，抽到的二等奖中，购买乙品牌有1件或3件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用问题以及不等式组的应用解决方案问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式解决问题，利用分类讨论思想不遗漏情况进行讨论问题，注意分式方程需要检验． 【变式5-3】1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件． (1)求该商品的单价； (2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变． ①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小． ②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量． 【答案】(1)该商品的单价为21元 (2)①甲的平均单价等于乙的平均单价；②或28 【详解】（1）解：设该商品的单价为x元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴该商品的单价为21元； （2）解：①由题意得，甲两次一共购买的商品数量为件， 乙两次一共购买的商品数量为， ∴甲的平均单价为， 乙的平均单价为， 即， ∴甲的平均单价等于乙的平均单价； ②甲商品一月份一共购进的商品数量为件 当时，则二月份甲购进的商品数量为件， 设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出件， 由题意得，， ∴， ∴； ∴， ∵m、n都是正整数， ∴， ∴， ∵2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半， ∴， ∴， ∴， ∴且m是正整数， 又∵也是正整数， ∴m必须是偶数， ∴m的值为或28． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式混合计算的实际应用，二元一次方程的解，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等式关系是解题的关键． 1．市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重为8 吨的卡车5辆、10吨的卡车7辆，该工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备再购买这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则购买方案有（　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【详解】解：设购买甲种卡车x辆，则购买乙种卡车辆． 依题意得：， 解得． 根据题意，x为非负整数，所以，，． 所以车队有3种购买方案： 方案一：不购买甲种卡车，购买乙种卡车6辆； 方案二：购买甲种卡车1辆，购买乙种卡车5辆； 方案三：甲种卡车2辆，购买乙种卡车4辆． 故选：C． 2．为了更好地保护环境，治理水质，我区某治污公司决定购买12台污水处理设备，现有A、B两种型号设备，A型每台m万元；B型每台n万元，经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元．经预算，该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元．该公司A型设备最多能买（    ）台． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：根据题意，得：，解得：， 设型设备买台， 根据题意，得：， 解得：， 型设备最多买8台， 故选：C． 3．某校进行校园歌手大奖赛预赛，评委给每位选手打分时，最高分不超过分，所有评委的评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分后的平均分即为选手的最后得分．小敏的最后得分为分，若只去掉一个最低分，小敏的得分为分，若只去掉一个最高分，小敏的得分为分，那么可以算出这次比赛的评委有（　　） A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】A 【详解】解：设这次比赛的评委有人， 去掉最高分和最低分后的总得分是，去掉最低分后的总得分是，去掉最高分后的总得分是， 最高分为：， 最低分为：， 根据题意得：，， ，． 这次比赛的评委有名， 故选：A． 4．某校团委组织团员志愿者在重阳节乘车前往敬老院慰问孤寡老人，参加的团员志愿者不足50名，联系汽车若干辆．如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满，则参加此次活动的团员志愿者有 名． 【答案】48 【详解】解：：设联系汽车辆，则参加此次活动的团员志愿者有名． 根据题意，得 解得． 因为为正整数， 所以． 所以参加此次活动的团员志愿者有（名）． 故答案为：48． 5．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ． 【答案】15 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，根据题意，得， 解得， ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是15， 故答案为：15． 6．“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 【答案】(1)石榴花每朵元，玫瑰花每朵元 (2)共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵 【详解】（1）解：设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元， 根据题意得：， 解得：， ， 答：石榴花每朵元，玫瑰花每朵元； （2）解：设石榴花朵，玫瑰花朵， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或， 答：共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵． 7．某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元 (2)见解析 (3)学校在第二次购买活动中最多需要元资金 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元． （2）解：设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故这次学校购买足球有五种方案： 方案一：购买A种足球个，B种足球个； 方案二：购买A种足球个，B种足球个； 方案三：购买A种足球个，B种足球个． 方案四：购买A种足球个，B种足球个． 方案五：购买A种足球个，B种足球个． （3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为(元)，B种足球单价为(元)， ∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多． ∴(元)． 答：学校在第二次购买活动中最多需要元资金． 8．某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（规定每辆汽车满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 每吨水果可获利润（万元） (1)用辆汽车装运乙、丙两种水果共吨到地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？ (2)水果基地计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共吨到地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆（结果用含的式子表示）？ (3)在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆 (2)装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆 (3)安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元 【详解】（1）解：设装运乙、丙水果的汽车分别为辆，辆， 由题意得， 解得 答：装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆． （2）设装运乙、丙水果的汽车分别为a辆，b辆， 由题意得 解得 答：装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆． （3）设总利润为万元， 则． ． 又为正整数， ，，． 将，，依次代入中， 可得当时，最大，此时． 答：安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元． 9．某奶茶店推出A、B两款新品奶茶，已知购买5杯A奶茶和4杯B奶茶共花费130元，购买3杯A奶茶和2杯B奶茶共花费72元． (1)求A、B两款奶茶的单价各为多少元？ (2)学校决定为参加社会实践活动的名师生购买下午茶，恰逢A、B两款新品奶茶搞促销活动，其中A奶茶在原来单价的基础上优惠元，B奶茶在原来单价的基础上打八折，在学校不超过648元经费的情况下，若B奶茶的数量不少于杯，且所有参加活动的师生均有下午茶享用，则共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A奶茶的单价为14元，B奶茶的单价为15元 (2)共有种购买方案：方案一：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯；方案二：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯；方案三：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯． 【详解】（1）解：设A奶茶的单价为x元，B奶茶的单价为y元， 由题意可得 ， 解得：， 答：A奶茶的单价为14元，B奶茶的单价为15元． （2）解：设购买A奶茶m杯，则购买B奶茶杯，根据题意，得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴m可以为，，， ∴共有种购买方案： 方案一：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯； 方案二：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯； 方案三：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯． 10．为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱． (1)求辆大货车和辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为元，每辆小货车运输一次所需费用为元，若大货车的数量不少于辆，总费用小于元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资 (2)方案见解析，当有辆大货车，辆小货车时，费用最小，最小费用为元 【详解】（1）解：设辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资． 由题意可得：， 解得：． 答：辆大货车一次运输箱物资，辆小货车一次运输箱物资． （2）解：设有辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， ∴， 取正整数， ，，， 有三种运输方案： 方案一：有辆大货车，辆小货车，此时费用元， 方案二：有辆大货车，辆小货车，此时费用元， 方案三：有辆大货车，辆小货车，此时费用元， ， 当有辆大货车，辆小货车时，费用最小，最小费用为元． 11．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地下和地上两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为1平方米和3平方米，物业经理经过市场调研发现如下信息： 地下充电桩数量/个 地上充电桩数量/个 总金额/万元 2 1 1 1 2 根据以上信息，解答下列问题： (1)该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元？ (2)若小区计划用2万元资金在地下和地上都要新建充电桩，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在（2）的前提下，要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过a平方米，且地下充电桩的数量大于2个，请求出满足条件的a的取值范围． 【答案】(1)该小区新建一个地下充电桩为万元，一个地上充电桩为万元 (2)一共有4种建造方案：在地上新建8个充电桩，在地下新建1个充电桩或在地上新建6个充电桩或在地下新建2个充电桩；在地上新建4个充电桩，在地下新建3个充电桩或在地上新建2个充电桩，在地下新建4个充电桩 (3) 【详解】（1）解：设该小区新建一个地下充电桩为x万元，一个地上充电桩为y万元， 由题意得，， 解得， 答：该小区新建一个地下充电桩为万元，一个地上充电桩为万元； （2）解：设在地上新建m个充电桩，在地下新建n个充电桩， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有4种建造方案：在地上新建8个充电桩，在地下新建1个充电桩或在地上新建6个充电桩或在地下新建2个充电桩；在地上新建4个充电桩，在地下新建3个充电桩或在地上新建2个充电桩，在地下新建4个充电桩； （3）解：由题意得，， ∴， ∴， ∵地下充电桩的数量大于2个且不大于4个 ∴且 解得． 12．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 【答案】(1)①，；② (2)， (3) 【详解】（1）解：①由题意得到甲商场实际花费：(元)， 到乙商场实际花费：(元)． 故答案为：， ②若，到甲商场实际花费：． 到乙商场实际花费：． ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：当时，到甲商场无优惠， ， 当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元， %． ． 当时，到甲或乙商场实际花费一样， %%， ． ，． （3）解：时，到甲或乙商场实际花费一样， ， ． ， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴即 ∴的最大值为 2 / 30学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元一次不等式（组）的实际应用 目录 压轴题型讲练 1 类型一、方案问题 1 类型二、分配问题 2 类型三、销售利润问题 4 类型四、阶梯收费问题 6 类型五、分式方程与一元一次不等式（组）结合 7 压轴能力测评 9 类型一、方案问题 【例1】如图是某的两种计费方案的说明．若晓莉和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务生计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们在同一间包厢里欢唱的至少有（   ） 包厢计费方案： 包厢每间每小时300元，每人须另付入场费30元 人数计费方案： 每人欢唱3小时180元，接着续唱每人每小时30元 A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【例2】高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【变式1-1】某企业产品换代升级，决定购买台新设备，现有A，B两种型号，A型每台万元，B型每台万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于万元．则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【变式1-2】“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【变式1-3】某厂租用、两种型号的车给零售商运送货物，已知用辆型车和辆型车装满可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；厂家现有吨货物需要配送，计划租用、两种型号车辆一次配送完货物，且型车至少辆．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完吨货物； (3)若型车每辆需租金元每次，型车每辆需租金元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 类型二、分配问题 【例3】学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 【例4】某小区业主张先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．已知甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，张先生要求装修公司再派一工程队与甲队共同工作，乙单独完成此项工程需30天． (1)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天天可完成此项工程？ (2)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000元，甲工程队至多参加工作多少天？ 【变式2-1】科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时． (1)一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ (2)五一劳动节将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达件，该中心原有该型号的自动分拣流水线5条，进行小时作业，还有名工人，每天分拣8小时．现准备购买该型号的自动分拣流水线进行小时作业以解决分拣需求，则至少应再购买多少条？ 【变式2-2】“电梯方便你我他，正确使用靠大家”．某单位的货运电梯限重标志显示，载重总重量禁止超过．现需用此货运电梯装运一批设备，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，且体积较小，已知1个A部件和2个B部件总重量为，2个A部件和1个B部件的重量相等． (1)求1个A部件和1个B部件的重量各是多少千克？ (2)由于设备需要成套装运，且每次装运都需要两名工人随设备搭乘电梯装卸，已知两名装卸工人的重量分别为和，问货运电梯一次装运7套设备是否会超载？ 【变式2-3】某工厂用甲乙两种原料，生产M，N两种产品．甲、乙两种原料是分别用A，B，C三种物质是按配方混合制成的（混合时没有损耗），甲原料的配方A：B＝1：4，乙原料的配方A：B：C＝2：3：5． （1）现有A，B，C三种物质共505kg，其中B物质258kg，能同时制成甲、乙两种原料各多少kg且无剩余？ （2）生产一件M产品需用甲原料3kg，乙原料5kg；生产一件N产品需用甲原料6kg，乙原料4kg．现用（1）中甲、乙两种原料生产M，N两种产品共60件，其中M产品m件，N产品（60﹣m）件，求m的取值范围？ 类型三、销售利润问题 【例5】“食博会”期间，某零食店计划购进两种网红零食共包，其中种零食的进价为每包元，种零食的进价为每包元．已知在出售时，包种零食和包种零食的价格一共为元，包种零食和包种零食的价格一共为元． (1)两种零食每包的售价分别是多少元？ (2)该零食店为了限制进货投入，计划种零食的进货不超过包，且销售完后总利润不低于元，则进货方案有多少种？哪种进货方案可获最大利润？ 【例6】某电器商场销售每台的进价分别为2599元、7300元的A，B两种型号的空调，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量/台 销售收入/元 A种型号 B种型号 第一周 4 3 36296 第二周 5 5 55495 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A，B两种型号的空调的销售单价． (2)若该电器商场准备用不多于151182元的金额再采购这两种型号的空调共30台，则B种型号的空调最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，该电器商场销售完这30台空调能否实现利润超过16000元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【变式3-1】为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 【变式3-2】某品牌运动鞋专卖店出售三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ① ② 下午的销售量 合计 ③ (1)根据表格信息，填空：①________；③________；（用含，的代数式表示） (2)已知这天型鞋上午的销售量是型鞋上午销售量的倍，且型鞋的总销售量比，型鞋总销售量少双．求这天一共卖的鞋的数量（双）； (3)由于，版型的鞋店里库存已经很少，店长准备从厂家购进这两种版型的鞋共双，已知，型鞋的进价分别为元双，元双，销售单价分别为元，元如果希望总支出不超过元，全部售完后，总利润不低于元，店长有哪几种进货方案？（利润=售价-进价） 【变式3-3】“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 秞色销售数量 秞色销售数量 总售价 第1个月 6套 5套 5410元 第2个月 8套 4套 5480元 (1)求釉色，两款瓷器每套的售价分别为多少元？ (2)若釉色瓷器的进价为300元，釉色瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8600元购进釉色，两款瓷器一共20套，且釉色瓷器的数量不少于釉色瓷器数量的一半，请你帮忙计算有几种进货方案？ (3)在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 类型四、阶梯收费问题 【例7】某自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元．小颖家每月水费都不少于25元，则小颖家每月用水量至少是 立方米． 【例8】为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 【变式4-1】为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个． （1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？ （2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？ 【变式4-2】漳州市政府为了鼓励市民绿色出行，投资了一批城市公共自行车，收费如下：第1小时内免费，1小时以上，每半小时收费0.5元（不到半小时按半小时计）．马小跳刷卡时显示收费1.5元，则马小跳租车时间x的取值范围为（　　） A．1＜x≤1.5 B．2＜x≤2.5 C．2.5＜x≤3 D．3＜x≤4 【变式4-3】为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过15立方米时，按基本价格x元/立方米进行收费；超过15立方米时，加价收费，超过的部分按y元/立方米收费.该市某户居民今年3、4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量(立方米) 水费(元) 3 16 50 4 20 70 5 m 不低于36元且不超过95元 (1)求x、y的值； (2)求该居民5月份用水量m的范围. 类型五、分式方程与一元一次不等式（组）结合 【例9】某校为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举，积极开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共60个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的2倍，用240元单独购买某一种球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少3个． (1)求篮球和排球的单价各是多少元？ (2)若学校购买篮球和排球的总资金不超过3680元，并且篮球的数量不少于30个，请问有几种购买方案？ 【例10】为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进两种文创饰品对游客销售．已知种的单价比种单价的倍少元，用元购买种的数量与用元购买种数量相等． (1)求饰品每件的进价分别为多少元？ (2)该商铺计划共购进个两种文创饰品，购买总费用不超过元，且种文创饰品的购买数量不少于种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？ 【变式5-1】深圳文博会期间，某展商展出了A、两种商品，已知用120元可购得的A种商品比种商品多2件，种商品的单价是A种商品的1.5倍． (1)求A、两种商品的单价各是多少元？ (2)小亮用不超过330元购买A、两种商品共13件，并且A种商品的数量不超过种商品数量的2倍，那么他有哪几种购买方案？要使购买这两种商品所需费用尽可能少，应选用哪种方案？ 【变式5-2】为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍． (1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案； (3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件． 【变式5-3】1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件． (1)求该商品的单价； (2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变． ①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小． ②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量． 1．市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重为8 吨的卡车5辆、10吨的卡车7辆，该工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备再购买这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则购买方案有（　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．为了更好地保护环境，治理水质，我区某治污公司决定购买12台污水处理设备，现有A、B两种型号设备，A型每台m万元；B型每台n万元，经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元．经预算，该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元．该公司A型设备最多能买（    ）台． A．6 B．7 C．8 D．9 3．某校进行校园歌手大奖赛预赛，评委给每位选手打分时，最高分不超过分，所有评委的评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分后的平均分即为选手的最后得分．小敏的最后得分为分，若只去掉一个最低分，小敏的得分为分，若只去掉一个最高分，小敏的得分为分，那么可以算出这次比赛的评委有（　　） A．名 B．名 C．名 D．名 4．某校团委组织团员志愿者在重阳节乘车前往敬老院慰问孤寡老人，参加的团员志愿者不足50名，联系汽车若干辆．如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满，则参加此次活动的团员志愿者有 名． 5．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ． 6．“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 7．某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 8．某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（规定每辆汽车满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 每吨水果可获利润（万元） (1)用辆汽车装运乙、丙两种水果共吨到地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？ (2)水果基地计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共吨到地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆（结果用含的式子表示）？ (3)在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 9．某奶茶店推出A、B两款新品奶茶，已知购买5杯A奶茶和4杯B奶茶共花费130元，购买3杯A奶茶和2杯B奶茶共花费72元． (1)求A、B两款奶茶的单价各为多少元？ (2)学校决定为参加社会实践活动的名师生购买下午茶，恰逢A、B两款新品奶茶搞促销活动，其中A奶茶在原来单价的基础上优惠元，B奶茶在原来单价的基础上打八折，在学校不超过648元经费的情况下，若B奶茶的数量不少于杯，且所有参加活动的师生均有下午茶享用，则共有哪几种购买方案？ 10．为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，辆大货车与辆小货车一次可以运输箱；辆大货车与辆小货车一次可以运输箱． (1)求辆大货车和辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为元，每辆小货车运输一次所需费用为元，若大货车的数量不少于辆，总费用小于元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 11．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地下和地上两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为1平方米和3平方米，物业经理经过市场调研发现如下信息： 地下充电桩数量/个 地上充电桩数量/个 总金额/万元 2 1 1 1 2 根据以上信息，解答下列问题： (1)该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元？ (2)若小区计划用2万元资金在地下和地上都要新建充电桩，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在（2）的前提下，要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过a平方米，且地下充电桩的数量大于2个，请求出满足条件的a的取值范围． 12．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 2 / 12学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$