热点07 双曲线、抛物线的方程及其性质（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点07双曲线、抛物线的方程及其性质 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第12题，考察双曲线的渐近线与标准方程 2023年，第6题，考察抛物线的定义 2023年，第12题，考察双曲线的离心率与标准方程 2024年，第11题，考察抛物线的几何性质 2024年，第13题，考察直线与双曲线的位置关系 本节内容为北京卷的必考内容，难度不高，在选择与填空题中考察，双曲线的基本性质，抛物线的定义及标准方程，是高考中的常考点，预计2025年高考会继续考察。 题型1双曲线的定义及应用 双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形： ①若点满足，则点在左支上； ②若点满足，则点在右支上. 1．（2024-25高三上·山东临沂·期末）已知P为双曲线C：右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且线段A1A2，B1B2分别为C的实轴与虚轴．若|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，则|PF2|＝ ． 2．（2024-25高二上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，设是双曲线的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 3．（2024·青海·一模）代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系．将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可满足方程的的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·模拟预测）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 5．（2024·上海宝山·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则 . 题型2双曲线的标准方程 （1）定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程． （2）用待定系数法求双曲线方程的一般步骤: ①定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能； ②设方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为； ③寻关系：根据已知条件列出关于的方程组 ④得方程：解方程组，将代入所设方程 1．（2020·北京·模拟预测）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京海淀·二模）已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为 ． 5．（2024-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为 ． 题型3双曲线的渐近线 根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程． 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为； 若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.) 1．（2024·北京海淀·三模）已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ． 2．（2024·北京通州·二模）已知圆心为C的圆与双曲线E：（）交于A，B两点，且，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京朝阳·一模）已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京延庆·一模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ． 5．（2023·北京通州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型4双曲线的离心率求解 求解双曲线的离心率一般有两种方法 (1)由条件寻找所满足的等式，常用的公式变形为，其中； (2)依据条件列出含的齐次方程，利用转化为含或的方程，解方程即可，注意依据对所得解进行取舍. 1．（2024·北京西城·三模）若双曲线的离心率为，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（2024·北京·模拟预测）设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 3．（2024·北京·三模）若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京朝阳·二模）已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京顺义·二模）已知双曲线的焦距为，若点在双曲线上，则的离心率等于 . 题型5直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时,判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 1．（2022·北京房山·一模）已知直线l被圆C：所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 4．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）已知斜率存在的直线与双曲线相交且仅有一个交点，则直线的方程可以为 ． 题型6抛物线的定义 若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关),往往转化为点P到准线的距离,其步骤是: ①过P作PN垂直于准线l,垂足为N；②连接PF;③ (焦点在轴正半轴上时) 1．（2024-25高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 2．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 3．（2024·北京大兴·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（2024·北京顺义·三模）设M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，O足坐标原点，若，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型7抛物线的标准方程 1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． 2、待定系数法 （1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程； （2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为和两种情况求解． 另一种是设成，若，开口向右；若，开口向左；若有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成． 1．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为 ． 2．（2024·北京通州·二模）已知点为抛物线上一点，则点P到抛物线C的焦点的距离为 ． 3．（2023·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京西城·一模）已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则 ． 5．（2023·北京海淀·模拟预测）已知抛物线C经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于2，请写出一个满足条件的C的标准方程 ． 题型8利用定义求距离和差最值 解决此类问题通过抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等,使问题化难为易. 1．（2022·北京通州·一模）已知点P是抛物线上一点，且点P到点的距离与到y轴的距离之和的最小值为，则（    ） A． B．4 C． D． 2．（2023·西藏日喀则·一模）已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 4．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线方程为，点，点在抛物线上，则的最小值为 . 1．（2024·北京昌平·二模）已知抛物线的焦点和双曲线的右顶点重合，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（2024·北京东城·一模）已知双曲线的离心率为2，则（    ） A．3 B． C． D． 3．（2023·北京·模拟预测）已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．（2024·北京海淀·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，则线段的中点的纵坐标为（    ） A． B． C．3 D．4 5．（2024·北京延庆·一模）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京西城·二模）已知双曲线的焦点在轴上，且的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京顺义·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，直线与相交于点，与轴交于点.若为的中点，则（    ） A．4 B．6 C． D．8 8．（2023·北京丰台·一模）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（2023·北京通州·三模）已知，分别为双曲线：的上，下焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·北京·三模）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 11．（2022·北京丰台·三模）已知点在抛物线上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则点P到y轴的距离为（    ） A．4 B． C．5 D． 12．（2024·北京·三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 13．（2024·北京海淀·二模）已知双曲线，则的离心率为 ；以的一个焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 .（写出一个即可） 14．（2024·北京平谷·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则＝ ；双曲线的渐近线方程为 15．（2024·北京西城·一模）双曲线的渐近线方程为 ；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ． 16．（2024·北京·模拟预测）设点在抛物线上，已知.若，则 ；若，则直线斜率的最小值为 . 17．（2024·北京东城·一模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点；且，则 . 18．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 . 19．（2023·北京西城·二模）已知两点．点满足，则的面积是 ；的一个取值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点07双曲线、抛物线的方程及其性质 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第12题，考察双曲线的渐近线与标准方程 2023年，第6题，考察抛物线的定义 2023年，第12题，考察双曲线的离心率与标准方程 2024年，第11题，考察抛物线的几何性质 2024年，第13题，考察直线与双曲线的位置关系 本节内容为北京卷的必考内容，难度不高，在选择与填空题中考察，双曲线的基本性质，抛物线的定义及标准方程，是高考中的常考点，预计2025年高考会继续考察。 题型1双曲线的定义及应用 双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形： ①若点满足，则点在左支上； ②若点满足，则点在右支上. 1．（2024-25高三上·山东临沂·期末）已知P为双曲线C：右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且线段A1A2，B1B2分别为C的实轴与虚轴．若|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，则|PF2|＝ ． 【答案】6 【详解】解：由双曲线的方程，则a＝1，b＝2，所以|A1A2|＝2，|B1B2|＝4， 由|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，即|B1B2|2＝|A1A2|•|PF1|， 则16＝2×|PF1|，所以|PF1|＝8， 由P在双曲线的右支上，则|PF1|﹣|PF2|＝2，所以|PF2|＝6， 故答案为：6． 2．（2024-25高二上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，设是双曲线的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】因为点在上，是双曲线的两个焦点, 由双曲线的对称性不妨设， 则①，， 因为，所以， 由勾股定理得②， ①②联立可得，， 所以， 故选：B 3．（2024·青海·一模）代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系．将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可满足方程的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 ， 其几何意义为平面内一点到两定点距离之差的绝对值为， 由于，由双曲线定义可得点在双曲线上， 所以，解得． 故选：B 4．（2024·湖北·模拟预测）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】 【详解】 如图，由可知， 由对称性不妨设，由定义， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以的面积为. 故答案为：3. 5．（2024·上海宝山·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则 . 【答案】 【详解】如图， 取双曲线右焦点，连接，由题知，，所以， 因为O为，T为PF的中点，所以TO为的中位线， 可得.又， 所以， 又，所以，又， 所以，解得. 故答案为：5 题型2双曲线的标准方程 （1）定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程． （2）用待定系数法求双曲线方程的一般步骤: ①定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能； ②设方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为； ③寻关系：根据已知条件列出关于的方程组 ④得方程：解方程组，将代入所设方程 1．（2020·北京·模拟预测）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据方程表示双曲线的充要条件可构造不等式求得，由推出关系可确定结果. 【详解】若表示双曲线，则，解得：. ，， “”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 故选：. 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到方程表示双曲线的充要条件，属于基础题. 2．（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线方程为， 代入点，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 3．（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又， 所以，得到，所以双曲线的方程为， 故选：D. 4．（2023·北京海淀·二模）已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由已知可得，双曲线的焦点位于轴上， 设C的标准方程为. 因为双曲线C经过点，所以， 则双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，C的标准方程为. 故答案为：. 5．（2024-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为 ． 【答案】 【详解】由已知：抛物线焦点为，所以， 又因为离心率，所以，所以， 所以双曲线的方程为：， 故答案为： 题型3双曲线的渐近线 根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程． 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为； 若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.) 1．（2024·北京海淀·三模）已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】设双曲线的半焦距为，由题设可得且焦点在轴上， 故可设双曲线方程为：，则即， 故即，故离心率为，渐近线方程为， 故答案为：；. 2．（2024·北京通州·二模）已知圆心为C的圆与双曲线E：（）交于A，B两点，且，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得的圆心，半径， 显然适合和， 即为圆与双曲线E：的一个交点， 且为双曲线的左顶点，则轴； 因为，所以， 所以，解得或（舍），所以， 代入双曲线方程可得， 双曲线E的渐近线方程为， 故选：A. 3．（2024·北京朝阳·一模）已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 当时，，即，又， 因为M是线段的中点，所以，得， 所以，即， 所以C的渐近线方程为. 故选：C.    4．（2024·北京延庆·一模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为： 5．（2023·北京通州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，解得双曲线渐近线为，即， ，由此可得双曲线焦点坐标为. 故选：B 题型4双曲线的离心率求解 求解双曲线的离心率一般有两种方法 (1)由条件寻找所满足的等式，常用的公式变形为，其中； (2)依据条件列出含的齐次方程，利用转化为含或的方程，解方程即可，注意依据对所得解进行取舍. 1．（2024·北京西城·三模）若双曲线的离心率为，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由题意，双曲线的离心率，所以. 故选：C. 2．（2024·北京·模拟预测）设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】抛物线的焦点，直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得：，设，则， 由，得，由对称性不妨令点在第一象限，解得，， 由点在双曲线上得，，又，解得， 所以双曲线C的离心率. 故答案为：    3．（2024·北京·三模）若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线的渐近线为，的渐近线为， 由题可知， 所以的离心率. 故选：C. 4．（2024·北京朝阳·二模）已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线左焦点为，如图：，可得， 由双曲线的定义字， 在中，， 在中， 即，可得. 故选：A. 5．（2024·北京顺义·二模）已知双曲线的焦距为，若点在双曲线上，则的离心率等于 . 【答案】/ 【详解】因为点在双曲线上， 代入坐标有，且双曲线满足，离心率， 所以有，即， 化简可得，所以， 因为双曲线离心率，所以或（舍去）， 故答案为：. 题型5直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时,判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 1．（2022·北京房山·一模）已知直线l被圆C：所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直线被圆所截的弦长不小于2，圆心到直线的距离小于或等于1， 故直线一定经过圆面内的点，在平面直角坐标系中分别画出，    、、的图象如下所示： 对于A： 对于B： 对于C 对于D： 结合图象可知，在四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上， 与椭圆一定有公共点 故选：C． 2．（2024-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 3．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【详解】分析条件可得：点在双曲线的渐近线上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图： 所以过且与双曲线有且只有一个公共点的直线只有两条： 一条是切线：，一条是过点且与另一条渐近线平行的直线. 故选：C 4．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线可得，，， 所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为， 因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行， 所以，解得. 故选：B. 5．（2024·全国·模拟预测）已知斜率存在的直线与双曲线相交且仅有一个交点，则直线的方程可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为斜率存在的直线与双曲线相交且仅有一个交点，双曲线的渐近线方程为， 故不妨设直线的方程为，易知当时，满足题意． 故答案为：（答案不唯一）. 题型6抛物线的定义 若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关),往往转化为点P到准线的距离,其步骤是: ①过P作PN垂直于准线l,垂足为N；②连接PF;③ (焦点在轴正半轴上时) 1．（2024-25高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 【答案】 【详解】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，， 即，，所以双曲线的渐近线方程为； 当时，， 设，则，所以. 故答案为：；. 2．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 3．（2024·北京大兴·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意可得，故过F且斜率为的直线方程为， 令，则由题， 因为，所以垂直于直线，故， 又M在抛物线上，所以由， 所以. 故选：C. 4．（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】设， 由，得，所以，准线方程为， 因为，所以为的重心， 所以，所以， 所以 ， 故选：C 5．（2024·北京顺义·三模）设M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，O足坐标原点，若，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，如下图所示： 因为，轴，则， 由抛物线的定义可得，所以为等边三角形，则， 抛物线的准线方程为， 设直线交轴于点，则， 易知，，则. 故选：B. 题型7抛物线的标准方程 1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． 2、待定系数法 （1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程； （2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为和两种情况求解． 另一种是设成，若，开口向右；若，开口向左；若有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成． 1．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为 ． 【答案】 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得，于是，， 所以的面积为. 故答案为：； 2．（2024·北京通州·二模）已知点为抛物线上一点，则点P到抛物线C的焦点的距离为 ． 【答案】3 【详解】由题意得：，解得， 所以抛物线，即焦点坐标是， 即， 故答案为：3. 3．（2023·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，设准线与轴交点为    抛物线的焦点为，准线： 又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形， 所以， 所以在中，，则，所以抛物线的方程为. 故选：C. 4．（2023·北京西城·一模）已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则 ． 【答案】1 【详解】设，则,即， 所以，由于又，所以，因此，故关于轴对称， 由得,将代入抛物线中得所以， 故答案为：1 5．（2023·北京海淀·模拟预测）已知抛物线C经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于2，请写出一个满足条件的C的标准方程 ． 【答案】（或或任写一个即可）. 【详解】设抛物线的标准方程为， 由题意知，焦点到准线的距离， 所以，可取， 则抛物线的标准方程为. 故答案为：（或或任写一个即可）. 题型8利用定义求距离和差最值 解决此类问题通过抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等,使问题化难为易. 1．（2022·北京通州·一模）已知点P是抛物线上一点，且点P到点的距离与到y轴的距离之和的最小值为，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】 如图所示，由题得准线方程为， 点P到点的距离与到y轴的距离之和为， （当点在线段与抛物线的交点时取等） ， 所以， 解之得. 故选：D 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值问题常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 2．（2023·西藏日喀则·一模）已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线方程为， 则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则， 由图知，当共线，且在线段上时，最短， 此时，而， 则，所以. 故选：B    3．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】抛物线的焦点，准线，设， 则，解得，显然，不妨设， 关于直线的对称点为，则 因此，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 4．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 【答案】4 【详解】根据抛物线方程，可得，准线方程为， 作准线l，M为垂足，又知， 由抛物线的定义可得， 故当P，A，M三点共线时，取最大值， 最大值为． 故答案为：4.    5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线方程为，点，点在抛物线上，则的最小值为 . 【答案】3 【详解】由题知点为焦点，由抛物线定义知就是点到准线的距离，如图， 设点在准线的射影为D，则， 此时三点共线，即当点纵坐标为时，的值最小， 最小值为. 故答案为：3 1．（2024·北京昌平·二模）已知抛物线的焦点和双曲线的右顶点重合，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】因为双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为， 所以，得到， 故选：B. 2．（2024·北京东城·一模）已知双曲线的离心率为2，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线可得：， ，所以， 故选：B. 3．（2023·北京·模拟预测）已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 由题意可得：， 因为，整理得. 故选：D. 4．（2024·北京海淀·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，则线段的中点的纵坐标为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】抛物线的焦点，又，解得， 故线段的中点的纵坐标为. 故选：C. 5．（2024·北京延庆·一模）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线可知，准线方程为， 因为到直线的距离为， 所以到抛物线准线的距离为， 由抛物线定义知，. 故选：B 6．（2024·北京西城·二模）已知双曲线的焦点在轴上，且的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化简双曲线可得， 因为双曲线的焦点在轴上，所以， 所以的离心率为， 则，所以. 故选：C. 7．（2024·北京顺义·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，直线与相交于点，与轴交于点.若为的中点，则（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】B 【详解】，准线的方程为， 过点左，垂足为， 则， 因为为的中点，所以，所以， 所以，所以，则， 根据抛物线的对称性不妨设在第一象限，则， 则， 所以直线的方程为， 令，则，即， 所以.    故选：B. 8．（2023·北京丰台·一模）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】如图示： 过点A（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D. 因为四边形ABOF为等腰梯形，所以，. 所以. 又， 所以，所以， 所以. 所以. 由抛物线的定义可得：. 在直角三角形中，,. 由勾股定理可得：，解得：. 故选：C 9．（2023·北京通州·三模）已知，分别为双曲线：的上，下焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，为的中点， 所以，， 所以，又， ， 所以， 所以. 故选：B. 10．（2023·北京·三模）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】易知MN关于x轴对称，令，， ∴，，∴，∴．   ，，， ∴， ∴． 故选: C. 11．（2022·北京丰台·三模）已知点在抛物线上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则点P到y轴的距离为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】设，设圆的半径为， 因为点在抛物线上，所以， 以点P为圆心的圆与C的准线相切，所以, 圆与x轴相交的弦长为6，所以， 所以，又， 所以，故，, 所以点P到y轴的距离为4， 故选： A. 12．（2024·北京·三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 【答案】6 【详解】由得，所以焦点坐标为，准线为， 设弦中点纵坐标为， 故． 故答案为：6 13．（2024·北京海淀·二模）已知双曲线，则的离心率为 ；以的一个焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 .（写出一个即可） 【答案】 / 或（） 【详解】的离心率为，又渐近线为，即， 故焦点与到的距离均为， 则以的一个焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为或， 故答案为：；或（） 14．（2024·北京平谷·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则＝ ；双曲线的渐近线方程为 【答案】 【详解】由题意将代入双曲线方程得，解得， 所以双曲线方程为，又因为点在双曲线左支上， 所以； 所以渐近线方程为. 故答案为：；. 15．（2024·北京西城·一模）双曲线的渐近线方程为 ；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ． 【答案】 【详解】由，故其渐近线方程为； 令，由题意可得，即有，解得， 故，即. 故答案为：；.    16．（2024·北京·模拟预测）设点在抛物线上，已知.若，则 ；若，则直线斜率的最小值为 . 【答案】 3 1 【详解】第一空：若，则， 又，所以，注意到， 所以解得满足题意； 第二空：直线斜率为，若， 则由基本不等式得，等号成立当且仅当. 故答案为：3；1. 17．（2024·北京东城·一模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点；且，则 . 【答案】 【详解】由抛物线，可得， 设， 则， 故，所以， 所以.      故答案为：；. 18．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 . 【答案】2 【详解】易知关于x轴对称，令，， ∴，，∴，∴． ，，， ∴，∴． 故答案为: 2. 19．（2023·北京西城·二模）已知两点．点满足，则的面积是 ；的一个取值为 ． 【答案】 / （答案不唯一） 【详解】由点可知，，所以点在圆， 且，则点在双曲线的右支上，其中，，，则双曲线方程为， 联立，解得：或， 则的面积； 当时，，，， 当时，，，， 则其中的一个取值是. 故答案为：；（答案不唯一） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$